Symbolické integrování6pt

Symbolické integrovánı́
Symbolické integrovánı́
Petr Nečesal, Josef Polák
Katedra matematiky, FAV ZČU v Plzni
Seminář o výuce matematiky
16. června 2011, VŠB-TU Ostrava
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
1 / 36
Symbolické integrovánı́
Sedm trpaslı́ků pro symbolické výpočty
I
I
I
I
I
I
I
SymDwf
SymDwf
SymDwf
SymDwf
SymDwf
SymDwf
SymDwf
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
[Erich L. Kaltofen]
Lineárnı́ algebra v přesné aritmetice, svazy
Gröbnerovy báze
Symbolické inverznı́ problémy
Tarského algebraická teorie
Hybridnı́ symbolicko-numerické výpočty
Výpočty řešenı́ v uzavřeném tvaru
Výpočtová teorie grup
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
2 / 36
Symbolické integrovánı́
Neurčitý integrál – hádanka či překvapenı́?
Z
1
dx
1 + ex
Z
x
dx
1 + ex
I
I
Z
I
x(x + 1)
2
2
2
x2 e2x − ln2 (x + 1) + 2xe3x x − 2x3 + 2x2 + x + 1 ln(x + 1)
(x + 1) ln2 (x + 1) − (x3 + x2 ) e2x2
www.KMA.zcu.cz
dx
2
Ostrava 2011
3 / 36
Symbolické integrovánı́
Neurčitý integrál – hádanka či překvapenı́?
Z
1
d x = x − ln(1 + ex )
1 + ex
Z
x
dx
1 + ex
I
I
Z
I
x(x + 1)
2
2
2
x2 e2x − ln2 (x + 1) + 2xe3x x − 2x3 + 2x2 + x + 1 ln(x + 1)
(x + 1) ln2 (x + 1) − (x3 + x2 ) e2x2
www.KMA.zcu.cz
dx
2
Ostrava 2011
3 / 36
Symbolické integrovánı́
Neurčitý integrál – hádanka či překvapenı́?
Z
1
d x = x − ln(1 + ex )
1 + ex
Z
X (−1)n (ex )n
x
x2
x
=
−
x
ln(1
+
e
)
−
d
x
1 + ex
2
n2
I
I
+∞
n=1
Z
I
x(x + 1)
2
2
2
x2 e2x − ln2 (x + 1) + 2xe3x x − 2x3 + 2x2 + x + 1 ln(x + 1)
(x + 1) ln2 (x + 1) − (x3 + x2 ) e2x2
www.KMA.zcu.cz
dx
2
Ostrava 2011
3 / 36
Symbolické integrovánı́
Neurčitý integrál – hádanka či překvapenı́?
Z
1
d x = x − ln(1 + ex )
1 + ex
Z
X (−1)n (ex )n
x
x2
x
=
−
x
ln(1
+
e
)
−
d
x
1 + ex
2
n2
I
I
+∞
n=1
Z
x(x + 1)
2
2
2
x2 e2x − ln2 (x + 1) + 2xe3x x − 2x3 + 2x2 + x + 1 ln(x + 1)
I
(x + 1) ln2 (x + 1) − (x3 + x2 ) e2x2
2
= x − ln(x + 1) −
xex ln(x + 1)
2
ln (x + 1) −
x2
2
e x2
+
dx
2
1 2
2
1 ln ln(x + 1) + xex − ln ln(x + 1) − xex
2
2
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
3 / 36
Symbolické integrovánı́
Elementárnı́ funkce
I
základnı́: konstantnı́, mocninné, exponenciálnı́, logaritmické,
goniometrické a cyklometrické funkce,
funkce z nich vytvořené pomocı́ konečného počtu alg. operacı́
sčı́tánı́, odčı́tánı́, násobenı́ a dělenı́ nebo pomocı́ tvořenı́ složených
funkcı́.
I
algebraické
I
I
racionálnı́
I
I
I
I
y = x2 + 1
celistvé (polynomické)
lomené
I
ryze lomené
y=
I
neryze lomené
y=
iracionálnı́
transcendentnı́
y=
y = ln x,
www.KMA.zcu.cz
y = ex ,
y = ln(x2 + 1),
1
x2 +1
x2
x2 +1
√ 1
x2 +1
y = ln(ex + 1)
Ostrava 2011
4 / 36
Symbolické integrovánı́
Elementárnı́ funkce
Pro x ∈ R platı́
sin x =
ei x − e−i x
,
2i
arcsin x = −i ln(
cos x =
ei x + e−i x
,
2
arccos x = −i ln(x − i
tg x = −i
cotg x = i
ei x − e−i x
,
ei x + e−i x
ei x + e−i x
,
ei x − e−i x
x 6=
(2k + 1)π
x 6= kπ,
2
,
p
1 − x2 + i x),
|x| ≤ 1,
p
1 − x2 ),
|x| ≤ 1,
i −x
i
,
arctg x = − ln
2 i +x
i
x+i
arccotg x = − ln
.
2 x−i
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
5 / 36
Symbolické integrovánı́
Abelova věta (1823)
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
6 / 36
Symbolické integrovánı́
Abelova věta (1823)
Niels Henrik Abel (1802 – 1829)
I norský matematik,
I
rozprava o rovnicı́ch, v které je
dokázána nemožnost obecného
řešenı́ rovnic pátého stupně,
I
od roku 2002 je udělována
Abelova cena.
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
6 / 36
Symbolické integrovánı́
Abelova věta (1823)
Necht’ f = f (x) je algebraická funkce proměnné x.
Z
f (x) d x = u(x, f (x)) +
n
X
ck ln uk (x, f (x)),
k=1
=⇒
u = u(x, y), uk = uk (x, y) jsou racionálnı́ funkce proměnných x a y,
ck ∈ C.
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
7 / 36
Symbolické integrovánı́
Liouvilleova věta (1834)
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
8 / 36
Symbolické integrovánı́
Liouvilleova věta (1834)
Joseph Liouville (1809 – 1882)
I
francouzský matematik,
I
Liouvilleova transcendentnı́ čı́sla
+∞
X
1
,
10n!
n=1
I
Sturm–Liouvilleův problém

−(p(x)y 0 (x))0 + q(x)y(x)



α1 y(a) + α2 y 0 (a)



