POMNˇENKA

Transkript

POMNˇENKA

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA
PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY
R
POMNĚNKA
2
prase
Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku ,
MSc. Catherine Morris
POMNĚNKA
Verze ze dne:
9. srpna 2015
Materiál je v aktuální verzi ke stažení na:
<www.matematika-lucerna.cz/pomnenka.pdf>
3
Poděkování
Na tomto místě děkuji panu doc. RNDr. Petru Gurkovi, CSc. za ochotu a veškerou poskytnutou
pomoc nejen při psaní tohoto dokumentu, ale i při mnohých konzultacích.
Děkuji panu Ing. Pavlu Střížovi, Ph.D. za technicko-uměleckou pomoc při zpracovávání tohoto
materiálu, za trpělivost a ochotu, s jakou se Pomněnce i mně věnoval.
Také děkuji Ivanu Johansenovi, tvůrci programu Graph. Tento šikovný program mi mockráte
pomohl s grafickou představou příkladů a za jeho pomoci je nakresleno mnoho obrázků v této
knize.
4
Citátky a postřehy od učitelů z České zemědělské univerzity:
Informace je cokoli, co snižuje neurčitost našeho poznání o realitě.
Mít štěstí znamená, že jsme neudělali chybu.
Když si to vyzkoušíte, tak se s tím zkamarádíte a bude vše v pořádku.
Dobrý student má právo být dobře zkoušen.
Kdo chce dostřelit, musí přestřelit.
Kdo společnosti přispívá ve vědách ale ne v mravech, ten společnosti spíše nepřispívá.
elektronický test
informatika
Petr Gurka
matematická analýza
Eva Kaňková
makroekonomie
Helena Nešetřilová
lineární algebra
Karel Hauzer
filosofie
Miroslav Svatoš
agrární ekonomie
Hlavně vědět PROČ, JAK už se najde.
účetnictví
Slovo úvodem
Milí čtenáři,
tento soubor je vytvořen převážně z materiálů zveřejněných na stránkách <www.matematika-lucerna.cz>.
Jsou zde uvedeny příklady jednodušší i složitější pro přípravu na zkoušku z matematiky na úrovni České zemědělské
univerzity (ČZU), ale také různé poznámky, rady a návody k výpočtům.
Vzhledem k tomu, že je tento materiál šířený v elektronické podobě, může být v průběhu času měněn. Proto je na
stránce 2 uvedeno vždy aktuální datum souboru. Tento materiál vzniká od roku 2009.
Doporučuji soubor tisknout barevně, neboť je v něm spoustu barevných odkazů a oboustranně, nejlépe samozřejmě
na recyklovaný papír. Oboustranný tisk je OPRAVDU velice důležitý, už proto, že pak budete mít vytištěný stoh
o polovinu lehčí ,.
Btw. věděli jste že . . . „na jednoho obyvatele v České republice připadlo v roce 2009 krásných 150 kg papíru?ÿ
Obrázek 1: Papírový ninja, kampaň Greenpeace Papír má dvě strany
Zdroj: <http://www.2strany.cz/>
Přeji vám mnoho úspěchů ve studiu a doufám, že vám tato kniha v některých věcech usnadní cestu a pomůže k úspěšnému složení zkoušek.
Katka
5
V
Obsah
I
Matematická analýza
18
1 Než začneme počítat
19
1.1
Vymezení náročnosti ČZU příkladů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.2
Vzorečky v knize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.3
Značení v Pomněnce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.4
Číselné obory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.5
Obecné předpisy a grafy elementárních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.6
Vzorečky pro algebraické úpravy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.6.1
Mnohočleny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.6.2
Kvadratická rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.6.3
Mocniny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.6.4
Odmocniny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.6.5
Některé úpravy zlomků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Logaritmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.7.1
Vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.7.2
Hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.7.3
Odlogaritmování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Goniometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.8.1
Vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.8.2
Hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.7
1.8
2 Definiční obor jedné proměnné
34
2.1
Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.2
Ukázkové příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.3
Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.4
Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3 Definiční obor dvou proměnných
3.1
41
6
41
OBSAH
7
4 Limity
45
4.1
Vzorce a vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.2
Klasické příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5 Derivace funkcí jedné proměnné
48
5.1
Definice derivace funkcí jedné proměnné v bodě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
5.2
Úprava funkcí před derivováním . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
5.3
Vzorce pro derivování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
5.4
49
5.5
52
6 Limity – l´Hospitalovo pravidlo
53
6.1
Předpoklady užití l´Hospitalova pravidla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
6.2
53
6.3
54
7 Parciální derivace
55
7.1
Definice derivace funkcí dvou proměnných v bodě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
7.2
55
8 Inverzní funkce
56
8.1
Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
8.2
57
9 Tečna a normála v bodě T
59
9.1
Vzorce tečny a normály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
9.2
Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
9.3
Ukázkový příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
9.4
64
9.5
64
10 Tečna a normála rovnoběžná s přímkou p
10.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
66
8
OBSAH
10.2 Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
10.3 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
11 Tečná rovina a normála
70
11.1 Vzorce tečné roviny a normály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
70
12 Jak čteme z derivací průběh původních funkcí?
71
12.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
12.2 Monotonie a zakřivenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
13 Monotonie
81
13.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
13.2 Ukázkový příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
82
84
14 Konvexita a konkávita
86
14.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
86
14.3 Memo pomůcka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
14.4 Ukázkový příklad zkouškové úrovně . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
90
92
15 Souhrnný příklad
94
16 Globální a lokální extrémy funkce jedné proměnné
95
16.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
16.2 Extrémy – možné intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
99
16.4 Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
16.5 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
OBSAH
9
17 Lokální extrémy dvou proměnných
104
17.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
17.2 Ukázkový příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
18 Vázané extrémy
107
19 Asymptoty
108
19.1 Vzorce asymptot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
20 Taylorův polynom
111
20.1 Vzorce Taylorova polynomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
20.2 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
20.3 Ukázkové příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
20.3.1 Ukázkový příklad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
20.3.2 Ukázkový příklad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
21 Neurčitý integrál
116
21.1 Vzorce pro integrování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
21.2 Ukázkové jednoduché příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
21.3 Ukázkový příklad zkouškové úrovně . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
22 Určitý integrál
121
22.1 Návod na výpočet určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10
OBSAH
23 Aplikace určitého integrálu
129
23.1 Vzorce aplikovaného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
23.2 Návod na výpočet plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami P
. . . . . . . . . . . . 130
23.3 Návod na výpočet délky křivky l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
23.4 Obecné znázornění pláště a objemu rotačních těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
24 Diferenciální rovnice I. řádu
141
25 Diferenciální rovnice II. řádu
144
II
Lineární algebra
146
26 Základní pojmy z lineární algebry
147
26.1 Skalární součin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
27 Lineární rovnice
151
28 Inverzní matice
153
28.1 Jordanova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
28.2 Metoda výpočtu přes algebraické doplňky submatic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
29 Matice
157
29.1 Sčítání matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
29.1.1 Obecný návod
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
29.1.2 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
29.2 Násobení matic reálným číslem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
OBSAH
11
29.2.2 Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
29.3 Násobení matic maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
29.3.2 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
29.4 Rovnice s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
29.5 Matice s parametrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
30 Determinanty
161
30.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
30.1.1 Determinant matice 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
30.1.2 Determinant matice 2. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
30.1.3 Determinant matice 3. řádu – Sarrusovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
30.1.3.1 Ukázkový příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
30.1.4 Determinant matice řádu > 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
30.2.1 Výpočet determinantů matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
30.2.2 Rovnice s determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
30.2.3 Cramerovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
III
Přílohy
A Vzorce povolené ke zkoušce
166
167
A.1 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.2 Tabulka hodnot důležitých goniometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.3 Vzorce pro integrování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.4 Aplikace určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
B Návod k programu Graph 4.3
170
B.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
B.2 Popis pracovní lišty a nápovědy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12
OBSAH
B.2.1 Nastavení os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
B.2.2 Nápověda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
B.3 Jak zadávat funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B.3.1 Předpisy funkcí a jak je zadávat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
B.3.2 Konkrétní příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
B.4 Další funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
B.4.1 Ohraničení funkce, šrafování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
B.4.2 Tečna a normála . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.4.3 Řada bodů / souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.4.4 Text, popisky a legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.4.5 Výpočty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.4.6 Ostatní . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
B.5 Užitečné odkazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
C Lineární algebra
180
C.1 Definice z lineární algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
C.2 Věty z lineární algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
D Řecká abeceda
190
Seznam obrázků
1
Papírový ninja, kampaň Greenpeace Papír má dvě strany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1
Označení kvadrantů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.2
Číselné obory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.3
Průběh funkce y = log2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.4
Průběh funkce y = ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.5
Průběh funkce y = log5 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.6
Průběh funkce y = log x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.7
Průběh funkcí y = log2 x, y = ln x, y = log5 x, y = log x, y = log100 x . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.8
Jednotková kružnice – hodnoty úhlů ve stupních . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.9
Jednotková kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.1
Průběh funkce y = log(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.2
√
Průběh funkce y = 2 + 2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
√
2
x
2.3
Průběh funkce y = 3 +
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.4
Průběh funkce y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
9.1
Grafické znázornění: Tečna – zadaná funkce a tečné body T a S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
9.2
Tečna a normála v bodě T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
9.3
Tečna a normála v bodě S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
10.1 Průběh funkce f (x) = 6x − 10 − x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
10.2 Průběh funkce p : y = −2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
10.3 Očekávaný průběh hledané tečny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
10.4 Derivace zadané přímky p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
10.5 Derivace zadané funkce f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
12.1 Průběh funkce y = sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
12.2 Rostoucí interval funkce y = sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
12.3 Průběh funkce y = sin x a funkce y 0 = cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
12.4 Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
12.5 Rostoucí interval funkce y = ln(16 + 9x2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
13
14
SEZNAM OBRÁZKŮ
12.6 Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) a funkce y 0 =
18x
16 + 9x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
12.7 Konvexní průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
12.8 Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) a funkce y 00 =
18(16−9x2 )
(16+9x2 )2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
13.1 Průběh funkce y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
13.2 Průběh funkce y 0 = 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
14.1 Průběh funkce y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
14.2 Průběh funkce y 00 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
14.3 Průběh ryze konvexní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
14.4 Průběh ryze konvexní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
14.5 Číselná osa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
2
14.6 Průběh funkce y = e−2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
16.1 Dva globální extrémy na hranicích intervalu h0; 1i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
16.2 Dva globální extrémy na hranicích intervalu h−3; −1i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
16.3 Globální neostré extrémy jsou na hranicích h−2; 2i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
16.4 Lokální extrém uvnitř intervalu a globální extrém na hranici h−1; 3i . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
16.5 Průběh funkce y =
−x2
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
20.1 Průběh funkce y = (x − 1) · ln x + 1 a Taylorův polynom v bodě a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5
20.2 Průběh funkce y = x 2 −
21.1 Průběh funkcí y 0 =
√
3x2
49+25x2
2 − x a Taylorův polynom v bodě a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
ay=
3
1250
(49 + 25x2 ) − 49 ln(49 + 25x2 ) + C . . . . . . . . . . . . . . . 118
22.1 Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích h0, 6i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
22.2 Průběh funkce y = −5 a vymezení plochy v hranicích h0, 6i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
22.3 Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích h0, 5i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
22.4 Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích h−5, 0i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
23.1 Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích h0, 5i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
23.2 Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích h−1, 5i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
SEZNAM OBRÁZKŮ
15
23.3 Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích h0, 5i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
23.5 Průběh funkce y = 5 − x a vymezení plochy v hranicích h0, 5i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
23.6 Průběh funkce y = x + 2 a vymezení plochy v hranicích h0, 5i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
23.7 Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích h0, 2i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
23.8 Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích h−2, 0i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
23.9 Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích h−2, 2i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
23.10Průběh funkce y = 2 a vymezení plochy v hranicích h0, 3i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
23.11Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích h−2, 2i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
23.12Obecné znázornění pláště rotačního tělesa (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
23.13Obecné znázornění objemu rotačního tělesa (V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
26.1 Lineární obal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
29.1 Násobení matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
30.1 Sarrusovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
B.1 Základní pracovní plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
B.2 Základní nastavení os a barev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
B.3 Slovník – seznam funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B.4 Vložení nové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2
B.5 Konkrétní příklad – funkce f (x) = x + e(1−x
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
B.6 Šrafování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
B.7 Vložení tečny a normály k vybrané funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.8 Řada bodů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
B.9 Vložení textu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
D.1 Cyklus učení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Seznam tabulek
1.1
Značení grafů funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.2
Číselné obory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.3
Obecné předpisy vybraných elementárních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.4
Grafy elementarních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.5
Hodnoty logaritmů vybraných základů z vybraných hodnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.6
Důležité hodnoty goniometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.7
Jak odvodíme z tabulky goniometrických funkcí hodnoty cyklometrických funkcí . . . . . . . . . . . .
32
2.1
Značení výsledků u definičních oborů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.2
Vybrané funkční hodnoty funkce y = log(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.3
2.4
√
Vybrané funkční hodnoty funkce y = 2 + 2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
2
Vybrané funkční hodnoty funkce y = 3 +
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
36
36
2.5
Vybrané funkční hodnoty funkce y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
8.1
Funkční hodnoty funkce f : y = 2x a její inverzní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
8.2
Inverzní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
12.1 Jak čteme z derivací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
12.2 Rostoucí intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
12.3 Klesající intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
12.4 Intervaly konvexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
12.5 Intervaly konvexity a konkávity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
12.6 Různé funkce a řada jejich derivací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
16.1 Určení kvality extrémů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
16.2 Extrémy – body z případu 16.1 na intervalu h0; 1i
97
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Extrémy – body z případu 16.2 na intervalu h−3; −1i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
16.4 Extrémy – body z případu 16.3 na intervalu h−2; 2i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
16.5 Extrémy – body z případu 16.4 na intervalu h−1; 3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
16.6 Vybrané funkční hodnoty funkce y =
−x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4
16
16.7 Porovnání funkčních hodnot funkce y =
−x2
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
20.1 Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu 1 . . . . . . . . . . . . 112
20.2 Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu 2 . . . . . . . . . . . . 114
26.1 Vektorové prostory a podprostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
28.1 Výpočet determinantů submatic a algebraických doplňků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
A.1 Důležité hodnoty goniometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
B.1 Slovník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
B.2 Konkrétní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Část I
Matematická analýza
18
Kapitola 1
Než začneme počítat
1.1
Vymezení náročnosti ČZU příkladů
Návody na řešení příkladů jsou určeny především pro zkouškové úlohy na úrovni ČZU, tj.:
funkce jsou spojité, jejich definiční obory jsou konečným sjednocením intervalů,
derivace se počítá dle vzorců a pravidel.
1.2
Vzorečky v knize
V knize jsou vzorce uvedeny na několika místech. V této kapitole jsou obecné vzorce pro algebraické úpravy apod.
Vzorce pro výpočty jednotlivých typů příkladů jsou vždy uvedeny u patřičné kapitoly. V Příloze A jsou pak uvedené
vzorečky, které jsou na ČZU povolené ke zkoušce. Ke zkoušce je však potřeba si i některé vzorečky pamatovat, a to
konkrétně vzorce pro tyto typy příkladů:
Tečna a normála,
Asymptoty a
Taylorův polynom.
1.3
Značení v Pomněnce
Obrázek 1.1 zobrazuje používané označení kvadrantů.
Obrázek 1.1: Označení kvadrantů
II
I
III
IV
Tabulka 1.1 zobrazuje typy značení křivek na obrázcích v knize. Ve většině příkladů je zadáním nultá derivace.
U integrálů je však zadání, tedy funkce která se má integrovat, první derivací a výsledkem je derivace nultá.
19
20
KAPITOLA 1. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT
Tabulka 1.1: Značení grafů funkcí
Nultá derivace
První derivace
...................
Druhá derivace
−−−−−−−−−−
Taylorův polynom
−·−·−·−·−·−·
Asymptota
−··−··−··−··
1.4. ČÍSELNÉ OBORY
1.4
21
Číselné obory
Tabulka 1.2: Číselné obory
Označení
Název skupiny
Příklad čísel
N
Přirozená čísla
{ 1, 2, 3, 4, . . . }
N0
Celá nezáporná čísla
{ 0, 1, 2, 3, . . . }
Z
Celá čísla
Q
Racionální čísla
{. . . −2, −1, 0, 1, 2, . . . }
17 332
,
, ...
19 15
IQ
Iracionální čísla
R
Reálná čísla
C
Komplexní čísla
{π, e, . . .}
17
332
, π, e,
,...
19
15
x2 + 1 ⇒ výsledky jsou i a −i
N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q a IQ ⊂ R ⊂ C
Obrázek 1.2: Číselné obory
IQ
Q
Z
N0
N
R
C
(1.4.1)
22
1.5
Obecné předpisy a grafy elementárních funkcí
Tabulka 1.3 představuje souhrn obecných předpisů vybraných elementárních funkcí.
Tabulka 1.3: Obecné předpisy vybraných elementárních funkcí
Obrázek
Název
Obecný předpis
Přímka
y = ax + b
Hyperboly
Logaritmus
y=
Obrázek
c
x
y = log x
Kde a, b, c jsou R.
Název
Obecný předpis
Parabola
y = ax2 + bx + c
Hyberboly
y2
x2
−
=1
a2
b2
Odmocnina
√
y =a x+b
1.5. OBECNÉ PŘEDPISY A GRAFY ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
23
Tabulka 1.4: Grafy elementarních funkcí
y
y
3
3
2
2
1
y
2
1
−2 −1
−1
1
x
−2 −1
1
2
y = x2
1
x
−2 −1
x
1
√
y= x
2
x
1
2
−2
y = x3
y = ax , a > 1
y = ax , 0 < a < 1
y = loga x, a > 1
y = loga x, 0 < a < 1
y = sin x
y = cos x
y = tg x
y = cotg x
y=
24
y = arcsin x
y = arccos x
y = arctg x
y = arctg x
1.6. VZOREČKY PRO ALGEBRAICKÉ ÚPRAVY
1.6
25
Vzorečky pro algebraické úpravy
1.6.1
Mnohočleny
Pro a, b ∈ R platí:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
2
2
2
(a − b) = a − 2ab + b ,
a2 − b2 = (a + b) · (a − b).
1.6.2
(1.6.1)
(1.6.2)
(1.6.3)
Kvadratická rovnice
Jedná se o rovnici
ax2 + bx + c = 0,
kde a, b, c ∈ R, a 6= 0, s neznámou x. Kořeny (neznámé) x1 , x2 vypočítáme podle vzorce
√
−b ± D
, jestliže D = b2 − 4ac ≥ 0 (diskriminant).
x1,2 =
2a
Pokud D = 0, je x1 = x2 =
−b
2a
(1.6.4)
(1.6.5)
dvojnásobným kořenem.
Platí rovnost ax2 +bx+c = a(x−x1 )·(x−x2 ). Pokud a = 1, máme x2 +bx+c = (x−x1 )·(x−x2 ) = x2 −x(x1 +x2 )+x1 ·x2 ,
tedy b = −(x1 + x2 ), c = x1 · x2 .
Poznámka 1. Pokud D < √
0, kvadratická rovnice
(1.6.4) nemá reálné kořeny. Má však dva komplexně sdružené
√
−b+i |D|
−b−i |D|
komplexní kořeny x1 =
, x2 =
, kde i je imaginární jednotka, tj. i2 = −1.
2a
2a
Zjednodušeně řečeno, je-li
diskriminant D > 0, pak řešením rovnice jsou dva různé reálné kořeny,
diskriminant D = 0, pak řešením rovnice je jeden dvojnásobný reálný kořen,
diskriminant D < 0, pak řešením rovnice dva komplexně sdružené kořeny.
26
1.6.3
Mocniny
Jsou-li r, s ∈ R, pak platí následující rovnosti pro všechna x, y ∈ R, pro která mají obě strany smysl:
