Korekce parametr· diskrétních model· v dynamice rotorových soustav

Korekce parametr· diskrétních model·
v dynamice rotorových soustav
1
Úvod a cíl p°edná²ky
P°i modelování (nejen) rotorových soustav je pot°eba vytvá°et modely, které komplexn¥
postihují jejich dynamické vlastnosti. S tímto faktem je spojen nár·st po£tu stup¬· volnosti, který vyºaduje pouºití výkonných výpo£etních prost°edk·. Jednou z moºností °e²ení
numerické náro£nosti na výpo£et je vytvá°et jednoduché diskrétní modely jejich komponent s relativn¥ malým po£tem stup¬· volnosti. Aby byly diskrétní modely komponent co
moºná nejv¥rn¥j²í, je nutné stanovit parametry jejich matematických model· s náleºitou
p°esností. Existuje mnoho rozli£ných metod slouºících k identikaci parametr·, které jsou
nap°íklad zaloºeny na metodách lad¥ní, nebo na p°evedení úloh identikace na úlohu parametrické optimalizace. Cílem p°edná²ky je uvedení metody korekce parametr· diskrétních
model· na základ¥ spektrální a modální v¥rnosti s podrobnými kone£noprvkovými modely pop°. experimenty. Ideou je zp°es¬ování parametr· od model· díl£ích komponent ke
komplexnímu modelu.
2
Metoda korekce parametr· diskrétních model·
Tato metoda je zaloºena na °e²ení problému vlastních hodnot konzervativních diskrétních model·. Vlastní frekvence
Ωj
a vlastní vektory
vj
resp.
vi
t¥chto model· vyhovují
deni£nímu vztahu
K − Ω2j M vj = 0
(1)
a podmínkám ortogonality a M normy
viT M vjT = δi,j , viT KvjT = Ωj δi,j , i, j ∈ {1, 2, . . . , n} ,
kde
δi,j
je kronecker·v symbol. Prvky matic hmotnosti
M
a tuhosti
neárních model· jsou vyjád°eny lineárními funkcemi hmotnostních
parametr· dimenze
sm
resp.
sk .
m
K
(2)
diskrétních li-
resp. tuhostních
k
Obecn¥ není nutno korigovat v²echny hmotnostní nebo
tuhostní parametry. V takovém p°ípad¥ do vektor·
mak
zahrneme jen korigované para-
metry a matice hmotnosti a tuhosti v (1) a (2) lze vyjád°it ve tvaru sou£tu nekorigovaných
a korigovaných £ástí
M = M0 + Mk (m), K = K0 + Kk (k).
(3)
Experimentáln¥ zji²t¥ný nebo na 3D MKP modelu vypo£ítaný a do p°íslu²ných sou°adnic
zredukovaný a M normou normovaný vlastní vektor
vj
ztotoºníme s p°íslu²ným vlast-
ním vektorem diskrétního modelu. Pro kaºdý takto upravený vlastní vektor provedeme
transformace
Mk (m)vj = Xj m, Kk (k)vj = Yj k,
kde
Yj
m
a
k
(4)
jsou hledané vektory hmotnostních a tuhostních parametr·. Matice
jsou typu (n,
sm )
resp. (n,
sk ),
kde
n
Xj
a
je po£et stup¬· volnosti diskrétního modelu.
Jejich prvky jsou vyjád°eny pomocí sou°adnic vlastních vektor·
fyzikální struktu°e diskrétního modelu.
1
vj
v závislosti na zvolené
Ze vztah· (1) aº (4) vyplývá
Yj k − Ω2j Xj m = − K0 − Ω2j M0 vj , j = 1, 2, . . . , m,
viT Xj m = δi,j − viT M0 vj
vj , j = 1, 2, . . . , m, i ≥ j,
viT Yj k = Ω2j δi,j − viT K0 vj
(5)
(6)
m je po£et vlastních vektor· vyuºitých pro korekci parametr·. Rovnice (5) pro j =
1, 2, . . . , m a jednu z rovnic (6) pro j = 1, 2, . . . , m, i ≥ j zapí²eme ve form¥ soustavy
kde
lineárních algebraických rovnic

Y1
 Y2

 ..
 .

