Analytická geometrie

Analytická geometrie
Analytická geometrie
Obsah
8.
Analytická geometrie ................................................................................................... 1097
8.1.
Vektory .................................................................................................................. 1097
8.2.
Analytické vyjádření přímky ................................................................................. 1105
8.3.
Analytické vyjádření roviny .................................................................................. 1109
8.5.
Kuželosečky........................................................................................................... 1117
8.5.1
Kružnice ......................................................................................................... 1117
8.5.2
Vzájemná poloha přímky a kružnice .............................................................. 1123
8.5.3
Elipsa .............................................................................................................. 1133
8.5.4
Vzájemná poloha přímky a elipsy .................................................................. 1142
8.5.5
Parabola .......................................................................................................... 1149
8.5.6
Hyperbola ....................................................................................................... 1163
Stránka 1096
Analytická geometrie
8. Analytická geometrie
8.1. Vektory
1. Vypočítejte vzdálenost bodů:
a) A 4;1, B 7;5
c) A 2; 3, B  10;3
b) C 1;2, D 13;7
Řešení:
a)
AB 
b)
c)
d)
d) C 3; 2;6, D5; 1; 3
 b1  a1 
2
AB 
 7  4
  5  1  32  42  25  5
CD 
 d1  c1 
CD 
13  1
AB 
 b1  a1 
AB 
 10  2 
2
CD 
 d1  c1 
  d 2  c2    d3  c3 
CD 
 5  3
2
  b2  a2 
2
2
2
  d 2  c2 
2
  7  2   122  52  169  13
2
2
2
2
  b2  a2 
2
  3  3 
2
 8
2
 62  100  10
2
2
  1  2    3  6   22  12   9   85
2
2
2
2
2. Vypočítejte délku úsečky AB:
a) A 2;1;1, B  4;3;1
Řešení:
a)
AB 
b)
b) A6;1; 2 , B  4;0;2
 b1  a1 
2
AB 
 4  2
  3  1  0  62  22  40  2 10
AB 
 b1  a1    b2  a2    b3  a3 
AB 
 4  6    0  1   2  2 
2
  b2  a2    b3  c3 
2
2
2
2
2
2
2
2
 22  12  42  21
3. Vypočítejte souřadnice středu úsečky AB:
a) A 4;3, B 6;5
b) A 4;1 , B 1;3
2
c) A 2;1; 3, B  4;3;1
d) A 2; 4; 5 , B  6; 9; 11
Řešení:
a)
a  b a  b 
S AB  1 1 ; 2 2 
2 
 2
4  3 6  5
S AB 
;
2 
 2
S AB 5;4
Stránka 1097
Analytická geometrie
a b a b 
S AB  1 1 ; 2 2 
2 
 2
 4  1 1  3 
S AB 
;
2 
 2
 3 
S AB   ; 2 
 2 
c)
a  b a  b a  b 
S AB  1 1 ; 2 2 ; 3 3 
2
2 
 2
b)
 2  4 3  1 3  1 
S AB 
;
;
2
2 
 2
S AB  1;2; 1
d)
a b a b a b 
S AB  1 1 ; 2 2 ; 3 3 
2
2 
 2
 2  6 4  9 5  11 
S AB 
;
;
2
2 
 2
13


S AB  4;  ; 8
2


4. Vypočítejte souřadnice vektoru u , který je určen počátečním bodem A a koncovým
bodem B, jestliže:
a) A3;1, B 1;4
b) A 1; 5;3, B  2; 1;1
Řešení:
a) u  B  A   b1  a1; b2  a2 
u  1  3;4  1
u   2;3
b) u  B  A   b1  a1; b2  a2 ; b3  a3 
u   2  1; 1  5;1  3
u   3;4; 2 
5. Vypočítejte souřadnice vektoru v , který je určen počátečním bodem C a koncovým
bodem D, jestliže:
a) C  2;1 , D  4; 2
b) C  1;3; 4, D 3;1; 4
Řešení:
a) v  D  C   d1  c1; d 2  c2 
v   4  2; 2  1
v   6; 3
Stránka 1098
Analytická geometrie
b) v  D  C   d1  c1; d 2  c2 ; d3  c3 
v   3  1;1  3; 4  4 
v   2; 2;0 
6. Vypočítejte velikost vektoru u , jestliže:
a) u   5; 12 
b) u   8;6 
c) u   2; 1;3
d) u  12; 3;4 
Řešení:
a) u  u 2  u 2
1
2
u 
 5
2
  12   25  144  169  13
2
u  13
b) u  u 2  u 2
1
2
u 
 8
2
 62  64  36  100  10
u  10
c) u  u 2  u 2  u 2
1
2
3
u  22   1  32  4  1  9  14
2
u  14
d) u  u 2  u 2  u 2
1
2
3
u  122   3  42  144  9  16  169  13
2
u  13
7. Je dán vektor u a bod A , který je počátečním bodem tohoto vektoru. Vypočítejte
souřadnice koncového bodu B vektoru u , jestliže:
a) u   3;1 , A 4; 1
c) u   2; 3;1 , A 4;3; 2
b) u   5;2  , A 4; 1
d) u   3;4; 1 , C 8; 1;0
Řešení:
a) u  B  A  B  A  u
B  4   3 ; 1  1
B 1;0
b) u  B  A  B  A  u
B  4  5; 1  2
B 1;1
Stránka 1099
Analytická geometrie
c) u  B  A  B  A  u
B  4  2;3   3 ; 2  1
B  6;0; 1
d) u  B  A  B  A  u
B 8   3 ; 1  4;0   1 
B 5;3; 1
8. Body A 1;2, B  4;1 určují vektor u . Určete koncový bod vektoru C, jestliže počátek
vektoru umístíme do počátku soustavy souřadnic.
Řešení:
u  B  A  C  O  u , C b1  a!; b2  a2 
u   5; 1
C 5; 1
9. Body A 3; 1;2, B 1;0;1 určují vektor u . Určete koncový bod vektoru C, jestliže
počátek vektoru umístíme do počátku soustavy souřadnic.
Řešení:
u  B  A  C  O  u , C b1  a!; b2  a2 ; b3  a3 
u   4; 1;1
C  4; 1;1
10. Jsou dány body K  2;1, L 0; 3, M 5; 2 . Určete souřadnice bodu X tak, aby
čtyřúhelník KLMX byl rovnoběžník.
Řešení:
LK MX
u  K  L   2; 4 
X  M u
X 5   2  ; 2  4 
X 3; 2
Stránka 1100
Analytická geometrie
11. Jsou dány body K  2;1, L 0; 3, M 5; 2 . Určete souřadnice bodu X tak, aby
čtyřúhelník KLXM byl rovnoběžník.
Řešení:
KL MX
u  L  K   2; 4 
X  M u
X 5  2; 2   4  
X  7; 6
12. Jsou dány body K  2;1, L 0; 3, M 5; 2 . Určete souřadnice bodu X tak, aby
čtyřúhelník KXLM byl rovnoběžník.
Řešení:
ML KX
u  L  M   5; 1
X  K u
X  2   5  ;1   1 
X  7;0
13. Jsou dány vektory u   3;4  , v   4; 2  . Vypočítejte vektor w  u  v .
Řešení: w  u  v   u1  v1; u2  v2    3  4;4  2    1;2 
14. Jsou dány vektory u   3;4  , v   4; 2  . Vypočítejte vektor w  u  v .
Řešení: w  u  v   u1  v1; u2  v2    3  4;4  2    7;6 
15. Jsou dány vektory u   3;4  , v   4; 2  . Vypočítejte vektor w  3u  v .
Řešení: w  3u  v   3u1  v1;3u2  v2    3  3  4;3  4  2    5;10 
16. Jsou dány vektory u   3;4  , v   4; 2  . Vypočítejte vektor w  2u  3v .
Řešení: w  2u  3v   2u1  3v1;2u2  3v2    2  3  3  4;2  4  3  2   18;14 
1
17. Jsou dány vektory u   3;4  , v   4; 2  . Vypočítejte vektor w  2u  v .
2
1
1
1  
1
1 

Řešení: w  2u  v   2u1  v1;2u2  v2    2  3   4;2  4   2    4;7 
2
2
2  
2
2 

Stránka 1101
Analytická geometrie
18. Jsou dány body A 2;0, B  2;1, C 6;2 . Zjistěte, zda body A, B, C leží v jedné přímce.
Řešení:
AB   4;1
AC   8; 2 
podmínka rovnoběžnosti vektorů: AB  k  AC
1
4  k 8  k 
2
1
1 k 2  k 
2
body A, B, C leží na jedné přímce
19. Jsou dány body A 2;4, B 1;2, C 10; 1 . Zjistěte, zda body A, B, C leží v jedné
přímce.
Řešení:
AB   3; 2 
AC  12; 5 
podmínka rovnoběžnosti vektorů: AB  k  AC
1
3  k 12  k 
4
2
2  k   5   k 
5
body A, B, C neleží na jedné přímce
20. Jsou dány body A3;2;1, B 6;5; 4, C 2;3;4 . Dokažte, že tyto body tvoří trojúhelník.
Řešení:
u  B  A   3;3; 5 
v  C  A   1;1;3
podmínka rovnoběžnosti vektorů: AB  k  AC
3  k   1  k  3
3k k 3
5
3
body A, B, C neleží na jedné přímce  body A, B, C tvoří trojúhelník
5  k  3  k  
Stránka 1102
Analytická geometrie
21. Jsou dány body
trojúhelník.
A3;2;1, B 5;6; 4, C 7;10; 2 . Dokažte, že tyto body tvoří
Řešení:
u  B  A   2;4; 5 
v  C  A   4;8; 10 
podmínka rovnoběžnosti vektorů: AB  k  AC
1
2  k 4 k 
2
1
4  k 8 k 
2
1
5  k   10  k 
2
body A, B, C leží na jedné přímce  body A, B, C netvoří trojúhelník
22. Dokažte, že vektory u a v jsou navzájem kolmé, jestliže:
 3 
d) u   2;1; 3 , v   3;0; 2
a) u   4;2  , v    ;3 
 2 
e) u  3  1; 2 , v  3  1;  2
1

b) u   3;   , v  1; 6 
2

c) u  1; 3;4  , v   5; 1;2 




Řešení:
a) u  v  u1v1  u2v2
 3
u  v  4      2  3  6  6  0
 2
u v
b) u  v  u1v1  u2v2
 1
u  v  3  1       6   3  3  0
 2
u v
c) u  v  u1v1  u2v2  u3v5
u  v  1  5   3   1  4  2  5  3  8  16
vektory u a v nejsou navzájem kolmé
d) u  v  u1v1  u2v2  u3v5
u  v   2   3  1  0   3   2   6  0  6  0
u  v
e) u  v  u1v1  u2v2
u v 


