PROBLÉM SINOVÉ VĚTY SINOVÁ VĚTA: Nechť ABC je libovolný

PROBLÉM SINOVÉ VĚTY
SINOVÁ VĚTA:
Nechť ABC je libovolný trojúhelník, jehož vnitřní úhly mají velikost α, β, γ, a jejich protější
strany délky a, b, c. Pak platí:
a
b
c


sin  sin  sin 
KOSINOVÁ VĚTA:
Nechť ABC je libovolný trojúhelník, jehož vnitřní úhly mají velikost α, β, γ, a jejich protější
strany délky a, b, c. Pak platí:
c 2  a 2  b 2  2ab cos 
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
b 2  a 2  c 2  2ac cos 
Většina žáků třetích ročníků dává při řešení obecného trojúhelníku, pakliže mají na výběr,
přednost sinové větě před větou kosinovou. Připadá jim elegantnější a lépe se z ní vyjadřují
úhly. My si teď ukážeme, že není všechno zlato, co se třpytí (čímž ovšem nechci nikterak
zpochybňovat samotnou teorii!!).
Pozn. Pro pochopení následujícího textu je nutná znalost průběhu funkcí sinus a kosinus a dále
znalost řešení základních goniometrických rovnic ve tvaru f(x) = c, kde f je funkce sinus resp. kosinus,
c je reálná konstanta.
Příklad: Dopočítej úhly α, β v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 28 cm, b = 20 cm, γ = 40°.
Řešení užitím sinové věty:
Trojúhelník je zadán jednoznačně (věta sus), takže existuje jediné řešení. V první fázi si
nelze mezi výše uvedenými větami vybírat, jediné, co mohu vypočítat, je strana c (užitím
kosinové věty). To žákům obvykle nedělá problém, protože nemusejí nic ze vzorce pracně
vyjadřovat.
c 2  a 2  b 2  2ab cos 
c 2  28 2  20 2  2  28  20  cos 40
c 2  326,03
c  18,06 cm
Přesnou hodnotu uložím do paměti kalkulačky pod A (STO A). Později
tuto hodnotu vyvolám příkazem RCL A.
To by bylo. Zbývá dopočítat chybějící úhly. Tady už si lze vybrat, kterou větu použít. Použiju
tedy sinovou větu a pokusím se vypočítat úhel α.
a
c

sin  sin 
sin  sin 

a
c
Zlomky otočím. Velice elegantní krok!
sin  
a sin  28  sin 40

= 0,996773761
c
RCLA
Funkce sinus je kladná v I. a II. kvadrantu, dostanu tedy dvě potenciální „alfy“.
I.
α1 = 85°23´46,84´´
II.
α2 = 180° – 85°23´46,84´´ = 94°36´13,16´´
Který úhel α je ten správný? Oba určitě ne, úloha má, jak už bylo řečeno, jen jedno řešení.
Strana a je větší než strana c a oba úhly α1, α2 jsou větší než úhel γ, takže zatím nedokážu
rozhodnout (na rozdíl od většiny žáků, kteří ihned „skočí“ po hodnotě z I. kvadrantu a mají
vystaráno). Dopočítám tedy úhly β1 a β2.
β1 = 180° – γ – α1 = 54°36´13,16´´
β2 = 180° – γ – α2 = 45°23´46,84´´
Takže znova: Které řešení je správné? Seřadím strany a úhly podle velikosti.
Platí: a > b > c
Přitom α1 > β1 > γ a stejně tak α2 > β2 > γ.
A jsem v rejži! Je trojúhelník ABC ostroúhlý nebo tupoúhlý? Bohužel, bez alespoň přibližné
konstrukce daného trojúhelníku nedokážu rozhodnout. Smůla. Zkusím to tedy jinak.
Strana c  18,06 cm, o tom nemůže být pochyb. Vykašlu se na „alfu“ a zkusím nejdřív
dopočítat „betu“. Znovu užitím sinové věty.
sin  sin 

b
c
sin  
b sin  20  sin 40

= 0,711981257
c
RCLA
Funkce sinus je kladná v I. a II. kvadrantu, dostávám tedy dvě potenciální „bety“. A rovnou
k nim dopočítám i obě „alfy“.
I.
β1 = 45°23´46,84´´
α1 = 180° – γ – β1 = 94°36´13,16´´
II.
β2 = 180° – 45°23´46,84´´ = 134°36´13,16´´
α2 = 180° – γ – β2 = 5°23´46,84´´
Tady je to jasné: α2 < β2, což je v přímém rozporu s nerovností a > b, která platí pro daný
trojúhelník. Platí tedy hodnoty pod I.
α = 94°36´
β = 45°24´
Právě jsme si, myslím, docela názorně ukázali, že použití sinové věty k určení úhlů
v trojúhelníku může být docela záludné. Nyní vyřešíme celý příklad znovu užitím pouze věty
kosinové.
Příklad: Dopočítej úhly α, β v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 28 cm, b = 20 cm, γ = 40°.
Řešení užitím kosinové věty:
Stranu c vypočítám stejným způsobem, c  18,06 cm (přesná hodnota = RCL A). Nyní
dopočítám úhel α užitím kosinové věty.
a 2  b 2  c 2  2bc cos
2bc cos  b 2  c 2  a 2
cos 
b2  c2  a2
2bc
Funkce kosinus má oproti sinu jednu velkou výhodu: v I. a II.
kvadrantu se liší znaménkem!
cos 
20 2  RCLA 2  28 2
= –0,080262503
2  20  RCLA
V této fázi výpočtu již vím, že úhel α je
tupý! Tedy žádné dvě řešení!
α = 94°36´
β = 180° – γ – α = 45°24´
Hotovo.