 Ym

 −−

 0

 0
 .
 .
 .

 0

 −−

 0

 0
 .
 ..

 0

 −−

 ..
 .

 −−
0
nebo



































Y1
Y2
.
.
.
Ym
−−−
v1T Y1
v1T Y2
.
.
.
v1T Ym
−−−
v2T Y2
v2T Y3
.
.
.
v2T Ym
−−−
.
.
.
−−−
T
vm
Ym


− (K0 − Ω21 M0 ) v1
−Ω21 X1
 − (K0 − Ω22 M0 ) v2
−Ω22 X2 




.
.
.
.


.
.


2
 − (K0 − Ω2m M0 ) vm
−Ωm Xm 


 −−−−−−−−−
− − −− 



1 − v1T M0 v1
v1T X1 



−v1T M0 v2
v1T X2 


.
.


.
.
.
.




T
T
−v
M
v1 Xm  k

0 vm
1
=

− − −−  m
 −−−−−−−−−


T
1 − v2T M0 v2
v2 X2 



T
−v2T M0 v3
v2 X3 



.
.


.
.
.
.




T
T
−v2 M0 vm
v2 Xm 

 −−−−−−−−−
− − −− 




.
.
.
.


.
.




−−−−−−−−−
− − −−
T
T
1 − vm
M0 vm
vm
Xm


−Ω21 X1
− (K0 − Ω21 M0 ) v1
2
 − (K0 − Ω22 M0 ) v2
−Ω2 X2 




.
.
.
.


.
.


2
 − (K0 − Ω2m M0 ) vm
−Ωm Xm 


 −−−−−−−−−
− − −− 




Ω21 − v1T K0 v1
0




−v1T K0 v2
0


.
.


.
.
.
.




T
−v1 K0 vm
0
 k

=

− − −−  m
 −−−−−−−−−


Ω22 − v2T K0 v2
0




−v2T K0 v3
0




.
.


.
.
.
.




T
−v2 K0 vm
0


 −−−−−−−−−
− − −− 




.
.
.
.


.
.




−−−−−−−−−
− − −−
T
Ω2m − vm
K0 vm
0
2



































(7)


















.
