3 1



3 1  2   2  3 1 2  0
u v
Stránka 1103
Analytická geometrie
23. Jsou dány vektory u a v Vypočítejte vektorový součin w  u  v , jestliže:
a) u   3;1;2  , v   2;4;1
d) u  1;0;0  , v   0;1;0 
b) u   3;1;0  , v   2;0;1
e) u  1;2  , v   3;4 
c) u   3; 1;2  , v   6; 2;4 
f) u   2;1 , v   3; 2 
Řešení:
a) w  u  v   u2v3  u3v2 ; u3v1  u1v3 ; u1v2  u2v1 
w  1  8;4  3;12  2    7;1;10 
b) w  u  v   u2v3  u3v2 ; u3v1  u1v3 ; u1v2  u2v1 
w  1  0;0  3;0  2   1; 3; 2 
c) w  u  v   u2v3  u3v2 ; u3v1  u1v3 ; u1v2  u2v1 
w   4  4;12  12; 6  6    0;0;0 
d) w  u  v   u2v3  u3v2 ; u3v1  u1v3 ; u1v2  u2v1 
w   0;0;0  1   0;0; 1
e) w  u  v   u2v3  u3v2 ; u3v1  u1v3 ; u1v2  u2v1 
u  1;2   1;2;0  , v   3;4    3;4;0 
w   0;0;4  6    0;0; 2 
f) w  u  v   u2v3  u3v2 ; u3v1  u1v3 ; u1v2  u2v1 
u   2;1   2;1;0  , v   3; 2    3; 2;0 
w   0;0;4  3   0;0;1
24. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže:
a) A5;1;0, B 3;5;0, C 6;4;5
c) A 2;1, B 0; 3, C 5; 2
b) A1; 1;2, B  3;2;1, C 2;0;3
Řešení:
a) u  B  A   2; 4;0  
1
1
2
202  102   10  
 S  u  v  u  v   20;10; 10   S 
2
2
v  C  A  1;3;5  


1
10 6
600 
5 6
2
2
b) u  B  A   4;3; 1 
1
1 2 2
2

4  3   7  
  S  u  v  u  v   4;3; 7   S 
2
2
v  C  A  1;1;1



1
74
74 
2
2
c) u  B  A   2; 4;0  
1
1
1

222   22  11
  S  u  v  u  v   0;0; 22   S 
2
2
2
v  C  A   7; 3;0  

Stránka 1104
Analytická geometrie
8.2. Analytické vyjádření přímky
1. Napište parametrické vyjádření přímky, která je dána bodem A a směrovým vektorem u ,
jestliže:
a) A 2;3 , u   2; 1
c) A 3;2; 1 , u  1;2; 1
b) A 3;1 , u   3; 2 
Řešení:
a) X  A  tu ,
x  2  2t
y  3t
b) X  A  tu ,
x  3  3t ,
y  1  2t
c) X  A  tu ,
d) A 4;1; 1 , u   3; 5; 3
tR
tR
tR
tR
x  3  t , t  R
y  2  2t
z  1  t
d) X  A  tu , t  R
x  4  3t , t  R
y  1  5t
z  1  3t
2. Napište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem A a její směrový vektor je u ,
jestliže:
a) A 3;1 , u  1;5
b) A 4; 3 , u   2; 3
Řešení:
a) p : ax  by  c  0
n   a; b 
u  1;5   n   5; 1
p:
5x  y  c  0
A  p : 5   3  1  c  0
c  16
p : 5 x  y  16  0
Stránka 1105
Analytická geometrie
b) p : ax  by  c  0
n   a; b 
u   2; 3  n   3; 2 
p:
3x  2 y  c  0
A  p : 3  4   2  3  c  0
c  18
p : 3 x  2 y  18  0
3. Jsou dány body A 2; 1, B  4;3 .Napište parametrické vyjádření rovnice, obecnou
rovnici, směrnicový a úsekový tvar rovnice přímky p, která prochází těmito body.
Řešení:
parametrické vyjádření rovnice přímky
obecná rovnice přímky
u  B  A  1;5 
p : ax  by  c  0, n   a; b 
p : X  A  tu , t  R
p : x  2  t, t  R
u  1;5   n   5; 1
y  1  5t
5x  y  c  0
A  p : 5  2   1 1  c  0
c  11
směrnicový tvar rovnice přímky
a
c
p : y  kx  q, n   a; b  , k   , q  
b
b
p : 5 x  y  11  0
p : y  5 x  11
p : 5 x  y  11  0
úsekový tvar rovnice přímky
x y
p :  1
r q
p : 5 x  y  11  0
5 x  y  11 /:11
5
1
x  y 1
11 11
x
y

1
11  11
5
4. Jsou dány body A 3; 4, B 6;2 . Napište parametrické vyjádření rovnice, obecnou
rovnici, směrnicový a úsekový tvar rovnice přímky p, která prochází těmito body.
Řešení:
parametrické vyjádření rovnice přímky
obecná rovnice přímky
u  B  A   9;6   u /   3; 2 
p : ax  by  c  0, n   a; b 
p : X  A  tu / , t  R
p : x  3  3t , t  R
y  4  2t
u /   3; 2   n   2; 3
2x  3y  c  0
A  p : 2   3  3   4   c  0
c  6
p : 2x  3y  6  0
Stránka 1106
Analytická geometrie
směrnicový tvar rovnice přímky
úsekový tvar rovnice přímky
a
c
p : y  kx  q, n   a; b  , k   , q  
b
b
p : 2x  3y  6  0
2
p: y  x2
3
x y
p :  1
r q
p : 2x  3y  6  0
2 x  3 y  6 /:6
1
1
x  y 1
3
2
x
y

1
3  2 
5. Je dán trojúhelník ABC, A1; 1, B 7;5, C 9; 3 . Napište obecnou rovnici výšky vc.
Řešení:
nvc  B  A   8; 2   n /   4; 1
vc : 4 x  y  c  0
C  vc : 4  7  5  c  0
c  23
vc : 4 x  y  23  0
6. Je dán trojúhelník ABC, A1; 1, B 7;5, C 9; 3 . Napište obecnou rovnici výšky vb.
Řešení:
nvb  C  A   6;6   n /  1;1
vb : x  y  c  0
B  vb : 9  3  c  0
c  6
vb : x  y  6  0
7. Je dán trojúhelník ABC, A1; 1, B 7;5, C 9; 3 . Napište obecnou rovnici výšky va.
Řešení:
nva  C  B   2;8   n /   1; 4 
va :  x  4 y  c  0
A  vb : 1  4  c  0
c5
va :  x  4 y  5  0
Stránka 1107
Analytická geometrie
8. Je dán trojúhelník ABC, A1; 1, B 7;5, C 9; 3 . Napište obecnou rovnici těžnice tc.
Řešení:
S AB 5; 2
utc  C  S AB   2;7   ntc   7; 2 
tc : 7 x  2 y  c  0
C  tc : 7  7  2  5  c  0
c  39
tc : 7 x  2 y  39  0
9. Je dán trojúhelník ABC, A1; 1, B 7;5, C 9; 3 . Napište obecnou rovnici těžnice tb.
Řešení:
S AC  4; 2
utb  B  S AC   5; 5   ntb   5;5   nt/b  1;1
tb : x  y  c  0
B  tb : 9  3  c  0
c  6
tb : x  y  6  0
10. Je dán trojúhelník ABC, A1; 1, B 7;5, C 9; 3 . Napište obecnou rovnici těžnice ta.
Řešení:
S BC 8;1
uta  A  S BC   7; 2   ntb   2; 7 
ta : 2 x  7 y  c  0
A  ta : 2  7  c  0
c  9
ta : 2 x  7 y  9  0
Stránka 1108
Analytická geometrie
8.3. Analytické vyjádření roviny
1. Napište obecnou rovnici roviny ABC, jestliže:
a) A 1; 1; 1 , B  5; 1;3 , C  2;0; 2
b) A1;2;3, B  1;1; 2, C 1;1;0
c) A 1;2;3, B 0; 1;2, C  2;3;8
d) A 2;3;1, B 0;1;0, C  1;2; 1
e) A 2;3;1, B 0;1;0, C  4;5;2
Řešení:
a)  : ax  by  cz  d  0; n   a; b; c 
u  B  A   4;0;4   u /   1;0;1
v  C  A   1;1; 1
n  u /  v   u2 / v3  u3 / v2 ; u3 / v1  u1/ v3 ; u1/ v2  u2 / v1 
n   1; 2; 1
 : x  2 y  y  d  0
A   :1  2  1  d  0
d  4
 x  2y  y  4  0
 : x  2y  z  4  0
b)  : ax  by  cz  d  0; n   a; b; c 
u  B  A   2; 1; 5 
v  C  A   0; 1; 3
n  u  v   u2v3  u3v2 ; u3v1  u1v3 ; u1v2  u2v1 
n   2; 6;2   n /  1;3; 1
 : x  3y  y  d  0
A   :1  6  3  d  0
d  4
 : x  3y  z  4  0
Stránka 1109
Analytická geometrie
c)  : ax  by  cz  d  0; n   a; b; c 
u  B  A  1; 3; 1
v  C  A   1;1; 5 
n  u  v   u2v3  u3v2 ; u3v1  u1v3 ; u1v2  u2v1 
n  16; 4; 8   n /   4; 1; 2 
 : 4x  y  2z  d  0
A   : 4  2  6  d  0
d  12
 : 4 x  y  2 z  12  0
d)  : ax  by  cz  d  0; n   a; b; c 
u  B  A   2; 2; 1
v  C  A   3; 1; 2 
n  u  v   u2v3  u3v2 ; u3v1  u1v3 ; u1v2  u2v1 
n   3; 1; 2 
 : 3x  y  2 z  d  0
A  : 6  3  2  d  0
d  1
 : 3x  y  2 z  1  0
e)  : ax  bz  cz  d  0; n   a; b; c 
u  B  A   2; 2; 1
v  C  A   2;2;1
n  u  v   u2v3  u3v2 ; u3v1  u1v3 ; u1v2  u2v1 
n   0;0;0 
Body leží na jedné přímce a neurčují tak jednoznačně rovinu.
u   1 v  u v
2. Napište obecnou rovnici roviny  , jestliže:
 : x  1  3t  2s; t , s  R
a)
y  2  t  2s
z  3  t  3s
 : x  3  t  3s; t , s  R
b)
y  2  2t  s
z  2t  s
Řešení:
a)  : X  A  t  u  s  v ; t , s  R
 : ax  by  cz  d  0; n   a; b; c 
A 1; 2; 3
u   3; 1;1 
  n  u  v   u2v3  u3v2 ; u3v1  u1v3 ; u1v2  u2v1   n   5; 7;8 
v   2; 2; 3 
Stránka 1110
Analytická geometrie
 : 5x  7 y  8z  d  0
A   : 5  14  24  d  0
d 5
 : 5x  7 y  8z  5  0
b)  : X  A  t  u  s  v ; t , s  R
 : ax  by  cz  d  0; n   a; b; c 
A 3; 2; 2
u  1; 2; 1 
  n  u  v   u2v3  u3v2 ; u3v1  u1v3 ; u1v2  u2v1   n  1; 4; 7 
v   3; 1;1 
 : x  4 y  7z  d  0
A   : 3  8  14  d  0
d 3
 : x  4 y  7z  3  0
3. Určete vzájemnou polohu dvou rovin, jestliže:
 : x  2 y  3z  6  0
 : 2 x  y  3z  6  0
a)
c)
 : 3x  2 y  z  2  0
 : 4 x  2 y  6 z  12  0
 : x  2 y  3z  6  0
b)
 : 3x  6 y  9 z  20  0
Řešení:
a) n  1; 2; 3
n   3; 2; 1
normálové vektory rovin nejsou lineárně závislé, tzn roviny jsou různoběžné,
vypočítáme parametrické vyjádření průsečnice
x  2 y  3z  6  0
3x  2 y  z  2  0
z t
x  2 y  3t  6  0
/   3 
3x  2 y  t  2  0
 4 y  8t  16  0
y  4  2t
x  2  4  2t   3t  6  0
x  8  4t  3t  6  0
x  2t
   : x  2  t; t  R
y  4  2t
z t
Stránka 1111
Analytická geometrie
b) n  1; 2; 3
n   3;6; 9 
n  3  n
normálové vektory rovin jsou lineárně závislé, tzn roviny jsou totožné
nebo rovnoběžné různé. Určíme množinu společných bodů.
x  2 y  3z  6  0
/   -3 
3x  6 y  9 z  20  0
20
Roviny nemají společné body, jsou tedy rovnoběžné různé.
c)  : 2 x  y  3 z  6  0
 : 4 x  2 y  6 z  12  0
n   2;1; 3
n   4; 2; 6 
n  2  n
normálové vektory rovin jsou lineárně závislé, tzn roviny jsou totožné
nebo rovnoběžné různé. Určíme množinu společných bodů.
2 x  y  3z  6  0
/   -2 
4 x  2 y  6 z  12  0
0=0
Roviny mají nekonečně mnoho společných bodů, jsou tedy totožné.
4. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A a je kolmá k přímce p , jestliže:
a) A12; 3;1 , p : t , 2  3t , 1  t ; t  R
b) A 3;5; 1 , p   2  t; 3  2t;  3t ; t  R
Řešení:
a) A12; 3;1
p : x  t;
tR
y  2  3t
z 1 t
u p  1;3; 1
 p      u p  n 
 : x  3y  z  d  0
A   :12  3   3  1  d  0
d  2
 : x  3y  z  2  0
Stránka 1112
Analytická geometrie
b) A 3;5; 1
p   2  t ;3  2t ; 3t ; t  R
u p  1; 2; 3
 p      u p  n 
 : x  2 y  3z  d  0
A   : 3  2  5  3   1  d  0
d  10
 : x  2 y  3 z  10  0
5. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A 2;8; 3 a je kolmá k vektoru
n  1;2;1 .
Řešení:
A 2;8; 3
n  1;2;1
n  n
 : x  2y  z  d  0
A   : 2  2  8  3  d  0
d  11
 : x  2 y  z  11  0
6. Napište obecnou rovnici roviny, která je určena bodem
p : t , 2  3t , 1  t ; t  R .
A1;2;3 a přímkou
Řešení:
A 1; 2;3
p : x  t;
tR
y  2  3t
z  1 t
B  p; B  0; 2;1
u  1; 3;1
v  B  A   1;0; 2 
n  u  v   u2v3  u3v2 ; u3v1  u1v3 ; u1v2  u2v1 
n   6;1; 3
 : 6 x  y  3z  d  0
A  : 6  2  33  d  0
d  1
 : 6 x  y  3z 1  0
Stránka 1113
Analytická geometrie
7. Napište obecnou rovnici roviny, která je určena bodem
p   2  2t; 1  t;  2  3t ; t  R .
A1; 1; 3 a přímkou
Řešení:
A 1; 1; 3
p   2  2t ; 1  t;  2  3t  ; t  R
B  p; B  2;1; 2
u   2; 1;3