xr
1
= xr−s , x−r = r , x0 = 1,
s
x
x
1
−1
−r
r
0
speciálně: x = , x · x = x = 1,
x
x r
1 r
1
xr
r
r
r
=
=
,
,
x · y = (x · y) ,
yr
y
xr
x
xr · xs = xr+s ,
xr : xs =
(xr )s = xr·s .
(1.6.6)
(1.6.7)
(1.6.8)
Příklady 2. Pro x 6= 0 máme:
1
x
1.6.4
2
3
2
= x− 3 ,
x−1
1
1
=
=
−x
−x · x
−x2
(dle (1.6.6)).
Odmocniny
Pro m, n ∈ N, r ∈ R a x, y ∈ (0, ∞) platí:
√
n
1
x = xn ,
√
r
n
√
√
x
x
√
n
n
n
n
= √
,
x · y = x y,
n
y
y
q
q
√
√ r
√
r
n m
m √
n
n
xr = n x = x n ,
x=
x=
√
n
speciálně:
xn = x.
1.6.5
x
y
w
z
usměrňování zlomků – příklad:
rozložení zlomků:
1.7.1
(1.6.10)
√
n·m
x,
(1.6.11)
Některé úpravy zlomků
složený zlomek:
1.7
(1.6.9)
=
x z
xz
· =
y w
yw
(y, z, w 6= 0),
√
√
√
x
1 √x = 1 1
x
x
√
√ ·√ =
=
x
x
x
x
a
a+b
a b
= +
×
.
c
c
c
b+c
Logaritmy
Vzorce
Předpokládejme, že
a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞).
(1.6.12)
(x > 0),
(1.6.13)
(1.6.14)
1.7. LOGARITMY
27
Platí
ay = x
⇔
y = loga x
speciálně: 10y = x
y
⇔
speciálně: e = x
x = ln y
loga b
a
=b
⇔
pro x > 0, y ∈ R,
(1.7.1)
(pro x > 0, y ∈ R),
x = log y
(pro x > 0, y ∈ R, e = 2, 71 . . . je Eulerovo číslo),
(např. eln 3 = 3),
pro b > 0,
(1.7.2)
Pro u, v > 0, s ∈ R a n ∈ N platí:
loga (u · v) = loga u + loga v,
loga
u
v
= loga u − loga v,
(1.7.3)
1
√
1
n
u = loga (u) n = · loga u,
n
loga 1 = 0, loga a = 1,
speciálně z (1.7.4), (1.7.5) plyne: s = loga as .
loga (us ) = s · loga u,
loga
loga b =
1.7.2
(1.7.4)
(1.7.5)
(1.7.6)
log10 b
log10 a
(1.7.7)
Hodnoty
Tabulka 1.5: Hodnoty logaritmů vybraných základů z vybraných hodnot
loga 1 = 0
loga a = 1
barva křivky
x
(−∞; 0i
0, 5
1
2
e
5
10
100
456
♥
♥
♥
♥
♥
log2 x
ln x
log5 x
log x
log100 x
?
?
?
?
?
−1
−0, 69315
−0, 43068
−0, 30103
−0, 15051
0
0
0
0
0
1
0, 69315
0, 43068
0, 30103
0, 15052
1, 43829
1
0, 61944
0, 43297
0, 21649
2, 32193
1, 60944
1
0, 69897
0, 34949
3, 32193
2, 30259
1, 43068
1
0, 5
6, 64386
4, 60517
2, 86135
2
1
8, 83289
6, 12249
3, 80412
2, 65896
1, 32948
Obrázek 1.3: Průběh funkce y = log2 x
Zdroj: program Graph
28
Obrázek 1.4: Průběh funkce y = ln x
Obrázek 1.5: Průběh funkce y = log5 x
Obrázek 1.6: Průběh funkce y = log x
1.7. LOGARITMY
29
Obrázek 1.7: Průběh funkcí y = log2 x, y = ln x, y = log5 x, y = log x, y = log100 x
30
1.7.3
Odlogaritmování
Např. při výpočtu definičních oborů se občas setkáváme s nutností odlogaritmovat určitý výraz, níže jsou příklady,
jak takovou úpravu provést.
Pro a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞), A > 0 a y > 0 platí:
x = loga y
y = ax
⇔
B
aB loga A = aloga A = AB
(1.7.9)
aloga A = A
(1.7.10)
loga aB = B
(1.7.11)
V následujících příkladech ukážeme několik možností s logaritmy o různých základech.
1) Dekadický logaritmus (základ 10)
1 − log(8 − x)
log(8 − x)
8−x
x
= 0
= 1 (podle vzorce (1.7.8))
= 101
= −2
2) Přirozený logaritmus (základ e)
2 − ln 6x
ln 6x
ln 6x
6x
x
=
=
=
=
=
(1.7.8)
0
2
ln e2
e2
(podle vzorce (1.7.11))
(neboť logaritmus je prostá funkce)
e2
6
3) Logaritmus o základu 6
log6 (8x2 − 12) − 5
log6 (8x2 − 12)
log6 (8x2 − 12)
2
6log6 (8x −12)
8x2 − 12
8x2
x2
=
=
=
=
=
=
=
x
=
x
= ±
x
= ±
2
7
log6 67
7
6log6 6
67
67 + 12
67 +12
8
q
7
± 6 +12
q 8
q
279936+12
8
279948
8
1.8. GONIOMETRICKÉ FUNKCE
1.8
1.8.1
31
Goniometrické funkce
Vzorce
1. sin (x ± 2kπ) = sin x
8.
sin (−x) = − sin x
15. sin2 x + cos2 x = 1
2. cos (x ± 2kπ) = cos x
9.
cos (−x) = − cos x
16. tg x =
3. tg (x ± kπ) = tg x
10. tg (−x) = − tg x
4. cotg (x ± kπ) = cotg x
11. cotg (−x) = − cotg x
5. sin(α ± β) = sin α · cos β ± sin β · cos α
6. cos(α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β
7. cotg2 α =
cotg2 α − 1
2 · cotg α
tg α ± tg β
1 ∓ tg α · tg β
1 − 2 cos 2α
13. sin 2α =
2
17. tg x · cotg x = 1
cos x
18. cotg x =
sin x
2 · tg α
19. tg 2α =
1 − tg2 α
1 + 2 cos 2α
20. cos 2α =
2
14. cos 2α = cos2 α − sin2 α
21. sin 2α = sin α · cos α
12. tg(α ± β) =
22. cotg(α ± β) =
1.8.2
sin x
cos x
cotg α · cotg β ∓ 1
cotg β ± cotg α
Hodnoty
Tabulka 1.6: Důležité hodnoty goniometrických funkcí
x
− π2
− π3
− π4
√
sin x
−1 −
3
2
cos x
0
1
2
tg x
?
√
− 3
cotg x
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
π
6
− 12
0
1
2
1
√
3
2
√
3
3
√
3
2
√
−1
−
3
3
0
−1
√
− 3
?
√
3
3
− π6
√
π
4
π
3
√
√
2
2
√
2
2
1
π
2
2π
3
3π
4
3
2
√
3
2
√
1
1
2
0
− 21
√
√
3 ? − 3
√
3
1
3
3
3
3
π
7π
6
1
2
0
− 12
2
2
√
−
2
2
√
−
3
2
5π
4
3
2
2
2
√
−
2
2
√
√
−
3
3
0
−1
√
− 3
?
3
3
√
3
4π
3
√
−
√
−1 −
−1
√
0 −
5π
6
1
1
3π
2
5π
3
√
−
3
2
− 12
√
−1 −
3
2
0
1
2
3
?
√
− 3
√
3
3
0
−
√
7π
4
√
2
2
−
√
2
2
− 12
√
3
2
√
3
3
−1
−
−1
√
− 3
√
3
3
11π
6
32
Tabulka 1.7: Jak odvodíme z tabulky goniometrických funkcí hodnoty cyklometrických funkcí
−π
π
x ∈ h−1; 1i
sin
= −1
⇒
arcsin(−1) = −
2
2
arcsin x:
D −π π E
7π
−1
−1
π
arcsin x ∈
;
sin
ALE arcsin
=
= −
2 2
6
2
2
6
arccos x:
x ∈ h−1; 1i
arccos x ∈ h0; πi
x ∈ (−∞; ∞)
arctg x:
arctg x ∈
arccotg x:
−π π
;
2 2
x ∈ (−∞; ∞)
arccotg x ∈ (0; π)
cos(0)
−π
cos
3
−π
tg
3
2π
tg
3
5π tg
3
π
cotg
4
5π
cotg
4
=
1
⇒
=
1
2
ALE
=
√
− 3
=
√
− 3
=
√
− 3
=
1
⇒
=
1
ALE
⇒
ALE
ALE
arccos(1)
1
arccos
2
√ arctg − 3
√ arctg − 3
=
=
=
=
0
π
3
=
arccotg(1)
=
π
4
arccotg(1)
=
π
4
√ arctg − 3
−π
3
−π
3
−π
3
1.8. GONIOMETRICKÉ FUNKCE
33
Obrázek 1.8: Jednotková kružnice – hodnoty úhlů ve stupních
y
(0, 1)
3 1
2 , 2
− 12 ,
√
3
2
√ 2
2
,
2
2
√
−
√
−
√ 3
1
2, 2
π
2
π
3
2π
3
3π
4
90
√
3 1
2 , 2
60◦
150◦
30◦
180◦
π
−
3
1
2 , −2
11π
6
240◦
300◦
5π
4
√ 2
2
2 ,− 2
270
− 12 , −
5π
3
3π
2
√
3
2
√
7π
4
◦
4π
3
√
−
x
2π
330◦
7π
6
√
(1, 0)
360
0◦ ◦
210◦
(0, −1)
3
1
2 , −2
√
√ 3
1
,
−
2
2
√ 2
2
2 ,− 2
Obrázek 1.9: Jednotková kružnice
y
sin α
0
π
6
5π
6
(−1, 0)
√ 2
2
,
2
2
π
4
◦
120◦
√
α
x
tg α
y
1
x
sec α
= y
y
=
x
1
=
x
cos α
cotg α
csc α
= x
x
=
y
1
=
y
Kapitola 2
Definiční obor jedné proměnné
2.1
Návody k výpočtu
Činitelé, kteří kladou podmínky jsou:
1. JMENOVATEL. Musí být nenulový.
1
;
x
x 6= 0
√
2. ODMOCNINA. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný. Může se rovnat nule ( 0 = 0). Nula je nejmenší
číslo, které může být „podÿ sudou odmocninou.
√
x;
x≥0
3. LOGARITMUS. Logaritmovaný výraz (argument) musí být větší než nula, ať je základem logaritmu jakékoli
číslo.
ln x;
x>0
log x;
x>0
4. DVĚ CYKLOMETRICKÉ FUNKCE. Argument, ze kterého se počítá arcsin a arccos (nikoli arctg a arccotg)
musí být na intervalu h−1; 1i
ArcSin
ArcCos
arcsin x;
arccos x;
−1 ≤ x ≤ 1
−1 ≤ x ≤ 1
Tabulka 2.1: Značení výsledků u definičních oborů
2.2
(1)
Značení na číselné ose
otevírací závorka
uzavírací závorka
◦
•
(
h
)
i
znaménka podmínky
>
6= <
≥ ≤
Ukázkové příklady
y = log(x)
Z Obrázku 2.1 je vidět, že x může být jakkoli veliké v kvadrantu I a IV, tedy kladné. Nikdy se však nerovná nule ani
není záporné (x roste od nuly, nezačíná na ní), x > 0.
Definiční obor je tedy x ∈ (0; ∞)
(2)
√
y =2+2 x
34
2.2. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY
35
Obrázek 2.1: Průběh funkce y = log(x)
Tabulka 2.2: Vybrané funkční hodnoty funkce y = log(x)
x
y
−4
×
−0.5
×
0
×
1
0
5
0.698
10
1
√
Obrázek 2.2: Průběh funkce y = 2 + 2 x
Je evidentní, že nejmenší možná hodnota x je 0. Podmínky ze sudé odmocniny jsou x ≥ 0.
Tabulka 2.3 ukazuje vybrané hodnoty, které tvoří zadanou funkci.
Definiční obor je tedy x ∈ (0; ∞)
100
2
36
KAPITOLA 2. DEFINIČNÍ OBOR JEDNÉ PROMĚNNÉ
√
Tabulka 2.3: Vybrané funkční hodnoty funkce y = 2 + 2 x
−4
×
x
y
−0.5
×
0
0
1
1
5
6.472
10
8.325
100
22
√
(3)
y =3+
2
x
√
Obrázek 2.3: Průběh funkce y = 3 +
2
x
√
Tabulka 2.4: Vybrané funkční hodnoty funkce y = 3 +
−4
2.646
x
y
−0.5
0.172
0
×
1
4.414
5
3.283
2
x
10
3.141
100
3.014
Definiční obor je tedy x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞) nebo lze tuto skutečnost zapsat jako x ∈ R\{0}.
(4)
y = x2
Z této funkce žádné podmínky neplynou.
Definiční obor je tedy x ∈ R.
2.3
Jednoduché příklady ze skript
Zadání
1) f (x) =
2) f (x) =
r
√
Výsledky
1−x
1+x
2 + x − x2 +
1X D(f ) = (−1; 1i
√
4
6x − 8 − x2
3) f (x) = log (x3 − 5x2 + 6x)
√
√
√
4) f (x) = x2 − 4 + 3 2 − x + 3x2 + 4
2X D(f ) = {2}
3X
D(f ) = (0; 2) ∪ (3; ∞)
4X D(f ) = (−∞; −2i ∪ {2}
2.3. JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY ZE SKRIPT
37
Zadání
Výsledky
√
3x − 9
√
6) f (x) = e 1−log (x+3)
5) f (x) =
5X D(f ) = h2; ∞)
6X D(f ) = (−3; 7i
x
2 +1
5
+√
2x − 1
8 − 2x
√
8) f (x) = 4x − 3 · 2x − 4
1 − 2x
9) f (x) = arccos
3
7X D(f ) = (−∞; 0) ∪ (0; 3)
7) f (x) =
8X D(f ) = h2; ∞)
9X D(f ) = h−1; 2i
5 arctg x
+ arcsin (x − 2)
4 − x2
r
2x + 1
11) f (x) = arccos
2
10)
10X
f (x) =
D(f ) = h1; 2) ∪ (2; 3i
1 1
− ;
2 2
11X
D(f ) =
12) f (x) = sin(arcsin x)
12X
D(f ) = h−1; 1i
13) f (x) = arcsin(sin x)
13X
f (x) = log (4x2 − 1)
14X
D(f ) = (−∞; ∞)
1
1
D(f ) = −∞; −
∪
;∞
2
2
14)
ln(x − 1)
x2 − x − 2
√
f (x) = 16 − x2 + log (6x + x2 )
r
2−x
3
f (x) = log (x + x) + 4
2+x
2
log 12 + 4x − x
√
f (x) =
x2 − x − 2
p
f (x) = log(log x + 8)
15) f (x) =
15X
D(f ) = (1; 2) ∪ (2; ∞)
16)
16X
D(f ) = (0; 4i
17X
D(f ) = (0; 2i
18X
D(f ) = (−2; −1) ∪ (2; 6)
19X
D(f ) = h2; ∞)
20X
D(f ) = (2; 3)
17)
18)
19)
20) f (x) = log 1 − log(x2 − 5x + 16)
38
Obrázek 2.4: Průběh funkce y = x2
y
3
2
1
x
−2 −1
1
2
Tabulka 2.5: Vybrané funkční hodnoty funkce y = x2
x
y
2.4
−4
16
−0.5
0.25
0
0
1
1
5
25
10
100
100
10 000
Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let
Zadání
Výsledky
1)
1
1X D : x ∈ (−∞; −2) ∪ −2; −
3
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
r
1
9x2 − 1
f (x) =
+
1 − log (8 − x)
x2 − 10x + 21
3
√
x − 16x
f (x) = ln
+ 36 − x2
x−5
r
2
2x2 + 9x − 5
f (x) =
+
x4 − 3x5
x−5
2
√
x + 2x − 15
f (x) = ln
+ e 2x−16
x−1
r
5 − 3x
+ 1 + ln(x2 − 1)
f (x) =
x+3
1
2x − 5
+ arcsin
+ ln(x2 − 1)
f (x) =
x−2
5
√
4x − 16
2
+ e 25−4x
f (x) = log
2
x + 2x − 3
√
x2 − 3x − 10
f (x) =
+ log(8 − x)
log(x + 4) − 1
r
p
x2 + 2x − 3
f (x) = ln(5 − x) +
2x − 4
r
2x − 8
+ log(100 − x2 )
f (x) =
x3 − 3x2 − 10x
√
x3 + 4x2 − 21x
f (x) = 25 − x2 + ln
4−x
2
x − 3x + 2
2x − 1
f (x) = ln
+ arcsin
x+4
7
r
2
x −9
f (x) = log(x2 − 4) +
2
x − x − 20
2
√
x + 2x − 3
f (x) = 25 − x2 + ln
x2 + 2x − 8
2X
∪
1
; 3 ∪ (7; 8)
3
D : x ∈ h−6; −4) ∪ (0; 4) ∪ (5; 6i
3X D : x ∈ (−∞, −5i ∪
4X
1 1
,
3 2
D : x ∈ h8; ∞)
5X D : x ∈ (−3; −1) ∪ (1; 4i
6X
D : x ∈ (1; 2) ∪ (2; 5i
7X
D:x∈
8X
D : x ∈ (−4; −2i ∪ h5; 6) ∪ (6; 8)
9X
D : x ∈ h−3; 1i ∪ (2; 4i
5
5
− ; 1 ∪ 2;
2
2
10X
D : x ∈ (−10; −2) ∪ (0; 3i ∪ (5; 10)
11X
D : x ∈ h−5; 0) ∪ (3; 4)
12X
D : x ∈ h−3; 1) ∪ (2; 4i
13X
D : x ∈ (−∞; −4) ∪ h−3; −2) ∪ (2; 3i ∪ (5; ∞)
14X
D : x ∈ h−5; 4) ∪ (−3; 1) ∪ (2; 5i
2.4. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET
Zadání
Výsledky
15)
f (x) = ln
16)
r
17)
18)
19)
20)
f (x) =
f (x) =
r
r
r
2 − e4x
2 + e4x
ln 2
−∞;
4
15X
D:x∈
2x − 8
+ ln(x2 + 3x)
x2 + 4x − 5
16X
D : x ∈ (−5; −3) ∪ (0; 1) ∪ h3; ∞)
x2 − 9x + 20
+ log (log(10 − x))
x−3
17X
D : x ∈ (3; 4i ∪ h5; 9)
18X
D : x ∈ (−3; −1) ∪ (1; 2i ∪ (4; ∞)
19X
D : x ∈ h−∞; 1i ∪ h3; 4i
20X
D : x ∈ h2; ∞)
21X
D : x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 3)
22X
D : x ∈ (−3; 7i
23X
D : x ∈ (−1; 3) ∪ (5; 8i
24X
D : x ∈ (5; ∞)
25X
D : x ∈ (−4; −2i ∪ h2; 6) ∪ (6; ∞)
26X
D : x ∈ h−6; −3) ∪ (4; ∞)
27X
D : x ∈ (−7; −4i ∪ (−3; 1i ∪ (3; ∞)
28X
D : x ∈ (−∞; −5) ∪ (−4; −3i ∪ h3; 4) ∪ (7; ∞)
29X
D : x ∈ h−7; −2) ∪ (6; 7i
30X
D : x ∈ (−4; 2) ∪ h3; 4)
31X
(−∞; −1i ∪ h2; 5)
32X
(−3; −2) ∪ (3; ∞)
33X
h−4; 1) ∪ (3; 4i
34X
(−∞; −1i ∪ h1; ∞)
35X
(−8; −6) ∪ (6; ∞)
36X
(−6; −3) ∪ h1; 3)
37X
(−∞; −6i ∪ (−4; −2) ∪ h4; ∞)
38X
h−3; −2i ∪ h1; 3i
39X
h−5; 1) ∪ h2; 5i
5x − 25
+ log(x2 − 1)
x2 − x − 12
p
√
f (x) = x2 − 4x + 3 + ln(5 − x)
p
f (x) = log (log(x + 8))
f (x) =
39
x
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
2 +1
5
+√
x
2 −1
8 − 2x
√
f (x) = e 1−log(x+3)
√
x−3
2
f (x) = 64 − x − ln
x2 − 4x − 5
2
√
x − 2x − 15
2
+ e x −16
f (x) = ln
x−1
√
x2 − 4
f (x) =
log(x + 4) − 1
r
x+6
f (x) =
+ log(x2 − 9)
2
x − 6x + 8
r
x2 + 3x − 4
+ log (log(2x + 15))
f (x) =
x2 − 9
2
√
x − 2x − 35
2
f (x) = x − 9 + log
x2 − 16
√
x2 − 4x − 12
2
f (x) = e 49−x + ln
x + 10
r
x2 + 2x − 15
f (x) =
+ ln(16 − x2 )
4x − 16
√
f (x) = x2 − x − 2 − ln (5 − x)
r
x+3 x−3
−
+ ln (x2 − 4)
f (x) =
x−3 x+3
√
3x − 3
f (x) = ln
+ 16 − x2
2
x + 2x − 15
√
√
f (x) = x2 − 1 − arctg x2 − 1
r
x2 − 6x + 8
+ ln (x2 − 36)
f (x) =
x+8
r
x2 + 7x − 8
f (x) =
+ log (log(x + 7))
9 − x2
r
x2 + 2x − 24
f (x) = ln(x2 − 4) +
x2 + 4x
r
x2 + x − 2
f (x) =
+ log (9 − x2 )
16 − x2
√
x3 − 8
2
f (x) = ln
+ e 25−x
2
x + 5x − 6
f (x) =
40
Zadání
40)
41)
42)
43)
44)
f (x) =
Výsledky
√
x2 − 1 + log
s
x3 − 25x
x−3
x3 − 9x
+ ln(12 − x)
log(x + 5) − 1
2
√
x − 4x − 5
f (x) = ln
+ 16 − x2
x
8−2
√
2x − 16
f (x) = ln
+ x2 − 1
x2 + 2x − 15
r
x2 − 3x − 10
f (x) =
+ log(log(x + 5))
x2 − 7x + 12
f (x) =
40X
(−∞; −5i ∪ h1; 3i ∪ h5; ∞)
41X
h−5; −3i ∪ h0; 3i ∪ (5; 12i
42X
h−4; −1) ∪ (3; 4i
43X
(−5; −1i ∪ h1; 3) ∪ (4; ∞)
44X
(−4; −2i ∪ (3; 4) ∪ (5; ∞)
Kapitola 3
Definiční obor dvou proměnných
3.1
Zadání
Výsledek
!
p
x2 + y 2 − 9
2x + y + 3
1)
f (x, y) = ln
2)
f (x, y) = ln
3)
f (x, y) =
p
16 −
4)
f (x, y) =
s
x2 − 1
+ ln(9 − y 2 )
x2 + y 2 − 4
5)
f (x, y) = p
x2 + y 2 − 9
3
y2
+ ln
x2 + y 2 − 4
2x + y + 2
arccos y
y − ln(x + 1)
41
42
KAPITOLA 3. DEFINIČNÍ OBOR DVOU PROMĚNNÝCH
6)
f (x, y) =
s
ln x − y
y2 − 1
4x2 + 9y 2 − 36
ln x − y
7)
f (x, y) = ln
8)
f (x, y) =
p
1 − y2 +
f (x, y) =
r
1+x−y
ln x − y
9)
10)
11)
f (x, y) = ln
s
ln x + y
ln x − y
2−x−y
y − log x
f (x, y) = arcsin
2x + 3y
x−1
36 − 4x2 − 9y 2
x2 + y − 4
12)
f (x, y) = log
13)
f (x, y) =
14)
f (x, y) = ln
15)
f (x, y) = arcsin(y − x2 ) + arcsin(y − x − 1)
p
4x − y 2
ln(1 − x2 − y 2 )
16)
f (x, y) = log
17)
f (x, y) = ln
x2 + y + 1
1 − x2
4x2 + y 2 − 4
y2 − 1
4 − x2
2
x + 4y 2 − 16
43
44
KAPITOLA 3. DEFINIČNÍ OBOR DVOU PROMĚNNÝCH
18)
f (x, y) = ln
4x2 + 9y 2 − 24x − 36y + 36
4x2 − y 2 − 24x + 4y + 28
Kapitola 4
Limity
4.1
Vzorce a vztahy
Níže jsou uvedeny vzorce pro oboustranné limity ve vlastním bodě.
Analogické vzorce platí i pro limity v ±∞ a také pro limity jednostranné, není-li řečeno jinak může být A také ±∞.
1)
Funkce má v daném bodě nejvýše jednu limitu, tj. je-li lim f (x) = A a lim f (x) = B, pak je A = B;
2)
je-li lim f (x) = A ∈ R a lim g(x) = B ∈ R, potom je:
x→a
x→a
x→a
x→a
lim (f (x) + g(x)) = A + B;
x→a
lim (f (x) − g(x)) = A − B;
x→a
lim (f (x) · g(x)) = A · B;
x→a
lim
x→a
3)
f (x)
g(x)
=
A
, samozřejmě za předpokladu, že B 6= 0;
B
je-li f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) v nějakém okolí bodu a (s vyjímkou tohoto bodu a) a lim f (x) = lim g(x) = A, potom
x→a
x→a
je také lim h(x) = A;
x→a
4)
lim g(x) = b, lim h(x) = A a je-li pro každé x ∈ D(g),
x→a
x→b
x 6= a splněna nerovnost g(x) 6= b, pak je lim h(g(x)) = A.
x→a
Poznámka. Důsledkem právě uvedených vlastností limit jsou i následující dvě vlastnosti:
5)
je-li lim f (x) = A ∈ R, potom je lim (k · f (x)) = k · A pro libovolné k ∈ R;
6)
je-li lim f (x) = 0 a je-li funkce g(x) omezená v nějakém okolí bodu a (tj. | g(x) |≤ K, pro nějaké K ∈ R, potom
x→a
x→a
x→a
je lim (f (x) · g(x)) = 0.
x→a
45
46
KAPITOLA 4. LIMITY
4.2
Klasické příklady
Určete limity funkcí:
Zadání
x2 + 5
1) lim 3
x→1 x + 1
Výsledky
1X
3
Zadání
2)
2X
−3
4)
lim
x3 + 1
x→1 x2 − 1
4X
Neexistuje
6)
x2 − 5x + 6
x→3
x2 − 9
6X
3)
x3 + 1
x→−1 x2 − 1
3X −
5)
x2 − 5x + 6
x→2
x2 − 9
5X
0
7X
1
9X
−2
11X
3
12)
13X
0
14)
lim
lim
x2 − 5x + 6
x→∞
x2 − 9
6
2
−
9) lim
x→1 1 − x
1 − x3
7)
11)
13)
lim
3x + 1
x→∞ x + 4
x4
lim
−x
x→∞ x3 + 1
lim
3
2
5 + x2 − x3
x→∞ 7 − x + 2x3
15X
−
17)
3x3 − 2x + 1
x→∞ x2 + x − 1
17X
∞
19)
21)
23)
25)
27)
29)
31)
33)
35)
37)
lim
x4 + x + 5
lim
x→−∞ 2x2 + 3x + 4
√
(x − 1) · 2 − x
lim
x→1
x2 − 1
√
3x − 3
lim
x→3 x2 − 9
√
√
3+x− 3
lim
x→0
x
√
3
x−6+2
lim
x→−2
x+2
√
x+2−2
lim ln
x→2
x−2
√
x4 + 3 − 2x
lim
x→∞
x2 + 5x
p
√
x+ x−1
√
√
lim
3
x→∞
x− x
√
√
√ lim x ·
x−3− x
x→∞
lim tg x
+
1
2
16)
limπ
x→ 2
2 cos2 x + 5 cos x
2 cos2 −9 cos x
41)
sin x
x→0 sin 2x
43)
limπ
lim
x→ 4
sin 2x − cos 2x − 1
cos x − sin x
−
x4 + 1
x→∞ (x2 + 2)2
12X
1
x2 + 3x − 1
x→∞ 3x3 + 2x + 4
14X
0
16X
2
lim
lim
lim
2x2 + 1
−x+3
x→−∞ x2
1
2
−∞
(2x + 1)10 · (3x − 2)20
lim
x→∞
(2x − 3)30
20X
20
3
2
22X
−4
24X
1
16
26X
1
4
28X
1
4
30X
1
144
32X
0
34X
0
lim
ex
x→∞ 2 + sin x
36X
∞
lim cos x · x−6
38X
∞
40X
1
42X
5
44X
1
2
21X
1
2
22)
23X
1
12
24)
26)
27X
1
12
28)
29X
− ln 4
30)
31X
1
32)
33X
−1
34)
35X
−
3
2
36)
37X
−∞
38)
39X
− 59
40)
41X
1
2
42)
43X
√
− 2
44)
x→ π2
39)
10X
18X
20)
2 3
8X
3x3 − 2x + 1
x→−∞ x2 − 3x + 4
∞
1
√
lim
1
6
10
3
2
18)
19X
25X
lim
(x2 − x − 2)20
x→2 (x3 − 12x + 16)10
8
2
10) lim
−
x→2 x2 − 4
x−2
8)
15)
lim
Výsledky
2x − 3
lim
x→0 log(x + 10)
lim
x−4
√
2− x
√
x − 3x − 2
lim
x→2
x2 − 4
√
x+4−1
lim
x→−3 2(x + 3)
√
4
x−2
lim √
x→16
x−4
√
3
x−6+2
lim
x→−2
x3 + 8
p
(1 − x)3
√
lim
3
x→−∞
x x2
√
√
lim ( x − 3 − x)
lim
x→4
x→∞
x→0
lim log
x→1
x2 + 8x − 9
x2 − x
2 tg2 x + tg x − 3
x→ 4 2 tg2 x − 3 tg x + 1
2
1
lim
−
x→0 sin 2x · sin x
sin2 x
limπ
4.2. KLASICKÉ PŘÍKLADY
45)
47)
49)
51)
53)
lim
x→π
sin 2x
tg x
sin x − cos x
lim
x→ π
cos 2x
4
x + sin x
x − cos x
arctg x
lim
x→−∞
x
lim
x→∞
47
45X
2
46)
√
2
2
47X
−
49X
1
50)
51X
0
52)
48)
1 + cos x
sin x
46X
0
lim (x5 + sin 2x)
48X
∞
lim (2 arccotg x + 3)
50X
3
52X
1
2
x→π
x→∞
x→∞
lim
x→∞
1
1+e
1
x
Vypočítejte limity zadané funkce v hraničních bodech jejího definičního oboru
f (x) =
D(f ) = (−∞; 2) ∪ (2; ∞)
lim f (x) = 0
x→−∞
1
x−2
lim− f (x) = −∞
x→2
lim f (x) = ∞
lim f (x) = 0
x→∞
54)
lim+
x→2+
Vypočítejte limity zadané funkce v hraničních bodech jejího definičního oboru
f (x) =
D(f ) = R\{−3; 1}
lim f (x) = 0
x→−∞
lim f (x) = 0
x→∞
x2
1−x
+ 2x − 3
1
lim f (x) = −
−
4
x→1
1
lim f (x) = −
4
x→1+
lim f (x) = ∞
x→−3−
lim f (x) = −∞
x→3+
Kapitola 5
Derivace funkcí jedné proměnné
5.1
Definice derivace funkcí jedné proměnné v bodě
f 0 (a) = lim
h→0
5.2
f (a + h) − f (a)
v bodě a
h
(5.1.1)
Úprava funkcí před derivováním
Pakliže je naším úkolem zderivovat nějakou funkci, je často vhodnější si tuto funkci nejprve nějak příhodně upravit –
viz příklad (modře je vyznačena samotná derivace) a teprve po úpravě ji zderivovat. Výsledky však musí být stejné
ať už zadání upravíme, nebo ne.
Naším úkolem je zderivovat funkci:
y=√
1
3 + 2x
Mohu ji derivovat:
a) Neupravenou
y=√
1
3 + 2x
0·
y0 =
√
1
1
√
3 + 2x − 1 · √
·2
1
1
1
2 3 + 2x
3 + 2x
·
=−
= −√
= −p
3 + 2x
3 + 2x
3
+
2x
3 + 2x
(3 + 2x)3
1
b) Upravenou
1
y = (3 + 2x)− 2
√
√
1
3
3
y 0 = − 12 · ( 3 + 2x)− 2 · 2 = −( 3 + 2x)− 2 = − p
(3 + 2x)3
48
5.3. VZORCE PRO DERIVOVÁNÍ
5.3
49
Vzorce pro derivování
Pokud aplikujeme vzorec Equation 5.1.1 v každém bodě a, dostaneme následující vzorce.
Níže jsou uvedeny všechny vzorce z tabulky z technické fakulty.
Ani na zmíněné tabulce nejsou všechny vzorce Diferenciálního počtu. Některé vzorce jsou zde (i v tabulce) odvozené
od ostatních, například: vzorce č. 2, 4, 5 jsou odvozeny od vzorce č. 3; vzorec č. 7 odvozen od vzorce č. 6; vzorec č. 9
odvozen od vzorce č. 10.
Funkce a exponenty
1.
2.
3.
4.
5.
(konstanta)0 = 0
(x)0 = 1
(xa )0 = axa−1
0
1
1
=− 2
x
x
√
1
( x)0 = √
2 x
Pravidla pro derivování
Pravidla pro sčítání
19.
Pravidla pro násobení
20.
20.a
9.
1
x ln a
1
(log x)0 =
x ln 10
1
(ln x)0 =
x
(ex )0 = ex
10.
(ax )0 = ax · ln a
7.
8.
(loga x)0 =
12.
(cos x)0 = − sin x
1
(tg x)0 =
cos2 (x)
1
(cotg x)0 = − 2
sin (x)
13.
14.
21. (u · v · w)0 = u0 · v · w + u · v 0 · w + u · v · w0
0
nebo též ((u · v) · w) = (u · v)0 · w + (u · v) · w0
Pravidla pro podíl
22.
0
(sin x) = cos x
22.a
Pravidla pro složené funkce
23.
Cyklometrické funkce
1
1 − x2
1
16. (arccos x)0 = − √
1 − x2
1
0
17. (arctg x) =
1 + x2
1
18. (arccotg x)0 = −
1 + x2
Toto není vzorec pro derivování, jedná se o definici obecné mocniny
f (x)g(x) = eg(x)·ln f (x)
15.
5.4
(arcsin x)0 = √
Zadání
√
√
1) y = 7 x + 5 2
p √
12 x3 x
√
2) y =
3
5 x4
(k · f (x))0 = k · (f (x))0
Násobení více funkcí
Speciální případ s konstantou
11.
(u · v)0 = u0 · v + u · v 0
Logaritmy a exponenciála
6.
(u ± v)0 = u0 ± v 0
Výsledky
1X
7
y0 = √
2 x
2X
1
√
y 0 = 12
x7
u 0
v
=
f (x)
k
u0 · v − u · v 0
v2
0
=
0
f 0 (x)
k
[f (g(x))] = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
50
KAPITOLA 5. DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ
Zadání
√
( x − 1)2
3) y =
x
x
4) y =
2x − 1
Výsledky
√
x−1
3X y 0 =
x2
1
4X y 0 = −
(2x − 1)2
5) y = x2 · 3x
5X
y 0 = x · 3x · (2 + x · ln 3)
6) y = x · ln x − x
6X
y 0 = ln x
7) y = (2 − x2 ) · cos x + 2x · sin x
7X
y 0 = x2 · sin x
8) y = (x − 1) · log3 x
tg x
ex
4x + 6
=
9 − 4x2
cos x
=
1 − sin x
1 + ln x
=
x
x+3
= ln
x−3
1
= arctg
x
x+1
= arccotg
x−1
9) y =
10) y
11) y
12) y
13) y
14) y
15) y
√
x+1
√
16) y = e
+ x+1
17) y = arcsin
p
x2 − 1
18) y = tg4 x − 2 · tg2 x − 4 · ln(cos(x))
x 19) y = ln tg
2
1+x
20) y = 2x − (1 − x2 ) · ln
1−x
5
√
1
21) y =
x+ √
x
1
22) y = x · arctg x − · ln(1 + x2 )
2
π x 23) y = ln tg
+
4
2
p
x
x
24) y = · 16 − x2 + 2 · arcsin
8
4
√
p
x
25) y = 16x − x2 + 4 · arcsin
4
√ !
1
x· 3
26) y = √ · arctg
1 − x2
3
p
1
27) y = x · arcsin
+ ln x + x2 − 1
x
1
x cos x
28) y = · ln tg
−
2
2
2 sin2 x
8X
1
1
y = log3 x +
· 1−
ln 3
x
0
1 − sin x · cos x
ex · cos2 x
4
10 X y 0 =
(3 − 2x)2
1
11X y 0 =
1 − sin x
ln x
12X y 0 = − 2
x
6
13 X y 0 =
9 − x2
9X
y0 =
14X
y0 = −
15X
y0 =
1
1 + x2
1
1 + x2
√
e x+1 +1
16 X y = √
2 x+1
x
17 X y 0 = p
2
(2 − x )(x2 − 1)
0
18 X y 0 = 4 · tg5 x
19 X y 0 =
1
sin x
20 X y 0 = 2x · ln
21 X y 0 =
1+x
1−x
5(x + 1)4 · (x − 1)
√
2x3 · x
22 X y 0 = arctg x
1
cos x
√
16 − x2
0
24 X y =
4
10
−x
25 X y 0 = √
16x − x2
23 X y 0 =
x2 + 1
x4 + x2 + 1
1
27 X y 0 = arcsin
x
26 X y 0 =
28 X y 0 =
1
sin3 x
Zadání
Výsledky
x
3x
+
2
2
+ 1)
2(x + 1) + 32 arctg x
!
√
1 − 1 − x2
arcsin x
30) y = ln
−
x
x
1
x2
arctg x
31) y = · ln
−
2
2
x +1
x
29) y =
51
(x2
29 X y 0 =
(x2
4
+ 1)3
30 X y 0 =
arcsin x
x2
31 X y 0 =
arctg x
x2
Vypočtěte druhé derivace funkcí:
32) y = x · tg + ln(cos x)
p
33) y = ln x + x2 + 1
√ 2x · x
2
· ln x −
3
3
x+3
35) y = ln √
x2 + 4
1 − x3
36) y = arctg
1 + x3
r
1−x
1−x
37) y = ln
+ arctg
1+x
1+x
34) y =
3 + e2x
4 − e2x
r
1 + e2x
39) y = ln
1 − e2x
38) y =
Vypočtěte f 0 (4) pro funkci
√
x
√
40) f (x) =
1+2· x
Vypočtěte f 0 (0) a f 00 (0) pro funkci
x
9
x p
41) f (x) = · 9 − x2 ·
· arcsin
2
2
3
2x · tg x + 1
x2
−x
33 X y 0 = p
(x2 + 1)3
32 X
y0 =
34 X y 0 =
ln x + 2
√
2· x
35 X y 0 =
6x3 − 3x2 − 24x − 52
((x + 3) · (x2 + 4))2
36 X y 0 =
6x · (2x6 − 1)
(1 + x6 )2
37 X y 0 =
−8x3
(x4 − 1)2
38 X y 0 =
28 e2x ·(4 + e2x )
(4 − e2x )3
39 X y 0 =
4 e2x ·(1 + e4x )
(1 − e4x )2
40 X f 0 (4) = 0, 01
41 X f 0 (0) = 3,
f 00 (0) = 0
Vypočtěte f 0 (5) a f 00 (5) pro funkci
p
p
42) f (x) = x2 − x · x2 − 9 + ln x + x2 − 9
42 X f 0 (5) = 0,
f 00 (5) =
43) y = tg2 x + 2 · ln(tg x)
π
43 X x ∈ 2k · ,
2
1
8
Ve kterých intervalech je derivace zadané funkce kladná?
Pro které x je derivace zadané funkce rovna nule?
1
44) y = (4x − 1) · e x
(2k + 1) ·
44 X x =
1
2
45 X
x=
π
+ kπ, k ∈ Z
2
46 X x =
π
+ kπ, k ∈ Z
2
Pro která x je derivace zadané funkce rovna nule?
45) y = sin3 x − 3 · sin2 x + 3 · sin x
Pro která x platí f 0 (x) = 4 u zadané funkce?
46) y =
4 · sin x
1 + cos x
π
2
52
5.5
KAPITOLA 5. DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ
Zadání
Výsledky
1)
f (x) = ln sin 3x +
2)
f (x) = ln
√
s
p
x
1 − x2
2 − cos2 3x
2 + sin2 5x
2 − sin2 5x
√
p
x 3
2
4) f (x) = x · 3 − x + 3 · arccos
3
!
√
1 + x4 + 1
5) f (x) = ln
x2
p
x p
9
6) f (x) = · x2 − 9 − · ln x + x2 − 9
2
2
p
x
1
7) f (x) = 9 − x2 + x · arcsin + arcsin
3
2
√
p
x
8) f (x) = 16x − x2 + 4 · arcsin
4
s
2 − e4x
9) f (x) = ln
2 + e4x
p
10) f (x) = ln ln2 x + 4 + ln4 x
3)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
f (x) = ln
p
Nepočítáno:
p
2
4
f (x) = ln
x + 2 + x − ln
x4 + 2 − x2
p
f (x) = ln sin2 3x + 1 + sin4 3x
p
p
f (x) = x2 − 1 − arctg x2 − 1
x2
f (x) = ln √
1 − x4
!
√
1 + e2x − 1
f (x) = ln √
1 + e2x + 1
π √
x
f (x) = e 2 1 − ex + arcsin e 2
√ √
x
f (x) = 4 · arcsin
+ 4x − x2
2
√
√ √
f (x) = x · arcsin x + 1 − x
3 · cos 3x
2 − cos2 3x
1X
f (x)0 = √
2X
f (x)0 =
1
x − x3
3X
f (x)0 =
20 · sin 5x · cos 5x
4 − sin4 5x
4X
−2x2
f (x)0 = √
3 − x2
5X
6X
7X
8X
9X
10X
−2
f (x)0 = √
x x4 + 1
p
f (x)0 = x2 − 9
x
f (x)0 = arcsin
3
10 − x
f (x)0 = √
16x − x2
f (x)0 =
8 · e4x
e8x −4
2 · ln x
f (x)0 = p
x 4 + ln4 x
Kapitola 6
Limity – l´Hospitalovo pravidlo
6.1
Předpoklady užití l´Hospitalova pravidla
Chceme-li počítat limity lim
1.
2.
f (x)
l´Hospitalovým pravidlem, musí dané funkce splňovat následující předpoklady:
g(x)
něco
∞
0
0
3. limity z derivace lim
Potom lim
6.2
f 0 (x)
existuje.
g 0 (x)
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
g(x)
g (x)
Užitím l’Hospitalova pravidla vypočtěte následující limity:
Zadání
x2 − 2x − 3
1) lim 3
x→3 x + x − 30
Výsledky
1
1X
7
Zadání
e3x −2x − 1
2) lim
x→0+
sin2 2x
2
3)
5)
7)
ex −1
x→0 cos x − 1
lim
3X
lim
x→0+
13)
15)
17)
lim (ex −1) · cotg x
x→0+
lim
x→ π
2
lim
x→1
x
π
−
cotg x 2 cos x
4)
ln 2x
lim √
x→∞
x
2X
x50 − 50x + 49
x100 − 100x + 99
5X
0
6)
7X
0
8)
9X
27
10)
11X
0
12)
13X
1
14)
15X
−1
16)
17X
49
198
18)
e 2 −1
lim
x→0 x2 + x
sin 3x
lim
x→0 sin 5x
lim
x→π
cos 2x − 1
tg x
lim ln(1 − x) · ln x
1
lim+ cotg x −
x
x→0
2
lim tg x +
x→ π
2x − π
2
√
3
tg x − 1
limπ
x→ 4
2 sin2 x − 1
x→1−
∞
4X 0
x
ln x
lim
x→0+ cotg x
1−x
lim
x→∞ e−x +1
sin3 3x
x→0
x3
√
11) lim 3 x · ln x
9)
−2
Výsledky
6X
8X
1
2
3
5
10X
0
12X
0
14X
0
16X
0
18X
1
3
Následující limity počítejte oběma způsoby, tj. úpravami bez použijí l’Hospitalova pravidla a s ním:
Zadání
Výsledky
Zadání
Výsledky
√
√
√
x + 13 − 2 x + 1
1
1−x−3
√
19) lim
19X −
20) lim
20X −2
2
x→3
x→−8
x −9
16
2+ 3x
√
√
√
√
1 + tg x − 1 − tg x
2 − 1 + cos x
21) lim
21X 1
22) lim
22X 0
x→0
x→0
sin x
sin x
53
54
KAPITOLA 6. LIMITY – L´HOSPITALOVO PRAVIDLO
23)
tg x − sin x
x→0
sin3 x
lim
23X
1
2
24)
(1 + x)5 − (1 + 5x)
x→0
x2 + x5
lim
V dalších dvou příkladech vypočtěte limity dané funkce v hraničních bodech definičního oboru
a nakreslete graf libovolné jiné funkce, která má ve stejných bodech stejné limity:
Zadání
Výsledky
2x2 + 5x − 3
lim f (x) = −∞
25) y = 2
25X
lim f (x) = ∞
8x − 2x − 1
x→− 14 −
x→− 14 +
1
x→±∞
4
4
lim f (x) = −
x→0
3
lim f (x) =
26)
x3 + 4x
y= 2
x − 3x
26X
lim1 f (x) =
x→ 2
7
6
lim f (x) = lim− f (x) = −∞
x→−∞
x→3
lim f (x) = lim f (x) = ∞
x→3+
6.3
x→∞
Zadání
Nepočítáno:
ln (1 − x)
√
1) lim √
x→0
2 + sin 3x − 2 − sin 5x
3
e1−x −1
x→1
5x2 − 1 − 2
√
2 − 2 cos 3x