β y(b) + β y 0 (b)
1
2
=
λw(x)y(x),
=
0,
=
0.
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
8 / 36
Symbolické integrovánı́
Liouvilleova věta (1834)
Necht’ f = f (x) je algebraická funkce proměnné x.
Z
f (x) d x je elementárnı́ funkce
=⇒
Z
f (x) d x = u(x) +
n
X
ck ln uk (x),
k=1
kde u, uk jsou algebraické funkce proměnné x a ck ∈ C.
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
9 / 36
Symbolické integrovánı́
Silná Liouvilleova věta (1835)
Necht’
I
f = f (x, y1 , . . . , ym ) je algebraická funkce prom. x, y1 , . . . , ym ,
I
y1 = y1 (x), . . . , ym = ym (x),
I d y1 , . . . , d ym
dx
dx
jsou algebraické funkce prom. x, y1 , . . . , ym .
Z
f (x, y1 , . . . , ym ) d x je elementárnı́ funkce
⇐⇒
Z
f (x, y1 , . . . , ym ) d x = u +
n
X
ck ln uk ,
k=1
kde u, uk jsou algebraické funkce proměnných x, y1 , . . . , ym a ck ∈ C.
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
10 / 36
Symbolické integrovánı́
Silná Liouvilleova věta (1835)
Necht’
I
f = f (x, y1 , . . . , ym ) je racionálnı́ funkce prom. x, y1 , . . . , ym ,
I
y1 = y1 (x), . . . , ym = ym (x),
I d y1 , . . . , d ym
dx
dx
jsou racionálnı́ funkce prom. x, y1 , . . . , ym .
Z
f (x, y1 , . . . , ym ) d x je elementárnı́ funkce
⇐⇒
Z
f (x, y1 , . . . , ym ) d x = u +
n
X
ck ln uk ,
k=1
kde u, uk jsou racionálnı́ funkce proměnných x, y1 , . . . , ym a ck ∈ C.
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
11 / 36
Symbolické integrovánı́
Liouvilleovo kritérium (1835)
Necht’
I
f = f (x) a g = g(x) jsou racionálnı́ funkce proměnné x,
I
g je nekonstantnı́ funkce.
Z
f (x)e g(x) d x je elementárnı́ funkce
⇐⇒
f (x) = r0 (x) + r(x)g 0 (x),
kde r je racionálnı́ funkce proměnné x.
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
12 / 36
Symbolické integrovánı́
Důsledky Liouvilleova kritéria
Z
I
2
x2m eax d x, m ∈ Z, a ∈ C \ {0},
www.KMA.zcu.cz
je neelementárnı́ funkce,
Ostrava 2011
13 / 36
Symbolické integrovánı́
Důsledky Liouvilleova kritéria
Z
I
2
x2m eax d x, m ∈ Z, a ∈ C \ {0},
je neelementárnı́ funkce,
Přı́klady neelementárnı́ch funkcı́:
Z
2
ex d x,
Z
2
e−x d x,
Z √
Z
ln x d x,
www.KMA.zcu.cz
√
1
ln x
Z
d x,
eax
√ d x,
x
Z
cos x2 d x,
Z
sin x2 d x.
Ostrava 2011
13 / 36
Symbolické integrovánı́
Důsledky Liouvilleova kritéria
Z
I
2
x2m eax d x, m ∈ Z, a ∈ C \ {0},
je neelementárnı́ funkce,
Přı́klady neelementárnı́ch funkcı́:
Z
Z
I
2
ex d x,
Z
2
e−x d x,
Z √
Z
ln x d x,
√
1
ln x
x−n ecx d x, n ∈ N, c ∈ C \ {0},
www.KMA.zcu.cz
Z
d x,
eax
√ d x,
x
Z
cos x2 d x,
Z
sin x2 d x.
je neelementárnı́ funkce,
Ostrava 2011
13 / 36
Symbolické integrovánı́
Důsledky Liouvilleova kritéria
Z
2
x2m eax d x, m ∈ Z, a ∈ C \ {0},
I
je neelementárnı́ funkce,
Přı́klady neelementárnı́ch funkcı́:
Z
2
ex d x,
Z
I
Z
2
e−x d x,
Z √
Z
√
ln x d x,
1
ln x
Z
d x,
x−n ecx d x, n ∈ N, c ∈ C \ {0},
eax
√ d x,
x
Z
cos x2 d x,
Z
sin x2 d x.
je neelementárnı́ funkce,
Přı́klady neelementárnı́ch funkcı́:
Z
ex
d x,
x
Z
ex
d x,
x2
Z
x
ee d x,
Z
1
d x,
ln x
www.KMA.zcu.cz
Z
Z
ln ln x d x,
sin x
d x,
x
Z
cos x
d x.
x
Ostrava 2011
13 / 36
Symbolické integrovánı́
Čebyševova věta (1853)
Necht’ p, q, r ∈ Q, a, b ∈ R, r, a, b 6= 0.
Z
xp (a + bxr )q d x je elementárnı́ funkce
⇐⇒
p+1
∈Z
r
∨
q∈Z
www.KMA.zcu.cz
∨
p+1
+ q ∈ Z.
r
Ostrava 2011
14 / 36
Symbolické integrovánı́
Čebyševova věta (1853)
Necht’ p, q, r ∈ Q, a, b ∈ R, r, a, b 6= 0.
Z
xp (a + bxr )q d x je elementárnı́ funkce
⇐⇒
p+1
∈Z
r
∨
q∈Z
Přı́klady elementárnı́ch funkcı́:
Z p
1 + x2 d x,
Přı́klady neelementárnı́ch funkcı́:
Z p
Z
1
3
√
1 + x2 d x,
d x,
1 + x3
www.KMA.zcu.cz
∨
p+1
+ q ∈ Z.
r
Z p
1 − x2 d x.
Z √
Z
sin x d x,
√
cos x d x.
Ostrava 2011
14 / 36
Symbolické integrovánı́
Liouvilleova–Hardyho věta (1905)
Necht’ f = f (x) je racionálnı́ funkce proměnné x.
Z
f (x) ln x d x
je elementárnı́ funkce
⇐⇒
f (x) =
c
+ g 0 (x),
x
kde g je racionálnı́ funkce proměnné x a c ∈ C.
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
15 / 36
Symbolické integrovánı́
Liouvilleova–Hardyho věta (1905)
Necht’ f = f (x) je racionálnı́ funkce proměnné x.
Z
f (x) ln x d x
je elementárnı́ funkce
⇐⇒
f (x) =
c
+ g 0 (x),
x
kde g je racionálnı́ funkce proměnné x a c ∈ C.
Přı́klad neelementárnı́ funkce:
Z
ln x
d x,
x−a
www.KMA.zcu.cz
a 6= 0.
Ostrava 2011
15 / 36
Symbolické integrovánı́
Joel Moses
I
1967 – Ph.D. na Massachusetts Institute of Technology v Cambridge,
I
vedoucı́ katedry elektrotechniky a informatiky (EECS),
I
SIN – Symbolic INtegrator,
I
1969 – MACSYMA – MAC’s SYmbolic MAnipulator,
I celkem 7 hlavnı́ch balı́čků
(od 15000 do 35000 slov v LISPu),
I zjednodušovánı́ výrazů,
I GCD – největšı́ společný dělitel,
I faktorizace,
I integrace,
I řešenı́ diferenciálnı́ch rovnic.
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
16 / 36
Symbolické integrovánı́
Symbolic INtegrator - část I
Z
c op(u(x))u0 (x) d x
I c ∈ C, op je elementárnı́ funkce,
I op může být jedna z funkcı́
sin,
cos,
tg,
cotg,
sec,
csc,
arcsin,
arctg,
arcsec,
ln,
I op(u(x)) může mı́t tvar
u(x),
I
1
,
u(x)
u(x)d ,
Z
du(x) ,
Z
(A1 + · · · + An ) d x =
Z
A1 d x +
An d x,
I binomický rozvoj
Z
(A1 + A2 )n d x =
n Z
X
n
k=0
www.KMA.zcu.cz
k
An−k
Ak2 d x.
1
Ostrava 2011
17 / 36
Symbolické integrovánı́
