1 Technická Mechanika-Úvod. Vektorové Operace

1
TECHNICKÁ MECHANIKA
1.1 Úvod
Cílem tohoto textu je poskytnout studentům bakalářského distančního studia FSI VUT
podklady pro samostatné studium kursu Technické mechaniky. Rozdělení kursů technické
mechaniky není v literatuře jednoznačně definováno, tento text vychází z učebních osnov pro
bakalářské studium na FSI VUT Brno, kde je předpokládána návaznost tohoto kursu na
předmět Statika. Náplní kursu Technická mechanika je kinematika a dynamika tuhých těles
(včetně kmitání mechanických systémů).
I když oba kursy bezprostředně na sebe nenavazují, rozhodně pro zvládnutí Technické
mechaniky je vhodné se napřed seznámit s obsahem kursu Statika. Text je rozčleněn na dvě
hlavní části - kinematiku a dynamiku. U čtenářů se předpokládají základní znalosti z kursů
středoškolské matematiky a fyziky, pro případné zopakování je vhodné použití textů [1,2].
Při sestavování kinematiky byla použita jako základ skripta pro magisterské studium
kinematiky na FSI VUT [3]. Důraz je přitom kladen jak na řešení grafické, které je rychlé a
názorné, tak řešení počtářské. Pro podrobnější studium některých speciálních úloh kinematiky
se zaměřením na aplikační možnosti na samočinných počítačích pomocí maticových metod je
vhodné aby se čtenář seznámil s obsahem skript [3] Vzhledem k tomu, že dynamika jako
předmět studia je poměrně obtížná, je jí svým rozsahem věnována větší pozornost, což je
zřejmé i z počtu stránek textu. Jako výchozí podklady byly použity skripta pro magisterské
studium [4] a učebnice [5]. I když v předkládaném textu je uvedena řada řešených i
neřešených úloh, pro případné zájemce o hlubší studium je vhodné jako doplněk používat
sbírky úloh z kinematiky [6,7] a dynamiky [8] popř. učebnici [9].
Na rozdíl od běžných skript kursů technické mechaniky jsou často předkládány úlohy
ve formě reálných vyobrazení. Je proto kladen důraz na to, aby čtenář zvládl náhradu
reálných, vzájemně spojených těles pomocí modelů ať již z hlediska tvaru těles nebo jejich
vzájemných kontaktů (vazeb). Pro tyto modely pak je možné aplikovat obecné principy
mechaniky tuhých těles. Způsoby a zásady tvorby těchto mechanických modelů do
mechaniky organicky patří a tvoří při analýze konkrétního problému první a v mnohém
případě i rozhodující krok. Při modelování v mechanice přitom platí obecné pravidlo - model
musí být jen tak složitý jak je nezbytně nutné a tak zjednodušený jak je možné.
Další kroky analýzy pohybů těles jsou již do značné míry algoritmizovány. Jde
především o matematický popis mechanického modelu, zjištění kinematických veličin popř.
sestavování a řešení pohybových rovnic. V současné době je možno tuto činnost ve
standardních situacích a pro standardní modely svěřit počítači (dynamická analýza bývá
součástí rozsáhlých systémů CAD, CAM, ANSYS apod.). Reálné problémy však často