3) limπ
x→ 2
1 − tg2 3x
2)
lim √
4)
limπ
x→ 8
1 − tg 2x
cos 4x
1 − 10x
x→∞ 1 + 10x−1
tg 3x
√
6) lim √
x→0
2 + sin 2x − 2
cotg 2x − 1
7) limπ
x→ 8 1 − cos2 2x
5)
lim
x + sin 5x
x · cos 3x
√
1 − 1 + sin 2x
9) lim
x→0
tg 2x
√
3x + 4 − 2
10) lim
x→0 3x − sin 2x
8)
lim
x→0
24X
10
Kapitola 7
Parciální derivace
7.1
7.2
Definice derivace funkcí dvou proměnných v bodě
∂f
f (a + h, b) − (a, b)
(a, b) = lim
h→0
∂x
h
(7.1.1)
f (a, b + h) − (a, b)
∂f
(a, b) = lim
h→0
∂y
h
(7.1.2)
∂f
∂x
∂2f
∂2f
Výsledek
=
∂x∂y
∂y∂x
Zadáná funkce
Výsledek
Výsledek
∂f
∂y
1)
f (x, y) = xy · ln(2x + 3y) − ln 5
1)
x · ln(2x + 3y) +
1)
3xy
2x + 3y
1)
√
2) f (x, y) = ln(x2 + 3x y) − y · sin(2)
3x ·
2)
2)
1
√
2 y
2)
√
(x2 + 3x y)
6)
Nepočítáno:
3 2
f (x, y) = sin(x2 − y 4 ) + y e y x + 1
π
y
f (x, y) = ln sin
+ ln
x
6
p
√
f (x, y) = arctg (y − x) + 3x2 y + π
7)
f (x, y) = arctg(x2 y) − arctg 1
8)
f (x, y) = sin(x3 y + y 2 ) − sin π
3)
4)
5)
f (x, y) = sin(x2 + y 3 ) + y · ex
2 3
y
+1
f (x, y) = arccotg(x − y) − arccotg(−3)
π
10) f (x, y) = cos(2x − xy) + cos
4
9)
11)
√
xy−x3 y
f (x, y) = e
+x3 y + e
√
2
55
2xy
2x + 3y
4x2 + 6xy + 9y 2
ln(2x + 3y) +
(2x + 3y)2
√
2x + 3 y
√
x2 + 3x y
3x
2y − x
√
2
(x + 3x y)2
y · ln(2x + 3y) +
Kapitola 8
Inverzní funkce
8.1
Návody k výpočtu
Co je naším úkolem při výpočtu inverzních funkcí? Co je to vlastně inverzní funkce? Laicky řečeno, inverzní funkce
zobrazuje hodnoty „opačným směremÿ než původní funkce, jak je zřejmé z Tabulky 8.1. Z toho také vyplývá, že funkce
f : y = x je inverzní sama k sobě.
Právě ke každé prosté funkci lze nalézt inverzní funkci. To znamená, že ne ke každé funkci jsme schopni inverzní funkci
sestrojit. Např. funkce f : y = x2 definovaná na celém R není prostá, a proto k ní nejsme schopni sestrojit na tomto
definičním oboru inverzní funkci. Lze ji však nalézt k její vhodně zvolené části – viz Tabulka 8.2 třetí příklad. To samé
se týká funkce f : y = sin x v posledních dvou příkladech zmíněné tabulky.
Tabulka 8.1: Funkční hodnoty funkce f : y = 2x a její inverzní funkce
f : y = 2x
f (1)
f (2)
f (3)
f (4)
f (5)
=
=
=
=
=
2
4
6
8
10
⇒
⇒
f −1 : y =
f −1 (2)
f −1 (4)
f −1 (6)
f −1 (8)
f −1 (10)
x
2
=
=
=
=
=
1
2
3
4
5
Příklad
f :y
=
x+1
3x − 4
y · (3x − 4)
=
x+1
3xy − 4y
=
x+1
/roznásobení levé strany
3xy − x
=
1 + 4y
/−x /+4y
x(3y − 1)
=
4y + 1
/vytčení x
x
=
4y + 1
3y − 1
inverzní funkce (k y nalezneme x)
y
=
4x + 1
3x − 1
/přeznačení proměnné
/ · (3x − 4)
Tabulka 8.2 ukazuje celkem pět příkladů funkcí a jejich inverzních funkcí. V každém řádku je uveden jeden příklad,
na obrázcích jsou celkem 3 křivky:
petrolejová = zadaná funkce
• plná = část zadané funkce k níž JE sestrojena inverzní funkce
• tečkovaná = část zadané funkce k níž NENÍ sestrojena inverzní funkce
56
růžová (plná) = inverzní funkce
fialová (tečkovaná) = osa, podle níž je původní funkce „překlopenaÿ
8.2
Zadání
p
1) f : y = 4 − log(x + 1)
√
2) f : y = 3 − 3
√
3) f : y = 2 − 4
x+1
x−3
57
58
KAPITOLA 8. INVERZNÍ FUNKCE
Tabulka 8.2: Inverzní funkce
Zadaná funkce
⇒
f : y = 2x
⇒
f : y = ex
⇒
f : y = x2
x ∈ h0; ∞)
Inverzní funkce
f −1 : y =
x
2
f −1 : y = log x
f −1 : y =
⇒
√
x
f : y = sin xh− π2 ; π2 i
⇒
f −1 : y = arcsin x
f : y = sin xh− π2 ; π2 i
⇒
f −1 : y = arcsin x
Kapitola 9
Tečna a normála v bodě T
9.1
Vzorce tečny a normály
Tečna
t : y − yT = f 0 (xT ) · (x − xT )
(9.1.1)
Normála
n : y − yT =
−1
· (x − xT )
f 0 (xT )
když f 0 (xT ) 6= 0
(9.1.2)
Normála v extrémním případě, kdy se první derivace v bodě rovná v daném bodě nule
f 0 (xT ) = 0
(9.1.3)
n : x = xT
(9.1.4)
Všimněte si, že v případě, kdy se první derivace v bodě rovná nule v zadaném bodě, pak:
t : y − yT = 0
(9.1.5)
n : x = xT
(9.1.6)
a předpisy tečny a normály neobsahují proměnnou x nebo y. Jedná se tedy o přímky, kdy:
t
n
9.2
k
k
osa x
osa y
(tečna je rovnoběžná s osou x)
(normála je rovnoběžná s osou y)
Návody k výpočtu
Obecný předpis tečny a normály:
59
60
KAPITOLA 9. TEČNA A NORMÁLA V BODĚ T
t : y − yT = f 0 (xT ) · (x − xT )
n : y − yT =
−1
· (x − xT )
f 0 (xT )
1. Máme zadaný předpis konkrétní funkce a bod o souřadnicích T = [xT ; yT ]. Nemusíme se zabývat definičním
oborem – máme zadaný konkrétní bod a ten určitě na křivce leží = v tom místě funkce existuje. Více řešit nemusíme. Zpravidla známe jen x-ovou souřadnici bodu. y-novou souřadnici dopočteme dosazením x-ové souřadnice
do zadaného předpisu.
2. Vidíme, že pro dosazení do vzorce nepotřebujeme jen x-ovou a y-ovou souřadnici, ale i první derivaci. Vypočteme
tedy 1. derivaci zadané funkce.
3. V případě, že se v 1. derivaci vyskytne proměnná x, dopočteme 1. derivaci v bodě. Vyjde-li např. y 0 = 2x a máme
zadaný bod T = [3; 6], tak derivace v bodě je y 0 = 2 · 3, tedy y 0 = 6. (y-nová souřadnice se v derivaci v bodě
nijak nepromítne).
4. Dosazení do vzorce:
t : y − yT = f 0 (xT ) · (x − xT )
n : y − yT = −
1
f 0 (x
T)
· (x − xT )
• Toto jsou proměnné, části vzorce, za které se nic nedosazuje a pouze se „opisují.ÿ
• Za tyto části vzorce se dosazují souřadnice zadaného bodu T.
• Derivace v bodě (jedná se vždy o konkrétní číslo).
Poznámka.
Normála je kolmice na tečnu – tyto dvě přímky tedy nikdy nemohou mít stejný předpis. Podívejme se však, co se
stane, když vyjde první derivace v daném bodě nula f 0 (x) = 0, a my bezmyšlenkovitě dosadíme do vzorců tečny a
normály:
t : y − yT = 0 · (x − xT )
n : y − yT = × × × · (x − xT )
× × × – pro normálu nám vychází dělení nulou, což je operace vyhrazená pouze Chucku Norrisovi. Pakliže vyjde
pro tečnu předpis y = yT , jedná se o nějakou konstantní funkci rovnoběžnou s osou x. Má-li být normála kolmá na
tečnu a procházet zadaným bodem, musíme vycházet ze seciálního vzorečku pro tento případ, který říká:
n : x = xT
9.3
Ukázkový příklad
Máme zadanou funkci y = ln x
Výpočet si ukážeme na dvou různých bodech:
• T = [1; ?]
9.3. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD
1) Dopočteme y-nové souřadnice dosazením x-nové souřadnice do zadané funkce
• y = ln 1 ⇒ y = 0
Plné souřadnice bodů jsou tedy:
• T = [1; 0]
2) Vypočteme 1. derivaci funkce y = ln x
• y0 =
1
x
3) Vypočítáme 1. derivaci v bodě (v našem případě máme dva body – tedy pro každý zvlášť)
0
• yT
=
1
=1
1
4) Dosazení do vzorce
• t : y − 0 = 1 · (x − 1)
0=x−y−1
y =x−1
1
• n : y − 0 = − · (x − 1)
1
0=y+x−1
y =1−x
Máme zadanou funkci y = ln x
Výpočet si ukážeme na dvou různých bodech:
• S = [e; ?]
1) Dopočteme y-nové souřadnice dosazením x-nové souřadnice do zadané funkce
• y = ln e ⇒ y = 1
Plné souřadnice bodů jsou tedy:
• S = [e; 1]
2) Vypočteme 1. derivaci funkce y = ln x
• y0 =
1
x
61
62
3) Vypočítáme 1. derivaci v bodě (v našem případě máme dva body – tedy pro každý zvlášť)
• yS0 =
1
e
4) Dosazení do vzorce
1
• t : y − 1 = · (x − e)
e
0 = x − ey
• n : y − 1 = − e ·(x − e)
0 = y + e x − e2 −1
Obrázek 9.1: Grafické znázornění: Tečna – zadaná funkce a tečné body T a S
63
Obrázek 9.2: Grafické znázornění: Tečna a normála v bodě T = [1; 0]
Obrázek 9.3: Grafické znázornění: Tečna a normála v bodě S = [e; 1]
64
9.4
Zadání
y = x2
tečný bod T = [3; ?]
√
y =x+ 1−x
1)
2)
2x − 1
3x − 5
3)
y=
1X
1X
tečna
normála
t:
n:
0 = 6x − y + 9
0 = x + 6y − 57
2X
2X
tečna
normála
t:
n:
0 = x − 2y + 2
0 = 2x + y − 1
3X
tečna
t:
0 = 7x + y − 17
3X
normála
n:
0 = x − 7y + 19
4)
y = x · ln x
4X
4X
tečna
normála
t:
n:
0=x−y−1
0=x+y−1
5)
y = ln (x + 1)
5X
5X
tečna
normála
t:
n:
0=x−y
0=x+y
6)
y = 3 e2x +4x2 + 6
6X
6X
tečna
normála
t:
n:
0 = 6x − y + 9
0 = x + 6y − 54
7)
y = e−x · sin 3x
√
y = x2 · x3 − 4
7X
7X
tečna
normála
t:
n:
0 = 3x − y
0 = x + 3y
8X
8X
tečna
normála
t:
n:
0 = 20x − y − 32
0 = x + 20y − 162
9X
9X
tečna
normála
t:
n:
0 = 2x − y − 2
0 = x + 2y − 1
10X tečna
t:
0 = 4x − 13y − 6
10X normála
n:
0 = 26x + 8y − 39
8)
9)
10)
9.5
Výsledky
y = x2 · ln(2x − 1)
2x − 3
y = arctg
3x + 2 tečný bod T = 23 ; ?
1)
2)
3)
4)
5)
Zadání
√
3x2 + 4x + 2
y=
x
x+1
(2x + 1)2
tečný bod T = [−1; ?]
√
π
y = + 3 arctg 2 − e2x
4
r
3−x
y = 3 − ln
x+3
r
2x − 3
y = 3 + ln
3x − 5
y =3+
Výsledky
1X
tečna
t:
0 = 4x + 3y − 13
1X
normála
n:
0 = 3x − 4y + 9
2X
tečna
t:
0=x−y+4
2X
normála
n:
0=x+y−2
3X
tečna
t:
0 = 3x + 2y − 2π
3X
normála
n:
0 = 2x − 3y + 3π
4X
tečna
t:
0 = x − 3y + 9
4X
normála
n:
0 = 3x + y − 3
5X
tečna
t:
0 = x + 2y − 8
5X
normála
n:
0 = 2x − y − 1
6)
(4 − x)2
x+2
y=
x3 −8
3x−x2
7)
y=e
8)
y=
1 + cos x
1 + sin x
tečný bod T =
hπ
4
i
;?
9)
y = 2 + x · e1−2x
10)
q
y = 3 − 2 · ln 4−x
x+2
11)
q
2 +1
y = 5 + ln xx+1
12)
13)
sin 2x
y = ln
1 − cos 2x
tečný bod T = π4 ; ?
3x − 1
y = 4 · arctg
2x + 1
65
6X
tečna
t:
0 = 5x + 4y − 14
6X
normála
n:
0 = 4x − 5y − 3
7X
7X
tečna
normála
t:
n:
8X
tečna
t:
8X
normála
n:
9X
tečna
t:
0 = 6x − y − 11
0 = x + 6y − 8
√
−2 2 − 2 π
y−1= √
· x−
4
2 2+3
√
2 2+3
π
y−1= √
· x−
4
2 2+1
9X
normála
n:
10X
tečna
t:
10X
normála
n:
11X
tečna
t:
11X
normála
n:
Nepočítáno:
0 = ex − y + 2
−x
0=
−y+2
e
2x
7
0=
−y+
3
3
−3x
9
0=
−y+
2
2
−x
0=
−y+5
2
0 = 2x − y + 5
Kapitola 10
Tečna a normála rovnoběžná s přímkou p
10.1
Návody k výpočtu
Při výpočtu tečen a normál rovnoběžných se zadanou přímkou p musíme nejdříve zjistit bod dotyku T, a dále budeme
postupovat stejně, jako u úloh, pro nalezení rovnice tečny nebo normály, kde je zadán bod dotyku T. V zadání je
předpis funkce, k níž tečnu hledáme, a předpis přímky, s níž je tečna rovnoběžná.
1. Máme zadanou funkci f (x) = 6x − 10 − x2
Obrázek 10.1: Průběh funkce f (x) = 6x − 10 − x2
a máme zadanou přímku p : y = −2x (ve směrnicovém tvaru), se kterou má být hledaná tečna rovnoběžná.
Obrázek 10.2: Průběh funkce p : y = −2x
2. Očekáváme, že je-li tečna rovnoběžná s přímkou p, bude vypadat následovně – viz Obrázek 10.3, čerchovaná
přímka.
Zadaná přímka p a hledaná tečna musí mít stejný sklon (směrnici), který je v našem případě:
kt = −2 (viz Obrázek 10.4)
(pro normálu je směrnice převrácená hodnota s opačným znaménkem – víme, že normála je kolmá na tečnu)
1
kn = .
2
3. Dále spočteme derivaci zadané funkce (což je směrnice tečny v bodě dotyku)
f 0 (x) = 6 − 2x
66
10.1. NÁVODY K VÝPOČTU
67
Obrázek 10.3: Očekávaný průběh hledané tečny
Obrázek 10.4: Derivace zadané přímky p
Obrázek 10.5: Derivace zadané funkce f (x)
4. Položíme do rovnosti směrnici zadané přímky p a derivaci zadané funkce f (x)
6 − 2x = −2
8 = 2x
x=4
y = −16 + 6 · 4 − 10 = −2
T = [4; −2]
Dosadíme do vzorců
t : y + 2 = −2(x − 4)
68
KAPITOLA 10. TEČNA A NORMÁLA ROVNOBĚŽNÁ S PŘÍMKOU P
n:y+2=
1
(x − 4)
2
Poznámka 3. Směrnici přímky p : y = −2x lze získat jako derivaci této funkce.
Poznámka 4. V zadání úlohy může být přímka zadaná v jiném než směrnicovém tvaru. Například přímka zadaná
směrnicovou rovnicí:
p : y = −2x
může být zadaná různými obecnými rovnicemi:
p:
4x + 2y = 0
p : −2x − y = 0
10.2
Zadání
1)
2)
3)
1 π
;
8 4
1X
tečný bod
T =
přímka p: 4x − y = 5
1X
tečna
y = ln(x3 + x2 )
2X
tečný bod
přímka p: y = 1 − 2x
2X
tečna
3X
tečný bod
přímka p: y = x
3X
tečna
t : 16x − 4y − 2 + π = 0
1
T = − ; − ln 8
2
t : 2x + y + ln 8 + 1 = 0
" √ #
3
π
;
T =
6 2
√
t : 6x − 6y + 3 3 − π = 0
y = 2x3 + 2x2
přímka p: y = x2 + 4x
4X
4X
tečný bod (1)
tečna (1)
4X
tečný bod (2)
4X
tečna (2)
5X
tečný bod (1)
5X
normála (1)
T = [−1; 0]
t : 2x − y + 2 = 0
1 8
;
T =
3 27
t : 54x − 27y − 10 = 0
2 1
T = − ;
5 5
n : 10x + 5y + 3 = 0
5X
5X
tečný bod (2)
normála (2)
T = [−2; 1]
n : 2x + y + 3 = 0
na
D πE
0;
2
3x + 2
Spočtěte normálu
5x + 6
přímka p: 2x + y + 1 = 0
5)
y = arcsin 4x
y = sin 2x
4)
10.3
Výsledky
√
y=
Zadání
y = −x2 + 8x − 3
přímka p: −60x + 5y − 9 = 0
Výsledky
1X tečna
1X normála
t : 0 = 12x − y + 1
n : 0 = x + 12y + 278
2)
y = −x2 − x − 6
přímka p: 3x − 3y − 7 = 0
2X
2X
tečna
normála
t:0=x−y−5
n:0=x+y+7
3)
y = −4x2 + 11x + 2
3X
tečna
t : 0 = 3x − y + 6
1)
přímka p: −9x + 3y + 2 = 0
3X
69
normála
n : 0 = x + 3y − 22
Kapitola 11
Tečná rovina a normála
11.1
Vzorce tečné roviny a normály
Tečná rovina
τ:
∂z
∂z
(x, y, z) + (y − yT ) ·
(x, y, z) − (z − zT )
∂x
∂y
(11.1.1)
∂F
∂F
∂F
(x, y, z) + (y − yT ) ·
(x, y, z) + (z − zT ) ·
(x, y, z)
∂x
∂y
∂z
(11.1.2)
0 = (x − xT ) ·
Normála
n:
11.2
0 = (x − xT ) ·
Zadání
Výsledky
2
1)
f (x, y) = (x − y) · ex +y
tečný bod T = [1; 0; ?]
2)
3)
2
1X
1X
tečna
normála
t:
n:
0 = 3ex − ey − z − 2e
x = 1 + 3et
y = 0 − et
z = e −t
f (x, y) = y + x · e x
tečný bod T = [1; 0; ?]
2X
2X
tečna
normála
t:
n:
0 = x + 2y − z
x=1+t
y = 0 + 2t
z =1−t
f (x, y) = y · ln (3x − y)
tečný bod T = [1; 2; ?]
3X
3X
tečna
normála
t:
n:
0 = 6x − 2y − z − 2
x = 1 + 6t
y = 2 − 2t
z =0−t
y
70
Kapitola 12
Jak čteme z derivací průběh původních funkcí?
Pozn: veškeré funkce mají ve vnitřních bodech definičního oboru první derivaci.
12.1
Monotonie
1. Dostaneme zadanou např. funkci y = sin x.
2. Když si funkci nakleslíme (nějakým programem, přes tabulku funkčních hodnot či si graf funkce pamatujeme),
bez počítání vidíme, že na určitých intervalech tato funkce roste a na jiných klesá. Právě to, kde roste a kde
klesá zjišťujeme při výpočtech monotonií. My si ale běžně funkce nekreslíme, navíc v testech dostáváme funkce
tak složité, že pro nás není možné si funkci načrtnout. Musíme postupovat analyticky, matematickým aparátem,
kterým jsou derivace.
Obrázek 12.1: Průběh funkce y = sin x
3. Jaký je vztah mezi funkcí a její derivací? Podívejme se lépe na místo, kde funkce roste (na druhém obrázku je
zvýrazněn jen jeden interval, kde funkce y = sin x roste).
4. Soustřeďme se na chování derivace zadané funkce, což je y 0 = cos x, v místech, které jsme si vyznačili.
5. Nutně dospějeme k závěru, že v místech, kde původní, testovaná funkce f roste, je její první derivace f 0 nad
osou x. Všechny body ležící v intervalu, kde zadaná funkce f roste mají na křivce první derivace f 0 kladnou
funkční hodnotu (y-novou souřadnici).
6. Analogicky pro intervaly, kde funkce f klesá, jsou funkční hodnoty první derivace f 0 záporné.
7. Co se týče extrémů, tak v místech, kde je na funkci y = sin x (plné křivce) extrém (ať už se jedná o maximum
či minimum) je funkční hodnota derivace, tedy funkce y = cos x (tečkovaná křivka) rovna nule (tedy leží přímo
na ose x).
71
72
KAPITOLA 12. JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ?
Obrázek 12.2: Rostoucí interval funkce y = sin x (vybrán jen jeden)
Obrázek 12.3: Průběh funkce y = sin x (plná) a funkce y 0 = cos x (tečkovaná)
12.2
Monotonie a zakřivenost (= konvexita a konkávita)
1. Dostaneme zadanou např. funkci y = ln(16 + 9x2 ). Při výpočtu zakřivenosti funkce potřebujeme spočítat druhou
derivaci, abychom z ní vyčetli chování funkce na daných intervalech podobně jako u výpočtu monotonií, kde
pracujeme s první derivací. Nyní pro zadanou funkci zjistíme jak monotonii, tak zakřivenost. Z obrázku krásně
vidíme, kde funkce roste a kde klesá. Zároveň vidíme, kde je konvexní a konkávní. Místům, kde se růst mění v
pokles a naopak se říká extrémy, kde se mění konvexita v konkávitu a obráceně pak inflexní (inflexe = ohyb)
body (za předpokladu, že v tomto bodě má graf funkce tečnu, což je v našich příkladech splněno).
2. Přestože nás zajímá více konvexita a konkávita, prohlédneme si tuto funkci i z pohledu monotonie. Opět tu je
12.2. MONOTONIE A ZAKŘIVENOST
73
Obrázek 12.4: Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 )
zvýrazněná část rostoucí (klidně by to mohla být část klesající). Nyní čekáme, že derivace této funce, bude v
místech růstu zadané funkce nad osou x. Je tomu skutečně tak?
Obrázek 12.5: Rostoucí interval funkce y = ln(16 + 9x2 )
18x
. Pokud si tuto funkci nakreslíme, zjistíme, že její průběh
16 + 9x2
je následující (viz Obrázek 12.6 – tečkovaná křivka):
3. Derivace funkce y = ln(16+9x2 ) je funkce y =
Skutečně je v místech růstu první funkce nad osou x a tu protíná právě v místě, kde má funkce y = ln(16 + 9x2 )
extrém.
4. Podíváme se na tu samou funkci z pohledu konvexity a konkávity. Na obrázku je zvýrazněna konvexní část
křivky. Body, kde se průběh mění jsou tzv. inflexní (zároveň v nich má daná funkce tečnu, tedy vlastní derivaci).
74
Obrázek 12.6: Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) (plná) a funkce y 0 =
18x
16+9x2
(tečkovaná)
Zatímco má křivka y = ln(16 + 9x2 ) jen jeden extrém, má dva inflexní body (extrém a inflexní bod nikdy
nemohou být ve stejném místě).
Obrázek 12.7: Konvexní průběh funkce y = ln(16 + 9x2 )
5. Nyní se podíváme, jak vypadá druhá derivace funkce y = ln(16 + 9x2 ). Je to y =
18(16 − 9x2 )
a po nakreslení
(16 + 9x2 )2
je průběh druhé derivace takový (viz Obrázek 12.8 – čárkovaná křivka):
6. V místech, kde je funkce konkávní jsou funkční hodnoty (y-nové souřadnice) druhé derivace záporné, intervaly
konvexní mají druhou derivaci kladnou.
75
Obrázek 12.8: Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) (plná) a funkce y 00 =
18(16−9x2 )
(16+9x2 )2
(čárkovaná)
Tabulka 12.1: Jak čteme z derivací
Průběh funkce
Konvexní
Konkávní
Průběh druhé derivace
rostoucí
klesající
Znaménko druhé derivace
+
−
Tvar křivky
S
T
Tabulka 12.2 ukazuje rostoucí funkce, popř. jsou zvýrazněny intervaly, na kterých je průběh dané funkce rostoucí. Jak
se na intervalech, kde je původní funkce rostoucí, chová první derivace? Funkční hodnoty jsou kladné – tj. nad osou
x. U klesajících intervalů je tomu naopak, jak ukazuje Tabulka 12.3.
V Tabulce 12.4 je znázorněno, kde se nachází druhá derivace na intervalu, na kterém je zadaná funkce konvexní – je
kladná. A kde se nachází na intervalech, kde je původní funkce konkávní? Viz Tabulka 12.5 – funkční hodnoty jsou
záporné.
V Tabulce 12.6 lze spatřit nejen vztah mezi původní funkcí a její derivací, ale i vztah mezi derivacemi. Např. z třetí
derivace můžeme vyčíst monotonii druhé derivace, zrovna tak, jako ze čtvrté derivace můžeme vyčíst konvexnost či
konkávnost druhé derivace.
76
Tabulka 12.2: Rostoucí intervaly
Zadaná funkce
⇒
První derivace
y=x
⇒
y0 = 1
y = ln x
⇒
y0 =
y = x2
⇒
y 0 = 2x
y = ex
⇒
y 0 = ex
1
x
77
Tabulka 12.3: Klesající intervaly
Zadaná funkce
⇒
První derivace
y = x4
⇒
y 0 = 4x3
y = −x2 + 3
⇒
y 0 = −2x
y = sin x
⇒
y 0 = cos x
y = cos x
⇒
y 0 = − sin x
78
Tabulka 12.4: Intervaly konvexity
Zadaná funkce
⇒
První derivace
⇒
Druhá derivace
y = x2
⇒
y 0 = 2x
⇒
y 00 = 2
y = x3 + 3
⇒
y 0 = 3x2
⇒
y 00 = 6x
y = ex
⇒
y 0 = ex
⇒
y 00 = ex
y = sin x
⇒
y 0 = cos x
⇒
y 00 = − sin x
79
Tabulka 12.5: Intervaly konvexity a konkávity
Zadaná funkce
⇒
y = ln x
⇒
y = −x2 + 2
⇒
y=
1
x
y = sin x
⇒
Druhá derivace
⇒
y 00 = − x12
y 0 = −2x
⇒
y 00 = −2
⇒
y 0 = − x12
⇒
y 00 =
⇒
y 0 = cos x
⇒
První derivace
y0 =
1
x
2
x3
y 00 = − sin x
80
Tabulka 12.6: Různé funkce a řada jejich derivací
Zadaná funkce
První derivace
Druhá derivace
Třetí derivace
Čtvrtá derivace
y=2
y0 = 0
y 00 = 0
y 000 = 0
y 0000 = 0
y = 2x
y0 = 2
y 00 = 0
y 000 = 0
y 0000 = 0
y = 2x2
y 0 = 4x
y 00 = 4
y 000 = 0
y 0000 = 0
y = 2x3
y 0 = 6x2
y 00 = 12x
y 000 = 12
y 0000 = 0
y = 2x4
y 0 = 8x3
y 00 = 24x2
y 000 = 48x
y 0000 = 48
Kapitola 13
Monotonie
13.1
Návody k výpočtu
1. Nalezneme definiční obor – na každém intervalu definičního oboru funkce existuje a zde se tedy „nějak chováÿ
(může být konstantní, rostoucí či klesající, konvexní či konkávní). Nutno podotknout, že však nemusí být ani
rostoucí ani klesající a naopak může být chvíli rostoucí a chvíli klesající apod. Když nebude funkce ani růst ani
klesat, pak se bude jednat o nějakou konstantní funkci (přímku rovnoběžnou s osou x).
2. Vypočteme 1. derivaci a upravíme ji. (Pozn.: V případě, že vyjde derivace rovna nule, pak se jedná o konstantní
funkci, která není ani konvexní ani konkávní.)
3. Najdeme body, ve kterých je funkční hodnota derivace rovna nule či ve kterých derivace neexistuje (nulové body
ze jmenovatele).
4. Z předchozího bodu nám vyjdou tzv. „podezřelé body.ÿ Klidně se může stát, že nevyjde žádný nulový bod
(v takovém případě je funkce ryze rostoucí nebo ryze klesající), nebo se může objevit bod jeden či více (třeba
5). Tyto body (jedná se o konkrétní čísla) naneseme na osu.
5. Na osu nejprve zaneseme definiční obor, pak „podezřelé body.ÿ Nyní je potřeba zjistit znaménka funkčních
hodnot první derivace. Vybereme z každého vzniklého intervalu číslo, to dosadíme do první derivace (za x).
Vyjde-li + je funkce na daném intervalu rostoucí, vyjde-li znaménko − je klesající na daném intervalu.
13.2
Na následujícím příkladu si ukážeme výpočet monotonií 3 způsoby na jedné funkci.
1. Např.: máme zadaný předpis funkce y = x2 . Tento předpis je tak jednoduchý, že jej dokážeme okamžitě nakreslit.
Z nákresu je zřejmé, kde funkce roste a kde klesá.
y
3
2
1
x
−2 −1
1
2
• funkce y = x2 klesá na intervalu (∞; 0i
• funkce y = x2 roste na intervalu h0; ∞)
2. Nyní vezmeme tuto funkci, ale budeme postupovat matematicky. Zjistíme monotonii přes derivace, nikoli z obrázku.
81
82
KAPITOLA 13. MONOTONIE
(a) Definiční obor x ∈ R
(b) Derivace zadané funkce je y 0 = 2x, což je nová funkce. My si ji nyní opět nakreslíme.
Protože jsme zvolili jednoduchý předpis, je jednoduchá i derivace a snadno ji nakreslíme:
Obrázek 13.2: Průběh funkce y 0 = 2x
y
2
1
x
−2 −1
−1
1
2
−2
Derivace a původní funkce mají k sobě speciální vztah, kterého budeme u výpočtu monotonií využívat. Když
je na daném intervalu funkce rostoucí, jsou funkční hodnoty (y-nové souřadnice) kladné a naopak když původní
funkce klesá, jsou funkční hodnoty první derivace záporné.
3. Protože většina předpisů i jejich derivací je však tak složitá, že si je nedokážeme nakreslit, spoléháme se na
matematický výpočet až do konce. Celý postup je následující:
(b) Derivace zadané funkce je y 0 = 2x
(c) Zjištění nulových bodů – položíme první derivaci do rovnosti s nulou
2x = 0
x=0
(d) Zjištění znamének na intervalech, které vzniknou rozdělením číselné osy nulovými body. Nulový bod v našem případě vyšel jen jeden, x = 0.
Máme tedy dva intervaly, (∞; 0i a h0; ∞). Jde tedy jen o to, zjistit průběh zadané funkce. Dosadíme vždy
libovolně zvolené číslo z intervalu. + znamená, že funkce roste a − značí, že je funkce na daném intervalu
klesající.
(∞; 0i např. číslo −3 dosadíme číslo za x do první derivace y 0 = 2 · (−3); y 0 = −6
−
0
0
h0; ∞) např. číslo 5
dosadíme číslo za x do první derivace y
=
2 · (5);
y
= 10
+
Ze všech způsobů vychází stejný výsledek!
13.3
Zadání
1) f (x) = 2x3 + 3x2 − 36x
Výsledky
1X roste (−∞; −3i a h2; ∞)
Zadání
83
Výsledky
1X
klesá h−3; 2i
2) f (x) = x4 − 2x2 + 5
2X
2X
roste h−1; 0i a h1; ∞)
klesá (−∞; −1i a h0; 1i
3) f (x) = x2 · ex
3X
3X
roste (−∞; −2i a h0; ∞)
klesá h−2; 0i
4) f (x) = x3 · e−x
4X
4X
6X
roste (−∞; 3i
klesá h3; ∞)
√ √
roste −∞; − 3 a
3; ∞
√ √
klesá − 3; −1 a (−1; 1) a 1; 3
6X
klesá h−1; 0) a (0; 1i
7X
roste (−∞; −6i a h6; ∞)
√ √ √ √ klesá −6; −2 3 a −2 3; 2 3 a 2 3; 6
16
roste 0;
5
16
;∞
klesá (−∞; 0) a
5
3
roste −∞; −
4
3 1
klesá − ;
4 4
5) f (x) = x +
x
x2 − 1
5X
5X
6) f (x) = 2x +
7) f (x) =
x2
2
x
x3
− 12
7X
8) f (x) =
(x − 2) · (8 − x)
x2
8X
8X
9) f (x) = x + ln (1 − 4x)
9X
9X
10)
f (x) = x2 − ln x2
11)
f (x) =
1 + ln x
x
√
3x − x2
12)
f (x) =
13)
f (x) = arctg x − x
14)
f (x) = (x − 3)4 · (3x + 1)5
15)
f (x) = x + arccotg 2x
16)
f (x) =
17)
3x2 + 4x + 4
x2 + x + 1
f (x) = 2x −
√
4x + 8
10X
10X
roste (−∞; −1i a h1; ∞)
roste h−1; 0) a h1; ∞)
klesá (−∞; −1i a (0; 1i
11X roste (0; 1i
11X klesá h1; ∞)
3
12X roste 0;
2
3
12X klesá
;3
2
13X klesá (−∞; ∞)
41
14X roste −∞;
a h3; ∞)
27
41
14X klesá
;3
27
1
1
15X roste −∞; −
a
;∞
2
2
1 1
15X klesá − ;
2 2
16X roste h−2; 0i
16X klesá (−∞; −2i a h0; ∞)
7
17X roste − ; ∞
4
7
17X klesá −2; −
4
84
KAPITOLA 13. MONOTONIE
Zadání
18)
Výsledky
f (x) = arcsin
2
18X roste h−1; 1i
x2 − 9
x2 − 1
20X roste h0; 1) a (3; ∞)
1−x
1 − 2x
21X roste
2x
1 + x2
−4x+3
19)
f (x) = 3x · ex
20)
1
f (x) =
· ln
24
f (x) = arccos
21)
18X klesá (−∞; −1i a h1; ∞)
!
√ + *
√
2
2
19X roste −∞; 1 −
a 1+
;∞
2
2
*
+
√
√
2
2
19X klesá 1 −
;1 +
2
2
20X klesá (−∞; −3) a (−1; 0i
21X klesá
22)
f (x) =
x2
ln x
(−∞; 0i
2
;∞
3
√
22X roste h e; ∞)
22X klesá (0; 1)a (1;
23)
24)
13.4
f (x) = ln
2x
16 − x4
f (x) = arctg(x − 1)2
√
ei
23X roste (−∞; −2)
23X
klesá (0; 2)
24X
24X
roste h1; ∞)
klesá (−∞; 1i
Zadání
2
−4x+3)
1)
f (x) = 3x · e(x
2)
f (x) =
3)
f (x) = (x − 2) ·
4)
f (x) =
2 − 9x2
1 − 9x2
√
√
5−x
x · e−3x
Výsledky – funkce na intervalu:
!
√
√ + *
2
2
1X roste −∞; 1 −
a 1+
;∞
2
2
*
+
√
√
2
2
1X klesá 1 −
;1 +
2
2
1
1
;∞
2X roste 0;
a
3
3 1
1
2X klesá −∞; −
a − ;0
3
3
3X
3X
4X
4X
p
4 − x2
5)
f (x) = 5 + 3 · ln
6)
f (x) = 3 − ln (2 − x − x2 )
5X
5X
6X
roste (−∞; 4i
klesá h4; 5i
1
roste 0;
6 1
klesá
;∞
6
roste(−2; 0i
klesá h0; 2)
1
roste − ; 1
2
6X
7)
f (x) =
x2
2x − 1
7X
7X
8)
f (x) = ln
9)
f (x) =
2x + 3
3x − 1
x3
3 − x2
8X
9X
9X
p
24 − 2x − x2
10)
f (x) =
11)
f (x) = 1 + ln (6 − x − x2 )
10X
10X
11X
11X
12)
f (x) =
2 − 4x2
1 − 4x2
12X
12X
13)
14)
f (x) =
f (x) =
x2
x
− 10x + 9
(3x + 2)2
1−x
15X
roste (−∞; −8i a h4; ∞)
15X
klesá h−8; −2) a (−2; 4i
16X
16X
roste h−6; −2i
klesá h−2; 2i
1
roste
;∞
2
1
klesá −∞; −
2
16)
p
f (x) = 4 + 12 − 4x − x2
17)
f (x) = 2 + 3 · ln(4x2 − 1)
17X
17X
p
19)
f (x) = 2 − 3 · ln
20)
f (x) = (x − 3) ·
21)
f (x) = 1 −
22)
f (x) = 3 + 2 · ln (9x2 − 1)
√
25 −
9x2
x
p
10x − x2 − 21
18X
roste (−∞; 1) a (1; 2i
18X
klesá h2; 4) (4; ∞)
19X
19X
roste h0; ∞)
klesá (−∞; 0i
20X
20X
roste h1; ∞)
klesá h0; 1i
21X
21X
roste h5; 7i
klesá h3; 5i
1
roste
;∞
3
1
klesá −∞; −
3
22X
22X
23)
f (x) =
3x2 + 1
x2 − 1
roste h−6; 1i
klesá h−1; 4i
1
roste −3; −
2
1
klesá − ; 2
2
1
1
roste 0;
a
;∞
2
2 1
1
klesá −∞; −
a − ;0
2
2
klesá (−∞; −3i a h3; 9) a (9; ∞)
2
8
roste − ; 1 a 1;
3
3
8
2
a
;∞
klesá −∞; −
3
3
f (x) =
x
x2 − 5x + 4
klesá(−∞; −3i a h3; ∞)
13X
15)
f (x) =
√ √ √ √ roste −3; − 3 a − 3; 3 a
3; 3
roste h−3; 1) a (1; 3)
14X
18)
roste (−∞; 0i a h1; ∞)
1
1
klesá 0;
a
;1
2
2
3
1
klesá −∞; −
a
;∞
2
3
13X
14X
(4 − x)2
2+x
1
klesá −2; −
2
23X
roste (−∞; −1) a (−1; 0i
23X
klesá h0; 1) a (1; ∞)
85
Kapitola 14
Konvexita a konkávita
14.1
Návody k výpočtu
Tyto návody nemusí platit úplně obecně, jsou uzpůsobeny požadavkům technické fakulty a příkladům, které se objevují
v testech.
Předpokladem použití tohoto návodu je, že funkce f má spojitou druhou derivaci na vnitřku definičního oboru (všechny
funkce z písemek tuto vlastnost mají).