  n  u  v   u2v3  u3v2 ; u3v1  u1v3 ; u1v2  u2v1   n   7;5; 3
v  B  A  1; 2;1 
 : 7 x  5 y  3z  d  0
A   : 7  5  3   3  d  0
d 3
 : 7 x  5 y  3z  3  0
8. Určete vzájemnou polohu přímky p a roviny  , jestliže:
a)
p :  2  t , 3  4t , 3t ; t  R ,  : x  4 y  5z  6  0
b) p : 3  2t ,  1  t , 1  3t ; t  R ,  : 3x  3 y  z  13  0
c)
p :  4  t , 3  2t , 8  3t ; t  R ,  : 2 x  y  7 z  3  0
d) p : 1  6t ,  4, 1  2t ; t  R ,  : x  2 y  3z  4  0
e)
p :  2  t , 3t , 3  4t ; t  R ,  : x  5 y  4 z  6  0
Řešení:
a)  : x  4 y  5 z  6  0
p : x  2  t; t  R
y  3  4t
z  3t
  p : 2  t  4  3  4t   5  3t  6  0
2  t  12  16t  15t  6  0
 16  2t
t  8
přímka je různoběžná s rovinou, mají jeden společný bod P
P  p : x  2   8   10
y  3  4   8   29
z  3   8   24
p    P 10; 29; 24
Stránka 1114
Analytická geometrie
b)  : 3 x  3 y  z  13  0
p : x  3  2t ; t  R
y  1  t
z  1  3t
  p : 3  3  2t   3  1  t   1  3t  13  0
9  6t  3  3t  1  3t  13  0
00
rovnice má nekonečně mnoho řešení,
přímka má s rovinou nekonečně mnoho společných bodů
přímka leží v rovině
p
c)  : 2 x  y  7 z  3  0
p : x  4  t; t  R
y  3  2t
z  8  3t
  p : 2  4  t   3  2t  7 8  3t   3  0
8  2t  3  2t  56  21t  3  0
21t  42
t 2
rovnice má jedno řešení,
přímka je různoběžná s rovinou, mají jeden společný bod P
P p: x  42  2
y  3 22  7
z  8  32  2
p    P  2;7; 2
d)  : x  2 y  3z  4  0
p : x  1  6t ; t  R
y  4
z  1  2t
  p :1  6t  2   4   3  1  2t   4  0
1+6t  8  3  6t  4  0
00
rovnice má nekonečně mnoho řešení,
přímka má s rovinou nekonečně mnoho společných bodů
přímka leží v rovině
p
Stránka 1115
Analytická geometrie
e)  : x  5 y  4 z  6  0
p : x  2  t; t  R
y  3t
z  3  4t
  p : 2  t  5  3t  4  3  4t   6  0
2  t  15t  12  16t  6  0
80
rovnice nemá řešení,
přímka nemá s rovinou společné body,
jsou rovnoběžné různé
p 
p 
Stránka 1116
Analytická geometrie
8.5. Kuželosečky
8.5.1 Kružnice
1. Napište středovou a obecnou rovnici kružnice k  S ; r  , jestliže:
a) S 1; 3 , r  3
b) S  2;1 , r  4
Řešení:
a) S  m; n  , r
k :  x  m   y  n  r 2
2
2
S 1; 3 , r  3
k :  x  1   y  3  9
2
2
x2  2x  1  y 2  6 y  9  9  0
k : x2  y 2  2x  6 y  1  0
b) S  m; n  , r
k :  x  m   y  n  r 2
2
2
S  2;1 , r  4
k :  x  2    y  1  16
2
2
x 2  4 x  4  y 2  2 y  1  16  0
k : x2  y 2  4x  2 y  9  0
2. Určete střed a poloměr kružnice k , jestliže:
a) k : x2  y 2  4 x  8 y  15  0
b) k : x2  y 2  6 x  5  0
c) k : x2  y 2  6 x  12 y  6  0
d) k : x2  y 2  4 x  2 y  12  0
Řešení:
a) k :  x  m 2   y  n 2  r 2
S  m; n  , r
k : x 2  y 2  4 x  8 y  15  0
x 2  4 x  y 2  8 y  15  0
x
2
 4 x  4   4   y 2  8 y  16   16  15  0
 x  2   y  4
S  2; 4 , r  5
2
2
5
Stránka 1117
Analytická geometrie
b) k :  x  m 2   y  n 2  r 2
S  m; n  , r
k : x2  y 2  6x  5  0
x2  6x  y 2  5  0
x
2
 6x  9  9  y2  5  0
 x  3  y 2  4
S  3;0 , r  2
2
2
k :  x  m   y  n  r 2
S  m; n  , r
2
c)
k : x 2  y 2  6 x  12 y  6  0
x 2  6 x  y 2  12 y  6  0
 2
6
6 6 
12
12  12
x      y 2  2 
y     6  0
 x  2 
2
4 4 
2
4 4


 x 


S 

2
6
42
  y  3 
2 
4



6
42
; 3 , r 
2
2

d) k :  x  m 2   y  n 2  r 2
S  m; n  , r
k : x 2  y 2  4 x  2 y  12  0
x 2  4 x  y 2  2 y  12  0
x
2
 4 x  4   4   y 2  2 y  1  1  12  0
 x  2    y  1
2
2
 7
r 2  7
nejedná se o rovnici kružnice
3. Napište středový tvar rovnice kružnice, jejímž průměrem je úsečka AB, jestliže:
a) A0;1 , B  4;3
b) A 3;2, B 1;6
Stránka 1118
Analytická geometrie
Řešení:
a) A  0;1 , B  4;3


 a1  b1 a2  b2    S  2; 2
S
;
2  
 2
r  SA  22   1  5
2
k :  x  2   y  2  5
2
2
b) A  3; 2 , B 1;6


 a1  b1 a2  b2    S  1; 4
S
;
2  
 2
 2    2 
2
2
k :  x  1   y  4   8
r  SA 
2
 8
2
4. Napište středový tvar rovnice kružnice opsané trojúhelníku ABC, jestliže:
a) A1; 3, B  2;0, C  1;1
b) A5; 5, B  4;2, C  3;1
Řešení:
a) A 1; 3 , B  2;0 , C  1;1
k :  x  m   y  n  r 2
2
2
A  k : 1  m    3  n   r 2
2
2
B  k :  2  m   n2
 r2
2
C  k :  1  m   1  n   r 2
2
2
1  2m  m 2  9  6n  n 2  r 2
4  4m  m 2
 n2  r 2
1  2m  m 2  1  2n  n 2  r 2
m 2  n 2  2m  6n  r 2  10  
 
m 2  n 2  4m
 r 2  4   

m 2  n 2  2m  2n  r 2  2

2m  6n  6
2 

4m  8n  8 
32n  32  n  1 
2

2m  6  6  m  0   k : x 2   y  1  5
1  6  r 2  10  r 2  5
Stránka 1119
Analytická geometrie
b) A 5; 5 , B  4; 2 , C  3;1
k :  x  m   y  n  r 2
2
2
A  k :  5  m    5  n   r 2
2
2
B  k :  4  m  2  n  r 2
2
2
C  k :  3  m   1  n   r 2
2
2
25  10m  m 2  25  10n  n 2  r 2
16  8m  m 2  4  4n  n 2  r 2
9  6m  m 2  1  2n  n 2  r 2
m 2  n 2  10m  10n  r 2  50  
 
m 2  n 2  8m  4n  r 2  20   

m 2  n 2  6m  2n  r 2  10

2m  14n  30
8 

16m  12n  40 

2
2

  k :  x  1   y  2   5
1  4  10  20  r 2  50  r 2  5
100n  200  n  2
2m  28  30  m  1
5. Napište rovnici kružnice, která se osy x dotýká v bodě A 6;0 a osu y protíná v bodě
B 0; 8 .
Řešení:
Osa x je tečnou ke kružnici, proto bude střed kružnice S  6; n 
A  k :  6  6  0  n  r 2
2
2
B  k :  0  6    8  n   r 2
2
2
36  64  16n  n 2  n 2
100
25
16n  100  n  

16
4
625
r 2  n2 
16
2
25  625

k :  x  6   y   
4 
16

2
Stránka 1120
Analytická geometrie
6. Napište rovnici kružnice, která se osy y dotýká v bodě A 0;3 a osu x protíná v bodě
B  4;0 .
Řešení:
Osa y je tečnou ke kružnici, proto bude střed kružnice S  m;3
A  k :  0  m    3  3  r 2
2
2
B  k :  4  m    0  3  r 2
2
2
16  8m  m 2  9  m 2
25  8m  m 
r 2  n2 
625
64
25 
2
25 
625
2

