ZDE

Motivační příklady ke zkoušce z ME4
1. Určete interpolační polynom pro funkci f = f (t), která je zadána tabulkou hodnot
ti
−1 0 1 2
.
f (ti ) 0 1 4 15
Jaká je hodnota interpolačního polynomu v bodě t = 3?
2. Určete interpolační polynom pro funkci f = f (t), která je zadána tabulkou hodnot
ti
−2 −1 0 1
.
f (ti ) −1 5 7 5
Jaká je hodnota interpolačního polynomu v bodě t = 2?
3. Určete interpolační polynom pro funkci f = f (t), která je zadána tabulkou hodnot
ti
f (ti )
−1 0 1
2
.
7 2 −3 −20
Jaká je hodnota interpolačního polynomu v bodě t = 3?
4. Proveďte interpolaci trigonometrickým polynomem 2π-periodické funkce
f = f (t), která je zadána tabulkou hodnot
ti
0 π/2 π 3π/2
.
f (ti ) 2 −2 0
4
Interpolační polynom volte ve tvaru ϕ(t) =
A2 cos 2t.
A0
2
+ A1 cos t + B1 sin t +
5. Proveďte interpolaci trigonometrickým polynomem 4π-periodické funkce
f = f (t), která je zadána tabulkou hodnot
ti
0 π 2π 3π
.
f (ti ) 1 0 −3 −2
1
A0
2
Interpolační polynom volte ve tvaru ϕ(t) =
A2 cos t.
+ A1 cos 2t + B1 sin 2t +
6. Proveďte interpolaci trigonometrickým polynomem π-periodické funkce
f = f (t), která je zadána tabulkou hodnot
ti
0 π/4 π/2 3π/4
.
f (ti ) −2 −2
0
0
Interpolační polynom volte ve tvaru ϕ(t) =
A2 cos 4t.
A0
2
+ A1 cos 2t + B1 sin 2t +
7. Určete diskrétní L2 -aproximaci funkce f = f (t) zadané tabulkou hodnot pomocí funkce ϕ(t) = c0 + c1 t2 ;
ti
0 1 3
.
f (ti ) −2 0 4
Načrtněte obrázek se zadanými hodnotami a výslednou aproximací
ϕ(t).
8. Určete diskrétní L2 -aproximaci funkce f = f (t) zadané tabulkou hodnot pomocí funkce ϕ(t) = c0 + c1 t;
ti
−1 2 4
.
f (ti ) 10 8 5
Načrtněte obrázek se zadanými hodnotami a výslednou aproximací
ϕ(t).
9. Určete diskrétní L2 -aproximaci funkce f = f (t) zadané tabulkou hodnot pomocí funkce ϕ(t) = c0 t + c1 t2 ;
ti
−2 0 2
.
f (ti ) 3 0 4
Načrtněte obrázek se zadanými hodnotami a výslednou aproximací
ϕ(t).
10. Určete spojitou L2 -aproximaci funkce f zadané předpisem f (t) =
intervalu h1, 2i pomocí funkce ϕ(t) = c0 + c1 t.
1
t2
na
Načrtněte obrázek se zadanou funkcí f (t) a výslednou aproximací ϕ(t).
2
11. Určete spojitou L2 -aproximaci funkce f zadané předpisem f (t) =
na intervalu h0, 1i pomocí funkce ϕ(t) = c0 + c1 t2 .
√
t
Načrtněte obrázek se zadanou funkcí f (t) a výslednou aproximací ϕ(t).
12. Určete spojitou L2 -aproximaci funkce f zadané předpisem f (t) = ln(t+
1) na intervalu h0, 1i pomocí funkce ϕ(t) = c0 t + c1 t2 .
Načrtněte obrázek se zadanou funkcí f (t) a výslednou aproximací ϕ(t).
13. Najděte ortogonální bázi prostoru polynomů stupně nejvýše 2 na intervalu h0, 5i pomocí Gramm-Schmidtova ortogonalizačního procesu.
Jako výchozí bázi volte funkce ϕ1 (t) = 1, ϕ2 (t) = t a ϕ3 (t) = t2 .
14. Najděte ortogonální bázi prostoru polynomů stupně nejvýše 2 na intervalu h−2, 2i pomocí Gramm-Schmidtova ortogonalizačního procesu.
Jako výchozí bázi volte funkce ϕ1 (t) = 1, ϕ2 (t) = t a ϕ3 (t) = t2 .
15. Najděte ortogonální bázi prostoru polynomů stupně nejvýše 2 na intervalu h−1, 2i pomocí Gramm-Schmidtova ortogonalizačního procesu.
Jako výchozí bázi volte funkce ϕ1 (t) = 1, ϕ2 (t) = t a ϕ3 (t) = t2 .
16. Periodická funkce f = f (t) s periodou T = 2π je dána předpisem