druhá derivace je na daném intervalu rovna
0
 lineární
Funkce na určitých intervalech mohou být
konvexní znaménko druhé derivace je na daném intervalu
+


konkávní znaménko druhé derivace je na daném intervalu
−
1. Zjistíme definiční obor – na tomto intervalu funkce existuje a zde se tedy může „nějak chovat,ÿ může být např.
konvexní či konkávní. Nutno podotknout, že však nemusí být ani konvexní ani konkávní. Pak bude jejím grafem
na tomto intervalu přímka. .
2. Vypočteme 1. derivace a upravíme ji tak, aby se nám dobře derivovala podruhé.
3. Vypočteme 2. derivace (tj. opětovně zderivujeme 1. derivaci) a upravíme ji pro potřeby následujících výpočtů.
Budeme zjišťovat „nulové body z 2. derivaceÿ, upravíme tedy funkci tak, aby se nám s ní dobře počítalo. Vyjdeli 2. derivace nenulová konstanta (neobsahuje proměnnou, zpravidla značenou x), pak je funkce konvexní nebo
konkávní na celém definičním oboru. Vyjde-li 2. derivace 0 , pak je funkce lineární (tedy není ani konvexní ani
konkávní).
4. Budeme zjišťovat znaménko druhé derivace, pak mohou nastat 2 situace:
z 2. derivace nevyjde žádný podezřelý bod V tomto případě je druhá derivace stále + nebo stále − , z
čehož vyplývá, že je funkce buď ryze konvexní nebo ryze konkávní.
z 2. derivace vyjde jeden či více podezřelých bodů např. ve chvíli, kdy je 2. derivace rovna nějaké nenulové konstantě. Funkce je buď konvexní nebo konkávní na celém R, záleží na znaménku. „Podezřelé bodyÿ
se v případě, že se kolem nich mění konvexita v konkávitu nazývají „inflexní bodyÿ.
5. Získané údaje zakreslíme na číselnou osu, nejprve na osu zaneseme definiční obor a označíme, zda krajní body
patří či nikoli do definičního oboru, tedy patří • a nepatří ◦. Pak zaneseme na číselnou osu nulové body z čitatele
a ze jmenovatele.
6. Nyní je třeba zjistit „znaménka funkčních hodnot 2. derivace.ÿ Zjišťujeme znaménka tak, že vezmeme nějaké
libovolné číslo z intervalu vymezeného nulovými body (v rámci definičního oboru!), který vznikl zanesením
nulových bodů na číselnou osu, vybereme číslo z tohoto intervalu a dosazujeme jej do druhé derivace. Vyjde-li
+ je funkce konvexní, vyjde-li − je konkávní. Jak si snadno zapamatovat, jaké znaménko se vztahuje k jakému
typu průběhu funkce je uvedeno na 3. záložce v souboru „Konvexita.ÿ
14.2
Na následujícím příkladu si ukážeme výpočet konvexity 3 způsoby na jedné funkci.
86
87
1. Např.: máme zadaný předpis funkce y = x2 . Tento předpis je tak jednoduchý, že jej dokážeme okamžitě nakreslit.
Z nákresu je zřejmé, zda a kde je funkce konvexní či konkávní.
y
3
2
1
x
−2 −1
1
2
• funkce y = x2 je konvexní na celém intervalu (−∞; ∞)
2. Nyní vezmeme tuto funkci, ale budeme postupovat matematicky. Zjistíme konvexitu přes derivace. Postup je:
(b) 1. derivace zadané funkce je y 0 = 2x, což je nová funkce. Z ní čteme a ji si kreslíme při výpočtu monotonií.
(c) 2. derivace zadané funkce je y 00 = 2, je již 3. funkce. Tu si nyní nakreslíme.
Protože jsme zvolili jednoduchý předpis, je jednoduchá i derivace a snadno ji nakreslíme:
Obrázek 14.2: Průběh funkce y 00 = 2
y
3
1
−2 −1
x
1
2
I druhá derivace a původní funkce mají k sobě speciální vztah, kterého budeme u výpočtu konvexit využívat. Když
je na daném intervalu funkce konvexní, jsou funkční hodnoty (y-nové souřadnice) kladné a naopak když původní
funkce konkávní, jsou funkční hodnoty první derivace záporné. (zároveň, když se nad celou věcí zamyslíme, lze
z druhé derivace vyčíst monotonii první derivace ,).
3. Protože většina předpisů i jejich derivací je však tak složitá, že si je nedokážeme nakreslit, spoléháme se na
matematický výpočet až do konce. Celý postup je následující:
(b) 1. derivace zadané funkce je y 0 = 2x
(c) 2. derivace zadané funkce je y 00 = 2
(d) Zjištění nulových bodů – v tomto případě se v druhé derivace nevyskytuje žádné x, odpadá dopočet nulových
bodů (nemá smysl pokládat např. v našem případě dvojku rovnou nule, z toho nic nevzejde), v takovém
případě, nevyskytuje-li se v druhé derivace proměnná, můžeme očekávat 3 situace:
88
KAPITOLA 14. KONVEXITA A KONKÁVITA
i. funkce je na celém svém definičním oboru konvexní
ii. funkce je na celém svém definičním oboru konkávní
iii. funkce není v žádném místě svého definičního oboru ani konvexní ani konkávní
V tomto případě se jedná o situaci (i), neboť funkční hodnota druhé derivace je rovna pro kterékoli libovolné
x je kladná (rovna +2).
Kdy nastává jaká situace?
i. funkce je na celém svém definičním oboru konvexní (y 00 = kladná konstanta)
ii. funkce je na celém svém definičním oboru konkávní (y 00 = záporná konstanta)
iii. funkce není v žádném místě svého definičního oboru ani konvexní ani konkávní (y 00 = nula), nule se
rovná buď na celém definičním oboru nebo v místech nulových bodů (tzv. inflexních bodů)
Ze všech způsobů vychází stejný výsledek!
14.3
Memo pomůcka
Jak si zapamatovat, jaké znaménko přísluší jakému typu průběhu funkce a jak taková funkce vypadá? Při vyšetřování,
zda je funkce na daném intervalu konvexní či konkávní se opíráme o funkční hodnoty druhé derivace na daném
intervalu. Co znamená, když jsou funkční hodnoty kladné a co když jsou záporné?
KONVEXITA
+
Jak si jednoduše zapamatovat, že zrovna znaménko plus (v druhé derivaci!) odpovídá konvexnímu
průběhu dané funkce? Plus je v podstatě křížek a ve slově konveXita také jeden je ,. I průběh funkce
je schovaný již v názvu konvexita. Všimněte si, že průběh se velice podobá písmenku U nebo V, což
je opět obsaženo přímo ve slově konVexita.
Obrázek 14.3: Průběh ryze konvexní funkce
y
3
2
1
−2 −1
x
1
2
14.4. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD ZKOUŠKOVÉ ÚROVNĚ
KONKÁVITA
89
—
Jak je to u konkávity? Krom vylučovací metody, že to musí být „ta druháÿ, tu jsou následující
pomůcky. Průběh se podobá písmenku A. KonkÁita. I zde lze tedy odvozovat od názvu typu průběhu.
A znaménko mínus? Průběh fce by nám mohl připomenout převrácenou misku. Je otočená dnem
vzhůru, co v ní bylo se vysypalo a proto smutné znaménko mínus /, či oblíbené „do konkávní kávu
nenaliješÿ.
Obrázek 14.4: Průběh ryze konvexní funkce
y
−2 −1
1
2
x
−1
−2
−3
14.4
Ukázkový příklad zkouškové úrovně
Tento příklad je uveden na stránkách <www.matematika-lucerna.cz> jako 11. příklad.
y = e−2x
2
1. Spočítáme definiční obor x ∈ R
2. Spočítáme první derivaci a upravíme
2
y 0 = e−2x (−4x) = −4x · e−2x
2
3. Spočítáme druhou derivaci a upravíme
2
2
2
y 00 = −4 · e−2x +(−4x) · e−2x (−4x) = (vytýkáme. . . )= −4 e−2x (−1 + 4x2 )
4. Položíme druhou derivaci rovnu nule a spočítáme nulové body
2
−4 e−2x (−1 + 4x2 ) = 0
−1 + 4x2 = 0
4x2 = 1
1
x2 =
4
x = ±
1
(máme 2 „podezřeléÿ body)
2
5. Tyto nulové body zaneseme na osu a budeme zjišťovat znaménka funkčních hodnot druhé derivace.
90
Obrázek 14.5: Číselná osa
y 00
−
+
−
1
2
+
+
1
2
1
1
a + ;∞
Funkce je konvexní na intervalech −∞; −
2
2
1 1
Funkce je konkávní na intervalu − ; +
2 2
Obrázek 14.6: Průběh funkce y = e−2x
2
růžová (plná) = zadání
petrolejová (tečkovaná) = první derivace – z ní čteme znaménka funkčních hodnot pro určení monotonie funkce
zelená (čárkovaná) = druhá derivace – z ní čteme znaménka funkčních hodnot pro určení zakřivenosti funkce
14.5
Zadání
Výsledky
3
2
4
3
1
1X konvexní − ; ∞
2
1
1X konkávní −∞; −
2
1) f (x) = 2x + 3x − 36x
2) f (x) = 3x + 8x − 24x
2
2X konvexní (−∞; −2i a
2
;∞
3
Zadání
91
Výsledky
2X konkávní
3) f (x) = x +
√
3
x5
4) f (x) = x · (1 − x)2
5) f (x) = 2 +
6) f (x) = x ·
√
3
√
x−2
1+x
1
7) f (x) = e x
8) f (x) = (x − 1) · e3x
9) f (x) = 2x + e−x
10) f (x) = e2x−2x
2
2
11) f (x) = (x2 − 4x + 5) · e−x
x
12) f (x) = arcsin 1 −
2
2
13) f (x) = x · ln x
14) f (x) = 1 − ln(x2 − 9)
1 + ln x
x
x−1
16) f (x) = ln
x+2
15) f (x) =
17) f (x) = 2x2 + sin x + 1
18) f (x) =
sin x
2 + cos x
19) f (x) = sin2 x
3
sin 2x
8
21) f (x) = cos x − ln(cos x)
20) f (x) = 4 sin x +
22) f (x) = arctg x − x
23) f (x) = x arccotg x
24) f (x) = x + 2 arccotg x
25) f (x) = arccos(1 − x)
2
−2;
3
3X konvexní h0; ∞)
3X konkávní h−∞; 0i
2
4X konvexní −∞;
3
2
4X konkávní
;∞
3
5X konvexní (−∞; 2)
5X konkávní h2; ∞)
6X konvexní h−1; ∞)
D 1 E
7X konvexní − , 0 a (0; ∞)
2
1E
7X konkávní − ∞; −
2
Nepočítáno:
92
Zadání
Výsledky
26) f (x) = arcsin
14.6
√
1 − 2x
Zadání
1) f (x) = x e−x
Výsledky
1X konkávní (−∞; 2i
2) f (x) = ln (1 + x2 )
2X konvexní h−1; 1i
2X konkávní (−∞; −1i a h1; ∞)
!
*
r + *r
1
1
a
;∞
3X konvexní −∞; −
2
2
* r r +
1
1
3X konkávní −
;
2
2
4 4
4X konvexní − ;
3 3 4
4
;∞
a
3
3
3
5X konvexní e 2 ; ∞
D 3
5X konkávní 0; e 2
1
6X konvexní − ; 0 a (0; ∞)
2
1
2
3
2
3
7X konkávní − ; ∞
2
3) f (x) = x + e1−x
2
4) f (x) = ln 16 + 9x2
5) f (x) =
ln x
x
1
6) f (x) = e x
7) f (x) = x + arctg (2x + 3)
8) f (x) = x − 2 · arctg x
7
9) f (x) = x · ln x −
12
4
10) f (x) = 2x · arctg x
11) f (x) = 2x + e
−x2
2
8X konkávní (−∞; 0i
9X konvexní h1; ∞i
9X konkávní (0; 1i
10X konvexní (−∞; ∞)
11X konvexní (−∞; −1i a h1; ∞)
11X konkávní h−1; 1i
12)
f (x) = e
13)
f (x) =
−2x2
x2
x
−1
93
1
1
a + ;∞
2
2
1 1
12X konkávní − ; +
2 2
13X konvexní (−1; 0i a (1; ∞)
13X konkávní (−∞; −1) a h0; 1)
Kapitola 15
Souhrnný příklad
Ukážeme si nyní výpočet všech základních charakteristik funkcí na dvou příkladech. Zároveň si je
nakreslíme a tak z obrázku snadno poznáme, kde křivky rostou, kde klesají, zda a kde mají maxima
či inflexní body. Uvidíme tak souvislost mezi obrázky a výpočty. Porovnávejte průběžně výsledky
výpočtu s realitou na obrázku.
Předpis:
Tabulka funkčních hodnot:
Definiční obor:
První příklad
f : y = −x2 + 8x − 12
x
y
1
−5
2
0
3
3
4
4
5
3
Druhý příklad
g : y = 2x3 − 7
6
0
x
y
0
−7
1
−5
2
9
D: x ∈ R
D: x ∈ R
První derivace:
y 0 = −2x + 8
y 0 = 6x2
Nulové body z
první derivace:
−2x + 8 = 0
6x2 = 0
x=4
x=0
y0
+
y0
+4
Číselná osa:
Monotonie:
−
+
1,5
0
+
0
funkce roste na intervalu (−∞; 4i
funkce roste na intervalu (−∞; +∞)
funkce klesá na intervalu h4; +∞)
Extrémy:
E1 =[4; 4] je maximum
žádný extrém
Druhá derivace:
y 00 = −2
y 00 = 12x
Nulové body z
druhé derivace:
−2 = 0
12x = 0
−2 6= 0 ⇒ žádné nulové body
x=0
y 00
Číselná osa:
Zakřivenost:
−
−∞
y 00
+∞
funkce je konkávní na intervalu (−∞; +∞)
−
+
0
funkce je konkávní na intervalu (−∞; 0i
funkce je konvexní na intervalu h0, +∞)
Inflexní body:
žádný inflexní bod
Obrázek:
94
I2 =[0;−7]
Kapitola 16
Globální a lokální extrémy funkce jedné proměnné
16.1
Návody k výpočtu
1. Zadání se sestává z předpisu funkce a uzavřeného intervalu. V případě, že není interval zadán,
shoduje se s definičním oborem funkce a v tomto případě je třeba definiční obor vypočítat.
Naším úkolem je nalézt globální maxima a minima, tj. největší a nejmenší hodnoty funkce na
daném intervalu (nebo na definičním oboru), a dále lokální maxima a minima (extrémy) funkce.
Jedná se o konkrétní body na grafu a my hledáme jejich souřadnice. Maxima jsou body na grafu
s nejvyšší funkční hodnotou (y-novou souřadnicí) a minima s nejnižší funkční hodnotou.
2. Lokální extrémy
• Zderivujeme zadanou funkci.
• Najdeme tzv. „podezřelé bodyÿ – body, v nichž je derivace rovna nule nebo neexistuje.
• Pro „podezřelé body,ÿ musíme zjistit, zda se jedná o lokální extrémy a když ano, tak jaké
jsou kvality (zda se jedná o maximum či minimum, zda je ostré či neostré).
Tabulka 16.1: Určení kvality extrémů
Dle pozice y-nové souřadnice
Umístění v intervalu
Unikátnost souřadnice
maximum
minimum
lokální (neboli relativní)
globální (neboli absolutní)
ostré
neostré
• Naneseme na číselnou osu zadaný interval, dále „podezřelé bodyÿ body z první derivace.
Může se stát, že některé body vyjdou mimo zadaný interval, pak si jich vůbec nevšímáme.
• Zjišťujeme znaménka v intervalech rozdělených těmito body – postupujeme nyní obdobně
jako u výpočtu monotonií – vybereme si číslo z každého intervalu, dosadíme vždy do první
derivace a zapíšeme k danému intervalu znaménko, které nám vyšlo. + znamená rostoucí,
− klesající průběh funkce. Jestliže funkce nejprve roste a potom klesá, jedná se o lokální
maximum (čteme zleva), jestliže je nejprve klesající a potom rostoucí, vyhodnotíme kvalitu
extrému jako lokální minimum. Může se stát, že nám vyjdou stejná znaménka vedle sebe. V
tom případě v daném bodě není lokální extrém (proto se bodům říká „podezřelé,ÿ nemáme
jistotu, že v nich nějaký lokální extrém najdeme).
3. Globální extrémy
• Spočteme funkční hodnoty v krajních bodech zadaného intervalu (v krajních bodech nemůže
být lokální extrém, pouze globální) a v „podezřelých bodechÿ.
• Porovnáme funkční hodnoty (tedy y-nové souřadnice) a jednoduše vidíme, kde je číslo
nejvyšší a kde nejnižší (! záleží na souřadnici y nikoli x). V případě, že nejmenší nebo
největší hodnota leží uvnitř intervalu, jedná se o globální a zároveň lokální extrém. Je-li
největší/nejmenší hodnota v bodě na hranici intervalu, jedná se pouze o extrém globální.
95
96
16.2
KAPITOLA 16. GLOBÁLNÍ A LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
Extrémy – možné intervaly
Při výpočtu extrémů mohou nastat různé situace. U zápisu výsledků se musíme vyjádřit k tomu,
o jaký typ extrému se jedná, zda jde o:
lokální × globální,
maximum × minimum,
ostré × neostré.
Zda se jedná o maximum či minimum zjistíme z y-nové souřadnice. Je rozdíl, v tom, jestli se jedná
o lokální nebo globální extrém.
Pro jednoduchost budeme uvažovat pouze maximum. Extrém je lokálním maximem jestliže funkce
v něm nabývá maximální y-nové hodnoty na jeho bezprostředním okolí (oboustranném). Jestliže se
největší hodnota nabývá pouze v tomto jediném bodě, jedná se o extrém ostrý.
U globálního extrému funkce záleží na intervalu, na kterém danou funkci uvažujeme. Funkce může
mít globální maximum v bodě, ve kterém má lokální maximum, nebo v krajním bodě (případně obou
krajních bodech) příslušného intervalu. Globální maximum je ostré, pokud se na daném intervalu
nabývá pouze v jednom bodě, jinak je neostré.
Vše si ukážeme na konkrétním příkladě. Máme zadanou funkci
y = 2 − x2 ,
která má na celém svém definičním oboru jen jeden extrém a tím je ostré lokální maximum se
souřadnicemi [0; 2]. Tento bod je neměnný, nicméně významnost a pojmenování se budou lišit s
každou změnou intervalů.
Nyní si ukážeme příklad na čtyřech vybraných intervalech:
h0; 1i
h−3; −1i
h−2; 2i
Globální ostré extrémy jsou na hranicích (Obrázek 16.1)
Zadaný interval h0; 1i
Globální ostré extrémy jsou na hranicích (Obrázek 16.2)
Zadaný interval h−3; −1i
h−1; 3i
16.2. EXTRÉMY – MOŽNÉ INTERVALY
97
Obrázek 16.1: Dva globální extrémy na hranicích intervalu h0; 1i
Tabulka 16.2: Extrémy – body z případu 16.1 na intervalu h0; 1i
[0; 2]
Extrém, který vyjde z derivace:
ostré globální maximum
[0; 2]
[1; 1]
Body na hranicích intervalů:
ostré globální minimum
Obrázek 16.2: Dva globální extrémy na hranicích intervalu h−3; −1i
Neostré globální extrémy jsou na hranicích (Obrázek 16.3)
Zadaný interval h−2; 2i
98
Tabulka 16.3: Extrémy – body z případu 16.2 na intervalu h−3; −1i
[0; 2]
[−3; −7]
[−1; 1]
bod je mimo interval, takže nás nezajímá
Obrázek 16.3: Globální neostré extrémy jsou na hranicích h−2; 2i
Ostré lokální maximum uvnitř intervalu a ostré globální minimum na hranici (0brázek
16.4)
Zadaný interval h−1; 3i
Obrázek 16.4: Lokální extrém uvnitř intervalu a globální extrém na hranici h−1; 3i
99
Tabulka 16.4: Extrémy – body z případu 16.3 na intervalu h−2; 2i
[0; 2]
[−2; −2]
[2; −2]
ostré lokální a zároveň globální maximum
neosté globální minimum
neosté globální minimum
Tabulka 16.5: Extrémy – body z případu 16.4 na intervalu h−1; 3i
[0; 2]
[−1; 1]
[3; −7]
16.3
ostré lokální a zároveň globální maximum
není na zadaném intervalu ani max ani min
Např. máme zadaný předpis funkce y =
−x2
a interval x ∈ h−5; 3i
4
1. Tento předpis je tak jednoduchý, že není problém jej nakreslit okamžitě.
Obrázek 16.5: Průběh funkce y =
y
−2 −1
1
2
−x2
4
x
−1
−2
Hodnoty grafu zjistíme nalezením funkčních hodnot – zjistíme konkrétní souřadnice bodů. Dosazujeme libovolná čísla z definičního oboru za x a dopočítáváme hodnoty y.
Z obrázku je zřejmé,
že nejnižším
bodem této funkce na zadaném intervalu x ∈ h−5; 3i je bod
25
o souřadnicích −5; −
a nejvyšší je v bodě [0; 0], tedy
4
25
• maximum je v bodě −5; −
4
• minimum je v bodě [0; 0]
2. Ve zkouškových testech ale jak známo nejsou funkce tak jednoduché, abychom si je mohli takto
nakreslit a proto musíme použít matematický aparát. V tomto případě příkladů se počítá ve dvou
krocích. Počítájí se lokální a globální extrémy. Budeme hledat extrémy na zadaném intervalu
100
Tabulka 16.6: Vybrané funkční hodnoty funkce y =
x
y
−5
− 25
4
−2
−1
0
0
1
−x2
4
2
1
− 14
3
5
− 94
− 25
4
a následně budeme zjišťovat jejich kvalitu – zda se jedná o maximum či minimum. Tuto informaci
můžeme zjistit 2 způsoby:
• průběhem funkce, když funkce kolem bodu
– nejdříve klesá a potom roste, jedná se o MINIMUM
– nejdříve roste a potom klesá, jedná se o MAXIMUM
• znaménkem 2. derivace, je-li:
– kladné v daném bodě, jedná se o MINIMUM
– záporné v daném bodě, jedná se o MAXIMUM
(a) Lokální extrémy
1
x
Spočteme první derivaci y 0 = − · 2x = −
4
2
Z této derivace zjistíme nulové body
x
− = 0 ⇒ x = 0 ⇒ y = 0 Jedná se o jediný bod o souřadnicích [0;0]
2
Kvalitu nyní zjistíme oběma možnými způsoby:
• Průběhem funkce. Spočteme monotonii funkce. Protože počítáme lokální extrémy, počítáme s ∞, nicméně v závěru se budeme soustředit pouze na zadaný interval.
−x2
Na intervalu od (−∞; 0i funkce y =
roste.
4
−x2
Na intervalu od h0; ∞) funkce y =
klesá.
4
• Znaménko 2. derivace v daném bodě, spočteme tedy 2. derivaci
1
y 00 = − ani nemusíme nic dosazovat, vyšla hned záporná konstanta, záporné znaménko
2
indikuje MAXIMUM.
(b) Hranice intervalu
pro spodní hranici x = −5 ⇒ y = −
pro horní hranici x = 3 ⇒ y = −
25
4
9
4
Tabulka 16.7: Porovnání funkčních hodnot funkce y =
x
y
−5
− 25
4
−x2
4
0
0
A opět při použití různých postupů docházíme ke stejnému závěru, tedy že:
3
− 94
101
25
• maximum je v bodě −5; −
4
• minimum je v bodě [0; 0]
102
16.4
Zadání
1) f (x) =
Výsledky
√
9 − x2
1X ostré globální a zároveň lokální maximum f (0) = 3
na intervalu h−3; 3i
1X neostré globální minimum v bodě f (−3) = 0
1X neostré globální minimum v bodě f (3) = 0
r
8
8 4
2X ostré lokální a zároveň globální maximum v bodě f
=
3
3 3
√
2X ostré globální minimum v bodě f (−2) = −2 6
√
2) f (x) = x 4 − x
3) f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 5
4) f (x) = 2x3 + 3x2 − 36x + 9
na 1. intervalu h−4; 4i
3X ostré lokální a zároveň globální maximum f (−1) = 12
3X ostré lokální a zároveň globální minimum f (2) = −15
4aX ostré globální a zároveň lokální maximum v bodě f (−3) = 90
4aX ostré globální a zároveň lokální minimum v bodě f (2) = −35
4bX ostré globální maximum v bodě f (−1) = 46
4bX ostré globální minimum f (1) = −22
4cX ostré globální maximum f (5) = 154
4cX ostré globální a zároveň lokální minimum f (2) = −35
16.5
Zadání
Výsledky
5−20x−2x2
1) f (x) = −2 · 10
na intervalu h1; 3i
+ log 4
2) f (x) = −x · ln x + 2x
na intervalu h1; e2 i
2
1X ostré globální maximum v bodě [3; −2 · 10−73 + log 4
1X ostré globální minimum v bodě [1; −2 · 10−17 + log 4]
2X ostré lokální maximum v bodě [e; e]
2X ostré globální minimum v bodě [e2 ; 0]
3) f (x) = −4 · e3x −12x+5 + ln 4
na intervalu h0; 3i
3X ostré globální maximum v bodě [2; −4 · e−7 + ln 4]
3X ostré globální minimum v bodě [0; −4 · e5 + ln 4]
4) f (x) = 10 · arctg (x2 − 2x + 2) + arctg 2
√
5) f (x) = 5 · 4x2 + 4x + 3 + 10
4X ostré globální maximum v bodě [−1; 10 · arctg 1 + ar
4X ostré globální minimum v bodě [1; 11 · arctg 2]
√
5X ostré globální maximum v bodě 1; 5 11 + 10 1 √
5X ostré globální minimum v bodě − ; 5 2 + 10
2
√
6X ostré globální a lokální maximum v bodě −3; −12
√
6X ostré lokální minimum v bodě −10; −12 51 − 5
√
6) f (x) = −12 · x2 + 6x + 11 − 5
2
7) f (x) = 4 e−x +12 + log 10
na intervalu h0; 10i
8) f (x) = −10 · log (4x2 − 20x + 27) + 5
√
9) f (x) = 7 · 4x2 + 20x + 26 − 6
10) f (x) = −6 arctg (2x2 + 20x + 5) + arctg 5
7X ostré globální a lokální maximum v bodě [0; 4 e12 + lo
7X ostré globální minimum v bodě [10; 4 e−88 + log 10]
5
8X ostré globální maximum v bodě
; −10 · log 2 + 5
2
8X ostré globální minimum v bodě [−3; −10 · log 123 + 5
5
9X ostré globální maximum v bodě − ; 1
2√
9X ostré globální minimum v bodě 0; 7 26 − 6
10X ostré globální maximum v bodě [−5; −6 · arctg −45
10X ostré globální minimum v bodě [0; −6 · arctg 5 + arc
Nepočítáno:
1
11) f (x) = x3 − x2 + 2
3
2x2 − 1
x4
1
;2
na intervalu
2
1
13) f (x) = 2
+2
4x + 4x + 3
12) f (x) =
1
1
14) f (x) = x3 + x2 − 2x
3
2
15) f (x) = −2 · ln (x2 + 4x + 7) + 3
16) f (x) = −2 · arctg(x2 + 2x + 2) − tg
√
17) f (x) = 7 · 4x2 − 4x + 3 + 2
na intervalu h0; 2i
18) f (x) = 4 · log (4x2 − 12x + 12) + 5
π
12
103
Kapitola 17
Lokální extrémy dvou proměnných
17.1
Návody k výpočtu
Potřebujeme sestavit matici:

