Statistika (KMI/PSTAT) - Cvicení deváté aneb Duležitá

Transkript

Statistika (KMI/PSTAT)
Cvičenı́ deváté
aneb
Důležitá rozdělenı́ pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
1 / 16
Spojitá náhodná veličina
Spojitá náhodná veličina může nabývat libovolnou hodnotu z konečného nebo nekonečného
intervalu reálných čı́sel.
2 / 16
Distribučnı́ funkce náhodné veličiny
Distribučnı́ funkce náhodné veličiny X je pro každé reálné čı́slo x definována vztahem
F (x) = P (X ≤ x).
Hodnota distribučnı́ funkce v bodě x tedy znamená pravděpodobnost, že náhodná veličina X má
hodnotu nejvýše x.
2 / 16
Distribučnı́ funkce náhodné veličiny
Distribučnı́ funkce náhodné veličiny X je pro každé reálné čı́slo x definována vztahem
F (x) = P (X ≤ x).
Hodnota distribučnı́ funkce v bodě x tedy znamená pravděpodobnost, že náhodná veličina X má
hodnotu nejvýše x.
Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
Je-li X spojitá náhodná veličina, potom existuje nezáporná funkce f (x) taková, že pro všechna
reálná čı́sla x0 platı́
Z x0
F (x0 ) =
f (x) dx.
−∞
Funkci f (x) nazýváme hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X.
2 / 16
Charakteristiky náhodné veličiny
Hustota pravděpodobnosti má tyto vlastnosti:
f (x) ≥ 0
Z ∞
f (x) dx = 1
−∞
Z
P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) =
b
f (x) dx pro a < b
a
3 / 16
Charakteristiky náhodné veličiny
Čı́selné charakteristiky náhodné veličiny
Mějme spojitou náhodnou veličinu X s hustotou pravděpodobnosti f (x), kde M představuje
množinu všech možných hodnot x náhodné veličiny X.
Střednı́ hodnota této náhodné veličiny je definována vztahem
Z
x · f (x) dx.
E(X) =
M
Rozptyl této náhodné veličiny je definován vztahem
D(X) = E
n
X − E(X)
2 o
Z
=
2
x − E(X) · f (x) dx.
M
Medián x̃ je taková hodnota náhodné veličiny X, pro kterou platı́
P (X ≤ x̃) = P (X ≥ x̃) = 0, 5.
4 / 16
Rovnoměrné (spojité) rozdělenı́ náhodné veličiny
Rovnoměrné rozdělenı́ použı́váme k modelovánı́ situacı́, kdy obor hodnot náhodné veličiny je
oboustranně omezen (je to tedy interval) a nenı́ možné předpokládat, že některé hodnoty
z tohoto intervalu by se vyskytovaly častěji než jiné.
5 / 16
Rovnoměrné rozdělenı́
Rovnoměrným (spojitým) rozdělenı́m náhodné veličiny X, která nabývá hodnot x ∈ (a, b),
nazveme takové rozdělenı́ pravděpodobnosti, jehož hustota je
(
1
, x ∈ (a, b)
b−a
f (x) =
0,
jinak
5 / 16
(
1
, x ∈ (a, b)
b−a
f (x) =
0,
jinak
Z
b
Z
b
x·
xf (x) dx =
Střednı́ hodnota je dána vzorcem E(X) =
a
a
1
a+b
dx =
.
b−a
2
5 / 16
(
1
, x ∈ (a, b)
b−a
f (x) =
0,
jinak
Z
b
Z
b
x·
xf (x) dx =
Střednı́ hodnota je dána vzorcem E(X) =
a
a
Rozptyl je dán vzorcem D(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 =
1
a+b
dx =
.
b−a
2
(b − a)2
12
5 / 16
Rovnoměrné (spojité) rozdělenı́
Představme si ideálnı́“ systém městské hromadné dopravy, ve které určitá linka přijı́ždı́ na
”
zastávku v naprosto přesném intervalu 10 minut. Náhodnou veličinou X je doba čekánı́ na tuto
linku při náhodném přı́chodu na zastávku.
1
Jaké jsou možné hodnoty této náhodné veličiny?
2
Namalujte a popište graf hustoty pravděpodobnosti této náhodné veličiny.
3
Jaká je pravděpodobnost, že na autobus budete čekat od 2 do 7 minut?
4