nemusí zcela přesně splňovat vstupní předpoklady těchto zpravidla úzce specializovaných
systémů, proto při konkrétních aplikacích těchto systémů je znalost zákonitostí a pravidel
mechaniky nutná i v současnosti.
Předkládané texty jsou určeny k samostudiu v distančním studiu, obě části tj.
kinematika a dynamika jsou psány odděleně takže je možné použít i pro studium kinematiky
resp. dynamiky v denním studiu. Snahou autora bylo předložení látky v takové formě, aby
text umožnil se seznámit rychle s danou problematikou na takové úrovni, aby student byl
schopen samostatného řešení praktických úloh a příkladů. Proto jsou hlavní závěry
jednotlivých kapitol shrnuty a zvýrazněny popř. doplněny souborem kontrolních otázek. Na
druhé straně, aby bylo umožněno studentům zajímajícím se o danou problematiku hlouběji
popř. z důvodu úplnosti, jsou v některých kapitolách uvedeny pasáže, které nejsou
1
2
bezpodmínečně nutné k pochopení základních principů. Tyto části textů jsou odlišeny menším
typem písma. Z hlediska označování v textu, pro zápis vektorů je použito zápisu a, b, c... , pro
čtvercové matice zápis A, B, C a pro matice sloupcové (které mají jako prvky souřadnice
vektorů) zápis a, b, c.
Při řešení úloh v mechanice je vhodné dodržovat následující postup:
1) Reálná tělesa nahradíme pokud možno co nejvíce zjednodušenými modely tj. vytvoříme .
tzv. pracovní diagramy. Pravidlo-model by měl být tak složitý jak je nezbytně nutné a tak
jednoduchý jak je možné. Vytvořené pracovní modely by měly být pro danou rozlišovací
úroveň po mechanické stránce ekvivalentní s objekty reálnými (stejné geometrickohmotnostní charakteristiky těles, stejný charakter pohybů, stejné vazby mezi tělesy apod.)
2) Při řešení soustav těles metodou uvolňování jednotlivá tělesa uvolníme ze soustavy tj.
vazby nahradíme silovými účinky. Přitom dodržujeme správný směr a správnou orientaci
reakčních sil (normálové složky reakcí musí být kolmé k tečnám v místech dotyku těles, u
opory reakce musí mířit do tělesa, třecí síly musí směrovat proti relativním pohybům
apod.). Při označování vektorů dodržujeme symboly uváděné v zadání příkladů. Při
přechodu od jednoho tělesa k druhému aplikujeme zákon akce a reakce tj. měníme
orientaci reakcí.
3) K danému problému se snažíme přiřadit vhodnou teoretickou pasáž a aplikovat příslušné
teoretické vztahy. Zkontrolujeme zda všechny vektorové veličiny použité v sestavených
rovnicích jsou vyznačeny na obrázcích. Zkontrolujeme zda nedochází k duplicitě tj. pro
síly působící na různých místech není použito stejné označení a obráceně tj. stejné
veličiny nejsou označeny různě v zadání a na schématech uvolněných těles.
4) Ověříme, zda počet neznámých parametrů souhlasí s počtem sestavených rovnic
5) Ověříme si, zda nalezené řešení je vůbec reálné. Pokud jsme u některých vektorových
veličin byli nuceni odhadovat směr, pak v případě, že při numerickém řešení jsou