8 
  k :  x     y  3 
8 
64



7. Napište rovnici kružnice, která prochází body M  2; 3, N  4; 1 a dotýká se osy y.
Řešení:
M  2; 3 , N  4; 1 , L  0;n 
M  k :  2  m    3  n   r 2
2
2
N  k :  4  m    1  n   r 2
2
2
L  k : 0  m  n  n  r 2
2
2
4  4m  m 2  9  6n  n 2  r 2
16  8m  m 2  1  2n  n 2  r 2
m2  r2
m 2  n 2  r 2  4m  6n  13  0  
 
m 2  n 2  r 2  8m  2n  17  0   

m2
 r2
0 
4m  4n  4  0
 n 1 m
n 2  4m  6n  13  0
1  m 
2
 4m  6 1  m   13  0
1  2m  m 2  4m  6  6m  13  0
m 2  12m  20  0
m1,2 
12  144  80
 64
2
m1  10, n1  1  10  9, r12  100  k1 :  x  10    y  9   100
2
2
m2  2, n2  1  2  1, r2 2  4  k2 :  x  2    y  1  4
2
2
Stránka 1121
Analytická geometrie
8. Napište rovnici kružnice, která prochází body M 3; 2, N 1; 4 a dotýká se osy x.
Řešení:
M 3; 2 , N 1; 4  , L  m;0 
M  k :  3  m    2  n   r 2
2
2
N  k : 1  m    4  n   r 2
2
2
L  k : m  m  0  n  r 2
2
2
9  6m  m 2  4  4n  n 2  r 2
1  2m  m 2  16  8n  n 2  r 2
n2  r 2
m 2  n 2  r 2  6m  4n  13  0  
 
m 2  n 2  r 2  2m  8n  17  0   

n2  r 2
0 
4m  4n  4  0
 m  1  n
m 2  6m  4n  13  0
 1  n 
2
 6  1  n   4n  13  0
1  2n  n 2  6  6n  4n  13  0
n 2  12n  20  0
12  144  80
 6  4
2
n1  2, m1  1  2  1, r12  4
n1,2 
n2  10, m 2  1  10  9, r2 2  100
k1 :  x  1   y  2   4
2
2
k2 :  x  9    y  10   100
2
2
9. Napište rovnici kružnice, která je obrazem kružnice l :  x  3   y  2   16 ve středové
2
2
souměrnosti podle bodu S 3; 5 .
Řešení:
S je střed úsečky Sk Sl , kde S 3; 5 a Sl  3; 2
 sl  sk1 sl2  sk2 
S 1
;

2
2 

Sk  2s1  sl1 ; 2s2  sl 2   S k 6   3 ; 10  2   S k 9; 12
k :  x  9    y  12   16
2
2
Stránka 1122
Analytická geometrie
8.5.2 Vzájemná poloha přímky a kružnice
1. Určete vzájemnou polohu kružnice k : x 2  y 2  25 a přímky p : x  y  1  0 .
Řešení:
k : x 2  y 2  25
2

2
  k  p : x   x  1  25
p : x  y  1  0  y    x  1 
x 2  x 2  2 x  1  25  0
2 x 2  2 x  24  0
x 2  x  12  0
D  b 2  4ac
D  1  4 1   12   49  0
přímka p je sečnou kružnice k
b  D 1  47

2a
2
x1  3  y1    3  1  4
x1,2 
x2  4  y2    4  1  3
P1 3; 4 , P2  4;3
2. Určete vzájemnou polohu kružnice k : x 2  y 2  25 a přímky p : 7 x  y  25  0 .
Řešení:

k : x 2  y 2  25
2
2
  k  p : x   25  7 x   25
p : 7 x  y  25  0  y  25  7 x 
x 2  625  350 x  49 x 2  25  0
50 x 2  350 x  600  0
x 2  7 x  12  0
D  b 2  4ac
D  49  4 1 12  1  0
přímka p je sečnou kružnice k
b  D 7  1

2a
2
x1  4  y1  25  28  3
x1,2 
x2  3  y2  25  21  4
P1  4; 3 , P2 3; 4
Stránka 1123
Analytická geometrie
3. Určete vzájemnou polohu kružnice k : x 2  y 2  25 a přímky p : x  7 y  25  0 .
Řešení:

k : x 2  y 2  25
2
2
  k  p :  25  7 y   y  25
p : x  7 y  25  0  x  25  7 y 
625  350 y  49 y 2  y 2  25  0
50 y 2  350 y  600  0
y 2  7 y  12  0
D  b 2  4ac
D  49  4 1 12  1  0
přímka p je sečnou kružnice k
b  D 7  1

2a
2
y1  3  x1  25  7   3  4
y1,2 
y2  4  x2  25  28  3
P1  4; 3 , P2  3; 4
4. Určete vzájemnou polohu kružnice k :  x  3   y  2   25 a přímky p : x  7 y  14  0 .
2
2
Řešení:
k :  x  3   y  2   25

2
2
  k  p :  7 y  14  3   y  2   25
p : x  7 y  14  0  x  7 y  14 
2
2
 7 y  11   y  2 
2
2
 25  0
49 y 2  154 y  121  y 2  4 y  4  25  0
50 y 2  150 y  100  0
y2  3y  2  0
D  b 2  4ac
D  9  4 1  2  1  0
přímka p je sečnou kružnice k
b  D 3  1

2a
2
y1  1  x1  7   1  14  7
y1,2 
y2  2  x2  7   2   14  0
P1  7; 1 , P2  0; 2
Stránka 1124
Analytická geometrie
5. Určete vzájemnou polohu kružnice k :  x  3   y  2   25 a přímky q : x  y  2  0 .
2
2
Řešení:
2
2
k :  x  3   y  2   25 
2
2
  k  q :  y  2  3   y  2   25
q : x  y  2  0  x  y  2 
 y  1   y  2 
2
2
 25  0
y 2  2 y  1  y 2  4 y  4  25  0
2 y 2  6 y  20  0
y 2  3 y  10  0
D  b 2  4ac
D  9  4 1   10   49  0
přímka q je sečnou kružnice k
b  D 3  7

2a
2
y1  5  x1  5  2  7
y1,2 
y2  2  x2  2  2  0
P1  7;5 , P2  0; 2
6. Určete vzájemnou polohu kružnice k :  x  3   y  2   25 a přímky r : 3x  4 y 1  0 .
2
2
Řešení:
k :  x  3   y  2   25

2
2

 4 y 1 
4 y  1   k  r :  3  3    y  2   25


r : 3x  4 y  1  0  x 

3 
16 y 2  8 y  1
 8 y  2  9  y 2  4 y  4  25  0
9
2
16 y  8 y  1  72 y  18  81  9 y 2  36 y  36  225  0
2
2
25 y 2  100 y  125  0
y2  4 y  5  0
D  b 2  4ac
D  16  4 1  5   36  0
přímka r je sečnou kružnice k
b  D 4  6

2a
2
4 5 1
y1  5  x1 
7
3
4   1  1
y2  1  x2 
 1
3
P1  7;5 , P2  1; 1
y1,2 
Stránka 1125
Analytická geometrie
7. Určete vzájemnou polohu kružnice k : x 2  y 2  25 a přímky p : 4 x  3 y  25  0 .
Řešení:
k : x 2  y 2  25

2

 25  3 y 
2
25  3 y   k  p : 
  y  25
4
p : 4 x  3 y  25  0  x 



4 
625  150 y  9 y 2
 y 2  25  0
16
625  150 y  9 y 2  16 y 2  400  0
25 y 2  150 y  225  0
y2  6 y  9  0
D  b 2  4ac
D  36  4 1  9  0
přímka p je tečnou ke kružnici k
y
b 6

2a 2
y 3 x 
T  4;3
25  9
4
4
8. Určete vzájemnou polohu kružnice k : x 2  y 2  25 a přímky p : 3x  4 y  25  0 .
Řešení:
k : x 2  y 2  25

2

 4 y  25 
2
4 y  25   k  p : 
  y  25
3
p : 3x  4 y  25  0  x 



3 
16 y 2  200 y  625
 y 2  25  0
9
2
16 y  200 y  625  9 y 2  225  0
25 y 2  200 y  400  0
y 2  8 y  16  0
D  b 2  4ac
D  64  4 1 16  0
přímka p je tečnou ke kružnici k
y
b 8

2a 2
y 4 x
T  3; 4
16  25
 3
3
9. Určete vzájemnou polohu kružnice k : x 2  y 2  25 a přímky p : 4 x  3 y  25  0 .
Stránka 1126
Analytická geometrie
Řešení:
k : x 2  y 2  25

2

 3 y  25 
2
  3 y  25    k  p : 
  y  25
 4 
p : 4 x  3 y  25  0  x 

4

9 y 2  150 y  625
 y 2  25  0
16
9 y 2  150 y  625  16 y 2  400  0
25 y 2  150 y  225  0
y2  6 y  9  0
D  b 2  4ac
D  36  4 1 9  0
přímka p je tečnou ke kružnici k
y
b 6

2a 2
y  3  x 
T  4; 3
3   3  25
 4
4
10. Určete vzájemnou polohu kružnice k :  x  3   y  2   25 a přímky s : 4 x  3 y  7  0 .
2
2
Řešení:
k :  x  3   y  2   25

2
2

 3 y  7


k

s
:

3

   y  2   25
3 y  7 
 4

s : 4x  3y  7  0  x 

4 
9 y 2  42 y  49 18 y  42

 9  y 2  4 y  4  25  0
16
4
9 y 2  42 y  49  72 y  168  144  16 y 2  64 y  64  400  0
2
2
25 y 2  50 y  25  0
y2  2 y 1  0
D  b 2  4ac
D  4  4 1 1  0
přímka s je tečnou ke kružnici k
y
b 2

2a 2
y  1  x 
T  1; 1
3   1  7
 1
4
Stránka 1127
Analytická geometrie
11. Určete vzájemnou polohu kružnice k :  x  3   y  2   25 a přímky
2
2
a : 4 x  3 y  19  0 .
Řešení:
k :  x  3   y  2   25

2
2

 3 y  19 
3 y  19   k  a :  4  3    y  2   25


a : 4 x  3 y  19  0  x 

4 
9 y 2  114 y  361 18 y  114

 9  y 2  4 y  4  25  0
16
4
2
9 y  114 y  361  72 y  456  144  16 y 2  64 y  64  400  0
2
2
25 y 2  250 y  625  0
y 2  10 y  25  0
D  b 2  4ac
D  100  4 1 25  0
přímka a je tečnou ke kružnici k
y
b 10

2a 2
y 5 x 
T  1;5
3  5  19
 1
4
12. Určete vzájemnou polohu kružnice k : x 2  y 2  25 a přímky p : x  3 y  18  0 .
Řešení:
k : x 2  y 2  25

2
2
  k  p :  3 y  18   y  25
p : x  3 y  18  0  x  3 y  18
9 y 2  108 y  324  y 2  25  0
10 y 2  108 y  299  0
D  b 2  4ac
D  1082  4 10  299  296  0
přímka p je vnější přímkou ke kružnici k
Stránka 1128
Analytická geometrie
13. Určete vzájemnou polohu kružnice k : x 2  y 2  25 a přímky p : x  y  10  0 .
Řešení:
k : x 2  y 2  25

2
2
  k  p :  y  10   y  25
p : x  y  10  0  x  y  10 
y 2  20 y  100  y 2  25  0
2 y 2  20 y  75  0
D  b 2  4ac
D  202  4  2  75  200  0
přímka p je vnější přímkou ke kružnici k
14. Určete vzájemnou polohu kružnice k : x 2  y 2  25 a přímky p : 5x  4 y  40  0 .
Řešení:
k : x 2  y 2  25

2

 5 x  40 
2

k

p
:
x

5 x  40 

  25
4
p : 5 x  4 y  40  0  y 



4 
25 x 2  400 x  1600
x2 
 25  0
16
16 x 2  25 x 2  400 x  1600  400  0
41x 2  400 x  1200  0
D  b 2  4ac
D  4002  4  411200  36800  0
přímka p je vnější přímkou ke kružnici k
15. Určete vzájemnou polohu kružnice k :  x  3   y  2   25 a přímky b : x  y  5  0 .
2
2
Řešení:
k :  x  3   y  2   25