Symbolic INtegrator - část II (11 metod)
SIN použı́vá dvě pomocné procedury:
FORM
a
SCHATCHEN.
1 substituce y = ex ,
2 substituce y =
xk ,
3 substituce y =
ax+b
cx+d
R
1
k
5 substituce pro integraci výrazů obsahujı́cı́
I
sin mx sin nx,
I
sinm x cosn x,
I
substituce y = sin x,
sin mx cos nx,
√
d x,
d x,
R √
x x + 1 d x,
Rp
x(1 + x)5 d x,
R
4
√ x
d x,
2 5
,
4 integrace xr (c1 + c2 xq )p , p, q, r ∈ Q,
6
e2x
1+e4x
x3 sin(x2 )
R
ax2 + bx + c,
(1−x )
cos mx cos nx,
1
1+cos x
x
ex
(x+1)2
d x,
8 integrace racionálnı́ funkce,
R
1
x3 +x
d x,
9 integrace logaritmických funkcı́ s racionálnı́mi koeficienty,
R
x ln x d x,
y = cos x,
y = tg x,
y = tg
x
,
2
R
R
7 integrace racionálnı́ funkce krát exponenciálnı́ funkce,
R
10 integrace racionálnı́ch funkcı́ logaritmů,
R
11 roznásobenı́ v integrandu,
www.KMA.zcu.cz
ln x
(1+ln x)2
d x,
d x,
x(cos x + sin x) d x.
Ostrava 2011
18 / 36
Symbolické integrovánı́
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
19 / 36
Symbolické integrovánı́
Symbolic INtegrator - část III (2 metody)
1
integrace per-partes
Z
Z
0
u(x)v (x) d x = u(x)v(x) − u0 (x)v(x) d x,
2
EDucated GuEss - heuristika založená na Liouvilleově teorii,
- snaha uhodnout“ tvar integrálu dle integrandu,
”
- implementace části Rischova algoritmu,
R.H. Risch
The Problem of Integration in Finite Terms,
Transactions of the American Mathematical Society 139 (1969),
167–189.
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
20 / 36
Symbolické integrovánı́
Definice
Těleso (F ; +, ·) je množina F , na které jsou definovány dvě binárnı́
operace + a · takové, že (F ; +) a (F \ {0}; ·) jsou Abelovy grupy
a · je distributivnı́ vzhledem k +.
Tj. platı́
1 A1, A2, A3, A4 pro F vzhledem k +,
2 A1, A2, A3, A4 pro F \ {0} vzhledem k ·,
3 A5,
kde
A1:
A2:
A3:
A4:
A5:
∀a, b, c ∈ G :
∀a ∈ G ∃ e ∈ G :
∀a ∈ G ∃ a−1 ∈ G :
∀a, b ∈ G :
∀a, b, c ∈ F :
a ◦ (b ◦ c)
e◦a
a ◦ a−1
a◦b
a · (b + c)
(a + b) · c
www.KMA.zcu.cz
=
=
=
=
=
=
(a ◦ b) ◦ c,
a ◦ e = a,
a−1 ◦ a = e,
b ◦ a,
(a · b) + (a · c),
(a · c) + (b · c).
(asociativita)
(neutrálnı́ prvek)
(inverznı́ prvek)
(komutativita)
(distibutivita)
Ostrava 2011
21 / 36
Symbolické integrovánı́
Definice
Diferenciálnı́ těleso je těleso F , na kterém je definováno zobrazenı́
D:F →F
takové, že
∀f, g ∈ F
platı́
D(f + g) = D(f ) + D(g),
D(f · g) = D(f ) · g + f · D(g).
Zobrazenı́ D se řı́ká derivace nebo diferenciálnı́ operátor a značı́me 0 .
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
22 / 36
Symbolické integrovánı́
Definice
Necht’ F je diferenciálnı́ těleso a G je diferenciálnı́ rozšı́řené těleso F .
I θ ∈ G nazveme logaritmickým prvkem nad F , pokud existuje u ∈ F tak, že
θ0 =
u0
.
u
Zapisujeme: θ = ln(u).
I θ ∈ G nazveme exponenciálnı́m prvkem nad F , pokud existuje u ∈ F tak, že
θ0
= u0 .
θ
Zapisujeme: θ = exp(u).
I θ ∈ G nazveme algebraickým prvkem nad F , pokud existuje p ∈ F [z] tak, že
p(θ) = 0.
I θ ∈ G nazveme transcendentnı́m prvkem nad F , pokud θ nenı́ alg. prvkem nad F .
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
23 / 36
Symbolické integrovánı́
Definice
Necht’ F je diferenciálnı́ těleso a G je diferenciálnı́ rozšı́řené těleso F .
I G je jednoduché rozšı́řenı́ F , pokud
G = F (θ) =
f (θ)
: f, g ∈ F [z], g(θ) 6= 0 ,
g(θ)
kde θ ∈ G.
I G je transcendentnı́ elementárnı́ rozšı́řenı́ F , pokud
G = F (θ1 , . . . , θn ),
kde θi , i = 1, . . . , n, je transcendentnı́ prvek a log. nebo exp. prvek nad F (θ1 , . . . , θi−1 ).
I G je elementárnı́ rozšı́řenı́ F , pokud
G = F (θ1 , . . . , θn ),
kde θi , i = 1, . . . , n, je transcendentnı́ nebo log. nebo exp. prvek nad F (θ1 , . . . , θi−1 ).
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
24 / 36
Symbolické integrovánı́
Věta (Liouvilleova)
Necht’
I
F je diferencovatelné těleso s konstantnı́m tělesem K = {c ∈ F
I
G je elementárnı́ rozšı́řenı́ F se stejným konst. tělesem K.
: c0 = 0},
Jestliže rovnice g 0 = f , f ∈ F , má řešenı́ g ∈ G
=⇒
g = v0 +
m
X
ci ln(vi ),
i=1
kde v0 , v1 , . . . , vm ∈ F
a c1 , . . . , cm ∈ K.
Důkaz:
Krok 1: Pro G = F máme g ∈ F , m = 0, g = v0 .
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
25 / 36
Symbolické integrovánı́
Krok 2a:
G = F (θ), θ = ln(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
26 / 36
Symbolické integrovánı́
Krok 2a:
I g=
a(θ)
,
b(θ)
G = F (θ), θ = ln(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
kde a(θ), b(θ) ∈ F [θ], gcd(a(θ), b(θ)) = 1, b(θ) je normovaný polynom,
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
26 / 36
Symbolické integrovánı́
Krok 2a:
I g=
a(θ)
,
b(θ)
I b(θ) =
µ
Y
G = F (θ), θ = ln(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
kde a(θ), b(θ) ∈ F [θ], gcd(a(θ), b(θ)) = 1, b(θ) je normovaný polynom,
bi (θ)ri ,
kde
bi (θ)
jsou různé normované nerozlož. polynomy v F [θ],
i=1
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
26 / 36
Symbolické integrovánı́
Krok 2a:
I g=
a(θ)
,
b(θ)
I b(θ) =
µ
Y
G = F (θ), θ = ln(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
kde a(θ), b(θ) ∈ F [θ], gcd(a(θ), b(θ)) = 1, b(θ) je normovaný polynom,
bi (θ)ri ,
kde
bi (θ)
jsou různé normované nerozlož. polynomy v F [θ],
i=1
I g=
ri
µ X
X
aij (θ)
a(θ)
= a0 (θ) +
,
b(θ)
b (θ)j