vypočtené velikosti těchto vektorů záporná čísla, přehodíme u těchto vektorů smysl.
Přitom však musí být prověřena reálnost tohoto smyslu (např. normálové složky opor
musí mířit do tělesa, orientace třecích sil proti pohybu apod.)
6) Výsledek se snažíme ověřit na základě aplikace jiného způsobu řešení
Literatura
[1] Hofírek M.: Mechanika Kinematika. Nakladatelství Fragment,Havlíčkův Brod 1998
[2] Hofírek M.: Mechanika Dynamika. Nakladatelství Fragment,Havlíčkův Brod 1998
[3] Přikryl K. : Kinematika. Skripta FSI VUT Brno 1994
[4] Slavík J., Kratochvíl C.: Mechanika těles- Dynamika. Skripta FSI VUT Brno 1988
[5] Hibbeler R.C.:Engeneering Mechanics. Statics and Dynamics. Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, New Jersey 1995
[6] Kol. : Mechanika těles – úlohy z kinematiky. Skripta FSI VUT Brno 1987
[7] Malenovský E.: Kinematika (předřešené grafické úlohy). Skripta FSI VUT, Brno 1991
[8] Kratochvíl C., Malenovský E.: Mechanika těles – sbírka úloh z dynamiky. Skripta FSI
VUT Brno 1989
[9] Horák, Krupka, Šindelář: Technická fyzika, SNTL Praha 1961
[10] Juliš K., Brepta R. a kol.: MECHANIKA II. DÍL Dynamika, SNTL Praha 1987
[11] Brát V., Brousil J.: Dynamika. Skripta ČVUT Praha 1979
[12] [Brát V., Rosenberg J., Jáč V.: Kinematika SNTL Praha 1987
[13] Jančina J., Pekárek F.: Kinematika ALFA Bratislava 1987
2
3
1.2 Operace s vektory
Základní kinematické veličiny (polohový vektor, rychlost a zrychlení) jsou veličiny
vektorového charakteru. Můžeme na ně aplikovat základní operace vektorového počtu jako je
vektorový součet, vektorové a skalární násobení.
1.2.1 Skaláry a vektory
Skalár-veličina charakterizovaná číslem (hmota m, objem V, délka l, velikost vektoru c)
Vektor- veličina mající směr i velikost. V textech budeme používat označení r (odpovídá
zápisu r při ručním zápisu na tabuli). Z hlediska označování budeme pro velikost vektorů a,
b, c používat zápis a, b, c...při vyjádření vektorů pomocí sloupcových matic budeme používat
označení a,b,c , prvky těchto matic budou rovny souřadnicím vektorů. Pro čtvercové matice
budeme používat označení A,B,C .
Vektorový součet
c = a+b,
kde souřadnice výsledného vektoru
(1.1a)
c = ( cx ,c y ,cz )
jsou
c y = a y + by ,
cz = az + bz ,
cx = a x + bx .
Skalární součin (násobení)- výsledkem je skalár
c = a .b = axbx +ay by+azbz = a b cos φ,
(1.1b)
kde φ je úhel mezi oběma vektory.
Poznámka1: Dvojího vyjádření pro výsledek skalárního součinu můžeme použít pro určení
úhlu mezi vektory.
Poznámka 2: Pomocí skalárního součinu můžeme snadno určit úhel φ dopadu bodu.
Orientujeme-li osu y kartézského systému směrem dolů, pak vzhledem k tomu, že vektor
rychlosti pohybujícího se bodu je tečný k dráze, pro úhel φ dopadu bodu platí
vy
vy
=
cos ϕ = v . j =
v
vx2 + v y2
Vektorový součin c = a x b -souřadnice vektoru c = ( cx ,c y ,cz ) vypočítáme buď rozvojem
determinantu tj.
i