2
2
  k  b :   y  5  3   y  2   25
b : x  y  5  0  x   y  5
2
2
  y  8   y  2 
2
2
 25
y 2  16 y  64  y 2  4 y  4  25  0
2 y 2  12 y  43  0
D  b 2  4ac
D  144  4  2  43  200  0
přímka b je vnější přímka ke kružnici k
Stránka 1129
Analytická geometrie
16. Určete vzájemnou polohu kružnice k :  x  3   y  2   25 a přímky
2
2
c : 4 x  3 y  20  0 .
Řešení:
k :  x  3   y  2   25

2
2

 3 y  20 

k

c
:

3

   y  2   25
3 y  20 
 4

c : 4 x  3 y  20  0  x 

4 
9 y 2  120 y  400 18 y  120

 9  y 2  4 y  4  25  0
16
4
9 y 2  120 y  400  72 y  480  144  16 y 2  64 y  64  400  0
2
2
25 y 2  256 y  688  0
D  b 2  4ac
D  65536  4  25  688  3264  0
přímka c je vnější přímkou ke kružnici k
17. Určete vzájemnou polohu kružnice k :  x  3   y  2   25 a přímky d : x  3 y  15  0 .
2
2
Řešení:
k :  x  3   y  2   25
2
2

  k  d :  3 y  15  3   y  2   25
d : x  3 y  15  0  x  3 y  15
2
2
 3 y  12    y  2 
2
2
 25
9 y  72 y  144  y  4 y  4  25  0
2
2
10 y 2  68 y  123  0
D  b 2  4ac
D  4624  4 10 123  296  0
přímka d je vnější přímkou ke kružnici k
18. Je dána kružnice k :  x  2    y  4   8 . Napište rovnici tečny v bodě A  0;6 .
2
2
Řešení:
k  S ; r  , S  m; n  , T  x0 ; y0  , T  k , t  k  T
k :  x  m   y  n  r 2
2
2
t :  x  m  x0  m    y  n  y0  n   r 2  0
k :  x  2    y  4   8, A  0;6
2
2
t1 :  x  2  0  2    y  4  6  4   8  0  2 x  4  2 y  8  8  0
t1 : x  y  6  0
Stránka 1130
Analytická geometrie
19. Je dána kružnice k :  x  2    y  4   8 . Napište rovnici tečny v bodě B  4;6 .
2
2
Řešení:
k  S ; r  , S  m; n  , T  x0 ; y0  , T  k , t  k  T
k :  x  m   y  n  r 2
2
2
t :  x  m  x0  m    y  n  y0  n   r 2  0
k :  x  2    y  4   8, B  4;6
2
2
t2 :  x  2  4  2    y  4  6  4   8  0  2 x  4  2 y  8  8  0
t2 : x  y  10  0
20. Je dána kružnice k :  x  2    y  4   8 . Napište rovnici tečny v bodě C  4; 2 .
2
2
Řešení:
k  S ; r  , S  m; n  , T  x0 ; y0  , T  k , t  k  T
k :  x  m   y  n  r 2
2
2
t :  x  m  x0  m    y  n  y0  n   r 2  0
k :  x  2    y  4   8, C  4; 2
2
2
t3 :  x  2  4  2    y  4  2  4   8  0  2 x  4  2 y  8  8  0
t3 : x  y  2  0
21. Je dána kružnice k : x 2  y 2  29 . Napište rovnici tečny v bodě A 5; 2 .
Řešení:
k  S ; r  , S  0;0 , T  x0 ; y0  , T  k , t  k  T
k : x2  y 2  r 2
t : xx0  yy0  r 2  0
k : x 2  y 2  29, A 5; 2
t1 : x  5  y  2  29  0
t1 : 5 x  2 y  29  0
22. Je dána kružnice k : x 2  y 2  29 . Napište rovnici tečny v bodě B  2; 5 .
Řešení:
k  S ; r  , S  0;0 , T  x0 ; y0  , T  k , t  k  T
k : x2  y 2  r 2
t : xx0  yy0  r 2  0
k : x 2  y 2  29, B  2; 5
t2 : x  2  y   5   29  0
t2 : 2 x  5 y  29  0
Stránka 1131
Analytická geometrie
23. Je dána kružnice k : x 2  y 2  29 . Napište rovnici tečny v bodě C  2; 5 .
Řešení:
k  S ; r  , S  0;0 , T  x0 ; y0  , T  k , t  k  T
k : x2  y 2  r 2
t : xx0  yy0  r 2  0
k : x 2  y 2  29, C  2; 5
t3 : x   2   y   5   29  0
t3 : 2 x  5 y  29  0
Stránka 1132
Analytická geometrie
8.5.3 Elipsa
1. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má ohniska v bodech F1  3;1 , F2 5;3 a
hlavní vrchol A 4;3 .
Řešení:
 xF  xF2 yF1  yF2 
S 1
;

2
2


S 1;3 , hlavní polosa je rovnoběžná s osou x

2
2

x  1  y  3

a  SA  5

1
  E:
25
9

b  a 2  e 2  3
e  SF1  4
2. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má ohniska v bodech F1 3;3 , F2 7;3 a hlavní
vrchol B 9;3 .
Řešení:
 xF  xF2 yF1  yF2 
S 1
;

2
 2

S 5;3 , hlavní polosa je rovnoběžná s osou x

2
2
x  5   y  3


a  SA  4

1
  E:
16
10

b  a 2  e 2  10 
e  SF1  2
3. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má ohnisko v bodě F1  2;3 a vedlejší vrcholy
C 1;5 , D 1;1 .
Řešení:
 x  xD yC  yD 
S C
;
2 
 2
S 1;3 , hlavní polosa je rovnoběžná s osou x

2
2

x  1  y  3

b  SC  2

1
  E:
13
4

a  b 2  e 2  13
e  SF1  3
Stránka 1133
Analytická geometrie
4. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má ohniska v bodech F1  3; 2 , F2  3;6 a
hlavní vrchol A 3;7 .
Řešení:
 xF  xF2 yF1  yF2 
S 1
;

2
 2

S  3; 2 , hlavní polosa je rovnoběžná s osou y

2
2

x  3  y  2 

b  SA  5

1
  E:
9
25

a  b 2  e 2  3
e  SF1  4
5. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má ohnisko v bodě F1  4;3 a hlavní vrcholy
A 4;6 , B  4; 2 .
Řešení:
 x  x y  yB 
S A B; A
2 
 2
S  4; 2 , hlavní polosa je rovnoběžná s osou y

2
2

x  4  y  2

b  SA  4

1
  E:
15
16

a  b 2  e 2  15 
e  SF1  1
6. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má hlavní vrcholy A1;5 , B 1;1 a vedlejší
vrchol C  2; 2 . Napište souřadnice bodů S, F1, F2 a D.
Řešení:
 x  x y  yB 
S A B; A
2 
 2
S  1; 2 , hlavní polosa je rovnoběžná s osou y

2
2

x  1  y  2 

a  SC  3

1
  E:
9
25

e  b 2  a 2  13
F1  xS ; yS  e   F1  1;6
b  SA  5
F2  xS ; yS  e   F2  1; 2
D  xS  a; yS   D  4; 2
Stránka 1134
Analytická geometrie
7. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má vedlejší vrcholy C  2; 2 , D  4; 2 a hlavní
vrchol A 3;8 . Napište souřadnice bodů S, F1, F2 a B.
Řešení:
 x  xD yC  yD 
S C
;
2 
 2
S 3; 2 , hlavní polosa je rovnoběžná s osou y

2
x  3

2

a  SC  1
  y  2  1
  E:
36

e  b 2  a 2  35 
F1  xS ; yS  e   F1 3; 2  35 
F2  xS ; yS  e   F2 3; 2  35 
B  xS  b; yS   B 3; 4
b  SA  6
8. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má vedlejší vrchol C 1;0 , hlavní vrchol
A 3;8 a její hlavní poloosa je rovnoběžná s osou x. Napište souřadnice bodů S, F1, F2, D
a B.
Řešení:
hlavní polosa je rovnoběžná s osou x  S  xC ; y A 
S 1; 3 ,

2
2

 x  1   y  3  1
a  SA  6   E:
36
9

b  SC  3
e  a 2  b 2  27  3 3
F1  xS  e; yS   F1 1  3 3; 3
F2  xS  e; yS   F2 1  3 3; 3
B  xS  a; yS   B  7; 3
D  xS ; yS  b   D 1; 6
Stránka 1135
Analytická geometrie
9. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má vedlejší vrchol C  2; 4 , ohnisko F1 5;6
a její hlavní poloosa je rovnoběžná s osou y. Napište souřadnice bodů S, F2, D, A a B.
Řešení:
hlavní polosa je rovnoběžná s osou y  S  xF1 ; yC 
S 5; 4 ,

2
2

x  5  y  4 

a  SC  3

1
  E:
4
9

b  a 2  e 2  13 
F2  xS ; yS  e   F2 5; 2
e  SF1  2
A  xS ; yS  b   A 5; 4  13 
B  xS ; yS  b   B 5; 4  13 
D  xS ; yS  a   D 8; 4
10. Je dána obecná rovnice elipsy E: 5x2  9 y 2  45  0 . Určete souřadnice středu elipsy,
velikost hlavní a vedlejší poloosy, excentricitu a souřadnice hlavních a vedlejších vrcholů
a ohnisek.
Řešení:
E : 5 x 2  9 y 2  45  0
5 x 2  9 y 2  45
2
/ : 45
2
x
y

1
9
5
S  0;0
a  3, o x
b 5
e  a 2  b2  9  5  4  2
A  3;0 , B  0;3 , C 0; 5  , D 0;  5  ,
E  2;0 , F  2;0
Stránka 1136
Analytická geometrie
11. Je dána obecná rovnice elipsy E: 3x2  2 y 2  6  0 . Určete souřadnice středu elipsy,
velikost hlavní a vedlejší poloosy, excentricitu a souřadnice hlavních a vedlejších vrcholů
a ohnisek.
Řešení:
E : 3x 2  2 y 2  6  0
3x 2  2 y 2  6
2
/ :6
2
x
y

1
2
3
S  0;0
a  3, o y
b 2
e  b2  a 2  3  2  1
hlavní vrcholy A 0;  3  , B 0; 3  ,
vedlejší vrcholy C   2;0  , D  2;0  ,
ohniska E  0; 1 , F  0;1
12. Je dána obecná rovnice elipsy E: x2  9 y 2  4 x  5  0 . Určete souřadnice středu elipsy,
velikost hlavní a vedlejší poloosy, excentricitu a souřadnice hlavních a vedlejších vrcholů
a ohnisek.
Řešení:
E : x2  9 y 2  4 x  5  0
x2  4x  4  4  9 y 2  5  0
 x  2  9 y2  9
2
 x  2  y2  1
2
/ :9
9
S  2;0
a  3, o x
b 1
e  a 2  b2  9  1  8
hlavní vrcholy A  3;0 , B 3;0 ,
vedlejší vrcholy C  0;1 , D  0; 1 ,
ohniska E   8;0  , F  8;0 
Stránka 1137
Analytická geometrie
13. Je dána obecná rovnice elipsy E: 9 x2  16 y 2  36 x  96 y  396  0 . Určete souřadnice
středu elipsy, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
E : 9 x 2  16 y 2  36 x  96 y  396  0
9 x 2  36 x  16 y 2  96 y  396  0
9  x 2  4 x   16  y 2  6 y   396  0
9  x 2  4 x  4   36  16  y 2  6 y  9   144  396  0
9  x  2   16  y  3  576
2
 x  2
2
64
S  2; 3
2
 y  3