i=1 j=1 i
kde a0 (θ), aij (θ), bi (θ) ∈ F [θ],
deg(aij (θ)) < deg(bi (θ)),
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
26 / 36
Symbolické integrovánı́
G = F (θ), θ = ln(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
Krok 2a:
I g=
a(θ)
,
b(θ)
I b(θ) =
µ
Y
kde a(θ), b(θ) ∈ F [θ], gcd(a(θ), b(θ)) = 1, b(θ) je normovaný polynom,
bi (θ)ri ,
kde
bi (θ)
jsou různé normované nerozlož. polynomy v F [θ],
i=1
I g=
ri
µ X
X
aij (θ)
a(θ)
= a0 (θ) +
,
b(θ)
b (θ)j
i=1 j=1 i
kde a0 (θ), aij (θ), bi (θ) ∈ F [θ],
deg(aij (θ)) < deg(bi (θ)),
I f = g0 =
a(θ)
b(θ)
0
= a0 (θ)0 +
ri µ X
X
i=1 j=1
www.KMA.zcu.cz
aij (θ)0
aij (θ) · j · bi (θ)0
,
−
bi (θ)j
bi (θ)j+1
Ostrava 2011
26 / 36
Symbolické integrovánı́
G = F (θ), θ = ln(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
Krok 2a:
I g=
a(θ)
,
b(θ)
I b(θ) =
µ
Y
kde a(θ), b(θ) ∈ F [θ], gcd(a(θ), b(θ)) = 1, b(θ) je normovaný polynom,
bi (θ)ri ,
kde
bi (θ)
jsou různé normované nerozlož. polynomy v F [θ],
i=1
I g=
ri
µ X
X
aij (θ)
a(θ)
= a0 (θ) +
,
b(θ)
b (θ)j
i=1 j=1 i
kde a0 (θ), aij (θ), bi (θ) ∈ F [θ],
deg(aij (θ)) < deg(bi (θ)),
I f = g0 =
a(θ)
b(θ)
0
= a0 (θ)0 +
ri µ X
X
i=1 j=1
aij (θ)0
aij (θ) · j · bi (θ)0
,
−
bi (θ)j
bi (θ)j+1
I f = a0 (θ)0 ,
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
26 / 36
Symbolické integrovánı́
G = F (θ), θ = ln(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
Krok 2a:
I g=
a(θ)
,
b(θ)
I b(θ) =
µ
Y
kde a(θ), b(θ) ∈ F [θ], gcd(a(θ), b(θ)) = 1, b(θ) je normovaný polynom,
bi (θ)ri ,
kde
bi (θ)
jsou různé normované nerozlož. polynomy v F [θ],
i=1
I g=
ri
µ X
X
aij (θ)
a(θ)
= a0 (θ) +
,
b(θ)
b (θ)j
i=1 j=1 i
kde a0 (θ), aij (θ), bi (θ) ∈ F [θ],
deg(aij (θ)) < deg(bi (θ)),
I f = g0 =
a(θ)
b(θ)
0
= a0 (θ)0 +
ri µ X
X
i=1 j=1
aij (θ)0
aij (θ) · j · bi (θ)0
,
−
bi (θ)j
bi (θ)j+1
I f = a0 (θ)0 ,
I a0 (θ) = c θ + d,
kde c ∈ K a d ∈ F ,
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
26 / 36
Symbolické integrovánı́
G = F (θ), θ = ln(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
Krok 2a:
I g=
a(θ)
,
b(θ)
I b(θ) =
µ
Y
kde a(θ), b(θ) ∈ F [θ], gcd(a(θ), b(θ)) = 1, b(θ) je normovaný polynom,
bi (θ)ri ,
kde
bi (θ)
jsou různé normované nerozlož. polynomy v F [θ],
i=1
I g=
ri
µ X
X
aij (θ)
a(θ)
= a0 (θ) +
,
b(θ)
b (θ)j
i=1 j=1 i
kde a0 (θ), aij (θ), bi (θ) ∈ F [θ],
deg(aij (θ)) < deg(bi (θ)),
I f = g0 =
a(θ)
b(θ)
0
= a0 (θ)0 +
ri µ X
X
i=1 j=1
aij (θ)0
aij (θ) · j · bi (θ)0
,
−
bi (θ)j
bi (θ)j+1
I f = a0 (θ)0 ,
I a0 (θ) = c θ + d,
kde c ∈ K a d ∈ F ,
I g = d + c ln(u),
kde c ∈ K a d, u ∈ F .
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
26 / 36
Symbolické integrovánı́
Krok 2b:
G = F (θ), θ = exp(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
27 / 36
Symbolické integrovánı́
G = F (θ), θ = exp(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
Krok 2b:
a(θ)
,
kde a(θ), b(θ) ∈ F [θ], gcd(a(θ), b(θ)) = 1, b(θ) je normovaný polynom,
b(θ)
µ
Y
I b(θ) =
bi (θ)ri , kde bi (θ) jsou různé normované nerozložitelné polynomy v F [θ],
I g=
i=1
ri
µ X
X
aij (θ)
a(θ)
I g=
= a0 (θ) +
,
b(θ)
b (θ)j
i=1 j=1 i
0
I f =g =
a(θ)
b(θ)
0
0
= a0 (θ) +
kde a0 (θ), aij (θ), bi (θ) ∈ F [θ],
ri µ X
X
aij (θ)0
i=1 j=1
www.KMA.zcu.cz
bi (θ)j
deg(aij (θ)) < deg(bi (θ)),
aij (θ) · j · bi (θ)0
−
,
j+1
bi (θ)
Ostrava 2011
27 / 36
Symbolické integrovánı́
G = F (θ), θ = exp(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
Krok 2b:
a(θ)
,
kde a(θ), b(θ) ∈ F [θ], gcd(a(θ), b(θ)) = 1, b(θ) je normovaný polynom,
b(θ)
µ
Y
I b(θ) =
bi (θ)ri , kde bi (θ) jsou různé normované nerozložitelné polynomy v F [θ],
I g=
i=1
ri
µ X
X
aij (θ)
a(θ)
I g=
= a0 (θ) +
,
b(θ)
b (θ)j
i=1 j=1 i
0
I f =g =
a(θ)
b(θ)
0
0
= a0 (θ) +
kde a0 (θ), aij (θ), bi (θ) ∈ F [θ],
ri µ X
X
aij (θ)0
i=1 j=1
bi (θ)j
deg(aij (θ)) < deg(bi (θ)),
aij (θ) · j · bi (θ)0
−
,
j+1
bi (θ)
I pokud bi (θ) nenı́ monomial
I
f = a0 (θ)0 ,
a0 (θ) = c θ + d,
g = d + c ln(u),
www.KMA.zcu.cz
kde c ∈ K a d, u ∈ F ,
Ostrava 2011
27 / 36
Symbolické integrovánı́
G = F (θ), θ = exp(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
Krok 2b:
a(θ)
,
kde a(θ), b(θ) ∈ F [θ], gcd(a(θ), b(θ)) = 1, b(θ) je normovaný polynom,
b(θ)
µ
Y
I b(θ) =
bi (θ)ri , kde bi (θ) jsou různé normované nerozložitelné polynomy v F [θ],
I g=
i=1
ri
µ X
X
aij (θ)
a(θ)
I g=
= a0 (θ) +
,
b(θ)
b (θ)j
i=1 j=1 i
0
I f =g =
a(θ)
b(θ)
0
0
= a0 (θ) +
kde a0 (θ), aij (θ), bi (θ) ∈ F [θ],
ri µ X
X
aij (θ)0
i=1 j=1
bi (θ)j
deg(aij (θ)) < deg(bi (θ)),
aij (θ) · j · bi (θ)0
−
,
j+1
bi (θ)
I pokud bi (θ) nenı́ monomial
I f = a0 (θ)0 , a0 (θ) = c θ + d,
I pokud bi (θ) je monomial
I
bi (θ) = θ,
f =
l
P
g = d + c ln(u),
kde c ∈ K a d, u ∈ F ,
!0
hj θj
,
kde hj ∈ F ,
j=−k
I
f = h00 ,
I
g = h0 ∈ F .
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
27 / 36
Symbolické integrovánı́
Krok 2c:
G = F (θ), θ
www.KMA.zcu.cz
je algebraický prvek nad
F.
Ostrava 2011
28 / 36
Symbolické integrovánı́
Krok 2c:
G = F (θ), θ
je algebraický prvek nad
I p(θ) = 0,
kde p(z) ∈ F [z] a deg(p(z)) = N + 1,
I g = a(θ),
kde a(θ) ∈ F (θ),
F.
I f = g 0 = a(θ)0 ,
I f = g 0 = a(θj )0
I (N + 1)f =
N
X
pro j = 0, 1, . . . , N ,
kde θ = θ0 ,
θ1 , . . . , θN jsou ostatnı́ kořeny p,
a(θj )0 ,
j=0
0