2
2

∂ z
∂ z
 ∂x2 ∂x∂y 

 2
 ∂ z
∂ 2z 
∂x∂y ∂y 2
1. Definiční obor, u našich příkladů většinou R × R
x⇒
∂z
∂x
3. Spočteme druhou parciální derivaci zadané funkce podle x ⇒
∂2z
∂x2
2. Spočteme první parciální derivaci zadané funkce podle
y⇒
∂z
∂y
5. Spočteme druhou parciální derivaci zadané funkce podle y ⇒
∂2z
∂y 2
4. Spočteme první parciální derivaci zadané funkce podle
6. Spočteme smíšenou parciální derivaci – derivace (2) dle y nebo derivaci (4) dle x ⇒
∂2z
∂x∂y
7. Spočteme souřadnice „podezřelého boduÿ – vyřešíme soustavu rovnic
∂z
=0
∂x
∂z
=0
∂y
8. Kontrola, že podezřelý bod leží uvnitř definičního oboru, tzn. spočteme z-ovou souřadnici
9. Spočteme determinant matice, která nám vznikla
10. Mohou nastat tři situace:
(a) det = 0 ⇒ nelze zjistit kvalitu extrému touto metodou
(b) det < 0 ⇒ sedlový bod
(c) det > 0 ⇒ rozhodneme o kvalitě extrému na základě prvního prvku v matici
11. V případě (c) mohou nastat dvě situace:
∂2z
> 0 ⇒ v nalezeném bodě je MINIMUM
∂x2
∂2z
(b)
< 0 ⇒ v nalezeném bodě je MAXIMUM
∂x2
∂2z
(c)
=0
nemůže nastat
∂x2
(a)
104
∂2z
∂x2
17.2
105
f (x, y) = 3 −
x2
y2
−
− 2x
y
2
Potřebujeme sestavit matici:

∂2z
 ∂x2

 ∂2z
∂x∂y
1
2
3
4
5
6
7
∂z
∂x
∂2z
∂x2
∂2z
∂x∂y
∂z
∂y
∂2z
∂y 2
∂2z
∂y∂x
= −2 ·

∂2z
∂x∂y 

∂2z 
∂y 2
x
2x
−2=−
−2
y
y
2
y
2x
= 2
y
=−
1
1
x2
= −x2 · − 2 − · 2y = 2 − y
y 2
y
1
2x2
2
= x · −2 · 3 − 1 = − 3 − 1
y
y
2x
∂2z
= 2 (kontrolní výpočet, musí se rovnat
– bod 3)
y
∂x∂y
Soustava rovnic – nalezení podezřelého bodu
2x
− 2 = 0 ⇒ x = −y
y
x2
x2
(−z)2
−y = 0 ⇒ 2 −y =
−y
2
y
y
y2
−2 ·
x = −1
7
Podezřelý bod má souřadnice −1; 1;
,
2
7
Poslední z-ovou souřadnici jsme získali tak, že jsme konkrétní hodnoty x a y dosadili do zadání.
2
 2

