7 Lineární elasticita

7 Lineární elasticita
Elasticita je schopnost materiálu pružně se deformovat.
Deformace ideálně elastických látek je okamžitá (časově nezávislá) a dokonale vratná.
Působí-li na infinitezimální objemový element soustava sil F1 ,F2 ,F3, je napjatost elementu
určena 9 složkami napětí: 6 smykovými a 3 normálovými (Obr. 7.1):
Obr. 7.1: Napjatost v objemovém infinitezimálním elementu
Při zachování podmínky rovnováhy vzhledem k těžišti elementu platí:
σ
12
= σ
σ
21
23
= σ
σ
32
13
= σ
31
(7.1)
a tedy pro určení napjatosti systému postačí 6 složek napětí z celkových 9.
Lineární vztah mezi napětím a deformací vyjadřuje Hookův zákon v obecném tvaru:
σ = kε , σ ≠ f ( t )
σ

σ
σ

σ
σ

σ

  C1111 C1122
 
 C 2211
22 
  ...
33
= 
 ...
13 
  ...
23 

 C
12 
 1211
11
(7.2)
C1133
C1113
C1123
C1112   ε 11 


  ε 22 
ε 
 . 33 
  ε 13 
 ε 
  23 
C1212   ε 12 
(7.3)
Polymerní látky se deformují lineárně elasticky jen při velice nízkých hodnotách deformace.
7.1 Vymezení důležitých pojmů
Základní typy deformačního namáhání schematicky znázorňuje Obr. 7.2.
Obr. 7.2: Způsoby deformačního namáhání
Napěťový stav se často vyjadřuje pomocí invariant napětí a deformace, což jsou veličiny
nezávislé na souřadném systému.
Vyjádříme-li poměrné deformace:
λ 1 = 1 + ε 11
λ 3 = 1 + ε 33
λ 2 = 1 + ε 22
(7.4)
Pro invarianty deformace platí:
2
I1 = λ 1 + λ
2
2
2
+λ3
2
2
2
(7.5)
2
2
I2 = λ 1 λ 2 + λ 1 λ 3 + λ 2 λ 3
V 
I 3 = λ 1λ 2 λ 3 =  
 V0 
2
(7.6)
2
(7.7)
Invarianty napětí:
I 3 = − σ 11σ
2
23
I1 = σ
11
+σ
22
+σ
33
I2 = σ
2
12
+σ
2
23
+σ
2
31
− σ 22σ
2
31
− σ 33σ
2
12
(7.8)
− σ 11σ
+ σ 11σ 22σ
33
22
− σ 22σ
+ 2σ 12σ 23σ
31
33
− σ 33σ
11
(7.9)
(7.10)
Často je žádoucí určit, jak se složky napětí změní se změnou orientace souřadného systému.
Zavedeme-li předpoklad, že složky napětí v jedné rovině jsou rovny nule, pak se napjatost
systému zjednodušuje na dvojsou (rovinnou). Elementem vymezeným rozměry b a dx
schématicky znázorněným na Obr. 7.3 vedeme řez pod úhlem α (v našem případě 45°).
Smykové τα a normálové σα napětí v řezu určíme z rovnice rovnováhy sil:
Obr. 7.3: Změna orientace souřadného systému
Pro bilanci sil nejprve vyjádříme:
Fα τ = τ a a = τ
a
Fα σ = σ a a = σ
dx
sin α
a
(7.11)
dx
(7.12)
sin α
Pro přehlednost znázorníme rozklad smykových a normálových napětí odděleně (Obr. 7.4) a
pouze pro jeden kvadrant:
