klotoida - Geometrie

KLOTOIDA
1
POPIS, ZAVEDENÍ A VLASTNOSTI
1.1
ROVNICE A POPIS
Klodoida je křivka, jejı́ž křivost v každém bodě Q je lineárnı́ funkcı́ délky křivky s(Q).
Proto když zvolı́me bod dále na křivce, bude v něm mı́t většı́ křivost a proto také klotoida
patřı́ mezi spirály.
Přirozené rovnice klotoidy jsou
1
k = as + b,
2
k = 0,
s ∈ (0, ∞),
(1)
kde
• 1 k je prvnı́ křivost křivky (na obrázku je 1 k =
1
|SQ|
pro bod Q klotoidy)
• 2 k je druhá křivost křivky, která je rovná nule vzhledem k tomu, že klotoida je rovinná
křivka
• a, b jsou konstantnı́ parametry; pokud je inflexnı́ bod klotoidy (zde P , také jde o jejı́
střed souměrnosti) umı́stěn v počátku soustavy souřadnic, je b = 0
• s je parametr určujı́cı́ délku křivky
1
Parametrické rovnice klotoidy jsou
Zt
x=
cos(
at2
)dx
2
(2)
0
Zt
y=
sin(
at2
)dx,
2
0
což jsou tzv. Fresnelovy integrály, které nejsou elementárnı́mi funkcemi a neumı́me je
spočı́tat přesně. Můžeme je vypočı́tat aproximacı́ mocninnými řadami podle vzorce
Zx
S(x) =
2
sin(t )dx =
∞
X
(−1)n
n=0
0
Zx
C(x) =
cos(t2 )dx =
∞
X
n=0
0
x4n+3
(4n + 3)(2n + 1)!
(−1)n
x4n+1
(4n + 1)(2n)!
q
t2
2
musı́me vzorce pro řadu ještě vynásobit π2 .
ve kterém v přı́padě použitı́ argumentu
Pro praktické použitı́ jsou tyto integrály tabelovány a na následujı́cı́m obrázku je vidět,
jak vypadá jejich řešenı́.
2
1.1.1
Zobecněnı́ klotoidy
Pokud budeme v přirozené rovnici křivky požadovat, aby prvnı́ křivost byla polynomickou
funkcı́ délky křivky, zı́skáme různé spirály a pro polynom supně 1 klotoidu. Na obrázku
jsou vidět přı́klady těchto “zobecněných spirál”.
1.2
RŮZNÉ VLASTNOSTI, TEČNA A TEČNÝ ÚHEL
Klotoida je středově symetrická křivka, na následujı́cı́m obrázku je středem bod P . Střed
je také inflexnı́m bodem klotoidy a pokud je křivka umı́stěna tak, že jejı́ střed ležı́ na ose
x, tak se této osy dotýká.
1.2.1
Asymptotické body
Asymptotické body jsou analogiı́ asymptoty. Asymptotický bod nenı́ bodem křivky, ale
bod, který probı́há křivku se k asymptotickému bodu přibližuje. Klotoida má tyto body
dva (na obrázku A1 , A2 , ke kterým se pro délku křivky s → ∞ rovnoměrně přibližuje bod
Q), jsou to pomyslné středy obou jejı́ch spirál. Jejich poloha je (pokud zvolı́me přirozenou
rovnici klotoidy 1 k = as)
√
√
√ √ π
π
π
π
A 1 = √ , √ , A2 = − √ , − √
2 a 2 a
2 a 2 a
3
1.2.2
Křivost a poloměr křivosti, délka křivky
Vzhledem k definici klotoidy jako křivky závislé na pevně zvolené konstantě a délce křivky,
můžeme zjistit křivost v každém bodě Q(s) jako 1 k = as. Poloměr křivosti R = 11k a
protože jsme jako parametr rovnice volili přı́mo délku křivky, je tedy délka křivky v bodě
Q(s) rovna s.
1.2.3
Tečna a tečný úhel
Tečny klotoidy rovnoběžné s osou x se nacházı́ v bodech splňujı́cı́ch pro k = 0, 1, 2, . . .
s2 a
= kπ
2
a tečny rovnoběžné s osou y procházejı́ body splňujı́cı́
s2 a
2k + 1
=
π.
2
2
V bodě Q(s) je tečný úhel ϕ, který svı́rá tečna t s osou x:
ϕ=
4
s
2R
1.2.4
Vztahy mezi parametry
V obloukové mı́ře platı́ následujı́cı́ vztahy mezi parametry a, s, R, ϕ
2ϕ
s2
• a=
1
sR
• s=
1
aR
• R=
1
as
=
s
2ϕ
• ϕ=
s
2R
=
s2 a
2
2
2.1
=
=
1
R2 2ϕ
= 2ϕR =
=
=
q
2ϕ
a
√1
2aϕ
1
2aR2
ZAJÍMAVOSTI
HISTORIE
Clotho byla jedna ze třı́ sudiček objevujı́cı́ch se v řecké mytologii, které spřádaly nit lidského
života navinovánı́m na vřeteno. Odtud se objevil název klotoida (anglicky clothoid), kterým
křivku pojmenoval na začátku 20.stoletı́ italský matematick Ernesto Cesàro (1859 - 1906).