2x
−
 y

y2
 2x

2x2
−
−
1
y2
y3
8
y = 1;
Nyní dosadíme x = −1 a y = 1:
−2
−2
det
−2
−2
−2
−3
!
základě velikosti
−2
−3
!
= −2 · −3 − (−2) · (−2) = 6 − 4 = 2 det > 0 ⇒ v bodě je extrém. O jeho kvalitě rozhodneme na
∂2z
, což je −2 tedy se jedná o maximum.
∂x2
7
v bodě −1; 1;
je ostré lokální maximum
2
106
17.3
KAPITOLA 17. LOKÁLNÍ EXTRÉMY DVOU PROMĚNNÝCH
Zadání
1) f (x, y) = 3 −
Výsledky
7
1X
−1; 1;
ostré lokální MAX
2
x2
y2
−
− 2x
y
2
2) f (x, y) = 3 − 6x2 + 5xy − 2y 2 − 8x + 11y
2X
[1; 4; 21] ostré lokální MAX
3) f (x, y) = 3 − 2x2 − y 2 + xy − 9x + 4y
3X
[−2; 1; 14] ostré lokální MAX
4) f (x, y) = x2 + 3y 2 − 3xy − 9x + 15y + 5
4X
5) f (x, y) = 7 + x2 + xy − y 2 + 6x − 9y
5X
6) f (x, y) = −x2 − 6y 2 + xy + 8x − 19y + 1
6X
[3; −1; −14] ostré lokální MIN
3
24
− ; − ; −30 sedlový bod, det < 0
5
5
78
28 615
; − ;
ostré lokální MAX
23
23
23
Nepočítáno:
7) f (x, y) = x2 + 3y 2 − 2xy − 4x + 4y + 9
Kapitola 18
Vázané extrémy
18.1
Zadání
Výsledky
1) f (x, y) = 2x − 3 e y + 3
M:
3y − 2 ln x + 3 = 0
x+3
f (x, y) = √
y+3
3) f (x, y) = y + arctg(x + 2)
M:
y − x2 − 3 = 0
M:
y · (x + 1) − 1 = 0
4) f (x, y) = e x − y − 2
M:
y − ln x − 3 = 0
M:
x−y+1=0
M:
y − x2 − 4 = 0
M:
y − 2x = 0
2)
y
5)
6)
7)
e
f (x, y) = x + y −
+1
e
x−3
f (x, y) = √
y+2
f (x, y) = 3y + e−3x −2
107
1
1X ostré lokální vázané MIN e; − ; 3 e +3
3
5
2X ostré lokální vázané MAX 2; 7; √
10
3X ostré lokální vázané MAX[−2; −1; −1]
1
4X ostré lokální vázané MIN
; 2; −3
e
5X ostré lokální vázané MIN [1; 2; 4 − e]
1
6X ostré lokální vázané MIN −2; 8; − √
10
7X ostré lokální vázané MIN ln 0, 5 2 ln 0, 5 .
;
; = −2, 44
3
3
Kapitola 19
Asymptoty
19.1
Vzorce asymptot
Asymptoty grafů funkcí rozlišujeme na:
• svislé asymptoty (asymptoty bez směrnice),
• šikmé asymptoty (asymptoty se směrnicí).
Svislá asymptota
Je-li funkce y = f (x) definovaná pro x 6= a, a ∈ R, potom přímka o rovnici x = a je svislou asyptotu grafu funkce
f právě tehdy, jestliže existuje alespoň jedna jednostranná nevlastní limita funkce f v bodě a.
Šikmé asymptoty
Přímky o rovnicích y = ki x + qi , i = 1, 2, jsou šikmými asymtotami grafu funkce y = f (x) právě tehdy, jestliže
lim (f (x) − ki x − qi ) = 0,
(19.1.1)
x→±∞
tj.
f (x)
,
x→±∞ x
ki : lim
(19.1.2)
qi : lim [f (x) − kx]
(19.1.3)
x→±∞
(poznamenejme, že graf funkce může mít dvě šikmé asymptoty, jednu v −∞ a jednu v +∞).
19.2
Najděte rovnice všech asymptot grafů následujících funkcí:
Zadání
1)
2)
3)
4)
1
f (x) =
4 − x2
x3 + 3
f (x) = 2
x −9
1
x−2
2
x + 3x + 7
f (x) =
x+1
f (x) = 2x −
Výsledky
1X
x=2
x = −2
y=0
2X
x=3
x = −3
y=x
3X
x=2
y = 2x
4X
x=3
x = −3
108
y=x
Zadání
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
Výsledky
2x2
−1
1
1
1
f (x) =
+ +
x+2 x x−2
ln x
f (x) =
−x
x
cos x
f (x) = 3x −
x
x
f (x) = √
3
x2 − 1
f (x) =
109
x2
f (x) = x2 · 2−x
√
x · x2 − 1
f (x) =
2x2 − 1
x · ex
f (x) = x
e −1
2x
f (x) = arccos
1 + x2
1
f (x) = x · e x2
5X
x=1
x = −1
y=2
6X
x = −2
x=0
x=2
7X
y = −x
x=0
8X
y = 3x
x=0
9X
x=1
x = −1
10X
y=0
11X
y=
1
2
y=−
12X
y=x
y=0
13X
y=
14X
x=0
15X
Nemá asymptoty
16X
x=1
17X
y =x+
y=0
1
2
π
2
y=x
√
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
19.3
x2 + 5x x + 2
2x + 4
2
x + x · arctg x
f (x) =
x−1
1
f (x) = x + arccos
x
x
f (x) = 2x + arctg
2
ln x
f (x) = x +
x
ln x
f (x) = √
x
f (x) =
18X
f (x) = 1 + e−x · sin 2x
1
y =x+ π+1
2
π
2
π
y = 2x +
2
y = 2x −
19X
x=0
y=x
20X
x=0
y=0
21X
y=1
1
y =x− π+1
2
π
2
Zadání
1) y =
Výsledky
5 − 2x − 11x
4+x
3
2) y =
3) y =
4) y =
2
1X
rovná:
x = −4
1X
šikmá:
y = −11x + 42
2X
rovná:
x=2
2X
šikmá:
y =x+1
3X
rovná:
x = −3
3X
šikmá:
y = −x − 3
4X
rovná:
x=2
4X
šikmá:
y = −9x − 41
2
x − 3x
(2 − x)2
1 − 6x − x
x+3
2
3 − 5x2 − 9x3
(2 − x)2
110
KAPITOLA 19. ASYMPTOTY
Nepočítáno:
1
5) y = 5x −
2x − 1
6) y =
4x2 + 8x + 1
2x − 1
3
2x + 3x2 − 1
y=
x3
7 + 5x − x2
y=
x−4
6
3x + 2x5 + 5
y=
x5
2
x − 3x + 5
y=
x+2
4x2 − 3x − 2
1−x
2
3x + 10x + 5
=
x+2
2
2x + x − 4
=
2−x
(x − 2)2
=
3−x
2x2 − x − 5
=
x+2
4 − 5x + x2
=
2−x
7) y =
8) y =
9)
10)
y
12)
y
14)
y
16)
y
18)
y
11)
13)
15)
17)
y = x − arctg(x + 1) +
1
x
7x3 − 5x2 + 2
(x − 3)2
Kapitola 20
Taylorův polynom
20.1
Vzorce Taylorova polynomu
Tn (x) = f (xa ) +
f 00 (xa )
f 000 (xa )
f n (xa )
f 0 (xa )
(x − xa )1 +
(x − xa )2 +
(x − xa )3 + · · · +
(x − xa )n
1!
2!
3!
n!
(20.1.1)
Kde:
n
x
xa
f (xa )
f n (xa )
20.2
–
–
–
–
–
stupeň polynomu
proměnná, za kterou se nic nedosazuje
x-ová souřadnice zadaného bodu
y-ová souřadnice zadaného bodu (tzv. funkční hodnota)
je n-tá derivace v bodě xa
Návody k výpočtu
• Dostaneme zadanou funkci f (x)
• Dostaneme zadanou x-ovou souřadnici bodu A = [a, f (a)]. Jedná se o bod dotyku zadané funkce a hledaného
Taylorova polynomu
1. Dopočítání y-nové souřadnice (f (a))
2. Budeme potřebovat všechny derivace až do řádu jako je stupeň zadaného Taylorova polynomu
3. Spočítáme všechny derivace v bodě – vezmeme vždy x-ovou souřadnici zadaného bodu A a dosadíme ji do každé
derivace. Vyjdou konstantní hodnoty (konkrétní čísla), které budeme dosazovat do vzorce.
4. Dosazení do vzorce
20.3
20.3.1
Ukázkový příklad 1
y = (x − 1) · ln x + 1,
bod x = 1
Pohybujeme se v prostoru s jednou proměnnou – máme proměnnou volitelnou a závislou a tedy každý bod má dvě
souřadnice, x a y (někdy též značená f (x)). My známe pouze souřadnici x bodu a, nicméně počítáme Taylorův polynom
a vzoreček pro něj, který je uveden dole, říká, že budeme na konci potřebovat obě. Nejprve tedy spočítáme druhou
souřadnici zadaného bodu a. Tuto souřadnici zjistíme dosazením známé souřadnice do zadáné funkce.
Dopočítání druhé souřadnice
111
112
KAPITOLA 20. TAYLORŮV POLYNOM
y0 = (1 − 1) · ln 1 + 1 = 1
NÁHODOU! vyšly obě souřadnice stejné. Počítáme tedy Taylorův polynom 3. stupně pro bod [1; 1]. Do vzorečku
dosazujeme obě hodnoty, [x0 ; y0 ].
1. derivace
y 0 = (1 − 0) · ln x + (x − 1) ·
1
x−1
+ 0 = ln x +
x
x
1. derivace v bodě x
0
y(a)
= ln 1 +
1−1
=0+0=0
1
2. derivace
y 00 =
1 (1 − 0) · x − (x − 1) · 1
1 x−x+1
1
x+1
1
= +
= + 2 =
+
x
x2
x
x2
x x
x2
00
y(a)
=
2
1+1
= =2
12
1
3. derivace
y 000 =
(1 + 0) · x2 − (x + 1) · 2x
x2 − 2x2 − 2x
−x2 − 2x
x · (−x − 2)
−x − 2
=
=
=
=
4
4
4
4
x
x
x
x
x3
000
y(a)
=
−3
−1 − 2
=
= −3
13
1
Tabulka 20.1: Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu 1
Stupeň derivace
Derivace v bodě
Koeficienty Taylorova polynomu
1.
0
0
1!
=0
2.
2
2
2!
=1
3.
−3
−3
3!
=
−3
6
= − 12
1
T3 = 1 + (x − 1)2 − (x − 1)3
2
Za samotné x se v tomto vzorečku NIC nedosazuje. Pouze se do výsledku opisuje (podobně jako u výpočtu tečen a
normál). Kdybychom dosazovali jak za x tak za x0 , tak by bylo výsledkem jedno číslo. Taylorův polynom je ale nová
funkce, ve které se samozřejmě musí objevit proměnná.
20.3.2
Ukázkový příklad 2
113
Obrázek 20.1: Průběh funkce y = (x − 1) · ln x + 1 (plná čára) a Taylorův polynom v bodě a (čárkovaná)
5
y = x2 −
1.
√
2 − x,
bod a = 1
Dopočítání druhé souřadnice
5
y0 = 1 2 −
√
2−1=1−1=0
[xa ; f (xa )] vyšly [1;
0]
1. derivace
y0 =
1
5 3
1
5 3
x2 − √
· (−1) = x 2 + √
2
2
2 2−x
2 2−x
1. derivace v bodě x = 1
0
y(x)
=
1
5 1
6
5 3
12 + √
= + = =3
2
2 2
2
2 2−1
2. derivace
1
−2 2√2−x
· (−1)
5 3 1
15 1
1
1
15 √
1
1
2
√
y = · x +
=
x2 + √
· √
=
x+ √
·
=
2
2
2 2
4
4
4(2
− x)
(2 2 − x)
2 − x (2 2 − x)
2−x
00
15 √
1
x+
3
4
4(2 − x) 2
00
y(x)
=
1
15 1
16
15 √
1+
+ =
=4
3 =
4
4
4
4
2
4(2 − 1)
3. derivace
y 000 =
−4 · 32 (2 − x) · (−1)
2 · 3(2 − x)
6(2 − x)
15
1
15
15
· √ +
= √ +
= √ +
=
2
3
3
4 2 x
16(2
−
x)
16(2
− x)3
8
x
8
x
4(2 − x) 2
15
3(2 − x)
15
3
= √ +
= √ +
8 x 8(2 − x)3
8 x 8(2 − x)2
15
3
15 3
18
9
000
y(a)
= √ +
=
+ =
=
8
8
8
4
8 1 8(2 − 1)2
114
KAPITOLA 20. TAYLORŮV POLYNOM
Tabulka 20.2: Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu 2
Stupeň derivace
Derivace v bodě
Koeficienty Taylorova polynomu
1.
3
3
1!
=3
2.
4
4
2!
=2
3.
9
4
=
6
9
4
3!
T3 = 0 + 3 · (x − 1) + 2 · (x − 1)2 +
5
Obrázek 20.2: Průběh funkce y = x 2 −
√
9
4
=
3
8
3
· (x − 1)3
8
2 − x (plná čára) a Taylorův polynom v bodě a (čárkovaná)
20.4
Počítejte Taylorův polynom 3. stupně v zadaném bodě a.
Zadání
Výsledky
1) f (x) =
20.5
√
x
1
1
1
· (x − 1) − · (x − 1)2 +
· (x − 1)3
2
8
16
a=1
1X
T3 (x) = 1 +
2) f (x) = x3 + 3x2 − x − 3
a = −2
2X
T3 (x) = 3 − (x + 2) − 3 · (x + 2)2 + (x + 2)3
3) f (x) = x10 − x6 + x4
a=1
3X
T3 (x) = 1 + 8 · (x − 1) + 36 · (x − 1)2 + 104 · (x − 1)3
Zadání
Výsledky
√
1
9
1
T3 (x) = 1 + x + x2 + x3
2
8
16
1
T3 = 1 + (x − 1)2 − · (x − 1)3
2
1
T3 (x) = 1 + 2 · (x − 4) + · (x − 4)3
6
8
T3 (x) = 1 + 3 · (x − 1)2 − · (x − 1)3
3
1)
f (x) = x2 + 2 −
1−x
a=0
1X
2)
f (x) = (x − 1) · ln x + 1
a=1
2X
3)
f (x) = (x − 2) · ln(x − 3) + 1
a=4
3X
4)
f (x) = x2 − ln(2x − 1)
a=1
4X
5)
f (x) = (x + 2) · ln(x − 3) − 1
a=4
5X
T3 (x) = −1 + 6(x − 4) − 2 · (x − 4)2 +
6)
f (x) = x 2 −
a=1
6X
T3 (x) =
3
√
3 − 2x
5
· (x − 1) +
7
· (x − 1)2 +
7
3
· (x − 4)3
2
· (x − 1)3
9)
f (x) = x2 − 2x + 1 + cos(3x)
10)
f (x) = x · e−2x
11)
f (x) = x 2 −
12)
f (x) = x2 + x + 3 − e2x+1
13)
f (x) =
14)
f (x) = x2 + 3 + e2x−1
5
√
2−x
1 √
+ 3 + 2x
x
√
x
x · sin
2
15)
f (x) = cos 2x +
16)
f (x) =
17)
f (x) = sin x + 2 · cos 2x
x
√
3
f (x) = 2 · x 2 − ln
2
18)
19)
20)
21)
1
· sin 2x + cos x
2
f (x) = 3 + 2 ln(9x2 − 1)
π
π
+ cos 2x −
f (x) = sin x +
3
6
x
8
f (x) = + ln
x
2
a=0
9X
a=0
10X
a=1
11X
a=
1
2
a = −1
a=
1
2
π
a=
2
π
a=
4
π
a=
4
a=2
a=0
a=0
a=2
115
7
T3 (x) = 2 − 2x − x2
2
T3 (x) = x · (1 − 2x + 2x2 )
27
· (x − 1)3
2
1
1
12X T3 (x) = · (15 − 4 e2 ) + (2 − 2 e2 ) · x −
+
4
2
2
3
1
4
1
+(1 − 2 e2 ) · x −
− e2 · x −
2
3
2
T3 (x) = 3 · (x − 1) + 2 · (x − 1)2 +
1
3
T3 (x) = − · (x + 1)2 − · (x + 1)3
2
2
2
17
1
1
14X T3 (x) =
+3· x−
+3· x−
+
4
2
2
3
4
+ · x − 12
3
13X
Nepočítáno:
Kapitola 21
Neurčitý integrál
21.1
Vzorce pro integrování
Z
1.
Funkce
Z
3.
Z
4.
Z
5.
Z
6.
k · f (x) dx = k ·
a exponenty
Z
f (x) dx
Funkce
Z
9.
Z
10.
Z
11.
Z
12.
0 dx = C
1 dx = x + C
α+1
x
+ C, α 6= −1
α+1
x
a
ax dx =
+C
ln a
Logaritmy
a exponenciála
Z
1
7.
dx = ln |x| + C
Z x
xα dx =
ex dx = ex +C
8.
Pravidla pro integrováníZ
Z
Z
2.
(f (x) ± g(x)) dx = f (x) dx ± g(x) dx
vedoucí na goniometrické funkce
cos x dx = sin x + C
sin x dx = − cos x + C
dx
= tg x + C
cos2 x
dx
= − cotg x + C
sin2 x
Funkce
Z vedoucí na cyklometrické funkce
dx
√
= arcsin x + C
13.
1
− x2
Z
dx
14.
= arctg x + C
1 + x2
Vzorce pro použití metod
Metoda per partes
Z
Z
15.
u0 · v = u · v − u · v 0
Určitý integrál
Zb
Zb
0
b
16.
u · v = [u · v]a − u · v 0
a
Metoda substituce
Z
g(x) = t
17.
f (g(x)) · g 0 (x) dx = 0
g (x) dx = dt
Určitý integrál
g(b)
Z
g(x) = t
0
f (g(x)) · g (x) dx = 0
18.
g (x) dx = dt
a
Z
= f (t) dt = · · · = F (t) = F (g(x)) + C
a → g(a)
b → g(b)
g(b)
Z
g(b)
f (t) dt = [F (t)]g(a) = F (g(b)) − F (g(a))
=
g(a)
g(a)
Speciální
Z možnost jak řešit integrály, pakliže jsou v následujícím tvaru: Z 0
g (x)
1
19.
f (ax + b) dx = · F (ax + b) + C pro (F 0 (x) = f (x))
20.
dx = ln |g(x)| + C
a
g(x)
21.2
Ukázkové jednoduché příklady (substituční metoda)
x2 = 4t2
1
dx
=
1)
x = 2t
4 + x2
dx = 2 dt
1
x
· arctg
+C
2
2
x
1
substituce zpět: · arctg
+C
2
2
Z
Z
Z
Z
1
1
1
1
1
·
2
dt
=
·
2
dt
=
·
dt = · arctg t + C =
=
4 + 4t2
4 · (1 + t2 )
2
1 + t2
2
116
21.3. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD ZKOUŠKOVÉ ÚROVNĚ
2)
Z
(sin x)2
cos x
dx
=
sin x
2
4 + sin x
cos dx
1
substituce zpět: · arctg
2
3)
Z
√
e2x
dx =
ex −1
Z
sin x
2
= 4t2
= 2t
= 2 dt
+C
117
Z
Z
Z
2 dt
1
2 dt
1
dt
=
= · arctg t + C
= ·
=
4 + 4t2
4 · (1 + t2 )
2
1 + t2
2
√
ex −1 = t
ex −1 = t2
x
x
e ·e
√ x
dx = e −1
ex = t2 + 1
ex dx = 2t dt
Z
3
Z
t2 + 1
t
2
· 2t dt = 2 · (t + 1) dt = 2 ·
+t +C
=
t
3
√ x
( e −1)3 √ x
=2·
+ e −1 + C
3
x
√ x
√ x
e −1
e −1 · (ex −1) √ x
substituce zpět: 2 ·
+ e −1 + C = 2 · e −1 ·
+1 +C
3
3
√
1 + ln x = t
Z 2
3
Z
Z
t −1
ln x
t
2
2
1
+
ln
x
=
t
√
4)
dx = · 2t dt = 2 · (t − 1) dt = 2 ·
−t +C
=
t
3
x · 1 + ln x
1
dx = 2t dt x
√
√
1 + ln x
(1 + ln x) · 1 + ln x √
x
− 1 + ln + C = 2 · 1 + ln x ·
−1 +C =
substituce zpět: 2 ·
3
3
√
ln x − 2
2 · 1 + ln x ·
+C
3
21.3
Ukázkový příklad zkouškové úrovně
Z
3x2
dx
49 + 25x2
řešíme metodou substituce, záleží nyní na volbě, co budeme substituovat
49 + 25x2
50x dx
=
=
x dx
=
x2
=
→ volba substituce
→ derivace zvolené substituce – zvlášť levá a zvlášť pravá strana
t
dt
dt
50
t − 49
25
→ z druhého řádku si vyjádříme zvlášť x dx, protože jej potřebujeme pro dosazení do zadání
→ vyjádříme si x2 pro substituci (vyjádříme jej z výrazu PŘED derivací)
Po samotné subtituci se nesmí v příkladu vyskytovat původní proměnná!!
=
Z
3
1250
3·
t−49
25
t
Z
dt −
dt
3
·
=
50
1250
3
· 49
1250
Z
Z
t − 49
3
dt =
t
1250
Z 49
1−
t
1
3t
3 · 49
dt =
−
ln |t| + C
t
1250
1250
dt =
118
KAPITOLA 21. NEURČITÝ INTEGRÁL
Substituce zpět
3 (49 + 25x2 ) − 49 ln(49 + 25x2 ) + C
1250
Obrázek 21.1: Průběh funkcí y 0 =
3 3x2
ay=
(49 + 25x2 ) − 49 ln(49 + 25x2 ) + C
2
49 + 25x
1250
21.4
Zadání
Z
1)
x · (ln x + x) dx
2)
3)
4)
5)
6)
Z
ln(sin x)
dx
sin2 x
Z
sin4 x · cos x
x · sin x +
dx
x
Z
3x2 · ln x dx
Z
Z
Výsledky
1
x3
x2
· ln x −
+
+C
1X
2
2
3
2X
− cotg x · [ln(sin x) + 1] − x + C
3X
sin x − x · cos x +
sin5 x
+C
5
√
arcsin x
√
dx
x
5X
x3
+C
3
√
√
√
2 x · arcsin x + 2 1 − x + C
ln(cos x)
dx
cos2 x
6X
tg x · ln (cos x) + tg x − x + C
4X
x3 · ln x −
Z
dx
sin2 x · (81 + 49 cotg2 x)
Z
cos x
3
dx
8)
x · ln x + 3 √
2x · 3 3 · sin x − 1
Z
√
9)
arctg 8x − 1 dx
Z
√
10)
e− 4x−5 dx
7)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
27)
29)
31)
33)
35)
Z
Z
√
dx
3 − 5x2
cos2
Z
7 dx
p
x · 9 − 4 · tg2 x
3x2
dx
49 + 25x2
Z
2x
dx
1 + x4
Z
p
x · arctg 2x2 − 1 dx
Z
2 + ln x
dx
x
Z
√
cos 2 − x dx
Z
2
2x3 · ex dx
Z
arcsin x dx
Z
7 · sin x
dx
36 + 25 · cos2 x
Z
(3x + 6) · cos x
√
dx
4 + sin x · (x + 2)
Z
e2x
dx
121 + 4 · e4x
Z
x
√
dx
x2 + 1
Z
√
sin 2x − 1 dx
Z
Z
Z
Z
Z
Z
√
3x2 + 22x + 37
dx
x2 + 7x + 12
cos x · (x +
√
1 + 4 · sin x) dx
119
1
7
· arctg
· cotg x + C
63
9
4
x
1
1 p
8X
· ln x −
+ · 3 (3 · sin(x) − 1) + C
4
4
3
√
1 √
9X x · arctg 8x − 1 − · 8x − 1 + C
8
√
√
1
10X
· (− 4x − 5 − 1) · e− 4x−5 +C
2
√ !
1
5x
11X √ · arcsin √
+C
5
3
7
2
12X
· arcsin
· tg x + C
2
3
7X
−
3
· (49 + 25x2 ) − 49 · ln(49 + 25x2 ) + C
1250
13X
14X
arctg x2 + C
15X
p
x2
· arctg 2x2 − 1 −
2
16X
17X
√
2x2 − 1
+C
4
ln2 x
+C
2
√
√
√
−2 · 2 − x · sin 2 − x − 2 · cos 2 − x + C
2 · ln |x| +
2
18 X
ex · (x2 − 1) + C
19 X
x · arcsin x +
p
1 − x2 + C
7
5
− · arcsin
· cos x + C
5
6
√
6 · 4 + sin x + C
20 X
21 X
1
2 · e2x
· arctg
+C
44
11
p
23 X
x2 + 1 + C
22 X
√
√
√
− 2x − 1 · cos 2x − 1 + sin 2x − 1 + C
24 X
Nepočítáno:
Z
26)
cos x · x +
28)
arcsin3 x − 3x
√
dx
1 − x2
30)
x3 + 3x2 − 5x + 4
dx
x2 + 3x − 10
32)
3 dx
x · (25 + 64 · ln2 x)
34)
x2 + 8x + 6
dx
x2 + 3x − 4
36)
Z
Z
1
sin3 x
x2
dx
x2 − 3x + 2
dx
2x3 + 6x2 + 7x + 8
dx
x2 + 3x + 2
√
Z
2 − cotg x
sin x · 1 − 9x +
dx
sin3 x
Z
−x3 − x2 + 23x − 3
dx
x2 + x − 20
Z
3x2 − 19x + 36
dx
x2 − 7x + 12
120
KAPITOLA 21. NEURČITÝ INTEGRÁL
37)
39)
41)
43)
45)
47)
49)
51)
53)
55)
57)
59)
61)
63)
65)
67)
69)
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
2x2 − 5x − 13
dx
x2 − 4x − 5
38)
−x2 + 7x − 17
dx
x2 + 5x + 6
40)
x2
dx
2
x − 5x + 6
42)
arccos 5x dx
44)
√
e
2−x
dx
cos x
dx
9 + 49 · sin2 x
cos x
p
dx
16 − 36 · sin2 x
Z
√
1
+ x · ln x dx
x· √
1 − x2
Z
3
2x − 4x2 − 4x + 1
dx
x2 − x + 2
Z
10x − 2
dx
2
x − 4x + 13
Z
−x3 − 8x2 − 11x + 3
dx
x2 + 5x + 14
Z
8x + 4
dx
x2 − 2x + 5
Z
√
arctg x dx
Z
Z
Z
Z
√
ex
dx
64 − 49 · e2x
e−
√
2x
46)
48)
50)
52)
54)
56)
58)
60)
62)
64)
dx
66)
(2x + 3) · ln x dx
68)
√
4x − 1 dx
Z
arcsin 2x dx
Z
arctg 2x dx
Z
x3 − 2x2 − 23x − 14
dx
x2 + 2x − 24
Z
2x2 + 8x − 2
dx
x2 + 2x − 15
Z
3x3 + 15x2 + 14x + 11
dx
x2 + 5x + 4
Z
x2 + 6x − 2
dx
x2 + 3x − 4
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
−x2 + 7x − 17
dx
x2 − 5x + 6
√
sin 3x + 5 dx
√
e
2x
dx
arcsin
√
e
x
2+3x
2
dx
dx
1
(2x + 3) · 3 + √
3
2
x + 3x
x
dx
x3 · arctg x dx
x3
dx
1 − x4
√
Z
2 + cotg x
sin x · 1 + 9x +
dx
sin3 3x
Z
arccos 4x dx
√
Kapitola 22
Určitý integrál
22.1
Návod na výpočet určitého integrálu
Určitý integrál má narozdíl od neurčitého vymezené hranice. Vychází konkrétní čísla, k výsledkům se tedy již nepřipisuje „ +C ÿ. Určitý integrál vyjadřuje hodnotu mezi osou x a zadanou přímkou.
Příklady s konstantou
Zadání: y = 5
Hranice: h0, 6i
Výpočet z Obrázku 22.1: Jedná se v podstatě o obdélník, výsledek dostaneme výpočtem strana krát strana. 5 · 6 = 30. Nebo můžeme jednoduše
spočítat počet dílčích čtverečků.
Z 6
Výpočet integrálem:
5 dx = [5x]60 = [5 · 6 − 5 · 0] = 30 − 0 = 30
0
Zadání: y = −5
Hranice: h0, 6i
Výpočet z Obrázku 22.2: Jde o stejný obrazec, ovšem pod osou x. Výsledek
je tedy stejný, jen s opačným znaménkem.
Z 6
−5 dx = [5x]60 = [(−5) · 6 − (−5) · 0] = −30 − 0 = −30
0
Obrázek 22.1: Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích h0, 6i
Příklady s přímkou
Zadání: y = x
Výpočet z Obrázku 22.3: Zaprvé lze spočítat jednotlivé čtverečky. Obrázek obsahuje 10 celých čtverců a 5 malých trojúhelníků (polovičních
čtverců). Očekávaný výsledek je tedy 12,5 p. j. Nebo můžeme celý trojúhelník chápat jako polovinu velkého čtverce a dopočítat se výsledku dle vzorce
strana krát strana
5·5
25
=
=
= 12,5 p. j.
2
2
2
121
122
KAPITOLA 22. URČITÝ INTEGRÁL
Hranice: h0, 5i
Z5
0
Zadání: y = x
Hranice: h−5, 0i
x dx =
h x2 i 5
2
0
=
h 52
2
−
02 i 25
=
− 0 = 12, 5
2
2
Výpočet z Obrázku 22.4: Plochy po obou stranách osy y jsou stejné a tedy
se navzájem odečtou.
Z5
h x2 i 5
h 52
(−5)2 i 25 25
x dx =
=
=
−
−
=0
2 −5
2
2
2
2
−5
Zadání: y = x
Hranice: h−5, 5i
Výpočet z Obrázku 22.5: Jde o stejný trojúhelník jako na Obrázku 22.3,
výsledek má ovšem opět opačné znaménko.
Z0
h x2 i 0
h 02
25
(−5)2 i
Výpočet integrálem: x dx =
=
=0−
−
= −12, 5
2 −5
2
2
2
−5
22.1. NÁVOD NA VÝPOČET URČITÉHO INTEGRÁLU
Obrázek 22.2: Průběh funkce y = −5 a vymezení plochy v hranicích h0, 6i
Obrázek 22.3: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích h0, 5i
123
124
Obrázek 22.4: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích h−5, 0i
22.2
125
Zadání
Z1 3x
e +2
1)
ex
Výsledky
dx
1X
e3 +3 e −4
2e
0
π
2)
Z4
cos2 x
dx
2X
π 1
+
8
4
3)
Ze
x+2
2x
dx
3X
e +1
2
0
1
1
4)
Z2
arctg 2x
dx
4X
0
Z2
3x · sin x
dx
5X
3
6)
Z2
x+1
x2 − 3x
dx
6X
5
− · ln 2
3
7)
Zx
arcsin
7X
3
π−3
2
8)
Z8
e
8X
3 e4 − e2
9)
Z0
dx
4x2 − 9
9X
−
− 12
π
5)
0
1
0
√
x
2x
3
dx
dx
2
ln 5
12
−1
π
10)
Z2
sin4 x · cos x
dx
10X
1
5
11X
3
8
12X
4
15
13X
3π + 2
9
14X
3 · ln(9) −
15X
1
− · ln 3
2
0
2
11)
Ze
12)
Zπ
cos2 x · sin3 x
Z0
2x · cos 3x
Z2
x2 · ln(1 + x3 )
ln3 x
x
dx
e
dx
0
13)
dx
−π
2
14)
dx
1
3π
15)
Z2
π
2
cos x
4 − sin2 x
dx
2
7
· ln(2) −
3
3
126
16)
Zln 3
√
ln
ex +9 e−x
x
dx
16X
π
36
17X
15
4
18X
√
4 √
2 3− · 2
3
19X
32
3
20X
2π
21X
eπ −2
5
22X
√
√
3 3π
−2 3
4
3
π
2
17)
Z
cos x
sin5 x
π
6
dx
π
18)
Z2
√
2 + cos x · sin x
dx
0
√
19)
Z8
√
20)
√
2x3
x2 + 1
dx
3
Zπ
(1 − x2 ) · x
dx
0
π
21)
Z2
e2x · cos x
dx
0
√
Z3
x4
3 + x2
23)
Z3
2x2 + 3x − 2
x
dx
23X
1
· ln
5
24)
Z0
(2x + 3) · e−x
dx
24X
3 e −5
Z2
√
25X
8
3
26)
Z1
x+3
√
3
x
26X
51
10
27)
Z∞
3x2 − 2x
x
27X
√
ln 3
Z0
4 + x2
x
dx
28X
π
4
Z∞
2x
x2 + 1
dx
29X
Diverguje
Z2
x
3x − 2
dx
30X
Diverguje
31)
Z1
arcsin x
√
1 − x2
dx
31X
π2
8
32)
Ze
dx
32X
2
22)
dx
0
2
4
3
−1
25)
x
x−1
dx
1
dx
0
dx
1
28)
−∞
29)
−∞
30)
−∞
0
1
x·
√
ln x
x
33)
Z∞
sin 2x
127
dx
33X
Diverguje
34X
π
4
35X
1
36X
π
37X
π
2
0
34)
3
Z2 √
35)
Z∞
9 − 4x2
x
dx
0
e−x
dx
0
36)
Z∞
x2 + 2x + 2
x
dx
−∞
37)
Z1
√
(2 − x) · 1 − x
x
Z1
ln x
dx
38X
−1
tg x
dx
39X
Diverguje
40X
π
2
41X
3
2
42X
1
ln 2
dx
0
38)
0
π
39)
Z2
0
40)
Z∞
4x2 + 1
x
dx
−∞
41)
Z1
√
3
42)
Z∞
2−x
43)
Z∞
x · ln2 x
dx
43X
Diverguje
44)
Z2
√
x
2−x
dx
44X
8
3
Z∞
ex
9 + ex
45X
Diverguje
46)
Z1
ln2 x
46X
2
47)
Z∞
x · e−2x
dx
47X
3 −2
·e
4
48)
Z∞
x · cos x
dx
48X
Diverguje
49X
Diverguje
dx
1−x
0
dx
0
1
−2
45)
dx
0
dx
0
1
0
49)
Z3
1
p
1
(x − 1)3
dx
128
50)
Z∞
arctg3 x
1 + x2
51)
Z∞
x · arctg x
dx
50X
π4
64
51X
Diverguje
0
dx
1
22.3
Zadání
Z1
1
1)
(2x + 3) · 3x + √
dx
3
x2 + 3x
0
2
3
2)
Nepočítáno:
√
3−1
Z
−1
x2
10 dx
+ 2x + 5
Výsledky
1X
.
= 11,38849207043
Kapitola 23
Aplikace určitého integrálu
23.1
Vzorce aplikovaného integrálu
Obsah plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami
P =
Zb
pro f (x) ≥ 0 na ha, bi
f (x) dx,
(23.1.1)
a
P =
Zb
(f (x) − g(x)) dx,
pro f (x) ≥ g(x) na ha, bi
(23.1.2)
a
Délka křivky
l=
Zb p
1 + (f 0 (x))2 dx
(23.1.3)
a
Plášť rotačního tělesa
S = 2π ·
Zb
f (x) ·
a
p
1 + (f 0 (x))2 dx
(23.1.4)
Objem rotačního tělesa
V =π·
Zb
f 2 (x) dx
a
129
(23.1.5)
130
23.2
KAPITOLA 23. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU
Návod na výpočet plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami P
Co je kýženým výsledkem je zřejmé ze zadání – obsah, respektive obsah jistého obrazce omezeného zadanými křivkami
který je samozřejmě možno graficky znázornit. Výsledná čísla vychází v plošných jednotkách (p. j.). U aplikace vychází
konkrétní nezáporná čísla, k výsledkům se tedy již nepřipisuje „ +C ÿ.
V tomto souboru jsou ukázány příklady vždy pouze s jednou křivkou. Počítáme tedy obrazec mezi křivku a osou x.
Zadání: y = 5
Hranice: h0, 5i
Výpočet z Obrázku 23.1: Jedná se v podstatě o čtverec takže klasické strana
krát strana. 5 · 5 = 25 p. j.
Z5
Výpočet integrálem: 5 dx = [5x]50 = [5 · 5 − 5 · 0] = 25 − 0 = 25 p. j., což