N

 1 X


I f =
a(θj ) ,

N + 1
j=0


|
{z
}
=h
I h ∈ F (θ0 , θ1 , . . . , θN ),
h ∈ F,
I g = h ∈ F.
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
28 / 36
Symbolické integrovánı́
Krok 3: G = F (θ1 , θ2 , . . . , θN ), θ1 = ln(u), u ∈ F (θ2 , . . . , θN ),
θ1 je transcen. prvek nad F (θ2 , . . . , θN ).
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
29 / 36
Symbolické integrovánı́
Krok 3: G = F (θ1 , θ2 , . . . , θN ), θ1 = ln(u), u ∈ F (θ2 , . . . , θN ),
θ1 je transcen. prvek nad F (θ2 , . . . , θN ).
I g = v0 (θ1 ) +
m
X
ci ln(vi (θ1 )),
kde
vi (θ1 ) ∈ F (θ1 ),
ci ∈ K,
i=1
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
29 / 36
Symbolické integrovánı́
Krok 3: G = F (θ1 , θ2 , . . . , θN ), θ1 = ln(u), u ∈ F (θ2 , . . . , θN ),
θ1 je transcen. prvek nad F (θ2 , . . . , θN ).
I g = v0 (θ1 ) +
m
X
ci ln(vi (θ1 )),
kde
vi (θ1 ) ∈ F (θ1 ),
ci ∈ K,
i=1
I v0 (θ1 ) =
a(θ1 )
,
b(θ1 )
kde a(θ1 ), b(θ1 ) ∈ F [θ1 ], gcd(a(θ1 ), b(θ1 )) = 1, b(θ1 ) je norm. polynom,
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
29 / 36
Symbolické integrovánı́
Krok 3: G = F (θ1 , θ2 , . . . , θN ), θ1 = ln(u), u ∈ F (θ2 , . . . , θN ),
θ1 je transcen. prvek nad F (θ2 , . . . , θN ).
I g = v0 (θ1 ) +
m
X
ci ln(vi (θ1 )),
kde
vi (θ1 ) ∈ F (θ1 ),
ci ∈ K,
i=1
I v0 (θ1 ) =
I b(θ1 ) =
a(θ1 )
,
b(θ1 )
µ
Y
kde a(θ1 ), b(θ1 ) ∈ F [θ1 ], gcd(a(θ1 ), b(θ1 )) = 1, b(θ1 ) je norm. polynom,
bi (θ1 )ri ,
kde
bi (θ)
jsou různé normované nerozlož. polynomy v F [θ1 ],
i=1
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
29 / 36
Symbolické integrovánı́
Krok 3: G = F (θ1 , θ2 , . . . , θN ), θ1 = ln(u), u ∈ F (θ2 , . . . , θN ),
θ1 je transcen. prvek nad F (θ2 , . . . , θN ).
I g = v0 (θ1 ) +
m
X
ci ln(vi (θ1 )),
kde
vi (θ1 ) ∈ F (θ1 ),
ci ∈ K,
i=1
I v0 (θ1 ) =
I b(θ1 ) =
a(θ1 )
,
b(θ1 )
µ
Y
kde a(θ1 ), b(θ1 ) ∈ F [θ1 ], gcd(a(θ1 ), b(θ1 )) = 1, b(θ1 ) je norm. polynom,
bi (θ1 )ri ,
kde
bi (θ)
jsou různé normované nerozlož. polynomy v F [θ1 ],
i=1
I v0 (θ1 ) = a0 (θ1 ) +
ri
µ X
X
aij (θ1 )
,
b (θ )j
i=1 j=1 i 1
www.KMA.zcu.cz
kde a0 , aij , bi ∈ F [θ1 ] a deg(aij ) < deg(bi ),
Ostrava 2011
29 / 36
Symbolické integrovánı́
Krok 3: G = F (θ1 , θ2 , . . . , θN ), θ1 = ln(u), u ∈ F (θ2 , . . . , θN ),
θ1 je transcen. prvek nad F (θ2 , . . . , θN ).
I g = v0 (θ1 ) +
m
X
ci ln(vi (θ1 )),
kde
vi (θ1 ) ∈ F (θ1 ),
ci ∈ K,
i=1
I v0 (θ1 ) =
I b(θ1 ) =
a(θ1 )
,
b(θ1 )
µ
Y
kde a(θ1 ), b(θ1 ) ∈ F [θ1 ], gcd(a(θ1 ), b(θ1 )) = 1, b(θ1 ) je norm. polynom,
bi (θ1 )ri ,
kde
bi (θ)
jsou různé normované nerozlož. polynomy v F [θ1 ],
i=1
I v0 (θ1 ) = a0 (θ1 ) +
ri
µ X
X
aij (θ1 )
,
b (θ )j
i=1 j=1 i 1
I f = g 0 = a0 (θ1 )0 +
ri µ X
X
aij (θ1 )0
i=1 j=1
bi (θ1 )j
kde a0 , aij , bi ∈ F [θ1 ] a deg(aij ) < deg(bi ),
−
aij (θ1 ) · j · bi (θ1 )0
bi (θ1 )j+1
www.KMA.zcu.cz
+
m
X
i=1
ci
vi (θ1 )0
,
vi (θ1 )
Ostrava 2011
29 / 36
Symbolické integrovánı́
Krok 3: G = F (θ1 , θ2 , . . . , θN ), θ1 = ln(u), u ∈ F (θ2 , . . . , θN ),
θ1 je transcen. prvek nad F (θ2 , . . . , θN ).
I g = v0 (θ1 ) +
m
X
ci ln(vi (θ1 )),
kde
vi (θ1 ) ∈ F (θ1 ),
ci ∈ K,
i=1
I v0 (θ1 ) =
I b(θ1 ) =
a(θ1 )
,
b(θ1 )
µ
Y
kde a(θ1 ), b(θ1 ) ∈ F [θ1 ], gcd(a(θ1 ), b(θ1 )) = 1, b(θ1 ) je norm. polynom,
bi (θ1 )ri ,
kde
bi (θ)
jsou různé normované nerozlož. polynomy v F [θ1 ],
i=1
I v0 (θ1 ) = a0 (θ1 ) +
ri
µ X
X
aij (θ1 )
,
b (θ )j
i=1 j=1 i 1
I f = g 0 = a0 (θ1 )0 +
ri µ X
X
aij (θ1 )0
i=1 j=1
I f = a0 (θ1 )0 +
m
X
i=1
ci
vi0
vi
,
bi (θ1 )j
kde a0 , aij , bi ∈ F [θ1 ] a deg(aij ) < deg(bi ),
−
aij (θ1 ) · j · bi (θ1 )0
bi (θ1 )j+1
+
m
X
i=1
ci
vi (θ1 )0
,
vi (θ1 )
kde a0 (θ1 ) ∈ F [θ1 ], vi ∈ F a ci ∈ K,
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
29 / 36
Symbolické integrovánı́
Krok 3: G = F (θ1 , θ2 , . . . , θN ), θ1 = ln(u), u ∈ F (θ2 , . . . , θN ),
θ1 je transcen. prvek nad F (θ2 , . . . , θN ).
I g = v0 (θ1 ) +
m
X
ci ln(vi (θ1 )),
kde
vi (θ1 ) ∈ F (θ1 ),
ci ∈ K,
i=1
I v0 (θ1 ) =
I b(θ1 ) =
a(θ1 )
,
b(θ1 )
µ
Y
kde a(θ1 ), b(θ1 ) ∈ F [θ1 ], gcd(a(θ1 ), b(θ1 )) = 1, b(θ1 ) je norm. polynom,
bi (θ1 )ri ,
kde
bi (θ)
jsou různé normované nerozlož. polynomy v F [θ1 ],
i=1
I v0 (θ1 ) = a0 (θ1 ) +
ri
µ X
X
aij (θ1 )
,
b (θ )j
i=1 j=1 i 1
I f = g 0 = a0 (θ1 )0 +
ri µ X
X
aij (θ1 )0
i=1 j=1
I f = a0 (θ1 )0 +
m
X
i=1
I a0 (θ1 ) = c θ1 + d,
ci
vi0
vi
,
bi (θ1 )j
kde a0 , aij , bi ∈ F [θ1 ] a deg(aij ) < deg(bi ),
−
aij (θ1 ) · j · bi (θ1 )0
bi (θ1 )j+1
+
m
X
i=1
ci
vi (θ1 )0
,
vi (θ1 )
kde a0 (θ1 ) ∈ F [θ1 ], vi ∈ F a ci ∈ K,
kde c ∈ K a d ∈ F ,
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