Obr. 7.4: Rozložení smykových a normálových napětí
Výpočet τα:
−σ
11
cosα dx + σ
τ α = − 1 / 2( σ
11
−σ
22
22
sin α .b − σ
) sin 2α
+σ
12
21
sin α dx + σ
cos 2α
21
cosα .b − τ α
(7.14)
dx
= 0
sin α
(7.13)
Výpočet σα:
σ
11
sin α dx + σ
σ
α
= −σ
Výpočet
τ
τ
α +
α+
Vyjádření
σ
π
2
σ
π
α +
2
π
2
12
22
cos α .b − σ
sin 2α + σ
11
12
cosα dx − σ
sin 2 α + σ
22
21
cos 2 α
sin α .b − σ
α
dx
= 0 (7.15)
sin α
(7.16)
:
= −τ α
α+
π
2
=σ
(7.17)
:
12
sin 2α + σ
11
cos 2 α + σ
22
sin 2 α
(7.18)
Nyní budeme zjišťovat, zda existuje taková orientace souřadného systému, že smyková napětí
vymizí:
1
τ α ,m = − sin 2α ( σ 11 − σ 22 ) + σ 12 cos 2α = 0 (7.19)
2
po úpravě:
α
m
=
1
2σ 12
cot g
2
σ 11 − σ 22
(7.20)
a normálová napětí dosáhnou extrémních hodnot:
dσ α
= − 2σ
dα
12
cos 2α + 2σ
11
sin α . cosα + 2σ
22
cosα ( − sin α ) = 0
(7.21)
po derivaci a úpravě:
α
m
=
1
2σ 12
cot g
2
σ 11 − σ 22
(7.22)
V soustavě existují 2 plochy pod úhlem αm a α m + π / 2 , kde jsou smyková napětí rovna nule a
normálová napětí jsou extrémní. Tato napětí se pak označují jako hlavní σ1, σ2.
7.2 Vztah napětí-deformace pro jednosměrné protažení (stlačení)
Pro jednosměrné protažení/stlačení izotropního elementu znázorněném na Obr. 7.5 platí:
Obr. 7.5: Jednosměrné protažení (a) a stlačení (b) izotropního tělesa
Napětí ve směru osy protahování/stlačení:
σ
11
=σ
(7.23)
0
Napětí ve zbývajících směrech:
σ
22
=σ
33
= 0 (7.24)
Deformace pro jednosměrné protažení:
ε 11 =
l − l0
〉 0 podélné prodloužení ε 11 〈 0 (7.25)
l0
ε 22 =
a − a0
〈 0 boční zkrácení
a0
ε 22 〉 0 (7.26)
ε 33 =
b − b0
〈 0 boční zkrácení
b0
ε 33 〉 0 (7.27)
Deformace při jednosměrném stlačení:
Poměr bočního zkrácení a podélného prodloužení při jednosměrném tahovém namáhání se
nazývá Poissonův poměr:
ν = −
ε 22
ε 11
(7.28)
Poměrná změna objemu pro malé deformace:
∆V
= ε 11 + ε 22 + ε 33
V
(7.29)
Vztah mezi napětím a deformací vyjádříme Hookovým zákonem pro jednosměrné
protažení/stlačení:
σ
11
= Eε 11
(7.30)
Konstantou úměrnosti mezi napětím a deformací pro namáhání na tah/tlak je modul
pružnosti v tahu (Youngův modul) E.
Deformace v jednotlivých směrech vyjádříme:
ε 11 =
σ
(7.31)
11
E
ε 22 = ε 33 = − ν ε 11 = −
ν σ 11
E
(7.32)
Poměrnou změnu objemu lze následně vyjádřit:
σ
∆V
= ε 11 − 2ν ε 11 = ε 11 (1 − 2ν ) = 11 (1 − 2ν
V
E
) (7.33)
a Poissonův poměr zapsat:
ν =
1
1 dV 
 1 −