0
Zadání: y = 5
Hranice: h−1, 5i
mimochodem odpovídá počtu jednotlivých čtverečků ve vymezené ploše (aditivita integrálů).
Výpočet z Obrázku 23.2: Jde o obdélník o stranách 5 a 6, výsledek je tedy
30 p. j.
Z5
Výpočet integrálem: 5 dx = [5x]5−1 = [5 · 5 − 5 · (−1)] = 25 + 5 = 30 p. j.
−1
23.2. NÁVOD NA VÝPOČET PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI P131
Obrázek 23.2: Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích h−1, 5i
Zadání: y = x
Hranice: h0, 5i
Výpočet z Obrázku 23.3: Zaprvé lze prostě spočítat jednotlivé čtverečky.
Obrázek obsahuje 10 celých čtverců a 5 malých trojúhelníků (polovičních
čtverců). Očekávaný výsledek je tedy 12,5 p. j. Nebo můžeme celý trojúhelník chápat jako polovinu velkého čtverce a dopočítat se výsledku dle vzorce
strana krát strana
5·5
25
=
=
= 12,5 p. j.
2
2
2
Z5
h x2 i 5 h 5 2
02 i 25
Výpočet integrálem: x dx =
−
− 0= 12,5 p. j.
=
=
2 0
2
2
2
0
Zadání: y = x
Hranice: h−5, 5i
Výpočet z Obrázku 23.4: Vidíme že se v podstatě jedná o dva totožné
trojúhelníky kdy už jsme v předešlém příkladě spočítali obsah jednoho z nich,
takže můžeme jen předchozí výsledek vynásobit dvěma. Nebo si v hlavě spojíme
trojúhelníky do čtverce.
Výpočet integrálem: Tento příklad je trochu odlišný od ostatních, neb se
část křivky na zadaném intervalu dostává pod osu x. Musíme tedy výpočet
rozdělit a spočítat dané plochy zvlášť, neboť se VŽDY musí odečítat spodní
křivka od horní.
Výpočet první části obsahu. Obsah plochy nemůže být záporný.
Z0
h x2 i 0
h 02
(−5)2 i
25
25
x dx =
=
−
=0−
⇒
2 −5
2
2
2
2
−5
Výpočet druhé části obsahu.
Z5
h x2 i5 h 52
(0)2 i 25
x dx =
=
−
=
2 0
2
2
2
0
Zadání: y = 5 − x
Sečteme obě plochy.
25 25
+
= 25 p. j.
2
2
Ve zkouškových příkladech se nestane, že bychom museli příklad takto rozdělovat. Máme vždy zadané alespoň dvě funkce a vždy je jasné která je horní a
která spodní.
5·5
25
Výpočet z Obrázku 23.5: A náš oblíbený
=
trojúhelník potřetí
2
2
a naposledy.
132
Hranice: h0, 5i
[5 · 5 − 5 · 0] −
Z5
(5 − x) dx =
0
Z5
0
5 dx −
Z5
x dx = [5x]50 −
0
2
25
02 i
= (25 − 0) −
−
− 0 = 25 − 12, 5 = 12,5 p. j.
2
2
2
h 52
Obrázek 23.3: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích h0, 5i
Příklady s posunutou přímkou
h x2 i5
0
=
Obrázek 23.5: Průběh funkce y = 5 − x a vymezení plochy v hranicích h0, 5i
Zadání: y = x + 2
Hranice: h0, 5i
Výpočet z Obrázku 23.6: Obrazec si rozdělíme na spodní obdelník a vrchní
trojúhelník. Opět můžeme jednoduše spočítat malé čtverce, obdelník se skládá
z 10 čtverců a trojúheník jich obsahuje 12,5. Výsledná plocha obrazce je
22,5 p. j. Nebo lze spočítat obsah obdelníku 2 · 5 = 10 a trojúhelníku, který je
12,5 a opět dílčí obsahy sečíst.
Z5
Z5
Z5
h x2 i5
(x + 2) dx = x dx + 2 dx =
+ [2x]50 =
2 0
0
0
0
h 52
25
02 i
−
+ [2 · 5 − 2 · 0] =
− 0 + (10 − 0) = 12, 5 + 10 = 22,5 p. j.
2
2
2
Obrázek 23.6: Průběh funkce y = x + 2 a vymezení plochy v hranicích h0, 5i
134
Příklady s parabolou
Zadání: y = x2
Hranice: h0, 2i
Výpočet z Obrázku 23.7: Nyní začneme mít problémy s přesným určováním
výsledků z obrázku. Každopádně stále dokážeme výsledek alespoň přibližně
odhadnout. V tomto případě máme jeden celý čtverec a pak čtyři částečné.
Výsledek je necelých 3 p. j.
Z2
h x3 i2 h 23
03 i 8
=
= − 0 = 2,67 p. j.
Výpočet integrálem: x2 dx =
−
3 0
3
3
3
0
Zadání: y = x2
Hranice: h−2, 0i
Výpočet z Obrázku 23.8: Zadaná funkce je osově souměrná, vyznačená
plocha je identická s předchozí.
Z0
h 03
h x3 i 0
(−2)3 i 0 (−8)
8
=
= −
−
= =
3 −2
3
3
3
3
3
−2
2,67 p. j.
Zadání: y = x2
Hranice: h−2, 2i
Výpočet z Obrázku 23.9:
3 2
Z2
x
23
(−2)3
8 −8
8 8
=
−
= −
= + =
3 −2
3
3
3
3
3 3
−2
16
= 5, 34
3
Obrázek 23.7: Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích h0, 2i
Obrázek 23.8: Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích h−2, 0i
Obrázek 23.9: Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích h−2, 2i
136
23.3
Návod na výpočet délky křivky l
Kýženým výsledkem je délka křivky na vymezeném intervalu, která samozřejmě vychází v délkových jednotkách (d.
j.).
Zadání: y = 2
Hranice: h0, 3i
Výpočet z Obrázku 23.10: Zde snad ani není co dodávat.
Z3 p
Z3 p
Z3 √
0
2
2
1 + ((2) ) dx =
1 + (0) dx =
1 dx =
Z3
0
0
0
1 dx = [x]30 = 3 − 0 = 3 d. j.
0
Zadání: y = x
Hranice: h−2, 2i
Výpočet z Obrázku 23.11: Úhlopříčka čtverce o stranách rovných jedné je
√
√
rovna 2. Čtverce jsou čtyři a tedy čtyřikrát 2.
Z2 p
Z2 p
Z2 √
√
1 + ((x)0 )2 dx =
1 + (1)2 dx =
2 dx = [x 2]2−2 =
√
√
√ −2 √
√
[2 2 − 2(−2)] = 2 2 + 2 2 = 4 2 d. j.
−2
−2
23.3. NÁVOD NA VÝPOČET DÉLKY KŘIVKY L
137
138
23.4
Obecné znázornění pláště a objemu rotačních těles
Obrázek 23.12: Obecné znázornění pláště rotačního tělesa (S)
Obrázek 23.13: Obecné znázornění objemu rotačního tělesa (V)
23.5
1. Obsah obrazce ohraničeného zadanými křivkami:
Zadání
2
1) y1 = x − 3x
y2 = 2x − 4
2) y1 = 0
y2 = x + 2
3) y1 = 2 − x2
y23 = x2
4) y1 = 0
y2 = ln x
5) y1 = 4x − x2
y2 = 3x − 6
5X
6) y1 = x2 − 2
y2 = x + 4
6X
7) x = 2
y1 = ex
√
2−x
8) y1 = 0
y2 =
9) y1 = e
y2 = e3x
1X
y3 = 4 − x2
2X
3X
y3 = 1
y2 = 1 − x
Nepočítáno:
√
y3 = 2x + 8
x=1
x=
1
2
4X
7X
Výsledky
27
(= 4, 5) plošných jednotek
6
37
plošných jednotek
6
32
plošných jednotek
15
0,15 plošných jednotek
125
plošných jednotek
6
125
plošných jednotek
6
e2 −1 plošných jednotek
10) y1 = 2x3
y2 = 4x2
11) y1 = x2 − 4x
y2 = 3 − 2x
12)
y1 = ex
y2 = e−x
x=1
13)
y1 = e
y2 = e3x
x1 =
14) y1 = x2 − 12
y2 = 2x − 12
15) y1 = −x2 − 3x
y2 = x + 3
16)
y1 = −2x2 − 3x − 3
y2 = x2 − 3
17)
y1 = −x2 − x − 2
y2 = −x3 + 2
18)
y1 = 3 − x2
y2 = 1 − x
19)
y1 = −x2 − 2x
y2 = 2x − 12
20)
y1 = x2 + 4x + 4
y2 = 4
21)
y1 = x2 − 2x
y2 = 2x − 3
22)
y1 = x2 − 3x
√
23) y1 = x − 1
√
24) y1 = 2x + 8
y2 = 2 − 2x
√
y2 = 8 − 2x
√
y2 = 2 − x
25) y1 = −x2 − 2x
y2 = 2x − 12
25) y1 = 4x − x2
y2 = 4 − x
26) y1 = 5x − x2
y2 = 2x − 4
27) y1 = 5x − x2
y2 = 2x − 4
4
3
139
x2 = 0
2. Délka křivky:
1) y1 =
Zadání
√
9 − x2
x2
ln x
−
4
2
√
y1 = 1 − x2
2) y1 =
3)
√
4) y1 = 4 − x2
r
x3
5) y = 1 −
3
D πE
x ∈ 0;
2
1X
x ∈ h1; ei
1
x ∈ 0;
2
2X
x ∈ h0; 1i
4X
x ∈ h−10; −1i
5X
3 arcsin
3X
Výsledky
π
délkových jednotek
6
e2 +1
4
π
6
π
3
π
3
3. Povrch / Plášť rotačního tělesa:
Zadání
√
1) y = 3 + x
x ∈ h−1; 3i
1X
Výsledky
48π
plošných jednotek
3
140
2) y =
3) y =
√
√
9−
x2
16 − x2
Nepočítáno:
x ∈ h0; 2i
x ∈ h0; 1i
4. Objem rotačního tělesa:
1) y1 =
2) y1 =
3) y1 =
r
r
√
Zadání
x−2
2x + 1
2−x
3 + 2x
x·e
x
3
4) y1 = 4 − x2
√
5) y1 = 2x
2
√
x
6) y1 = x
−1
3
x ∈ h2; 3i
x ∈ h1; 2i
y2 = 0
Výsledky
π
7
1X
1 − 3 ln
objemových jednotek
2
5
π
7
2X
7 ln − 2 objemových jednotek
4
5
Nepočítáno:
x ∈ h0; 1i
y2 = x + 2
y2 = 0
y3 = 3 −
y2 = 0
x ∈ h2; 3i
x
2
Kapitola 24
Diferenciální rovnice I. řádu
24.1
Zadání
√
1) y 0 = 3 · x − e−x
y
2) y 0 =
x
y
0
3) y =
tg x
Výsledky
√
1X y = 2x · x + e−x +C
2X
y =C ·x
3X
y = C · sin x
4) (x + 1) · y 0 = y − 2
4X
4y = 2 + C · (x + 1)4
5) x · y 0 − 3y = 0
5X
y = C · x3
6) x · y · y 0 = y 2 + 1
6X
y 2 = C · x2 − 1
7) y 0 = ex−y
7X
y = ln(ex +C)
y0
1
√ +√ =0
y
x
8X
y = (C −
9) x · y 0 − y 0 = 2y
9X
y = C · (x − 1)
8)
√
2
x)
10)
xy 0 = (1 + y 2 ) · arctg y
10X y = tg(C · x)
11)
y 0 = y · ln2 y
11X y = e C−x
12)
1 + y2
y 0
·y =
x
1 + x2
12X y 2 = C · (1 + x2 )
13)
xy 0 = 4y,
13X y = 2x4
14)
xy 0 = 1 + y 2 ,
15)
(x + 1) · y 0 + xy = 0, y(0) = 1
x
, y(0) = 0
y0 = −
y+1
16)
1
y(1) = 2
y(1) = 0
17)
y 0 = y · cos x,
18)
(1 + ex ) · y · y 0 = ex ,
19)
y0 =
20)
x · y 0 = x + 2y
21)
x + x · y0 = y
22)
x2 y 0 = y 2 + x · y
23)
24)
25)
26)
27)
y(π) = 1
2x + y
x
y
y
y 0 = e− x +
x
y
y
0
y − =
x
x
x y
0
y = +
y
x
y
x · y 0 = y · ln
x
x
+
y
y0 =
x−y
y(0) = 1
14X y = tg(ln |x|)
15X y = (x + 1) e−x
16X (y + 1)2 = 1 − x2
17X
y = esin x
18X
y 2 = 1 − ln 4 + 2 · ln(1 + ex )
19X y = x · ln(C · x2 )
20X y = x · (C · x − 1)
C 21X y = x · ln x
x
22X y =
C − ln |x|
23X y = x · ln (ln |C · x|)
24X y = x · arcsin(C · x)
25X y = x2 · ln(C · x2 )
26X y = x · e1+Cx
p
27X y = x · tg ln C(x2 + y 2 )
141
142
KAPITOLA 24. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE I. ŘÁDU
Zadání
24.2
Výsledky
28)
y 0 − y = ex
28X y = (x + C) · ex
29)
x · y 0 − 3y = x2
29X
y = C · x3 − x2
30)
y 0 + 2y = e−2x · cos x
30X
y = (C + sin x) · e−2x
31)
y 0 + 2x · y = x3
32)
(2x + 1) · y 0 + y = x
33)
y0 −
34)
y 0 + y · cos x = sin 2x
34X
y = C e− sin x +2 · sin x − 2
35)
x · y 0 − 2y = x · ln x
35X
y = C · x2 − x · (ln x + 1)
36)
(x + 1) · y 0 − 2y = (x + 1)4
36X
y = C · (x + 1)2 +
37)
y 0 − y = 4x · e−x
37X y = C · ex −x · (ln x + 1)
38)
y 0 − y · tg x = 2 sin x
39)
x · y 0 + y = (2 − ln x) · x
40)
(1 − x2 ) · y 0 + x · y = 3x
C
− cos x
cos x
5x x
C
+
− · ln x
39X y =
x
4
2
√
2
40X y = C · 1 − x + 3
41)
y 0 + y · cotg x =
42)
y0 +
43)
y 0 − y = e2x ,
y(0) = 4
44)
y 0 + 3y = x,
y
45)
y0 +
46)
y 0 + x2 · y = x2 ,
x2
1
2
− + C · e−x
2
2
x−1
C
32X y =
+p
3
|2x + 1|
31X
2
· y = x2 · sin x
x
x·y
= arcsin x
1 − x2
3y
2
= 3,
x
x
1
3
33X y = x2 · (C − cos x)
38X
1
sin x
=1
y(1) = 1
y(2) = 1
y=
1
· (x + 1)4
2
y=
C
x
+
sin x sin x
√
1 √
42X y = C · 1 − x2 + · 1 − x2 · arcsin2 x
2
41X y =
43X
y = e2x +3 ex
44X y = e1−3x +
45X y =
3x − 1
9
2
1
− 3
x2
x
46X y = 1
Zadání
1)
Výsledky
(1 + x2 ) · y 0 = −x · (1 + 2y)
y 0 = 3 · x2 y
√
3) 2y 0 · x = 1 + x2
2)
1X
y=
x2
C
1
−
+1 2
3
y = C · ex
√
3X y = tg ·( x + C)
2X
x+1
x + 1 − Cx
4)
xy 0 + y = y 2 − x2 y 0
4X y =
5)
y 0 − 3y = (4x + 3x2 ) · e3x
5X y = C · e3x +x2 · (2 + x) · e3x
6)
y0 + √
1
y
=√
2
1−x
1 − x2
6X
y = C · e− arcsin x +1
7)
xy 0 + y = sin x
8)
y 0 − y · tg x =
9)
y 0 − 2xy = (sin x + 1) · ex
C
cos x
−
x
x
2
C
x
1
8X y =
+
+ 3x ·
cos x
2
cos x
7X
x+3
cos x
2
10) y 0 − y · sin x =
11)
(x2 + 1) · y 0 =
12)
y 0 + x = xy
13)
14)
√
143
y=
2
y = ex · (C + x − cos x)
2x √
− cos x
10X y = e
· C+
· x
3
p
11X y = 4 arctg x + C
9X
x · e− cos x
2
y
x2
2
12X
y =C ·e
y 0 + 4y = (10x + 1) · e−x
13X
y = C · e−4x +
y 0 + 2y · tg x = sin x
14X
y = cos ·(C · cos x + 1)
Nepočítáno:
0
15)
y + 2xy = 2x
16)
y 0 · y · tg x = cos2 x
17)
y 0 + 3y =
18)
19)
xy 0 − 3y = x 2
√
3
y 0 − 3x2 = x − 1 ex
20)
y 0 · sin x − y · cos x = 1
21)
xy 0 + y = x3 + 3x
22)
y 0 + y · cos x = e− sin x
23)
2y 0 + 6y = −9 e8x
24)
−7y 0 − 35y = 8 · e−6x
25)
5 + y 0 + 5y = 9x · ex
26)
5xy 0 − 10y = −8x4 · cos x
27)
y 0 + 2y = 3x4 · e−2x
x2 + 5x + 1
e3x
1
28) y 0 +
x2
y
1
= 2
+1
x +1
29)
sin2 (7x + 4) · y 0 − y 2 = 0
30)
y 0 · sin x + y · cos x =
31)
−3y 0 + 15y = 7 e4x
32)
y 0 + y · cotg x = cos2 x
33)
y 0 + y · sin x =
34)
y 0 · cos x + y · sin x = 0
35)
xy 0 + 2y =
36)
xy 0 + y = 3 e3x
1
sin2 x
4x2 − 1 cos x
·e
x2
4
2x2 + 1
+1
e−x
· (30x − 7)
9
Kapitola 25
Diferenciální rovnice II. řádu
25.1
Zadání
Výsledky
1)
y 00 + 3y 0 − 10y = 0
1X
y = C1 e2x +C2 e−5x
2)
y 00 − 4y 0 = 0
2X
y = C1 + C2 e4x
3)
3y 00 + 2y 0 − y = 0
3X y = C1 e 2 +C2 · x e 2
4)
y 00 − 4y 0 + 4y = 0
4X
y = C1 e2x +C2 x e2x
5)
4y 00 − 4y 0 + y = 0
5X
y = C1 e 2 +C2 · x e 2
6)
y 00 − 4y 0 + 13y = 0
6X
y = ex · (C1 cos 3x + C2 sin 3x)
7)
y 00 + y = 0
8)
y 00 − 4y 0 + y = 0
9)
9y 00 + y = 0
y = C1 e 2 +C2 x · e 2
√
√
8X y = e−x ·(C1 cos 2x + C2 sin 2x)
x
x
9X y = C1 · cos
+ C2 · sin
3
3
1
10X y = C1 ex +C2 e2x + e−x
2
x
x
x
x
7X
x
x
10)
y 00 − 3y 0 + 2y = 3 · e−x
11)
y 00 − 3y 0 + 2y = ex
11X
y = C1 e2x +C2 ex −x ex
12)
y 00 − 2y 0 + 5y = (4x + 3) · ex
12X
y = (C1 cos 2x + C2 sin 2x) ex +
13)
y 00 + y 0 − 2y = (2x + 1) · 3x e
13X
14)
y 00 − 7y 0 + 10y = (6x + 7) · e2x
14X
15)
y 00 + 4y 0 − 5y = 1
15X
16)
y 00 − 5y 0 + 6y = x + 1
16X
17)
y 00 − y 0 − 6y = 3x2 + 2x
17X
18)
y 00 + y = x2
18X
y = C1 sin x + C2 cos x + x2 − 2
19)
y 00 + 3y 0 = 9x
19X
y = C1 e2x +C2 e−2x −2x3 − 3x
20)
y 00 − 2y 0 = x2 − x
20X
y = C1 + C2 e2x −
21)
y 00 − 4y = 8x3
21X
y = C1 e2x +C2 e−2x −2x3 − 3x
22)
y 00 − 3y 0 + 2y = 9 · sin x + 3 · cos x
22X
y = C1 ex +C2 e2x +3 cos x
23)
y 00 − 7y 0 + 6y = sin x
x
9y 00 − 6y 0 + y = sin
3
17
y 00 + 2y 0 + 5y = − · cos 2x
2
23X
24X
y 00 + 2y 0 − 3y = x2 · ex
26X
24)
25)
26)
25X
3
+ x ex
4
1
1
y = C1 ex +C2 e−2x +
x−
e3x
5
25
y = C1 e5x +C2 e2x −(x2 + 3x) e2x
1
5
x
11
y = C1 e2x +C2 e3x + +
6 36
x2
x
5
y = C1 e3x +C2 e−2x − − −
2
6 36
y = C1 ex +C2 e−5x −
x3
6
1
· (7 cos x + 5 sin x)
74
1
x
x
x
y = C1 e 3 +C2 x e 3 + cos
2
3
1
y = C1 e−x cos 2x + C2 e−x sin 2x − cos 2x − 2 sin 2x
2
3
x
x2
x
y = C1 e−3x +C2 ex +
−
+
12 16 32
y = C1 ex +C2 e6x +
144
27)
y 00 − 2y 0 + 2y = ex · cos x
28)
y 00 − y =
29)
30)
31)
25.2
1
2
−
x x3
1 + 2x
y 00 − 2y 0 =
x2
e2x
y 00 − 4y 0 + 4y = 2
x
1
2y 00 + 8y =
sin3 2x
1 x
e x sin x
2
27X
y = C1 ex sin x + C2 ex cos x +
28X
y = C1 ex +C2 e−x −
29X
y = C1 + C2 e2x − ln |x|
30X
y = C1 e2x +C2 x e2x − e2x ln |x|
31X
y = C1 sin 2x + C2 cos 2x +
32)
y 00 − 3y 0 + 2y = e5x
32X
33)
y 00 − 4y 0 + 4y = x2
33X
34)
y 00 − 2y 0 + 2y = x · ex
34X
1
x
2 cos2 2x − 1
16 sin 2x
1 5x
e
12
1
1
3
y = C1 e2x +C2 x e2x + x2 + x +
4
2
8
y = C1 ex +C2 e2x +
y = C1 ex sin x + C2 ex cos x + x ex
Zadání
1) y 00 + 4y = 8 · cos 2x
Výsledky
1X y = C1 · cos 2x + C2 · sin 2x + 2x · sin 2x
2) y 00 − 12y 0 + 36y = (6x − 4) · e6x
2X
y = C1 · e6x +C2 · x e6x +x2 (x − 2) · e6x
y 00 − 2y 0 = (9x2 + 9x − 2) · e−x
3X
y = C1 + C2 · e2x +(3x2 + 11x + 12) e−x
4) y 00 − 5y 0 − 6y = 14 e6x
4X
y = C1 · e6x +C2 · e−x +2x · e6x
5) y 00 − 6y 0 + 9y = 5 e3x
5
5X y = C1 · e3x +C2 · x e3x + x2 · e3x
2
3)
6)
y 00 + 2y 0 + y = 4 e−x
6X
y = C1 · e−x +C2 · x e−x +2x2 · e−x
7)
y 00 − 4y 0 + 3y = 3x2 − 8x + 5
7X
y = C1 · ex +C2 · e3x +x2 + 1
8)
2y 00 + y 0 − y = 6 e−x
8X
y = C1 · e 2 +C2 · e−x −2x · e−x
9)
y 00 − y = 4 e−x
9X
y = C1 · ex +C2 · e−x −2x e−x
10)
y 00 − 4y 0 + 4y = 4x2 + 2x + 2
00
0
x
10X y = C1 · x e2x +C2 · e2x +x2 +
5x
+3
2
Nepočítáno:
12) y 00 + y = 2 cos x
11)
y − 6y + 9y = 2x
13)
y 00 + y = cos 2x
14)
y 00 + 4y 0 + 13y = 16 · cos 3x + sin 3x
15)
y 00 + 4y 0 + 3y = 7 · cos 3x + 4 · sin 3x
16)
y 00 + 3y 0 = 9 · x e3x
17) y 00 − 16y = 6 · x e−2x
18)
y 00 − 3y 0 + 2y = e−2x
19) y 00 + 16 = 8 · cos 4x + 2 · sin 4x
20)
y 00 + 3y 0 + 2y = 6 e−2x
21) y 00 + 2y 0 − 8y = 16x2 + 2
22)
y 00 + 9y = 15 · sin 2x + 65 · cos 2x
23) y 00 − 6y 0 + 18y = −9x2 − 15x − 15x − 9
24)
y 00 − 10y 0 + 25 = 9x − e−x
25) y 00 − 3y 0 + 2y = (6x + 5) · e2x
Část II
Lineární algebra
146
Kapitola 26
Základní pojmy z lineární algebry
Uvažujeme pouze vektorové konečně generované podprostory.
Co je to vektor
V aritmetických vektorových prostorech se jedná o objekt zadaný souřadnicemi, např. (2; 5). Z fyzikálního hlediska
jej lze interpretovat jako orientovanou úsečku, vycházející z počátku soustavy souřadnic a končící v bodě zadaném
příslušnými souřadnicemi.
Co je to aritmetický vektorový prostor
Je to množina vektorů, které můžeme spolu sčítat a násobit reálnými čísly. Operace jsou definovány takto:
dva vektory sečteme tak, že sečteme souřadnice na stejných pozicích, např.
(2; 5) + (3; 6) = (2 + 3; 5 + 6) = (5; 11),
vektor vynásobíme reálným číslem tak, že vynásobíme všechny jeho souřadnice tímto číslem, např.
4 · (2; 5) = (8; 20).
Každý vektorový prostor má právě dva triviální podprosotry. Prvním je případ, kdy se podprostor rovná vektorovému
prostoru. Druhým případem je podprostor obsahující pouze nulový vektor.
Co je to lineární kombinace
Řekneme, že vektor je lineární kombinací jiných vektorů, lze-li jej vyjádřit jako součet násobků těchto vektorů. Např.
2 · (1; 0) + 4 · (0; 1) = (2; 4), což znamená, že vektor (2;4) je lineární kombinací vektorů (1; 0) a (0; 1).
Co je to lineární závislost a nezávislost vektorů
Pokud pro danou skupinu vektorů platí, že žádný z vektorů nelze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních, řekneme,
že vektory jsou lineárně nezávislé. Skupina vektorů, z nichž alespoň jeden je lineární kombinací ostatních je lineárně
závislá, také říkáme, že vektory tvořící tuto skupinu jsou lineárně závislé.
Co je to vektorový podprostor
Je taková podmnožina vektorového prostoru, která je uzavřená k operacím součet vektorů a násobení vektoru reálným
číslem v daném vektorovém prostoru. Dimenze vektorového podprostoru může být stejně velká, jako dim daného
vektorového prostoru, nebo menší. Vektorový podprostor může být stejně velký, jako vektorový prostor – viz
dále v Tabulce 26.1.
147
148
KAPITOLA 26. ZÁKLADNÍ POJMY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
Tabulka 26.1: Vektorové prostory a podprostory
Vektorový podprostor (vpp) – jednotlivé případy
Vektorový prostor (vp)
Dimenze
Obrázek
Dim vpp = Dim vp
•
•
Dim 0?
−5
Dim 1
0
−5
6
y
0
Dim vpp < Dim vp
6
Dim vpp ≪ Dim vp
•
y
x
Dim 2
y
−5
x
y
z
x
z
0
6
•
y
x
x
Dim 3
?
Dim vpp Dim vp
−5
0
6
•
Je to vektorový prostor, který je jednobodovou množinou obsahující pouze nulový vektor o.
V případě, že má prostor více podprostorů, je v tabulce uveden jen jeden příklad.
Co je to báze (M) a dimenze podprostoru
Báze je množina generátorů podprostoru, která neobsahuje „zbytečnéÿ vektory, tj. je lineárně nezávislá. Platí, že
všechny báze daného podprostoru mají stejný počet prvků. Počet prvků báze podprostoru se nazývá dimenze podprostoru.
Dim 4 se špatně kreslí, ještě si lze představit, že čtvrtý parametr je např. čas t, to by šlo znázornit na krátkém videu
popř. na obrázku typu *.gif.
Co je to lineární obal L(A) množiny A
Je vše, co je vygenerováno vektory z dané množiny. To znamená obsahuje vektory z dané množiny + všechny jejich
lineární kombinace. Lineární obal je vždy podprostorem. Lineární obal obsahuje automaticky i vektory z původní
množiny A.
Co jsou generátory podprostoru
Jsou to vektory, pomocí kterých dokážeme „generovatÿ všechny vektory podprostoru, a to pomocí operací součtu
vektorů a násobení vektorů reálným číslem. Toto znamená, že každý vektor podprostoru je lineární kombinací jeho
generátorů.
26.1. SKALÁRNÍ SOUČIN
149
Obrázek 26.1: Lineární obal
generátory, vektory báze
lineární kombinace generátorů
lineární obal
Co je to matice
Tabulka čísel typu (m, n) má m řádků a n sloupců. Může sloužit např. jako jiný způsob zápisu soustavy rovnic. Máme
řešit soustavu dvou rovnic o dvou nezámých x a y.
I.
II.
2x
x
+
−
3y
2y
=
=
40
−15
Při výpočtu soustav rovnic můžeme postupovat třemi způsoby:
1. dosazovací metoda
2. sčítací metoda
3. matice a její úpravy (Gaussova metoda řešení soustav)
Mezi jednotlivými úpravami matic se používá znaménko shodnosti ∼ .
1
Chceme-li z rovnice 3~v =(3,6,9) vypočítat vektor ~v , vynásobíme celou rovnici převrácenou hodnotou k 3, tj. ~v =
3
(3,6,9)=(1,2,3), což při řešení rovnice s čísly místo vektorů odpovídá dělení číslem 3. Dělení vektoru číslem nezavádíme.
26.1
Skalární součin
Náhodně vybrané vektory
1. příklad
~u
~v
=
=
(5,
(3,
6)
2)
Skalární součin
~z = 5 · 3 + 6 · 2 = 15 + 12 = 27
2. příklad
~u
~v
w
~
=
=
=
(5,
(4,
(1,
3,
2,
12,
4)
6)
4)
150
KAPITOLA 26. ZÁKLADNÍ POJMY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
Skalární součin
5 · 4 · 1 + 3 · 2 · 12 + 4 · 6 · 4 = 20 + 72 + 96 = 188
Kolmé vektory
3. příklad
~u
~v
=
=
(1,
(2,
1)
−2)
Skalární součin
1 · 2 + 1 · (−2) = −2 + 2 = 0
4. příklad
~u
~v
=
=
(3,
(5,
−5)
3)
Skalární součin
3 · 5 + (−5) · 3 = −15 + 15 = 0
5. příklad
~u
~v
=
=
(−9,
( 9,
3,
10,
17)
3)
Skalární součin
(−9) · 9 + 3 · 10 + 17 · 3 = −81 + 30 + 51 = 0
Ta nula není náhoda ,!
Kapitola 27
Lineární rovnice
27.1
−
−
x
x
3x
2x
+
−
+
−
3y
y
2y
2y
−
+
−
+
2z
2z
z
z
−
+
−
+
23t
t
9t
7t
=
=
=
=
−
x
−
+
−
−
−
3z
2z
z
2z
−
+
+
+
12t
t
2t
3t
=
=
=
=
−
−
−
+
22t
7t
8t
6t
=
=
=
=
−
−
+
−
4t
13t
6t
5t
=
=
=
=
1.
2.
3.
4.
5.
−
−
−
−
−
−
6.
−
7.
−
8.
3x
3x
+
+
y
y
y
2y
x
3x
2x
x
+
−
+
−
2y
y
2y
y
+
+
3z
z
+
2z
x
2x
2x
3x
+
−
+
−
y
y
2y
2z
+
+
+
z
3z
z
x
2x
x
2x
+
+
+
x
x
+
+
y
2y
3y
+
−
+
+
2z
z
3z
4z
−
−
−
−
t
23t
t
5t
=
=
=
=
+
−
−
−
z
z
2z
2z
−
+
+
+
12t
t
t
t
=
=
=
=
t
12t
t
8t
=
=
=
=
t
7t
17t
t
=
=
=
=
2x
+
y
2y
y
4y
3x
2x
x
4x
+
+
+
+
5y
3y
2y
5y
−
+
−
z
z
5z
+
+
−
+
x
2x
3x
4x
−
−
−
+
y
3y
y
2y
+
+
−
−
2z
z
2z
z
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
2
0
12
9
1
11
5
4
16
5
2
5
1
1
8
10
4
2
11
5
10
4
4
0
10
0
0
0
15
1
5
5
~v = (2t − 3;
~v = (0;
0;
1 − t;
t)
t)
6)
~v = (2 − 3t;
t + 1;
2 − t;
~v = (3t − 2;
1 − t;
2 + 2t;
~v = (t − 2;
t + 1;
−1;
t)
t)
~v = (20 − 3z;
2z − 12;
z;
8)
~v = (5z − 7t;
4t − 3z;
z;
t)
3 − t;
t)
~v = (t + 1;
Nepočítáno:
151
−7;
t − 1;
2 − 2t;
152
KAPITOLA 27. LINEÁRNÍ ROVNICE
x
9.
−
10.
−
11.
−
14.
15.
3y
−
2z
+
18t
=
−
7
x
−
2y
+
z
−
8t
=
−
6
−
3y
y
−
−
4z
z
+
+
18t
8t
=
=
−
3x
2
10
x
3x
+
+
+
−
−
−
−
z
4z
2z
z
+
+
−
−
t
4t
3t
14t
=
=
=
=
−
4x
y
2y
3y
6y
4
13
7
4
x
−
y
−
2z
−
13t
=
−
+
2z
+
3t
=
3
3t
t
=
=
6
4
x
+
+
y
2y
+
3z
+
+
x
3x
+
+
4x
+
−
−
−
−
z
4z
2z
z
+
+
−
+
t
4t
13t
14t
=
=
=
=
−
−
y
2y
3y
6y
4
13
7
4
+
+
1y
y
+
−
+
+
z
2z
3z
7z
−
+
t
3t
−
13t
=
=
=
=
−
−
−
−
x
4x
3x
x
13
4
1
3
x
2x
2x
3x
−
−
+
+
2y
3y
y
2y
+
+
−
−
z
2z
z
2z
−
−
+
−
12t
4t
3t
t
=
=
=
=
−
−
7
11
6
2
x
2x
3x
7x
−
+
y
3y
−
3y
−
3x
3x
3x
−
+
+
−
2x
4x
x
−
+
+
−
−
16.
17.
−
+
−
−
+
+
z
z
y
2y
y
+
−
1z
2z
=
=
=
y
2y
4y
+
+
+
3z
3z
6z
=
=
=
t
2t
t
13t
=
=
=
=
−
0
5
5
−
9
0
0
−
−
−
−
~v =
3
10
3
17
175
;
19
274
;
57
~v = (1 − 2t;
15
2x
2x
12.
13.
+
~v =
1
;
35
135
−
;
19
t + 1;
2;
−
16
;
35
−2;
46
35
142
−
57
t)
Kapitola 28
Inverzní matice
28.1
Jordanova metoda
Zadaná matice A