/ : 576
2
1
36
a  8, o x
b6
e  a 2  b 2  64  36  28  2 7
14. Je dána obecná rovnice elipsy E: 2 x2  y 2  4 x  2 y  0 . Určete souřadnice středu elipsy,
velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
E : 2 x2  y 2  4 x  2 y 1  0
2 x2  4 x  y 2  2 y  1  0
2  x2  2 x    y 2  2 y   1  0
2  x 2  2 x  1  2   y 2  2 y  1  1  1  0
2  x  1   y  1  4 / : 4
2
 x  1
2
2
S 1; 1
2
 y  1

4
2
1
a 2
b  2, o y
e  b2  a 2  4  2  2
Stránka 1138
Analytická geometrie
15. Je dána obecná rovnice elipsy E: 16 x2  25 y 2  96 x 100 y 156  0 . Určete souřadnice
středu elipsy, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
E :16 x 2  25 y 2  96 x  100 y  156  0
16 x 2  96 x  25 y 2  100 y  156  0
16  x 2  6 x   25  y 2  4 y   156  0
16  x 2  6 x  9   144  25  y 2  4 y  4   100  156  0
16  x  3  25  y  2   400
2
 x  3
2
25
S  3; 2
2
 y  2

/ : 400
2
1
16
a  5, o x
b4
e  a 2  b 2  25  16  9  3
16. Je dána obecná rovnice elipsy E: x2  2 y 2  10 x  4 y  23  0 . Určete souřadnice středu
elipsy, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
E : x 2  2 y 2  10 x  4 y  23  0
x 2  10 x  2 y 2  4 y  23  0
x
x
2
 10 x   2  y 2  2 y   23  0
2
 10 x  25   25  2  y 2  2 y  1  2  23  0
 x  5  2  y  1  4
2
2
 x  5   y  1  1
2
4
S 5; 1
2
/:4
2
a  2, o x
b 2
e  a 2  b2  4  2  2
Stránka 1139
Analytická geometrie
17. Je dána obecná rovnice elipsy E: 2 x2  y 2  4 x  4 y  0 . Určete souřadnice středu elipsy,
velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
E : 2 x2  y 2  4 x  4 y  0
2 x2  4 x  y 2  4 y  0
2  x2  2x    y 2  4 y   0
2  x 2  2 x  1  2   y 2  4 y  4   4  0
2  x  1   y  2   6
2
 x  1
2
2
 y  2

3
S  1; 2
6
/ :6
2
1
a 3
b  6, o y
e  b2  a 2  6  3  3
18. Je dána obecná rovnice elipsy E: x2  4 y 2  4 x  24 y  24  0 . Určete souřadnice středu
elipsy, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
E : x 2  4 y 2  4 x  24 y  24  0
x 2  4 x  4 y 2  24 y  24  0
x
x
2
 4 x   4  y 2  6 y   24  0
2
 4 x  4   4  4  y 2  6 y  9   36  24  0
 x  2   4  y  3  16
2
2
 x  2    y  3  1
2
16
S  2;3
2
/ :16
4
a  4, o x
b2
e  a 2  b 2  16  4  12  3 2
Stránka 1140
Analytická geometrie
19. Je dána obecná rovnice elipsy E: 144 x2  169 y 2  864 x 1690 y 18815  0 . Určete
souřadnice středu elipsy, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
E :144 x 2  169 y 2  864 x  1690 y  18815  0
144 x 2  864 x  169 y 2  1690 y  18815  0
144  x 2  6 x   169  y 2  10 y   18815  0
144  x 2  6 x  9   1296  169  y 2  10 y  25   4225  18815  0
144  x  3  169  y  5   24336
2
 x  3
2
169
S  3;5
2
 y  5

144
/ : 24336
2
1
a  13, o x
b  12
e  a 2  b 2  169  144  25  5
Stránka 1141
Analytická geometrie
8.5.4 Vzájemná poloha přímky a elipsy
1. Je dána elipsa E :
x2 y 2

 1 . Určete rovnici tečny k elipse v jejím bodě T1  5;3 .
40 24
Řešení:
x2 y 2

 1, S  0;0 , T  x0 ; y0  , T  E  t
a 2 b2
xx
yy
t : 20  20  1  0
a
b
2
x
y2
E: 
 1, T1  5;3
40 24
x  5  y  3
x y
t1 :

1  0    1  0
40
24
8 8
t1 : x  y  8  0
E:
x2 y 2
2. Je dána elipsa E : 
 1 . Určete rovnici tečny k elipse v jejím bodě T2 5;3 .
40 24
Řešení:
x2 y 2
E : 2  2  1, S  0;0 , T  x0 ; y0  , T  E  t
a
b
xx
yy
t : 20  20  1  0
a
b
2
x
y2
E: 
 1, T2 5;3
40 24
x 5 y 3
x y
t2 :

1  0   1  0
40
24
8 8
t2 : x  y  8  0
Stránka 1142
Analytická geometrie
3. Je dána elipsa
 x  2
E:
2
40
T1  4;7 .
 y  4

2
 1 . Určete rovnici tečny k elipse v jejím bodě
10
Řešení:
 x  m
E:
2
 y  n

2
 1, S  m; n  , T  x0 ; y0  , T  E  t
a2
b2
 x  m  x  m    y0  n  y  n   1  0
t: 0
a2
b2
 x  2
E:
2
 y  4

2
 1, S  2; 4 , T1  4;7 
40
10
 4  2  x  2    7  4  y  4   1  0  2 x  4  3 y  12  1  0 
t1 :
40
10
40
10
 x  2 3 y  12


 1  0  x  2  6 y  24  20  0
20
10
t1 : x  6 y  46  0
4. Je dána elipsa
 x  2
E:
40
T2  8;5 .
2
 y  4

10
2
 1 . Určete rovnici tečny k elipse v jejím bodě
Řešení:
 x  m
E:
2
 y  n

2
 1, S  m; n  , T  x0 ; y0  , T  E  t
a2
b2
 x  m  x  m    y0  n  y  n   1  0
t: 0
a2
b2
 x  2
E:
2
 y  4

2
 1, S  2; 4 , T2  8;5
40
10
 8  2  x  2    5  4  y  4   1  0  6 x  12  y  4  1  0 
t2 :
40
10
40
10
3x  6 y  4


 1  0  3 x  6  2 y  8  20  0
20
10
t2 : 3x  2 y  34  0
Stránka 1143
Analytická geometrie
5. Je dána elipsa
 x  2
E:
40
T3  4;5 .
2
 y  4

2
10
 1 . Určete rovnici tečny k elipse v jejím bodě
Řešení:
 x  m
E:
2
 y  n

2
 1, S  m; n  , T  x0 ; y0  , T  E  t
a2
b2
 x  m  x  m    y0  n  y  n   1  0
t: 0
a2
b2
 x  2
E:
2
 y  4

2
 1, S  2; 4 , T3  4;5
40
10
 4  2  x  2    5  4  y  4   1  0  6 x  12  y  4  1  0 
t2 :
40
10
40
10
3x  6 y  4


 1  0  3 x  6  2 y  8  20  0
20
10
t2 : 3x  2 y  22  0
6. Určete vzájemnou polohu elipsy E : 3x2  5 y 2  120  0 a přímky p : 3x  5 y  0 .
Řešení:
E : 3x 2  5 y 2  120  0 
2

5 
2

E

p
:
3
y
5 

  5 y  120  0
p : 3x  5 y  0  x  y 
3 
3 
25 y 2  15 y 2  360  0
40 y 2  360  0
y2  9  0
y1  3; y2  3
přímka p je sečna
5
x1   3  5
3
5
x2    3  5
3
P1 5;3 , P2  5; 3
Stránka 1144
Analytická geometrie
7. Určete vzájemnou polohu elipsy E : 3x2  5 y 2  120  0 a přímky q : x  y  9  0 .
Řešení:

E : 3x 2  5 y 2  120  0
2
2
  E  q : 3  y  9   5 y  120  0
q : x  y  9  0  x  y  9
3 y 2  54 y  243  5 y 2  120  0
8y 2  54 y  123  0
D  542  4  8 123  1020  0
přímka q je vnější přímka
8. Určete vzájemnou polohu elipsy E : 3x2  5 y 2  120  0 a přímky r : x  y  8  0 .
Řešení:
E : 3 x 2  5 y 2  120  0

2
2
  E  q : 3   y  8   5 y  120  0
r : x  y  8  0  x   y  8
3 y 2  48 y  192  5 y 2  120  0
8 y 2  48 y  72  0
y2  6 y  9  0
D  6 2  4 1  9  0
přímka q je tečna
y  3; x  3  8  5
T  3; 5
9.
 x  8
Určete vzájemnou polohu elipsy E :
64
2
 y  4

48
2
 1 a přímky p1 : x  2 y  16  0 .
Řešení:
 x  8
E:
 y  4


2
2
2 y  16  8   y  4 



1
  E  p1 :
64
48
64
48

p1 : x  2 y  16  0  x  2 y  16 
2
2
1
 2 y  8
2
 y  4

2
1
64
48
3  4 y 2  32 y  64   4  y 2  8 y  16   192  0
12 y 2  96 y  192  4 y 2  32 y  64  192  0
16 y 2  64 y  64  0
y2  4 y  4  0
D  42  4 1  4  0
přímka p1 je tečna
4
 2; x  2  2  16  12
2
T1  12; 2
y
Stránka 1145
Analytická geometrie
 x  8
10. Určete vzájemnou polohu elipsy E :
2
64
 y  4

2
 1 a přímky p2 : x  2 y  32  0 .
48
Řešení:
 x  8
E:
 y  4


2
2
2 y  32  8   y  4 



1
  E  p2 :
64
48
64
48

p2 : x  2 y  32  0  x  2 y  32 
2
2
1
 2 y  24 
2
 y  4

2
1
64
48
3  4 y 2  96 y  576   4  y 2  8 y  16   192  0
12 y 2  288 y  1728  4 y 2  32 y  64  192  0
16 y 2  320 y  1600  0
y 2  20 y  100  0
D  202  4 1100  0
přímka p2 je tečna
20
 10; x  2   10   32  12
2
T2  12; 10
y
 x  8
11. Určete vzájemnou polohu elipsy E :
64
2
 y  4

2
48
 1 a přímky p3 : x  2 y  8  0 .
Řešení:
 x  8
E:
 y  4


2
2
2 y  8  8   y  4 



1
  E  p3 :
64
48
64
48

p3 : x  2 y  8  0  x  2 y  8
2
2
 2 y 
1
2
 y  4

2
1
64
48
3  4 y 2  4  y 2  8 y  16   192  0
12 y 2  4 y 2  32 y  64  192  0
16 y 2  32 y  128  0
y2  2 y  8  0
D  22  4 1  8   36  0
přímka p3 je sečna
2  6
2
y1  2; x1  2  2  8  12
y1,2 
y2  4; x2  2   4   8  0
P1  12; 2 ; Q1  0; 4
Stránka 1146
Analytická geometrie
 x  8
12. Určete vzájemnou polohu elipsy E :
2
64
 y  4

2
 1 a přímky p4 : 3x  2 y  32  0 .
48
Řešení:
 x  8
E:
 y  4


 2 y  32

 8
2
1


y  4

3


64
48

1
  E  p4 :
64
48
2 y  32 
p4 : 3 x  2 y  32  0  x 

3
2
2
2
 2 y  8 
2


 3    y  4  1
64
48
2
4 y 2  32 y  64
 4  y 2  8 y  16   192  0
9
4 y 2  32 y  64  12 y 2  96 y  192  576  0
3
16 y 2  128 y  320  0
y 2  8 y  20  0
D  82  4 1   20   144  0
přímka p4 je sečna
8  12
2
2  2  32
y1  2; x1 
 12
3
2   10   32
y2  10; x2 
 4
3
P2  12; 2 ; Q2  4; 10
y1,2 
 x  8
13. Určete vzájemnou polohu elipsy E :
2
64
 y  4