29 / 36
Symbolické integrovánı́
Krok 3: G = F (θ1 , θ2 , . . . , θN ), θ1 = ln(u), u ∈ F (θ2 , . . . , θN ),
θ1 je transcen. prvek nad F (θ2 , . . . , θN ).
I g = v0 (θ1 ) +
m
X
ci ln(vi (θ1 )),
kde
vi (θ1 ) ∈ F (θ1 ),
ci ∈ K,
i=1
I v0 (θ1 ) =
I b(θ1 ) =
a(θ1 )
,
b(θ1 )
µ
Y
kde a(θ1 ), b(θ1 ) ∈ F [θ1 ], gcd(a(θ1 ), b(θ1 )) = 1, b(θ1 ) je norm. polynom,
bi (θ1 )ri ,
kde
bi (θ)
jsou různé normované nerozlož. polynomy v F [θ1 ],
i=1
I v0 (θ1 ) = a0 (θ1 ) +
ri
µ X
X
aij (θ1 )
,
b (θ )j
i=1 j=1 i 1
I f = g 0 = a0 (θ1 )0 +
ri µ X
X
aij (θ1 )0
i=1 j=1
I f = a0 (θ1 )0 +
m
X
i=1
ci
vi0
vi
bi (θ1 )j
m
X
−
aij (θ1 ) · j · bi (θ1 )0
bi (θ1 )j+1
+
m
X
i=1
ci
vi (θ1 )0
,
vi (θ1 )
kde a0 (θ1 ) ∈ F [θ1 ], vi ∈ F a ci ∈ K,
,
I a0 (θ1 ) = c θ1 + d,
I g = d + c ln(u) +
kde a0 , aij , bi ∈ F [θ1 ] a deg(aij ) < deg(bi ),
kde c ∈ K a d ∈ F ,
ci ln(vi ),
kde c, ci ∈ K a d, u, vi ∈ F .
i=1
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
29 / 36
Symbolické integrovánı́
Rischův algoritmus G = F (θ), θ = ln(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
30 / 36
Symbolické integrovánı́
Rischův algoritmus G = F (θ), θ = ln(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
I
Z
Z
f (θ) =
Z
p(θ) +
r(θ)
,
q(θ)
kde
p(θ), q(θ), r(θ) ∈ F [θ],
www.KMA.zcu.cz
deg(r(θ)) < deg(q(θ)),
Ostrava 2011
30 / 36
Symbolické integrovánı́
Rischův algoritmus G = F (θ), θ = ln(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
I
I
Z
Z
f (θ) =
Z
p(θ) +
Z
Z
f (θ) =
p(θ) +
r(θ)
,
q(θ)
kde
p(θ), q(θ), r(θ) ∈ F [θ],
k X
i Z
X
rij (θ)
,
j
q
i (θ)
i=1 j=1
www.KMA.zcu.cz
deg(r(θ)) < deg(q(θ)),
kde qi (θ) je normovaný square-free polynom,
Ostrava 2011
30 / 36
Symbolické integrovánı́
Rischův algoritmus G = F (θ), θ = ln(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
I
I
Z
Z
f (θ) =
Z
p(θ) +
Z
Z
f (θ) =
p(θ) +
r(θ)
,
q(θ)
kde
p(θ), q(θ), r(θ) ∈ F [θ],
k X
i Z
X
rij (θ)
,
j
q
i (θ)
i=1 j=1
deg(r(θ)) < deg(q(θ)),
kde qi (θ) je normovaný square-free polynom,
I rij (θ) = s(θ)qi (θ) + t(θ)qi (θ)0 , kde deg(s(θ)) < deg(qi (θ)0 ) a deg(t(θ)) < deg(qi (θ)),
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
30 / 36
Symbolické integrovánı́
Rischův algoritmus G = F (θ), θ = ln(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
I
I
Z
Z
f (θ) =
Z
p(θ) +
Z
Z
f (θ) =
p(θ) +
r(θ)
,
q(θ)
kde
p(θ), q(θ), r(θ) ∈ F [θ],
k X
i Z
X
rij (θ)
,
j
q
i (θ)
i=1 j=1
deg(r(θ)) < deg(q(θ)),
kde qi (θ) je normovaný square-free polynom,
I rij (θ) = s(θ)qi (θ) + t(θ)qi (θ)0 , kde deg(s(θ)) < deg(qi (θ)0 ) a deg(t(θ)) < deg(qi (θ)),
I
Z
rij (θ)
=
qi (θ)j
Z
s(θ)
+
qi (θ)j−1
Z
1
1
t(θ) Z s(θ) + j−1
t(θ)0
− j−1
t(θ)qi (θ)0
=
+
,
qi (θ)j
qi (θ)j−1
qi (θ)j−1
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
30 / 36
Symbolické integrovánı́
Rischův algoritmus G = F (θ), θ = ln(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
I
I
Z
Z
f (θ) =
Z
p(θ) +
Z
Z
f (θ) =
p(θ) +
r(θ)
,
q(θ)
kde
p(θ), q(θ), r(θ) ∈ F [θ],
k X
i Z
X
rij (θ)
,
j
q
i (θ)
i=1 j=1
deg(r(θ)) < deg(q(θ)),
kde qi (θ) je normovaný square-free polynom,
I rij (θ) = s(θ)qi (θ) + t(θ)qi (θ)0 , kde deg(s(θ)) < deg(qi (θ)0 ) a deg(t(θ)) < deg(qi (θ)),
Z
Z
1
1
t(θ) Z s(θ) + j−1
t(θ)0
− j−1
rij (θ)
s(θ)
t(θ)qi (θ)0
=
+
=
+
,
qi (θ)j
qi (θ)j−1
qi (θ)j
qi (θ)j−1
qi (θ)j−1
Z
Z
Z
c(θ)
a(θ)
I
f (θ) =
p(θ) +
+
,
kde b(θ) je normovaný square-free polynom,
d(θ)
b(θ)
I
Z
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
30 / 36
Symbolické integrovánı́
Rischův algoritmus G = F (θ), θ = ln(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
I
I
Z
Z
f (θ) =
Z
p(θ) +
Z
Z
f (θ) =
p(θ) +
r(θ)
,
q(θ)
kde
p(θ), q(θ), r(θ) ∈ F [θ],
k X
i Z
X
rij (θ)
,
j
q
i (θ)
i=1 j=1
deg(r(θ)) < deg(q(θ)),
kde qi (θ) je normovaný square-free polynom,
I rij (θ) = s(θ)qi (θ) + t(θ)qi (θ)0 , kde deg(s(θ)) < deg(qi (θ)0 ) a deg(t(θ)) < deg(qi (θ)),
Z
Z
1
1
t(θ) Z s(θ) + j−1
t(θ)0
− j−1
rij (θ)
s(θ)
t(θ)qi (θ)0
=
+
=
+
,
qi (θ)j
qi (θ)j−1
qi (θ)j
qi (θ)j−1
qi (θ)j−1
Z
Z
Z
c(θ)
a(θ)
I
f (θ) =
p(θ) +
+
,
kde b(θ) je normovaný square-free polynom,
d(θ)
b(θ)
I
Z
I R(z) = resθ (a(θ) − z · b(θ)0 , b(θ)),
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
30 / 36
Symbolické integrovánı́
Rischův algoritmus G = F (θ), θ = ln(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
I
I
Z
Z
f (θ) =
Z
p(θ) +
Z
Z
f (θ) =
p(θ) +
r(θ)
,
q(θ)
kde
p(θ), q(θ), r(θ) ∈ F [θ],
k X
i Z
X
rij (θ)
,
j
q
i (θ)
i=1 j=1
deg(r(θ)) < deg(q(θ)),
kde qi (θ) je normovaný square-free polynom,
I rij (θ) = s(θ)qi (θ) + t(θ)qi (θ)0 , kde deg(s(θ)) < deg(qi (θ)0 ) a deg(t(θ)) < deg(qi (θ)),