 −π/2, t ∈ h−π, −π/2)
t,
t ∈ h−π/2, π/2)
f (t) =

π/2,
t ∈ hπ/2, π).
Nakreslete graf funkce f na intervalu h−3π, 3πi a napište rozvoj funkce
f ve Fourierovu řadu.
17. Periodická funkce f = f (t) s periodou T = 2 je dána předpisem
½
1 − t2 , t ∈ h−1, 0)
f (t) =
(1 − t)2 t ∈ h0, 1).
Nakreslete graf funkce f na intervalu h−1, 3i a napište rozvoj funkce f
ve Fourierovu řadu.
18. Periodická funkce f = f (t) s periodou T = 3 je dána předpisem

t ∈ h0, 1)
 t,
1,
t ∈ h1, 2)
f (t) =

3 − t, t ∈ h2, 3).
Nakreslete graf funkce f na intervalu h−3, 3i a napište rozvoj funkce f
ve Fourierovu řadu.
3
19. Nakreslete graf funkce f = f (t) a vypočítejte její Fourierův obraz. Je
funkce f (t) fourierovsky zobrazitelná?
½
f (t) =
t2 − 4, |t| ≤ 2
0,
|t| > 2.
20. Nakreslete graf funkce f = f (t) a vypočítejte její Fourierův obraz. Je
funkce f (t) fourierovsky zobrazitelná?
½
f (t) =
t cos t, t ∈ h−π, πi
0,
t∈
6 h−π, πi.
21. Nakreslete graf funkce f = f (t) a vypočítejte její Fourierův obraz. Je
funkce f (t) fourierovsky zobrazitelná?
½
f (t) =
et cos t, t ∈ h0, 2πi
0,
t∈
6 h0, 2πi.
22. Pomocí Laplaceovy transformace řešte počáteční úlohu
y 00 + 4y 0 + 29y = 0,
y(0+ ) = 0, y 0 (0+ ) = 15.
23. Pomocí Laplaceovy transformace řešte počáteční úlohu
y 00 − y = 4 sin t + 5 cos 2t,
y(0+ ) = −1, y 0 (0+ ) = −2.
24. Pomocí Laplaceovy transformace řešte počáteční úlohu
y 000 − 6y 00 + 11y 0 − 6y = 0,
y(0+ ) = 0, y 0 (0+ ) = 1, y 00 (0+ ) = 2.
25. Pomocí Z-transformace řešte počáteční úlohu
∆2 yn − 3∆yn + 2yn = 0,
y0 = 1, ∆y0 = 1.
26. Pomocí Z-transformace řešte počáteční úlohu
yn+2 − yn+1 − yn = 0,
y0 = 1, y1 = 1.
27. Pomocí Z-transformace určete obecné řešení diferenční rovnice
yn+2 − 3yn+1 − 4yn = (−1)n .
(Zvolte y0 = a, y1 = b, kde a, b jsou libovolné konstanty.)
4