48
2
 1 a přímky p5 : x  2 y  17  0 .
Řešení:
 x  8
E:
 y  4


2
2
2 y  17  8   y  4 



1
  E  p4 :
64
48
64
48

p5 : x  2 y  17  0  x  2 y  17 
2
2
1
 2 y  9
2
 y  4

2
1
64
48
3  4 y 2  36 y  81  4  y 2  8 y  16   192  0
12 y 2  108 y  243  4 y 2  32 y  64  192  0
16 y 2  76 y  115  0
D  762  4 16 115  5776  7360  1584  0
přímka p5 je vnější přímka
Stránka 1147
Analytická geometrie
 x  8
14. Určete vzájemnou polohu elipsy E :
64
2
 y  4

48
2
 1 a přímky p6 : 6 x  y  12  0 .
Řešení:
 x  8
E:
 y  4


2
2
x  8   6 x  12  4 



1
  E  p4 :
64
48
64
48

p6 : 6 x  y  12  0  y  6 x  12 
2
2
 x  8
1
2
 6 x  8

2
1
64
48
3  x 2  16 x  64   4  36 x 2  96 x  64   192  0
3x 2  48 x  192  144 x 2  384 x  256  192  0
147 x 2  336 x  256  0
D  3362  4 147  256  112896  150528  37632  0
přímka p6 je vnější přímka
Stránka 1148
Analytická geometrie
8.5.5 Parabola
1. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly a rovnici řídící přímky, jsou-li dány body
F  4;2 , V  4; 1 .
Řešení:
F  4; 2
V  4; 1
o y
p
 p6
2
p  Fd  d : y  4
FV  3 
P :  x  4   12  y  1
2
2. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly a rovnici řídící přímky, jsou-li dány body
F  4;0 , V  4;1 .
Řešení:
F  4;0
V  4;1
o y
p
 p2
2
p  Fd  d : y  2
FV  1 
P :  x  4   4  y  1
2
3. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly, je-li dán bod F 3; 4 a rovnice řídící přímky
d : y 0.
Řešení:
F 3; 4
d:y0
o y
p  Fd  4
p

V  f1 ; f 2  
2

V 3; 2
P :  x  3  8  y  2 
2
Stránka 1149
Analytická geometrie
4. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly, je-li dán bod F  3; 2 a rovnice řídící přímky
d : y 1.
Řešení:
F  3; 2
d : y 1
o y
p  Fd  3
p

V  f1 ; f 2  
2

V  3; 0,5
P :  x  3  6  y  0,5 
2
5. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly, je-li dán bod F  3; 2 a rovnice řídící přímky
d : x  1 .
Řešení:
F  3; 2
d : x  1
o x
p  Fd  2
p


V  f1  ; f 2 
2


V  2; 2
P :  y  2   4  x  2 
2
6. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly, je-li dán bod F  1;5 a rovnice řídící přímky
d : x  5 .
Řešení:
F  1;5
d : x  5
o x
p  Fd  4
p


V  f1  ; f 2 
2


V  3;5
P :  y  5   8  x  3
2
Stránka 1150
Analytická geometrie
7. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly, je-li dán bod F  1; 2 a rovnice řídící přímky
d : x  1.
Řešení:
F  1; 2
d : x 1
o x
p  Fd  2
p


V  f1  ; f 2 
2


V  0; 2
P :  y  2   4 x
2
8. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly, je-li dán bod F  4; 3 a rovnice řídící přímky
d : x  2.
Řešení:
F  4; 3
d:x2
o x
p  Fd  2
p


V  f1  ; f 2 
2


V 3; 3
P :  y  3  4  x  3
2
9. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly P : y 2  8x .
Řešení:
y2  8x
o x
V  0;0
p4
p 

F m  ; n
2 

F  2;0
d :x  m
p
 2
2
Stránka 1151
Analytická geometrie
10. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly P : 0,125 y 2  8 x .
Řešení:
0,125 y 2  8 x / :  0,125 
y 2  64 x
o x
V  0;0
p  32
p 

F  m  ; n   F  16;0
2 

p
d : x  m   16
2
11. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly P : 8  y  2   4 x .
2
Řešení:
2
8  y  2  4x
o x
V  0; 2
p
1
4
p 

1 
F m  ; n   F  ; 2
2 

8 
p
1
d :x  m  
2
8
12. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly P : 5  x  1  4  y  1 .
2
Řešení:
2
5  x  1  4  y  1
 x  1
2
 0,8  y  1
o y
V 1; 1
p  0, 4
p

F  m; n    F 1; 1, 2
2

p
d : y  n   0,8
2
Stránka 1152
Analytická geometrie
13. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly P : 0, 25  x  3  y .
2
Řešení:
0, 25  x  3  y
2
 x  3
2
 4 y  o y  ; V 3;0 ; p  2
p

F  m; n    F 3;1
2

p
d : y  n   1
2
14. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly P : x2  4 x  6 y  10  0 .
Řešení:
x 2  4 x  6 y  10  0
x
2
 4 x  4   4  6 y  10
 x  2   6 y  6
2
 x  2   6  y  1  o
2
y  ; V  2; 1 ; p  3
p

F  m; n    F  2; 2,5
2

p
d : y  n   0,5
2
15. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly P : x2  6 x  8 y  41  0 .
Řešení:
x 2  6 x  8 y  41  0
x
2
 6 x  9   9  8 y  41
 x  3  8 y  32
2
 x  3  8  y  4   o
2
y  ; V  3; 4 ; p  4
p

F  m; n    F  3;6
2

p
d : y  n  2
2
Stránka 1153
Analytická geometrie
16. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly P :10 y 2  40 y  8x  48  0 .
Řešení:
10 y 2  40 y  8 x  48  0
10  y 2  4 x  4   40  8 x  48
10  x  2   8  x  1
2
 x  2
2
 0,8  x  1  o x  ; V 1; 2 ; p  0, 4
p 

F  m  ; n   F 1, 2; 2
2 

p
d : x  m   0,8
2
17. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly P : y 2  10 y  9 x  52  0 .
Řešení:
y 2  10 y  9 x  52  0
y
2
 10 x  25   25  9 x  52
 y  5
2
 9  x  3  o x  ; V  3;5 ; p  4,5
p 

F  m  ; n   F  5, 25;5
2 

p
d : x  m   0, 75
2
18. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly P : x2  8x  3 y  1  0 .
Řešení:
x 2  6 x  8 y  41  0
x
2
 6 x  9   9  8 y  41
 x  3  8 y  32
2
 x  3  8  y  4   o
2
y  ; V  3; 4 ; p  4
p

F  m; n    F  3;6
2

p
d : y  n  2
2
Stránka 1154
Analytická geometrie
19. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly P : y 2  8 y  4 x  4  0 .
Řešení:
y2  8 y  4x  4  0
y
2
 8 y  16   16  4 x  4
 y  4   4 x  20
2
 y  4   4  x  5  o
2
y  ; V  4; 5 ; p  2
p

F  m; n    F  4; 4
2

p
d : y  n   6
2
20. Napište středový tvar rovnice paraboly, která prochází body A 4;2 , B 7; 1 , C 3,1
a její osa je rovnoběžná s osou x.
Řešení:
A  4; 2 , B  7; 1 , C 3,1
o x :  y  n  2 p  x  m
2
A  P : 2  n  2 p 4  m
2
B  P :  1  n   2 p  7  m 
2
C  P : 1  n   2 p  3  m 
2
4  4n  n 2  8 p  2 pm  
  
1  2n  n 2  14 p  2 pm   

1  2n  n 2  6 p  2 pm

3  6n  6 p 

9  6n  6 p 
1
2
3  2n  1  2n  2  n  1
1
0  2  3  m  m  3
2
1
V 3,1 , p 
2
6  12 p  p 
P :  y  1  x  3
2
Stránka 1155
Analytická geometrie
21. Napište středový tvar rovnice paraboly, která prochází body A3;3 , B 12;0 , C 6, 4
a její osa je rovnoběžná s osou y.
Řešení:
A 3;3 , B 12;0 , C 6, 4 
o y :  x  m  2 p  y  n
2
A  P : 3  m   2 p 3  n 
2
B  P : 12  m   2 p  0  n 
2
C  P : 6  m  2 p 4  n
2
 6 p  2 pn  
  
144  24m  m 2   2 pn   

36  12m  m 2  8 p  2 pm 
135  18m  6 p


27  6m  2 p /  3
9  2m  m 2
54  12 p  p  4,5
27  6m  9  6m  36  m  6
9  36  36  27  9n  36  9n  n  4
V  6, 4 , p  4,5
P :  x  6   9  y  4 
2
Stránka 1156
Analytická geometrie
8.5.6 Vzájemná poloha přímky a paraboly
1. Určete vzájemnou polohu paraboly P : x 2  8 y a přímky p1 : 2 x  y  8  0 .
Řešení:

P : x2  8 y
2
  P  p1 : x  8  2 x  8 
p1 : 2 x  y  8  0  y  2 x  8
x 2  16 x  64  0
D  162  4 1 64  256  256  0
p1 není rovnoběžná s osou y
přímka p1 je tečna
x  8; y  2   8   8  8
T1  8;8
2. Určete vzájemnou polohu paraboly P : x2  2 x  4 y  9  0 a přímky p5 : 2 x  y  4  0 .
Řešení:

P : x2  2x  4 y  9  0
2
  P  p5 : x  2 x  4  2 x  4   9  0
p5 : 2 x  y  4  0  y  2 x  4 
x 2  2 x  8 x  16  9  0
x 2  10 x  25  0
D  102  4 1 25  0
p5 není rovnoběžná s osou y
přímka p5 je tečna
10
 5
2
y  2   5   4  6
x
T  5;6
Stránka 1157
Analytická geometrie
3. Určete vzájemnou polohu paraboly P : x2  2 x  4 y  9  0 a přímky p6 : x  y  2  0 .
Řešení:

P : x2  2x  4 y  9  0
2
  P  p6 : x  2 x  4  x  2   9  0
p6 : x  y  2  0  y  x  2 
x2  2x  4x  8  9  0
x2  2 x  1  0
D   2   4 1 1  0
2
p6 není rovnoběžná s osou y
přímka p6 je tečna
2
1
2
y  1 2  3
x
T 1;3
4. Je dána obecná rovnice paraboly P : x2  10 x  4 y  5  0 . Určete obecnou rovnici tečny
v bodě T1 9; 1 .
Řešení:
2
P :  x  m  2 p  y  n
V  m; n  , T  x0 ; y0 
t :  x0  m  x  m   p  y0  n   p  y  n 
P : x 2  10 x  4 y  5  0
 x  5  4  y  5
T1 9; 1
t1 :  9  5  x  5   2  1  5   2  y  5   4 x  20  8  2 y  10  4 x  2 y  38  0
2
t1 : 2 x  y  19  0
Stránka 1158
Analytická geometrie
5. Je dána obecná rovnice paraboly P : x2  10 x  4 y  5  0 . Určete obecnou rovnici tečny
v bodě T2 1; 1 .
Řešení:
2
P :  x  m  2 p  y  n
V  m; n  , T  x0 ; y0 
t :  x0  m  x  m   p  y0  n   p  y  n 
P : x 2  10 x  4 y  5  0
 x  5  4  y  5
T2 1; 1
t2 : 1  5  x  5   2  1  5   2  y  5   4 x  20  8  2 y  10  4 x  2 y  2  0
2
t2 : 2 x  y  1  0
6. Je dána obecná rovnice paraboly P : x2  10 x  4 y  5  0 . Určete obecnou rovnici tečny
v bodě T3 3; 4 .
Řešení:
2
P :  x  m  2 p  y  n
V  m; n  , T  x0 ; y0 
t :  x0  m  x  m   p  y0  n   p  y  n 
P : x 2  10 x  4 y  5  0
 x  5  4  y  5
T3 3; 4
t3 :  3  5  x  5   2  4  5   2  y  5   2 x  10  2  2 y  10  2 x  2 y  2  0
2
t3 : x  y  1  0
Stránka 1159
Analytická geometrie
7. Určete vzájemnou polohu paraboly P : x 2  8 y a přímky p2 : 3x  2 y  8  0 .
Řešení:
P : x2  8 y