2
V dε 11 
(7.34)
Hodnotě Poissonova poměru pro nestlačitelné látky (ν = 0,5) se nejvíce blíží pryž hodnotou
0,499; další příklady materiálů jsou zachyceny v Tab. 7.1.
Tab. 7.1: Hodnoty Poissonova poměru pro vybrané materiály
Materiál
Materiál
ν
diamant
0,23
LDPE
ocel
0,28
PS
zlato
0,23
PMMA
voda
0,3
PA-66
ν
0,4
0,38
0,33
0,44
7.3 Vztah napětí-deformace pro všestranné stlačení vlivem hydrostatického
tlaku
Působení hydrostatického tlaku vyvolá všestranné stlačení tělesa, jak je schématicky
znázorněno na Obr. 7.6.
Obr. 7.6: Schematické znázornění deformace elementu vlivem všestranného stlačení
(působením hydrostatického tlaku)
Normálová napětí vyvolaná v jednotlivých směrech mají stejnou hodnotu:
σ
11
=σ
22
=σ
33
= − P (7.35)
Vzniklé normálové deformace mají zápornou hodnotu:
ε 11 = ε 22 = ε 33 > 0
(7.36)
Spojením vyjádření hydrostatického (negativního) tlaku:
(σ 11 + σ
22
+σ
33
) /3 =
−P
(7.37)
a vyjádření objemové změny:
∆ V / V = 3ε
(7.38)
získáme Hookův zákon ve tvaru:
P = − K ( ∆ V /V )
(7.39)
kde K je objemový modul pružnosti.
7.4 Vztah napětí-deformace pro smykové namáhání
Obr. 7.7 Schematické vyjádření smykového namáhání
Smyková síla působící na element vyvolá napětí:
σ
21
=τ
(7.40)
a deformaci: ε 21 = ( ∂ u 2 / ∂ x1 + ∂ u1 / ∂ x2 ) = tg α = γ (7.41)
Vztah mezi smykovým napětím a smykovou deformací vyjadřuje Hookův zákon ve tvaru:
τ = Gγ
(7.42)
kde G je modul pružnosti ve smyku.
7.5 Vztahy mezi moduly
Charakteristické elastické konstanty materiálu jsou Youngův modul pružnosti v tahu E,
smykový modul pružnosti G, objemový modul pružnosti K a Poissonův poměr ν. Při znalosti
hodnoty jednoho modulu a Poissonova poměru lze další moduly vypočítat, protože mezi nimi
existuje vzájemný vztah. K plné definici lineárního elastického deformačního chování
izotropního tělesa při dané teplotě tedy stačí znát hodnoty dvou charakteristických konstant ze
čtyř.
7.5.1 Vztah mezi modulem pružnosti v tahu E a modulem objemové pružnosti K
Pro vyjádření vztahu mezi modulem pružnosti v tahu E a modulem objemové pružnosti
K budeme kombinovat deformaci způsobenou tahem a všestranným stlačením.
Při všestranném stlačení jsou normálové složky napětí všechny stejně velké a vyrovnávající
působení všestranného tlaku P.
Například složka napětí σ11 vyvolá deformace v jednotlivých směrech:
ε 11 = σ
11
/ E = − P / E (7.43)
ε 22 = ε 33 = − σ 11ν / E = Pν / E
(7.44)
Deformace vzniklé účinkem dalších složek napětí (σ22, σ33) jsou stejné.
Zavedením předpokladu malých deformací platí:
∆ V / V = ε 11 + ε 22 + ε 33 = 3( − P / E + 2 Pν / E ) = − 3P / E (1 − 2ν
)
(7.45)
a spojením s vyjádřením Hookova zákona pro všestranné stlačení (7.39) získáme vztah mezi
modulem pružnosti v tahu a modulem objemové pružnosti:
E = 3K (1 − 2ν
)
(7.46)
7.5.2 Vztah mezi modulem pružnosti v tahu E a modulem pružnosti ve smyku G
Pro vyjádření vztahu mezi modulem pružnosti v tahu E a modulem pružnosti ve smyku
G budeme kombinovat deformaci způsobenou tahem a smykem, jak je schématicky
znázorněno na Obr. 7.8. K tomuto účelu nám poslouží modelová situace, kdy na objemový
element o jednotkových rozměrech, do něhož je vepsán stejný element pootočený o úhel 45°,
působí normálová síla F, vyvolávající napětí σ11. Deformace, kterou vyvolá normálové napětí
je schematicky znázorněna na Obr. 7.8.
Obr. 7.8: Schématické vyjádření vztahu mezi moduly E a G
Deformaci elementu vyjádříme prostřednictvím deformace úhlu úhlopříčky elementu:
tg ( π / 4 − α / 2) =
1 + ε 22
= (1 + ε 22 )(1 − ε 11 ) = 1 − ε 11 + ε 22 = 1 − ε 11 − ν ε 11 = 1 − [ ε 11 (1 + ν
1 + ε 11
)]
(7.47)
pro malé deformace zároveň platí:
 π α  1 − tg (α / 2 ) 1 − (α / 2 )  α 
tg  −  =
=
=  1−  = 1− α = 1− γ
2
 4 2  1 + tg (α / 2 ) 1 + (α / 2 ) 
2
(7.48)
kde:
α – úhel zkosu vepsaného elementu
γ – smyková deformace.
Porovnáním (7.47) a (7.48) získáme vyjádření deformace:
γ = ε 11 (1 + ν
) (7.49)
Dosazením za smykovou a normálovou deformaci dle Hookova zákona (smykové napětí
působící na vepsaný element má poloviční hodnotu normálového napětí) pak získáme vztah
mezi moduly:
E = 2G (1 + ν
) (7.50)