Z
Z
1
1
t(θ) Z s(θ) + j−1
t(θ)0
− j−1
rij (θ)
s(θ)
t(θ)qi (θ)0
=
+
=
+
,
qi (θ)j
qi (θ)j−1
qi (θ)j
qi (θ)j−1
qi (θ)j−1
Z
Z
Z
c(θ)
a(θ)
I
f (θ) =
p(θ) +
+
,
kde b(θ) je normovaný square-free polynom,
d(θ)
b(θ)
I
Z
I R(z) = resθ (a(θ) − z · b(θ)0 , b(θ)),
Z
a(θ)
I
je elementárnı́ ⇐⇒ všechny kořeny ci polynomu R(z) jsou konstantnı́,
b(θ)
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
30 / 36
Symbolické integrovánı́
Rischův algoritmus G = F (θ), θ = ln(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
I
I
Z
Z
f (θ) =
Z
p(θ) +
Z
Z
f (θ) =
p(θ) +
r(θ)
,
q(θ)
kde
p(θ), q(θ), r(θ) ∈ F [θ],
k X
i Z
X
rij (θ)
,
j
q
i (θ)
i=1 j=1
deg(r(θ)) < deg(q(θ)),
kde qi (θ) je normovaný square-free polynom,
I rij (θ) = s(θ)qi (θ) + t(θ)qi (θ)0 , kde deg(s(θ)) < deg(qi (θ)0 ) a deg(t(θ)) < deg(qi (θ)),
Z
Z
1
1
t(θ) Z s(θ) + j−1
t(θ)0
− j−1
rij (θ)
s(θ)
t(θ)qi (θ)0
=
+
=
+
,
qi (θ)j
qi (θ)j−1
qi (θ)j
qi (θ)j−1
qi (θ)j−1
Z
Z
Z
c(θ)
a(θ)
I
f (θ) =
p(θ) +
+
,
kde b(θ) je normovaný square-free polynom,
d(θ)
b(θ)
I
Z
I R(z) = resθ (a(θ) − z · b(θ)0 , b(θ)),
Z
a(θ)
I
je elementárnı́ ⇐⇒ všechny kořeny ci polynomu R(z) jsou konstantnı́,
b(θ)
Z
m
X
I
f (θ) = bl+1 θl+1 + . . . b1 θ + b0 +
ci ln(vi (θ)), kde l = deg(p(θ)),
i=1
www.KMA.zcu.cz
vi (θ) = gcd(a(θ) − ci · b(θ)0 , b(θ)).
Ostrava 2011
30 / 36
Symbolické integrovánı́
Přı́klad
Z
I
x(x + 1)
2
2
2
x2 e2x − ln2 (x + 1) + 2xe3x x − 2x3 + 2x2 + x + 1 ln(x + 1)
(x + 1) ln2 (x + 1) − (x3 + x2 ) e2x2
www.KMA.zcu.cz
d x,
2
Ostrava 2011
31 / 36
Symbolické integrovánı́
Přı́klad
Z
x(x + 1)
2
2
2
x2 e2x − ln2 (x + 1) + 2xe3x x − 2x3 + 2x2 + x + 1 ln(x + 1)
I
(x + 1) ln2 (x + 1) − (x3 + x2 ) e2x2
d x,
2
2
I θ1 = ex , θ2 = ln(x + 1),
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
31 / 36
Symbolické integrovánı́
Přı́klad
Z
x(x + 1)
2
2
2
x2 e2x − ln2 (x + 1) + 2xe3x x − 2x3 + 2x2 + x + 1 ln(x + 1)
I
(x + 1) ln2 (x + 1) − (x3 + x2 ) e2x2
d x,
2
2
I θ1 = ex , θ2 = ln(x + 1),
x(x + 1)
I f (θ2 ) =
=
x
+
x+1
= p(θ2 ) +
+ 2xθ13 x − 2x3 + 2x2 + x + 1 θ2
2
(x + 1)θ22 − x2 (x + 1)θ12
x2 θ12 − θ22
2x2 3
θ
x+1 1
2
x − 2x3 + 2x2 + x + 1 θ2
2
θ22 − x2 θ12
r(θ2 )
,
q2 (θ2 )2
kde
www.KMA.zcu.cz
q2 (θ2 ) = θ22 − x2 θ12
je square-free.
Ostrava 2011
31 / 36
Symbolické integrovánı́
Přı́klad
I f (θ2 ) = p(θ2 ) +
r(θ2 )
,
q2 (θ2 )2
kde
www.KMA.zcu.cz
q2 (θ2 ) = θ22 − x2 θ12
je square-free,
Ostrava 2011
32 / 36
Symbolické integrovánı́
Přı́klad
I f (θ2 ) = p(θ2 ) +
r(θ2 )
,
q2 (θ2 )2
kde
I r(θ2 ) = s(θ2 )q2 (θ2 ) + t(θ2 )q2 (θ2 )0 ,
www.KMA.zcu.cz
kde
q2 (θ2 ) = θ22 − x2 θ12
je square-free,
1
q2 (θ2 )0 = 2θ2 x+1
− 2xθ12 − x2 2θ1 θ1 2x,
Ostrava 2011
32 / 36
Symbolické integrovánı́
Přı́klad
I f (θ2 ) = p(θ2 ) +
r(θ2 )
,
q2 (θ2 )2
kde
I r(θ2 ) = s(θ2 )q2 (θ2 ) + t(θ2 )q2 (θ2 )0 ,
I
kde
q2 (θ2 ) = θ22 − x2 θ12
je square-free,
1
q2 (θ2 )0 = 2θ2 x+1
− 2xθ12 − x2 2θ1 θ1 2x,
2x2 3
θ x − 2x3 + 2x2 + x + 1 θ2 =
x+1 1
s(θ2 ) θ22 − x2 θ12 + t(θ2 )
www.KMA.zcu.cz
2
θ2 − 2x(1 + 2x2 )θ12 ,
x+1
Ostrava 2011
32 / 36
Symbolické integrovánı́
Přı́klad
I f (θ2 ) = p(θ2 ) +
r(θ2 )
,
q2 (θ2 )2
kde
I r(θ2 ) = s(θ2 )q2 (θ2 ) + t(θ2 )q2 (θ2 )0 ,
I
kde
q2 (θ2 ) = θ22 − x2 θ12
je square-free,
1
q2 (θ2 )0 = 2θ2 x+1
− 2xθ12 − x2 2θ1 θ1 2x,
2x2 3
θ x − 2x3 + 2x2 + x + 1 θ2 =
x+1 1
s(θ2 ) θ22 − x2 θ12 + t(θ2 )
I ...
s(θ2 ) =
−2x
θ1 ,
x+1
2
θ2 − 2x(1 + 2x2 )θ12 ,
x+1
t(θ2 ) = xθ1 θ2 ,
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
32 / 36
Symbolické integrovánı́
Přı́klad
r(θ2 )
,
q2 (θ2 )2
I f (θ2 ) = p(θ2 ) +
kde
I r(θ2 ) = s(θ2 )q2 (θ2 ) + t(θ2 )q2 (θ2 )0 ,
I
kde
q2 (θ2 ) = θ22 − x2 θ12
1
q2 (θ2 )0 = 2θ2 x+1
− 2xθ12 − x2 2θ1 θ1 2x,
2x2 3
θ x − 2x3 + 2x2 + x + 1 θ2 =
x+1 1
s(θ2 ) θ22 − x2 θ12 + t(θ2 )
I ...
I
je square-free,
Z
s(θ2 ) =
r(θ2 )
=
q2 (θ2 )2
=
=
−2x
θ1 ,
x+1
Z
s(θ2 )
+
q2 (θ2 )
2
θ2 − 2x(1 + 2x2 )θ12 ,
x+1
t(θ2 ) = xθ1 θ2 ,
Z
−xθ1 θ2
+
θ22 − x2 θ12
−xθ1 θ2
+
− x2 θ12
θ22
Z
t(θ2 )q2 (θ2 )0
−t(θ2 )
=
+
q2 (θ2 )2
q2 (θ2 )
−2x
θ
x+1 1
Z
s(θ2 ) + t(θ2 )0
q2 (θ2 )
1
+ θ1 θ2 + x(2xθ1 θ2 + θ1 x+1
)
θ22 − x2 θ12
Z (2x2 + 1)θ θ −
1 2
θ22
−
www.KMA.zcu.cz
x2 θ12
x
θ
x+1 1
.
Ostrava 2011
32 / 36
Symbolické integrovánı́
Přı́klad
I
Z
r(θ2 )
−xθ1 θ2
= 2
+
q2 (θ2 )2
θ2 − x2 θ12
Z
a(θ2 )
,
q2 (θ2 )
kde a(θ2 ) = (2x2 + 1)θ1 θ2 −
x
θ ,
x+1 1
q2 (θ2 ) = θ22 − x2 θ12 ,
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
33 / 36
Symbolické integrovánı́
Přı́klad
I
Z
r(θ2 )
−xθ1 θ2
= 2
+
q2 (θ2 )2
θ2 − x2 θ12
Z
a(θ2 )
,
q2 (θ2 )
kde a(θ2 ) = (2x2 + 1)θ1 θ2 −
q2 (θ2 ) = θ22 − x2 θ12 ,
I R(z) = resθ2 (a(θ2 ) − z · q2 (θ2 )0 , q2 (θ2 ))