Jaká je pravděpodobnost, že na autobus budete čekat vı́ce než 6 minut?
6 / 16
Rovnoměrné (spojité) rozdělenı́
Představme si ideálnı́“ systém městské hromadné dopravy, ve které určitá linka přijı́ždı́ na
”
zastávku v naprosto přesném intervalu 10 minut. Náhodnou veličinou X je doba čekánı́ na tuto
linku při náhodném přı́chodu na zastávku.
1
Jaké jsou možné hodnoty této náhodné veličiny?
2
Namalujte a popište graf hustoty pravděpodobnosti této náhodné veličiny.
3
Jaká je pravděpodobnost, že na autobus budete čekat od 2 do 7 minut?
4
Jaká je pravděpodobnost, že na autobus budete čekat vı́ce než 6 minut?
Generátor náhodných čı́sel v PC vytvářı́“ náhodná čı́sla z rozmezı́ h0, 1i. S jakou
”
pravděpodobnostı́ bude vylosováno čı́slo
a) x = 0, 3251
b) menšı́ než x = 0, 4
c) čı́slo většı́ než x = 0, 7
d) čı́slo z rozmezı́ 0,4 až 0,7?
6 / 16
Exponenciálnı́ rozdělenı́ náhodné veličiny
Časový interval X mezi dvěma sousednı́mi výskyty událostı́ v Poissonovském procesu je náhodná
veličina s tzv. exponenciálnı́m rozdělenı́m pravděpodobnosti.
Exponenciálnı́ rozdělenı́
Exponenciálnı́m rozdělenı́m Exp(δ) nazveme takové rozdělenı́ pravděpodobnosti, jehož hustota je
(
f (x) =
1
δ
e−x/δ ,
0,
x ∈ (0, ∞), δ > 0
jinak,
kde X je doba do sledované události. Dále platı́
F (X) = 1 − e−x/δ ,
E(X) = δ,
D(X) = δ 2
V jisté restauraci čekáme na obslouženı́ průměrně 9 minut. Jaká je pravděpodobnost, že budeme
obslouženi do 4 minut?
Pracovnice call centra přijme hovor průměrně jednou za 6 minut. Jaká je pravděpodobnost, že
po dobu, kdy se na dvě minuty vzdálı́, nepřijde žádný hovor?
7 / 16
Normálnı́ rozdělenı́ náhodné veličiny
Normálnı́ rozdělenı́ pravděpodobnosti má zcela výjimečnou pozici mezi ostatnı́mi
pravděpodobnostnı́mi rozdělenı́mi spojité náhodné veličiny. Toto rozdělenı́ je použitelné tam, kde
kolı́sánı́ hodnot nějaké veličiny je způsobeno velkým počtem nepatrných a nezávislých vlivů.
Normálnı́ rozdělenı́
Řekneme, že náhodná veličina X má normálnı́ rozdělenı́ pravděpodobnosti, tj. X ∼ No[µ, σ 2 ],
jestliže hustota pravděpodobnosti f (x) je popsána vzorcem
2
f (x) =
(x−µ)
1
−
2σ 2
√
e
,
σ 2π
−∞ < x < ∞.
Normálnı́ rozdělenı́ má dva parametry µ a σ 2 , kde µ je střednı́ hodnota rozdělenı́ a σ 2 je jeho
rozptyl. Je tedy
E(X) = µ,
D(X) = σ 2 .
8 / 16
Distribučnı́ funkce normálnı́ho rozdělenı́ má tvar
F (x) =
1
√
σ 2π
Z
x
e
−
(t−µ)2
2σ 2
dt.
−∞
Obrázek : Hustota pravděpodobnosti normálnı́ho rozdělenı́ X ∼ No[180, 102 ]
9 / 16
Výpočet F (x) podle vzorce je obtı́žný, proto náhodnou veličinu X transformujeme na
normovanou veličinu U, kde
X−µ
.
U=
σ
Po této transformaci dostaneme tzv. normované náhodné rozdělenı́ U, kde je
Z u
u2
t2
1
1
f (u) = √
e− 2 ,
F (u) = √
e− 2 dt.
2π
2π −∞
Parametry normovaného normálnı́ho rozdělenı́ U jsou
E(U) = 0,
D(U) = 1.
Hodnoty normovaného normálnı́ho rozdělenı́ jsou tabelovány. Protože je rozdělenı́ symetrické
okolo nuly, stačı́ v tabulce uvést hodnoty pravděpodobnostı́ pouze pro u > 0. Potom platı́
F (−u) = 1 − F (u).
Často máme najı́t pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty z intervalu x1 až
x2 . Z vlastnostı́ distribučnı́ funkce plyne
P (u1 < U < u2 ) = F (u2 ) − F (u1 ).
10 / 16
Necht’ X je náhodná veličina s normovaným normálnı́m rozdělenı́m No[0, 1]. Určete, jaká je