c = a x b = ax
 bx

j
ay
by
k

az  = ( a y bz − by az ) i − ( ax bz − bx az ) j + ( ax by − bx a y ) k
bz 
(1.1c)
nebo pomocí násobení matic
 cx 
 
c = c y  = A b
 
 cz 
 0

=  az
 −a
 y
−az a y  bx 
 
0 −ax  by 
ax
0   bz 

(1.1d)
Pro dvojný vektorový součin platí d = a x ( b x c ) = ( a .c ) b − ( a .b ) c . Pro dvojný vektorový
součin neplatí asociativní zákon tj. a x ( b x c ) ≠ ( a x b ) x c
3
4
1.2.2 Ortogonální transformace vektorů mezi soustavami se společným počátkem
V případě dvou ortogonálních soustav se společným počátkem můžeme vektory vyjádřené
v jedné soustavě převádět do soustavy do druhé pomocí matice ortogonální transformace.
Pro vektor r vyjádřený v soustavě O1 y1z1 a v soustavě pootočené Ox 2 y 2 z 2 platí při
maticovém zápisu
r1 = C 21r2
kde
(1.2a)
C21 je matice směrových cosinů, která převádí vektory ze soustavy
Ox1 y1 z1 do soustavy
Ox 2 y 2 z 2 . Prvky této matice jsou přitom kosiny směrových úhlů (proto také říkáme matice
směrových kosinů) a lze je vyjádřit pomocí skalárních součinů jednotkových vektorů
příslušejících souřadnicovým soustavám
 i1 .i 2
C21 =  j1 .i 2
k 1 .i 2
i1 .j2
j1 .j2
k 1 .j2
i1 .k 2 
j1 .k 2 
k 1 .k 2 
(1.2b)
Podobně obdržíme pro transformaci ze soustavy (1) do soustavy (2)
r2 = C12r1
(1.3)
Pro transformační matici přitom platí vztahy
−1
C12 = CT21 = C21
; C21CT21 = E
(1.4)
Např. pro rotaci okolo osy z o úhel φ (obr. 1.1) platí
Obr. 1.1
cos ϕ
C21 =  sin ϕ
 0
− sin ϕ
cos ϕ
0
0
0 
1 
a pro transformaci ze soustavy (1) do soustavy (2) pak platí
4
(1.5)
5
 cos ϕ sin ϕ
C12 =  − sin ϕ cos ϕ
 0
0
0
0 
1 
(1.6)
Jestliže soustava (2) rotuje kolem osy z pevné soustavy (1) s úhlovou rychlostí ϕɺ tj. vector
úhlové rychlosti je ω =(0,0, ϕɺ ), pak na základě derivování (1.5) dostáváme pro derivaci
matice směrových kosinů vztah
 − sin ϕ ϕɺ
ɺ =  cos ϕ ϕɺ
C
21


0
− cos ϕ ϕɺ 0 
 − sin ϕ

− sin ϕ ϕɺ 0  = ϕɺ  cos ϕ
 0
0
0 
− cos ϕ
− sin ϕ
0
0
0 
0 
(1.7)
Derivaci matice směrových kosinů můžeme tedy vyjádřit pomocí součinu matic
ɺ =Ω C
C
21
21
21
(1.8)
kde Ω21 je tzv. matice úhlových rychlostí. Tato matice Ω21 má v případě rotace kolem osy z
úhlovou rychlostí ϕɺ = ω tj. pro rotaci určenou vektorem ω= (0,0,ω) tvar
−ω
0
Ω21 = ω
 0
0
0 
0 
0
0
(1.9)
V případě rotace kolem pevné osy z je pohyb tělesa rovinný (označujeme 2D) - (dráhy
jednotlivých bodů tělesa leží v rovnoběžných rovinách. Kinematiku jednotlivých bodů pak
studujeme jen v jedné referenční rovině (xy) -. Rovnici (1.1) bychom pak zapisovali ve tvaru
 rx1 
cos ϕ
r1 =   = C 21r2 = 
 sin ϕ
 ry1 
− sin ϕ   rx 2 
 
cos ϕ   ry 2 
(1.20)
a matice úhlových rychlostí by byla rovna
0
Ω21 = 
ω
−ω 
0 
(1.21a)
1 0 

0 1 
(1.21b)
V tomto případě pak platí
Ω 21 Ω 21 = −ω 2 
V případě, že systém (2) rotuje kolem osy, která má vůči systému (1) obecný směr tj. vektor
úhlové rychlosti je ω =( ω x ,ω y ,ω z ), pak matice úhlových rychlostí má tvar
−ω z
 0

Ω21 =  ω z
 −ω y

0
ωx
ωy 

−ω x 
(1.22)
0 
Vynásobením vztahu (1.9) maticí C12 zprava s uvážením vztahu (1.4) můžeme naopak
z derivace transformační matice určit matici úhlových rychlostí tj. platí
ɺ C
Ω21 = C
21 12
5
(1.23)
6
Derivováním vztahu (1.23) pak můžeme určit matici (a tím i vektor α ) úhlového
zrychlení A 21
ɺɺ C + C
ɺ C
ɺ
A 21 = C
21 12
21
12
(1.24)
kde
−α z
 0

A 21 =  α z
 −α y

0
αx
6
αy 

−α x 
0 
(1.25)