p1 (θ1 ) p2 (θ1 )
0


0
p1 (θ1 ) p2 (θ1 ) 
= det 

,
1
R(z) = (4z 2 − 1)x2 θ12
0
x
θ ,
x+1 1
−x2 θ12
(1 + 2x2 )θ12 −
p1 (θ1 )
=
2
,
(2x2 + 1)θ1 − z x+1
p2 (θ1 )
=
x
− x+1
θ1 + z2x(1 + 2x2 )θ12 ,
kde
1
,
2
(1 + x)
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
33 / 36
Symbolické integrovánı́
Přı́klad
I
Z
r(θ2 )
−xθ1 θ2
= 2
+
q2 (θ2 )2
θ2 − x2 θ12
Z
a(θ2 )
,
q2 (θ2 )
kde a(θ2 ) = (2x2 + 1)θ1 θ2 −
q2 (θ2 ) = θ22 − x2 θ12 ,
I R(z) = resθ2 (a(θ2 ) − z · q2 (θ2 )0 , q2 (θ2 ))


p1 (θ1 ) p2 (θ1 )
0


0
p1 (θ1 ) p2 (θ1 ) 
= det 

,
1
R(z) = (4z 2 − 1)x2 θ12
I c1 =
1
,
2
0
x
θ ,
x+1 1
−x2 θ12
(1 + 2x2 )θ12 −
p1 (θ1 )
=
2
,
(2x2 + 1)θ1 − z x+1
p2 (θ1 )
=
x
− x+1
θ1 + z2x(1 + 2x2 )θ12 ,
kde
1
,
2
(1 + x)
1
c2 = − ,
2
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
33 / 36
Symbolické integrovánı́
Přı́klad
I
Z
r(θ2 )
−xθ1 θ2
= 2
+
q2 (θ2 )2
θ2 − x2 θ12
Z
a(θ2 )
,
q2 (θ2 )
kde a(θ2 ) = (2x2 + 1)θ1 θ2 −
q2 (θ2 ) = θ22 − x2 θ12 ,
I R(z) = resθ2 (a(θ2 ) − z · q2 (θ2 )0 , q2 (θ2 ))


p1 (θ1 ) p2 (θ1 )
0


0
p1 (θ1 ) p2 (θ1 ) 
= det 

,
1
R(z) = (4z 2 − 1)x2 θ12
I c1 =
1
,
2
0
x
θ ,
x+1 1
−x2 θ12
(1 + 2x2 )θ12 −
p1 (θ1 )
=
2
,
(2x2 + 1)θ1 − z x+1
p2 (θ1 )
=
x
− x+1
θ1 + z2x(1 + 2x2 )θ12 ,
kde
1
,
2
(1 + x)
1
c2 = − ,
2
I v1 (θ2 ) = gcd(a(θ2 ) − c1 · q2 (θ2 )0 , q2 (θ2 )) = θ2 + xθ1 ,
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
33 / 36
Symbolické integrovánı́
Přı́klad
I
Z
r(θ2 )
−xθ1 θ2
= 2
+
q2 (θ2 )2
θ2 − x2 θ12
Z
a(θ2 )
,
q2 (θ2 )
kde a(θ2 ) = (2x2 + 1)θ1 θ2 −
q2 (θ2 ) = θ22 − x2 θ12 ,
I R(z) = resθ2 (a(θ2 ) − z · q2 (θ2 )0 , q2 (θ2 ))


p1 (θ1 ) p2 (θ1 )
0


0
p1 (θ1 ) p2 (θ1 ) 
= det 

,
1
R(z) = (4z 2 − 1)x2 θ12
I c1 =
1
,
2
0
x
θ ,
x+1 1
−x2 θ12
(1 + 2x2 )θ12 −
p1 (θ1 )
=
2
,
(2x2 + 1)θ1 − z x+1
p2 (θ1 )
=
x
− x+1
θ1 + z2x(1 + 2x2 )θ12 ,
kde
1
,
2
(1 + x)
1
c2 = − ,
2
I v1 (θ2 ) = gcd(a(θ2 ) − c1 · q2 (θ2 )0 , q2 (θ2 )) = θ2 + xθ1 ,
I v2 (θ2 ) = gcd(a(θ2 ) − c2 · q2 (θ2 )0 , q2 (θ2 )) = θ2 − xθ1 ,
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
33 / 36
Symbolické integrovánı́
Přı́klad
I
Z
r(θ2 )
−xθ1 θ2
= 2
+
q2 (θ2 )2
θ2 − x2 θ12
Z
a(θ2 )
,
q2 (θ2 )
kde a(θ2 ) = (2x2 + 1)θ1 θ2 −
q2 (θ2 ) = θ22 − x2 θ12 ,
I R(z) = resθ2 (a(θ2 ) − z · q2 (θ2 )0 , q2 (θ2 ))


p1 (θ1 ) p2 (θ1 )
0


0
p1 (θ1 ) p2 (θ1 ) 
= det 

,
1
R(z) = (4z 2 − 1)x2 θ12
I c1 =
1
,
2
0
x
θ ,
x+1 1
−x2 θ12
(1 + 2x2 )θ12 −
p1 (θ1 )
=
2
,
(2x2 + 1)θ1 − z x+1
p2 (θ1 )
=
x
− x+1
θ1 + z2x(1 + 2x2 )θ12 ,
kde
1
,
2
(1 + x)
1
c2 = − ,
2
I v1 (θ2 ) = gcd(a(θ2 ) − c1 · q2 (θ2 )0 , q2 (θ2 )) = θ2 + xθ1 ,
I v2 (θ2 ) = gcd(a(θ2 ) − c2 · q2 (θ2 )0 , q2 (θ2 )) = θ2 − xθ1 ,
I
Z
f (x) d x = x − ln(x + 1) −
xθ1 θ2
1
1
+ ln(θ2 + xθ1 ) − ln(θ2 − xθ1 ).
θ22 − x2 θ12
2
2
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
33 / 36
Symbolické integrovánı́
Rischův algoritmus G = F (θ), θ = exp(u), u ∈ F ,
θ je transcendentnı́ prvek nad F .
I
I
Z
Z
f (θ) =
Z
Z
p(θ) +
Z
f (θ) =
p(θ) +
r(θ)
, kde q(θ), p(θ), r(θ) ∈ F [θ], deg(r(θ)) < deg(q(θ)), θ - q(θ),
q(θ)
Z
c(θ)
+
d(θ)
a(θ)
,
b(θ)
kde b(θ) je normovaný square-free polynom,
I R(z) = resθ (a(θ) − z · b(θ)0 , b(θ)),
I
I
Z
a(θ)
je elementárnı́
b(θ)
Z
f (θ) =
l+1
X
i=−k
i
bi θ −
⇐⇒
m
X
všechny kořeny ci polynomu R(z) jsou konstantnı́,
!
ci deg(vi (θ))
i=1
u+
m
X
ci ln(vi (θ)),
i=1
kde l = deg(p(θ)),
vi (θ) = gcd(a(θ) − ci · b(θ)0 , b(θ)).
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
34 / 36
Symbolické integrovánı́
Přı́klad
Z
√
x2 + 2x + 1 + (3x + 1) x + ln x
√
√
dx
x x + ln x(x + x + ln x)
=
2
√
x + ln x + ln(x +
www.KMA.zcu.cz
√
x + ln x)
Ostrava 2011
35 / 36
Symbolické integrovánı́
Literatura
K.O. Geddes, S.R. Czapor a G. Labahn
Algorithms for Computer Algebra,
Kluwer Academic Publishers, Norwell, Massachusetts, 608 p. (1992).
J. Grabmeier, E. Kaltofen a V. Weispfenning
Computer Algebra Handbook,
Berlin: Springer. xx, 638 p. (2003).
E.L. Kaltofen
The Seven Dwarfs of Symbolic Computation,
http://www.kaltofen.us
R.H. Risch
The Problem of Integration in Finite Terms,
Transactions of the American Mathematical Society 139 (1969), 167–189.
J. Moses
Symbolic Integration: The Stormy Decade,
Commun. ACM 14 (1971), 548–560.
www.KMA.zcu.cz
Ostrava 2011
36 / 36