Křivka byla ale dávno předtı́m v 18. stoletı́ zkoumána Leonhardem Eulerem (1707 - 1783)
a v 19. stoletı́ jı́ použı́val pařı́žský profesor fyziky Marie-Alfred Cornu (1841 - 1902) během
svých studiı́ o ohybu světla. Proto bývá také klotoida někdy nazývána Eulerovou křivkou
nebo v angličtině také spiral of Cornu.
2.2
2.2.1
KDE MŮŽEME NAJÍT KLOTOIDU
Horské dráhy
Až do konce 70.let minulého stoletı́ se věřilo, že ideálnı́ tvar pro smyčku na horské dráze, kdy
se vozı́ky převracejı́ nohama vzhůru je kružnice. Ve skutečnosti ale tvar kružnice způsobı́
to, že v okamžiku najetı́ na kružnici kvůli kvůli náhlé změně křivosti působı́ na pasažéry
značně velká odstředivá sı́la (minimálně 6g), navı́c je také při nájezdu na kružnici potřeba
mnohem vyššı́ rychlost než v přı́padě klotoidy, aby měly vozı́ky dostatečnou kinetickou energii k pěkonánı́ vrcholu oblouku. Protože když vozı́ky dosahujı́ nejvyššı́ho bodu smyčky,
vlivem působenı́ tı́hové sı́ly zpomalujı́ a mohlo by se při pomalé nájezdové rychlosti stát, že
tı́hová sı́la bude většı́ než odstředivá, takže by jendak cestujı́cı́ kdyby nebyli jištěni mohli
z vozı́ku vypadnout a jednak že by vozı́ky vlivem velkého zpomalenı́ vůbec nedojely až na
vrchol oblouku. V praxi proto na vrcholu oblouku sice zůstává dráha ve tvaru kružnice,
ale nájezd na nı́ je postaven do tvaru klotoidy a tı́m odpadajı́ výše popsané problémy.
Sı́la, která působı́ na vozı́ky závisı́ na dvou faktorech - křivosti dráhy a rychlosti pohybu. Čı́m výš vyjedou vozı́ky, tı́m vı́c je zpomaluje tı́hová sı́la, ale ve stejném čase je
naopak zrychluje zakřivovánı́ dráhy, protože platı́ zákon zachovánı́ momentu hybnosti (je
to podobný efekt, jaký nastane když roztočı́me závažı́ na provázku - když budeme provázek
5
zkracovat, závažı́ bude rotovat rychleji a naopak při prodlouženı́ rotace zpomalı́.
Na následujı́cı́m obrázku je na prvnı́ dráze dokreslená kružnice, aby bylo dobře vidět, kam
až sahá tvar klotoidy (červenými body je naznačeno zrychlenı́ vozı́ků).
2.2.2
Přechodnice - přechodové oblouky komunikacı́
Protože křivost klotoidy se měnı́ lineárně s délkou křivky a navı́c se jedná o křivku, která je
nejhladšı́m možným přechodem mezi přı́mkou a kružnicı́, bývá hojně využı́vaná při stavbě
silnic a železnic. Odstředivá sı́la se měnı́ lineárně s časem, z nulové hodnoty (na přı́mce) na
maximálnı́ (v bodu největšı́ křivosti), kde obvykle přejde silnice v část oblouku kružnice (na
nı́ je křivost a tedy i odstředivá sı́la konstantnı́) a zase zpět přes klotoidu na přı́mku. Proto
6
je právě zatáčka nebo nájezd ve tvaru klotoidy nejbezpečnějšı́ a je v nı́ nejmenšı́ pravdepodobnost, že vozidlo sjede ze silnice. Ne ve všech zemı́ch je ale klotoida jako přechodnice
použı́vaná, vše je vázané normami a předpisy v daném státě, které i vymezujı́ tvary pro
různé předpokládané rychlosti jı́zdy.
Na následujı́cı́m obrázku je vidět, jak se realizuje přechod z přı́mky p na kružnici k pomocı́
klotoidy - z bodu O do bodu M . Kružnice k je oskulačnı́ kružnicı́ klotoidy v bodě M , se
středem v bodě SM a o poloměru RM , přı́mka p zase nejlépe aproximuje klotoidu v bodě O
a vzhledem ke svým vlastnostem klotoida tedy tvořı́ mezi přı́mkou p a kružnicı́ k nejhladšı́
přechod.
7
POUŽITÉ OBRÁZKY:
• klotoida - Bruno Budı́nský - Analytická a diferenciálnı́ geometrie
• řešenı́ Fresnelových integrálů - Wikipedia
• zobecněnı́ klotoidy - Mathworld
• horské dráhy - fy.chalmers.se, ibiblio.org, physicscurriculum.com, sxc.hu
• přechodnice na silnicı́ch - viadukt.com , corrosioncost.com , roadtraffic-technology.com
• přechod z přı́mky na kružnici - Karel Rektorys - Přehled užité matematiky
8