(8)
Soustavy lineárních algebraických rovnic p°epí²eme do obvyklého tvaru
Ap = b
(9)
T
p = k T mT
kde vektor korigovaných parametr·
je dimenze
s = sk + sm
a matice sou1
stavy A pro v²echny p°ípustné kombinace vlastních vektor· v (6) je typu (m[n + (m +
2
1)], s). Poznamenejme, ºe experimentáln¥ zji²t¥né nebo na 3D MKP modelu vypo£ítané
vlastní vektory vyuºitelné pro korekci parametr· závisí na fyzikální struktu°e diskrétního
modelu. Tak nap°., je-li diskrétní model koncipován pro torzní kmity, vyuºitelné vlastní
vektory jsou p°i°azeny torzním vlastním tvar·m kmitání 3D modelu po jejich redukci do
vybraných uzl· diskretizace a normování M normou. Protoºe p°edem známe jen odhad(0)
(0)
nuté hodnoty korigovaných parametr· k
a m , výpo£et vektor· k, m z rovnic (7)
resp. (8) chápeme jako itera£ní proces. V kaºdém kroku
r,
po£ínaje startovacími (od-
hadnutými) vektory parametr·, normujeme redukované vlastní vektory
ṽj
vypo£ítané z
3D modelu M normou na základ¥ matice hmotnosti diskrétního modelu v p°edcházejícím
kroku výrazem
(r)
vi
ṽi
=p
ṽiT
(M0 + Mk (m(r−1) )) ṽi
, i = 1, 2, . . . , m, r = 1, 2, . . . .
(10)
S t¥mito vlastními vektory vstupujeme do rovnice (9), z níº vypo£ítáme vektor parametr·
na konci
r-té
iterace
(r)
p
=
k(r)
m(r)
, r = 1, 2, . . . .
(11)
Rovnice (9) je zpravidla p°eur£ená. Její °e²ení budeme hledat ve smyslu minima normy
váºeného reziduálního vektoru
r (r) = G A(r) p(r) − b(r) ,
kde
G
je diagonální matice nezáporných váhových koecient· °ádu
(12)
m [n + 1/2(m + 1)].
Jimi je moºné preferovat p°esnost spln¥ní vybraných rovnic (5) a (6) na úkor ostatních.
Z nutných podmínek Eukleidovské normy reziduálního vektoru (index
(r)
pro stru£nost
zápisu vypou²tíme)
∂(r T r)
=0
∂p
(13)
dostaneme, jak je ukázáno v monograi [1], v kaºdém itera£ním kroku °e²ení
p = AT G2 A
Pokud na konci
r-tého
AT G2 b.
(14)
itera£ního kroku je spln¥na podmínka
s
X
i=1
kde
−1
(r)
1−
pi
(r−1)
!2
≤ ε,
pi
(15)
ε je volená p°ípustná zm¥na korigovaných parametr·, itera£ní proces zastavíme. Jeli-
koº se p°edpokládá za£len¥ní diskrétních model· do komplexního modelu celého systému,
musíme po výpo£tu matic hmotnosti a tuhosti podle (3) ob¥ matice násobit koecientem,
kterým zajistíme, ºe celková hmotnost subsystému nebo jeho celkový moment setrva£nosti
(u torzních model·) v diskrétním modelu je stejný jako u reálného subsystému.
3
Obrázek 1: Schéma pohonu dvojkolí kolejového vozidla dutým h°ídelem.
3
Moºnosti aplikace
Vý²e popsaná metoda má ²irokou ²kálu pouºití na rozli£ných systémech (rotujících i nerotujících). Pro ilustraci uvedeme moºnost pouºití této metody na komponenty pohonu
dvojkolí kolejového vozidla (viz. obrázek 1). Pohon dvojkolí se skládá z motoru, jehoº výkon je p°ená²en na dvojkolí pomocí p°evodovky, a z dutého h°ídele. Vazba mezi dvojkolím
a kolejnicí je reprezentována pomocí síly
N.
Pro korekci parametr· díl£ích komponent m·ºeme vyuºít experimentu, nebo podrobného kone£noprvkového matematického modelu. Na následujícím obrázku 2 jsou zobrazeny ukázky podrobných matematických model· dvojkolí a p°evodové sk°ín¥.
Obrázek 2: Podrobné matematické modely p°evodové sk°ín¥ a dvojkolí.
Po provedení modální analýzy je pot°ebné identikovat p°íslu²né vlastní tvary kmitání. Nap°íklad v p°ípad¥ torzního modelu dvojkolí musíme ur£it torzní tvary kmitání
podrobného modelu a výchylky, resp. poºadované vlastní tvary kmitání, v uzlech, které
4
Obrázek 3: Porovnání vlastních frekvencí a tvar· kmitu.
odpovídají uzl·m diskrétního modelu. Tyto uzly jsou v p°ípad¥ modelu dvojkolí zvýrazn¥ny bílou barvou (obrázek 2 vpravo).
Nyní m·ºeme aplikovat postup identikace parametr· popsaný v p°edchozí £ásti. V
následujících grafech (obrázek 3) jsou uvedeny torzní vlastní tvary kmitání a vlastní frekvence p°ed identikací parametr· (vlevo) a po ní (vpravo).
4
Shrnutí
Vý²e popsaná metoda korekce parametr· má ²irokou ²kálu pouºití v dynamice stroj· a
konstrukcí. Pro korekci parametr· komponent m·ºeme vyuºívat jejich podrobné kone£noprvkové modely i experimenty. Výsledné korigované modely komponent jsou v p°edem
vymezené frekven£ní oblasti modáln¥ i spektráln¥ dostate£n¥ v¥rné podrobným model·m
nebo experiment·m a mohou být pouºity k za£len¥ní do komplexních model· systém·.
Reference
[1] Slavík, J. Stejskal, V. Zeman, V.: Základy dynamiky stroj·. Vydavatelství ƒVUT,
Praha, 1997. ISBN 80-01-01622-6.
Vzniklo za podpory projektu FRV’ 23/2007/G1 (Metody korekce parametr· matematických model· v dynamice stroj·, autor: Jakub ’a²ek, ZƒU v Plzni, FAV, KME)
5