pravděpodobnost, že hodnota X bude
a) menšı́ než 1, 25
b) většı́ než 2, 1
c) menšı́ než −1, 5
d) většı́ než −0, 45
e) v rozmezı́ 0, 35 až 1, 87
f) v rozmezı́ −1, 35 až 0, 55
11 / 16
d) většı́ než −0, 45
e) v rozmezı́ 0, 35 až 1, 87
f) v rozmezı́ −1, 35 až 0, 55
a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, 894350
11 / 16
d) většı́ než −0, 45
e) v rozmezı́ 0, 35 až 1, 87
f) v rozmezı́ −1, 35 až 0, 55
a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, 894350
b) P (X > 2, 1) = 1 − F (2, 1) = 1 − 0, 982136 = 0, 017864
11 / 16
d) většı́ než −0, 45
e) v rozmezı́ 0, 35 až 1, 87
f) v rozmezı́ −1, 35 až 0, 55
a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, 894350
b) P (X > 2, 1) = 1 − F (2, 1) = 1 − 0, 982136 = 0, 017864
c) P (X < −1, 5) = 1 − F (1, 5) = 1 − 0, 933193 = 0, 066807
11 / 16
d) většı́ než −0, 45
e) v rozmezı́ 0, 35 až 1, 87
f) v rozmezı́ −1, 35 až 0, 55
a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, 894350
b) P (X > 2, 1) = 1 − F (2, 1) = 1 − 0, 982136 = 0, 017864
c) P (X < −1, 5) = 1 − F (1, 5) = 1 − 0, 933193 = 0, 066807
d) P (X > −0, 45) = F (0, 45) = 0, 673645
11 / 16
d) většı́ než −0, 45
e) v rozmezı́ 0, 35 až 1, 87
f) v rozmezı́ −1, 35 až 0, 55
a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, 894350
b) P (X > 2, 1) = 1 − F (2, 1) = 1 − 0, 982136 = 0, 017864
c) P (X < −1, 5) = 1 − F (1, 5) = 1 − 0, 933193 = 0, 066807
d) P (X > −0, 45) = F (0, 45) = 0, 673645
e) P (0, 35 < X < 1, 87) = F (1, 87) − F (0, 35) = 0, 969258 − 0, 636831 = 0, 332427
11 / 16
d) většı́ než −0, 45
e) v rozmezı́ 0, 35 až 1, 87
f) v rozmezı́ −1, 35 až 0, 55
a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, 894350
b) P (X > 2, 1) = 1 − F (2, 1) = 1 − 0, 982136 = 0, 017864
c) P (X < −1, 5) = 1 − F (1, 5) = 1 − 0, 933193 = 0, 066807
d) P (X > −0, 45) = F (0, 45) = 0, 673645
e) P (0, 35 < X < 1, 87) = F (1, 87) − F (0, 35) = 0, 969258 − 0, 636831 = 0, 332427
f) P (−1, 35 < X < 0, 55) = F (0, 55) − F (−1, 35) = F (0, 55) − [1 − F (1, 35)] =
F (0, 55) + F (1, 35) − 1 = 0, 620332
11 / 16
Životnost baterie je náhodnou veličinou X s normálnı́m rozdělenı́m s parametry µ = 300 hodin a
σ = 35 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná baterie bude mı́t životnost většı́
než 320 hodin?
12 / 16
Životnost baterie je náhodnou veličinou X s normálnı́m rozdělenı́m s parametry µ = 300 hodin a
σ = 35 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná baterie bude mı́t životnost většı́
než 320 hodin?
Je X ∼ No[300, 352 ]. Převedenı́m na normované rozdělenı́ dostaneme
U=
X − 300
320 − 300
20
4 .
=
=
= = 0, 57.
35
35
35
7
Je tedy
P (X > 320) = P (U > 0, 57) = 1 − F (0, 57) = 1 − 0, 715661 = 0, 284339.
Pravděpodobnost, že náhodně vybraná baterie vydržı́ pracovat déle než 320 hodin je přibližně
p = 0, 284.
12 / 16
Při výstupnı́ kontrole je součástka uznána za kvalitnı́, jestliže se jejı́ rozměr pohybuje v rozmezı́
35 až 37 mm. Rozměry součástek majı́ normálnı́ rozdělenı́ se střednı́ hodnotou µ = 36, 2 mm a
směrodatnou odchylkou 0, 3 mm. Jaká je pravděpodobnost, že rozměr součástky, náhodně
vybrané ke kontrole, bude v požadovaných mezı́ch?
13 / 16
Při výstupnı́ kontrole je součástka uznána za kvalitnı́, jestliže se jejı́ rozměr pohybuje v rozmezı́