 3 x  8 
2
3 x  8   P  p1 : x  8 

p2 : 3 x  2 y  8  0  y 
 2 

2 
2
x  12 x  32  0
D  122  4 1  32  144  128  16  0
přímka p2 je sečna
12  4
2
3   8   8
16
x1 
 8; y1 
8
2
2
3   4   8
8
x2 
 4; y2 
2
2
2
P1  8;8 , P2  4; 2
x1,2 
8. Určete vzájemnou polohu paraboly P : x 2  8 y a přímky p3 : x  2 y  8  0 .
Řešení:

P : x2  8 y
2
  P  p1 :  8  2 y   8 y
p3 : x  2 y  8  0  x  8  2 y 
64  32 y  4 y 2  8 y  0
y 2  10 y  16  0
D   10   4 116  100  64  36  0
2
přímka p3 je sečna
10  6
2
16
y1   8; x1  8  2  8  8
2
4
y2   2; x2  8  2  2  4
2
P1  8;8 , P2  4; 2
y1,2 
Stránka 1160
Analytická geometrie
9. Určete vzájemnou polohu paraboly P : x2  2 x  4 y  9  0 a přímky p1 : x  2 y  7  0 .
Řešení:
P : x2  2 x  4 y  9  0

2
  P  p1 :  7  2 y   2  7  2 y   4 y  9  0
p1 : x  2 y  7  0  x  7  2 y 
49  28 y  4 y 2  14  4 y  4 y  9  0
4 y 2  36 y  72  0
y 2  9 y  18  0
D   9   4 118  81  72  9  0
2
přímka p3 je sečna
93
2
12
y1   6; x1  7  2  6  5
2
6
y2   3; x2  7  2  3  1
2
P1  5;6 , P2 1;3
y1,2 
10. Určete vzájemnou polohu paraboly P : x2  2 x  4 y  9  0 a přímky p2 : x  y  1  0 .
Řešení:
P : x2  2x  4 y  9  0

2
  P  p2 : 1  y   2 1  y   4 y  9  0
p2 : x  y  1  0  x  1  y 
1 2 y  y2  2  2 y  4 y  9  0
y 2  8 y  12  0
D   8   4 112  64  48  16  0
2
přímka p2 je sečna
8 4
 6, x1  1  6  5
2
4
y2   2, x2  1  2  1
2
P1  5;6 , P2  1; 2
y1 
Stránka 1161
Analytická geometrie
11. Určete vzájemnou polohu paraboly P : x 2  8 y a přímky p4 : 2 x  5 y  4  0 .
Řešení:
P : x2  8 y

2

 5 y  4 

P

p
:
5 y  4 
4 
  8y
2
p4 : 2 x  5 y  4  0  x 



2 
25 y 2  40 y  16
8y  0
4
25 y 2  40 y  16  32 y  0
25 y 2  8 y  16  0
D  82  4  25 16  64  1600  1536  0
přímka p4 je vnější přímka
12. Určete vzájemnou polohu paraboly P : x2  2 x  4 y  9  0 a přímky p3 : x  2 y  4  0 .
Řešení:
P : x2  2 x  4 y  9  0

2
  P  p3 :  2 y  4   2  2 y  4   4 y  9  0
p3 : x  2 y  4  0  x  2 y  4 
4 y 2  16 y  16  4 y  8  4 y  9  0
4 y 2  8 y  17  0
D   8   4  4 17  64  272  208  0
2
přímka p3 je vnější přímka
13. Určete vzájemnou polohu paraboly P : x2  2 x  4 y  9  0 a přímky p4 : x  y  1  0 .
Řešení:
P : x2  2 x  4 y  9  0

2
  P  p4 :   y  1  2   y  1  4 y  9  0
p4 : x  y  1  0  x   y  1
y2  2 y 1 2 y  2  4 y  9  0
y2  4 y  8  0
D   4   4 1 8  16  32  16  0
2
přímka p4 je vnější přímka
Stránka 1162
Analytická geometrie
8.5.7 Hyperbola
1. Je dána obecná rovnice hyperboly H : 5x2  9 y 2  18 y  54  0 . Určete souřadnice středu
hyperboly, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
H : 5 x 2  9 y 2  18 y  54  0
5 x 2  9  y 2  2 y   54  0
5 x 2  9  y  1  9  54  0
2
5 x 2  9  y  1  45
2
/ : 45
x 2  y  1

1
9
5
S  0;1
2
a3
b  5, o y
e  a 2  b 2  9  5  14
2. Je dána obecná rovnice hyperboly H : 9 x2  16 y 2  36 x  96 y  684  0 . Určete souřadnice
středu hyperboly, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
H : 9 x 2  16 y 2  36 x  96 y  684  0
9 x 2  36 x  16 y 2  96 y  684  0
9  x 2  4 x   16  y 2  6 y   684  0
9  x 2  4 x  4   36  16  y 2  6 y  9   144  684  0
9  x  2   16  y  3  576
2
 x  2
2
64
S  2; 3
2
 y  3

36
/ : 576
2
1
a  8, o x
b6
e  a 2  b 2  64  36  10
Stránka 1163
Analytická geometrie
3. Je dána obecná rovnice hyperboly H : 2 x2  y 2  4 x  2 y  7  0 . Určete souřadnice středu
hyperboly, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
H : 2x2  y 2  4x  2 y  7  0
2 x2  4 x  y 2  2 y  7  0
2  x2  2 x    y 2  2 y   7  0
2  x 2  2 x  1  2   y 2  2 y  1  1  7  0
2  x  1   y  1  8
2
 x  1
2
4
S 1; 1
2
 y  1

/ :8
2
1
8
a2
b  8, o y
e  a 2  b 2  4  8  12  2 3
4. Je dána obecná rovnice hyperboly H :16 x2  25 y 2  96 x  250 y  881  0 . Určete
souřadnice středu hyperboly, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
H :16 x 2  25 y 2  96 x  250 y  881  0
16 x 2  96 x  25 y 2  250 y  881  0
16  x 2  6 x   25  y 2  10 y   881  0
16  x 2  6 x  9   144  25  y 2  10 y  25   625  881  0
16  x  3  25  y  5   400
2
 x  3
2
25
S  3;5
2
 y  5

16
/ : 400
2
1
a  5, o x
b4
e  a 2  b 2  25  16  41
Stránka 1164
Analytická geometrie
5. Je dána obecná rovnice hyperboly H : 9 x2  4 y 2  18x  16 y  43  0 . Určete souřadnice
středu hyperboly, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
H : 9 x 2  4 y 2  18 x  16 y  43  0
9 x 2  18 x  4 y 2  16 y  43  0
9  x 2  2 x   4  y 2  4 y   43  0
9  x 2  2 x  1  9  4  y 2  4 y  4   16  43  0
9  x  1  4  y  2   36
2
 x  1
2
2
 y  2

4
S  1; 2
9
/ : 36
2
1
a2
b  3, o y
e  a 2  b 2  4  9  13
Stránka 1165
Analytická geometrie
8.5.8 Vzájemná poloha přímky a hyperboly
1. Určete vzájemnou polohu hyperboly
p1 : x  3 y  19  0 .
H : 7 x2  3 y 2  63x  27 y  56  0 a přímky
Řešení:
H : 7 x 2  3 y 2  63 x  27 y  56  0 
2
2
  H  p1 : 7  3 y  19   3 y  63  3 y  19   27 y  56  0
p1 : x  3 y  19  0  x  3 y  19 
63 y 2  798 y  2527  3 y 2  189 y  1197  27 y  56  0
60 y 2  960 y  3780  0
y 2  16 y  63  0
D   16   4 1 63  256  252  4  0
2
přímka p1 je sečna
16  2
 9; x1  3  9  19  8
2
16  2
y2 
 7; x2  3  7  19  2
2
P 8;9 , Q  2;7 
y1 
2. Určete vzájemnou polohu hyperboly
p2 : 7 x  6 y  2  0 .
H : 7 x2  3 y 2  63x  27 y  56  0 a přímky
Řešení:
H : 7 x 2  3 y 2  63 x  27 y  56  0 
2

 6y  2 
 6y  2 
2
6 y  2   H  p2 : 7 
  3 y  63 
  27 y  56  0
p2 : 7 x  6 y  2  0  x 
 7 
 7 

7

2
36 y  24 y  4
 3 y 2  9  6 y  2   27 y  56  0 / 7
7
2
36 y  24 y  4  21y 2  378 y  126  189 y  392  0
15 y 2  165 y  270  0
y 2  11y  18  0
D   11  4 118  121  72  49  0
2
přímka p1 je sečna
11  7
69  2
 9; x1 
8
2
7
11  7
62  2
y2 
 2; x2 
2
2
7
P 8;9 , Q  2; 2
y1 
Stránka 1166
Analytická geometrie
H : 4 x2  5 y 2  20
3. Napište obecnou rovnici tečny k hyperbole
T  5; y0  0.
v bodě dotyku
Řešení:
x2 y 2

 1; T  x0 ; y0 
a 2 b2
xx
yy
t : 20  20  1
a
b
2
H : 4 x  5 y 2  20, T  5; y0  0
H:
T  H : 4  5   5 y0 2  20  0  80  5 y0 2  16  y0 2 , y0  0  y0  4  T  5; 4 
2
t : 4   5  x  5  4  y  20  0  20 x  20 y  20  0
t : x  y 1  0
4. Napište obecnou rovnici tečny k hyperbole H : 9 x2  5 y 2  45 v bodě dotyku T 5; y0  0 .
Řešení:
x2 y 2
H : 2  2  1; T  x0 ; y0 
a b
xx
yy
t : 20  20  1
a
b
2
H : 9 x  5 y 2  45, T 5; y0  0
.
T  H : 9  52  5 y0 2  45  0  180  5 y0 2  36  y0 2 , y0  0  y0  6  T 5;6
t : 9  5 x  5  6  y  45  0  45 x  30 y  45  0
t : 3x  2 y  3  0
5.
 x  2
Napište obecnou rovnici tečny k hyperbole H :
T 7; y0  0
5
2
 y  3

9
2
 1 v bodě dotyku
Stránka 1167
Analytická geometrie
 x  m
H:
2
 y  n

2
 1;V  m; n  ; T  x0 ; y0 
a2
b2
 x  m  x  m    y0  n  y  n   1
t: 0
a2
b2
 x  2
H:
5
2
 y  3

 7  2
TH:
9
2
2
 1, T  7; y0  0
 y  3
 0
2
 1 / 45
5
9
9  25  5  y0 2  6 y0  9   45  0
225  5 y0 2  30 y0  45  45  0
5 y0 2  30 y0  135  0
y0 2  6 y0  27  0
6  12
2
y0  0, y0  9, T  7;9
y01,2 
t:
 7  2  x  2    9  3 y  3  1
5
9
9  5  x  2   5  6   y  3   45  0
45 x  90  30 y  90  45  0
/  45
.
45 x  30 y  45  0
t : 3 x  2 y 3  0
Stránka 1168