35 až 37 mm. Rozměry součástek majı́ normálnı́ rozdělenı́ se střednı́ hodnotou µ = 36, 2 mm a
směrodatnou odchylkou 0, 3 mm. Jaká je pravděpodobnost, že rozměr součástky, náhodně
vybrané ke kontrole, bude v požadovaných mezı́ch?
Je X ∼ No[36.2, 0.32 ]. Převedenı́m na normované rozdělenı́ dostaneme
U=
X − 36.2
,
0.3
u1 =
35 − 36.2
−1.2
=
= −4,
0.3
0.3
u2 =
37 − 36.2
0.8 .
=
= 2.67.
0.3
0.3
Hledaná pravděpodobnost je
P (35 < X < 37) = P (−4 < U < 2, 67)
= F (2, 67) − F (−4)
= F (2, 67) + F (4) − 1
.
= 0, 9962 + 0, 9999 − 1 = 0, 9962
Pravděpodobnost, že součástka bude v požadovaných mezı́ch činı́ přibližně p = 0, 996.
13 / 16
Výrobce trolejbusů připravuje nový typ trolejbusu. Při návrhu stanovuje různé detaily týkajı́cı́ se
trolejbusu. Jednı́m z nich je výška dveřı́, která má být taková, aby jimi prošlo 95 % lidı́.
Předpokládejme, že výška lidı́, kteřı́ použı́vajı́ městskou dopravu podléhá normálnı́mu rozdělenı́ s
parametry µ = 180 cm a směrodatnou odchylkou σ = 10 cm. Jaká by tedy měla být výška dveřı́?
14 / 16
Z tabulek pro normovanou distribučnı́ funkci normálnı́ho rozdělenı́ vyčteme, že Φ(u) = 0, 95
platı́ pro u = 1, 65.
.
Je tedy Φ(1, 65) = 0, 95, resp. P (U ≤ 1, 65) = 0, 95.
Nynı́ musı́me zjistit, která hodnota x v X ∼ No[180, 102 ] odpovı́dá u = 1, 65 pro U ∼ N [0, 1].
U=
X−µ
σ
⇒
1, 65 =
x − 180
10
⇒
16, 5 = x − 180
⇒
x = 196, 5
Výška dveřı́ trolejbusu by měla být rovna 196,5 cm.
14 / 16
Z tabulek pro normovanou distribučnı́ funkci normálnı́ho rozdělenı́ vyčteme, že Φ(u) = 0, 95
platı́ pro u = 1, 65.
.
Je tedy Φ(1, 65) = 0, 95, resp. P (U ≤ 1, 65) = 0, 95.
Nynı́ musı́me zjistit, která hodnota x v X ∼ No[180, 102 ] odpovı́dá u = 1, 65 pro U ∼ N [0, 1].
U=
X−µ
σ
⇒
1, 65 =
x − 180
10
⇒
16, 5 = x − 180
⇒
x = 196, 5
Výška dveřı́ trolejbusu by měla být rovna 196,5 cm.
Uvedená hodnota představuje 95% kvantil, nebot’ je 95% všech hodnot menšı́ch nebo rovných
196,5 cm a 5% je stejných nebo většı́ch než 196,5 cm.
14 / 16
Úlohy k samostatné práci
Přı́klad I
Předepsaný objem automaticky plněné krabice s mlékem je 1 litr. Povolená tolerance
(směrodatná odchylka) činı́ 0.03 litru.
1
Kolik krabic v zásilce 1 400 kusů bude mı́t objem menšı́ než 0.97 litru?
2
Jaká by musela být směrodatná odchylka, aby pouze 4 % krabic mělo svůj objem mimo
povolený interval (0.97, 1.03) litru?
Přı́klad II
Zkouška nového stroje musı́ probı́hat nepřetržitě 24 hodin a je nezbytně nutné, aby po celou
tuto dobu byl stroj pod kontrolou diagnostického zařı́zenı́. Vı́me, že diagnostické zařı́zenı́ má
poruchu průměrně jednou za 2 500 hodin. Zjistěte, zda čas čekánı́ na poruchu diagnostického
”
zařı́zenı́“ je s pravděpodobnostı́ p = 0.99 delšı́, než čas vymezený na zkoušku.
Přı́klad III
Váha automaticky vyráběného výrobku (v gramech) je náhodná veličina X ∼ No[152.4, 0.16].
Kolik procent výrobků je těžšı́ch než 153 gramů?
15 / 16

Statistika (KMI/PSTAT) - Cvicení deváté aneb Duležitá

Transkript

Podobné dokumenty

1. Diskrétnı náhodné veliciny Definice 1. Náhodná velicina X je

klotoida - Geometrie

PREfórum 7/2003

Symbolické integrování6pt

Vyhodnocován´ı vad reci det´ı s vyuzit´ım algoritmu DTW

Základy funkcionáln´ı analýzy

ten který tančí s kapry