1 −
− 4
− 1
1
1
1

A=

1

2 
1
Jordanova metoda:





















1 − 1
4
2
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1 − 1
5 − 3
2 − 2
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1 − 1
5 − 3
0
4
1
1
− 3
1
0
0
1 − 1
20
0
0
4
1
− 5
− 3
0
− 10
−
2
4
0
0
4 − 4
20
0
0
4
4
− 5
− 3
0
− 10
−
2
1
1
1
−
−
20
20
0 − 20
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
5
5
−
3
4
−
−
1
2
1
4
3
4
−
−
−
0
1
2
 
0
 
0 ∼
1
1
− 1
− 1
 
0
 
0 ∼
− 1
1
0
0
 
0
 
0 ∼
5
0
−
−
1
2
1
2
1 −
10 −
− 10
1
0
0
1
20
0
4
0
0
4
− 20
0
0
0
4
20
0
0
0
1
0
0
0
1



Inverzní matice je tedy:


A−1 =  −
−
1
2
1
4
3
4
0
−
−
153
1
6
10
1 −
1
20 − 12
0
12
 
0
 
15  ∼ 
5
1
2
3
4
5
4
− 1
− 2
− 1
1
0
0
 
0
 
15  ∼ 
5
 
− 10
25
 
10 − 15  ∼ 
5
− 42
4
1
4
1
1
2
1
2
1
2
3
4
5
4



−
1
0
4
1
0
0
0
− 1
0
−
1
2
5
0
− 2
0
−
1
4
9
0
− 4
− 6
−
−
1
5
3
0
− 10
− 2
−
−
1
5
3
−
10
−
−
5
20
3
4
−
−

0

0 ∼
− 1
2
10 −
2

0

0 ∼
5

0

0 ∼
15

0

15  ∼
5

5

15  ∼
5
0
10
10
20
1
2
15
20
5
4


∼
154
KAPITOLA 28. INVERZNÍ MATICE
Správnost výsledku můžeme ověřit zkouškou:
A−1 · A = A · A−1 = E


 −
−
1
2
1
4
3
4
0
−
−
1
2
1
2
1
2
3
4
5
4
 
1
1
1
 
·
−
−
 
1 − 1
 
4
2 =
1
1

1
0
0

=
28.2
1
1
1
 
1 − 1
 
− 4
2 · −
− 1
1
−
1
2
1
4
3
4
0
−
−
1
2
1
2
1
2
3
4
5
4




0

0 
0
0
1
0
Metoda výpočtu přes algebraické doplňky submatic
Zadaná matice A


A=
1
1
1

1 −1

−4
2 
−1
1
32. věta – inverzní matice pomocí determinantů
Nechť A = (aij ) je regulární čtvercová matice řádu n. Potom inverzní matici k matici A lze zapsat
A
−1


1 

=
det A 

D11
D21
..
.
D1n
D21
D22
..
.
D2n
...
...
..
.
...
Dn1
Dn2
..
.
Dnn



 = 1 (Dij )T ,
 det A

kde Dij je algebraický doplněk prvku aij matice A pro všechna i, j = 1, 2, . . . , n.
1) Spočítáme determinant zadané matice A (tučně vyznačena) Sarrusovým pravidlem









1
1 −1

1 −4
2 

1 −1
1 
 = −4 − 1 + 2 − 4 + 2 − 1 = −4

1
1 −1 
1 −4
2
2) Potřebujeme algebraické doplňky submatic1 pro dosazení do vzorce zmíněného výše. Algebraické doplňky zjistíme
na základě determinantů submatic:
algebraický doplněk = (−1)i+j · determinant submatice
kde i = sloupec, j = řádek
1 Matice
vytvořená z dané matice vynecháním některých sloupců a řádků.
28.2. METODA VÝPOČTU PŘES ALGEBRAICKÉ DOPLŇKY SUBMATIC
155
Tabulka 28.1: Výpočet determinantů submatic a algebraických doplňků
Zvýrazněný prvek (v rámečku)


1
1
−1


D11 =  1 −4
2 
1 −1
1
D12
D13
D21
D22
D23
D31
D32
D33


=


=


=


=


=


=


=


=
1
1
1
1
−4
−1
1
1
1
1
−4
−1
1
1
1
1
−4
−1
1
1
1
1
−4
−1
1
1
1
1
−4
−1
1
1
1
1
−4
−1
1
1
1
1
−4
−1
1
1
1
1
−4
−1

−1

2 
1

−1

2 
1

−1

2 
1

−1

2 
1

−1

2 
1

−1

2 
1

−1

2 
1

−1

2 
1
Submatice
Výpočet determinantu submatice algebraický doplněk
!
−4
2
−4 · 1 − 2 · (−1) = −4 + 2 = −2
(−1)1+1 · (−2) = −2
−1
1
1
1
2
1
!
1 · 1 − 2 · 1 = −1
1
1
−4
−1
!
1 · (−1) − (−4) · 1 = −1 + 4 = 3
(−1)1+3 · 3 = 3
1
−1
−1
1
!
1 · 1 − (−1) · (−1) = 1 − 1 = 0
(−1)2+1 · 0 = 0
1
1
−1
1
!
1 · 1 − (−1) · 1 = 1 + 1 = 2
(−1)2+2 · 2 = 2
1
1
1
−1
!
1 · (−1) − 1 · 1 = −1 − 1 = −2
1
−4
−1
2
!
1 · 2 − (−1) · (−4) = 2 − 4 = −2
1
1
−1
2
!
1 · 2 − (−1) · 1 = 2 + 1 = 3
1
1
1
−4
!
1 · (−4) − 1 · 1 = −4 − 1 = −5
(−1)1+2 · (−1) = 1
(−1)2+3 · (−2) = 2
(−1)3+1 · (−2) = −2
(−1)3+2 · 3 = −3
(−1)3+3 · (−5) = −5
156
KAPITOLA 28. INVERZNÍ MATICE
Vzhledem k tomu, že musíme používat matici algebraických doplňků transponovanou, budeme nyní chápat značení
transponovaně:
Dsloupec, řádek
a dosadíme do matice
A−1

−2
1 
=
 1
−4
3
 
1
0 −2
2
  1
2 −3  =  − 4
2 −5
− 34
0
− 21
− 21
1
2
3
4
5
4



Výsledná matice je inverzní k zadané matici A.
Správnost výsledku můžeme ověřit zkouškou:
 

 
1
1
1
1
−1
0
2
2
 

3  
·
A−1 =  − 14 − 12
1 −4
2 =
4  
5
1 −1
1
− 34 − 12
4
1
1
1
 
1
1 −1
2
  1
−4
2  ·  −4
−1
1
− 34
0
− 12
− 12
1
2
3
4
5
4


 
=
1
0
0
0
1
0

0

0 
1
Kapitola 29
Matice
29.1
Sčítání matic
29.1.1
Obecný návod
Nechť A, B jsou matice typu (m, n), potom A + B je opět matice typu (m, n) taková, že


 
b11 b12 . . . b1n
a11 a12 . . . a1n


 
 a21 a22 . . . a2n   b21 b22 . . . b2n 



A + B= .
..
.. 
..
..  +  ..
..
..
=
.
.
 ..
.
. 
.
.   .
bm1 bm2 . . . bmn
am1 am2 . . . amn



=


29.1.2
a11 + b11
a21 + b21
..
.
am1 + bm1
a12 + b12
a22 + b22
..
.
am2 + bm2
...
...
..
.
...

a1n + b1n
a2n + b2n
..
.
amn + bmn





Příklady
1
3
A+B=
2
4
!
+
4
2
3
1
!
1+4
3+2
2+3
4+1
!
5
5
=
29.2
Násobení matic reálným číslem
29.2.1
Obecný návod
5
5
!
Platí, že pakliže násobíme matici A typu (m, n) nějakým číslem c, pak se výsledek rovná c · A.



A=


a11
a21
..
.
am1
29.2.2
a12
a22
..
.
am2
...
...
..
.
...
a1n
a2n
..
.
amn









c·A=


c · a11
c · a21
..
.
c · am1
c · a12
c · a22
..
.
c · am2
...
...
..
.
...
c · a1n
c · a2n
..
.
c · amn






Příklad
Vynásobte matici K číslem 5:
K=





0
0
−1
3
0 −1
1
3
3 −5
5
0
3
5
0
0





5·K=





5·0
5·0
5 · (−1)
5·3
5 · 0 5 · (−1) 5 · 3
5·1 5·3
5·5
5 · 3 5 · (−5) 5 · 0
5·5 5·0
5·0
157


 
 
=
 

0 0 −5 15
0 5
15 25 


−5 15 −25 0 
15 25
0 0
158
KAPITOLA 29. MATICE
29.3
Násobení matic maticemi
29.3.1
Obecný návod
Při výpočtu násobku dvou matic musíme v první řadě ověřit řešitelnost, v případě, že chceme k výpočtu použít Excel,
musíme znát i velikost výsledné matice.
Řešitelnost a velikost zjistíme následujícím způsobem:
• Matice má rozměr A m × n (m = počet řádků, n = počet sloupců)
• Matice má rozměr B n × o (n = počet řádků, o = počet sloupců)
m × n·n × o
• Matice lze vynásobit v pořadí A · B, pakliže má první matice tolik slouců, kolik má druhá matice řádků
• Velikost výsledné matice bude m × o, tedy bude mít tolik řádků, kolik má první matice řádků a bude mít tolik
sloupců jako má druhá matice sloupků
Násobení matic není komutativní, což znamená, že A · B 6= B · A, pakliže není jedna (nebo obě) z daných matic
jednotková.
Obecně se dá násobení matic znázornit následovně:


a11

A · B =  a21
a31

a12

a22  ·
a32
b11
b21
b12
b22
b13
b23
!
=

(a11 · b11 ) + (a12 · b21 ) (a11 · b12 ) + (a12 · b22 ) (a11 · b13 ) + (a12 · b23 )


 (a21 · b11 ) + (a22 · b21 ) (a21 · b12 ) + (a22 · b22 ) (a21 · b13 ) + (a22 · b23 ) 
(a31 · b11 ) + (a32 · b21 ) (a31 · b12 ) + (a32 · b22 ) (a31 · b13 ) + (a32 · b23 )
Obrázek 29.1 snad ještě lépe dokresluje způsob, jakým se dvě matice násobí mezi sebou.
Obrázek 29.1: Násobení matic
B


b11 b12 b13


b21 b22 b23

a11 a12

 a
 21 a22
A
 a
 31 a32

a41 a42
 






















29.4. ROVNICE S MATICEMI
159
Návod na výpočet v Excelu:
1. zapíšeme hodnoty první matice
2. zapíšeme hodnoty druhé matice
3. zjistíme rozměr výsledné matice (sama se zamyslím)
4. kurzorem označíme rozsah polí výsledné matice (kde všude se objeví výsledek)
5. s označeným polem se do F(x) napíše
”= soucin.matic(ozačení polí s hodnotami první matice; označení polí s hodnotami druhé matice)”
6. pro zobrazení stiskneme ctrl+shift+enter, samotný enter nestačí, neboť v takovém případě se vypíše pouze
jedna hodnota (vyplní se jedna buňka)
29.3.2
Příklady
1. Zjistíme řešitelnost úlohy: matice A má rozměr 3 × 2 a matice B má rozměr 2 × 3.
3 × 2 · 2 × 3 Řešitelná tedy je.
2. Výsledná matice bude o rozměru 3 × 3.
3. Výpočet úlohy B · A není možný.


2

4 ·
6
1

A·B= 3
5

1+4

= 3+8
5 + 12
1
2
3+8
9 + 16
15 + 24
3
4
5
6
!

1·1+2·2

= 3·1+4·2
5·1+6·2
1·3+2·4
3·3+4·4
5·3+6·4
 

5 + 12
5 11 17
 

15 + 24  =  11 25 39 
25 + 36
17 39 61

1·5+2·6

3·5+4·6 
5·5+6·6
Násobení matic jednotkovou maticí zleva a zprava
!
!
!
2 3
1 0
2·1+3·0 2·0+3·1
C · E=
·
=
=
4 5
0 1
4·1+5·0 4·0+5·1
E · C=
1
0
0
1
!
·
2
4
3
5
!
=
Násobení matic zleva a zprava
!
!
1 2
5 6
D · F=
·
=
3 4
7 8
F · D=
29.4
5
7
6
8
!
·
1
3
2
4
!
=
1·2+0·3 1·3+0·5
0·2+1·4 0·3+1·5
!
1·5+2·7
3·5+4·7
1·6+2·8
3·6+4·8
!
5·1+6·3
7·1+8·3
5·2+6·4
7·2+8·4
!
Rovnice s maticemi
2+0
4+0
0+3
0+5
!
=
2
4
3
5
!
=
2+0
0+4
3+0
0+5
!
=
2
4
3
5
!
=
5 + 14
15 + 28
6 + 16
18 + 32
!
=
5 + 18
7 + 24
10 + 24
14 + 32
!
=
19
43
22
50
!
=
23
31
34
46
!
160
KAPITOLA 29. MATICE
1.
3X − 2A=B X −!A ⇒ X=(3E-B)−1 · A
!
5
4
4 −2
A=
B=
7
9
1
0
2.
2X+3B=4B−AX !
A=
3.
4.
5.
−1
2
3X−B=B−X · A !
1
9
A=
1
2
A·X=B

−2

A =  −3
1

−1 −7

−1 −2 
0 −4
2X+3B=4B−AX !
A=
29.5
−1
−3
−1
−3
−1
2
B=
−2
5
3
−4
!
B=
−1
−1
−2
0
!


B=
B=
5
3
0
−2
5
Matice s parametrem
Vypočítejte hodnotu parametru k tak, aby byli řádky matice lineárně závislé.

1
2
3
2
−1
−3
1
3
1
0
1
2
1
2
1
k
2

2.  −4
0
1
5
7
2
0
k
0
1
1


1. 








−3

−k 
−10

1

1 
1
3
−4
!
Kapitola 30
Determinanty
30.1
Návody k výpočtu
30.1.1
Determinant matice 1. řádu
Nechť A je čtvercová matice řádu n = 1. A = (a11 ). Pak z definice 28 uvedené v Přílohách III , v sekci Definice z
lineární algebry C.1:
X
r
(−1) a1k1 · a2k2 , . . . , a2nkn ,
det A =
(π)
dostáváme:
det A = a11
Př:
Matice A = (5)
1
Matice B =
2
30.1.2
det =
5
det =
1
2
Matice C = (−3)
det = −3
Matice D = (1)
det =
1
Determinant matice 2. řádu
Je-li A čtvercová matice n = 2
!
a11 a12
A=
a21 a22
Z definice vychází následující:
det A = a11 · a22 − a12 · a21
Př.:
Matice A =
3
4
6
5
!
= det A = 3 · 5 − 6 · 4 = 15 − 24 = −9
Matice B =
7
8
9
4
!
= det B = 7 · 4 − 9 · 8 = 28 − 72 = −44
30.1.3
Determinant matice 3. řádu – Sarrusovo pravidlo
Předpokládejme, že A je čtvercová matice řádu n = 3.
161
162
KAPITOLA 30. DETERMINANTY

a11

 a21
a31
a12
a22
a32

a13

a23 
a33
V tomto případě je det A součtem šesti členů, protože existuje 3! = 3 · 2 · 1 = 6 různých permutací. První tři jsou
sudé a odpovídající členy determinantu budou mít znaménko + . Zbývající tři permutace jsou liché a příslušné členy
budou mít znaménko – . Podle definice determinantu tedy dostáváme:
det A = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32 – a11 · a23 · a32 – a12 · a21 · a33 – a13 · a22 · a31
Při řešení se můžeme řídit tzv. Sarrusovým pravidlem
Obrázek 30.1: Sarrusovo pravidlo
+a11
+a21
+a31
a11
a21
a31
a13−
a23−
a33−
a13
a23
a31
a12
a22
a32
a12
a22
a31
Sarrusovo pravidlo lze použít pouze pro matice 3. řádu. U matic vyššího řádu NELZE! Sarrusovo pravidlo použít.
30.1.3.1
Zadaná matice (tučně vyznačena) je matice řádu 3, použijeme tedy pro výpočet determinantu Sarrusovo pravidlo.








1
3
2
1
3
2
4
4
2
4
3
3
5
3
3








= 1 · 4 · 5 + 3 · 4 · 3 + 2 · 2 · 3 − 3 · 4 · 2 − 3 · 4 · 1 · −5 · 2 · 3 = 20 + 36 = 12 − 24 − 24 − 30 = 32 − 30 = 2
30.1.4
Determinant matice řádu > 3
Při hledání determinantů matic řádu vyššího než 3. se řídíme větou 29. uvedenou v Přílohách III, v sekci Věty
z lineární algebry C.2, nelze použít Sarrusovo pravidlo. Lze postupovat tak, že z matice řádkovými a sloupcovými
úpravami dostaneme horní či dolní trojúhelníkovou matici. Determinant této matice se pak rovná součinu prvků na
hlavní diagonále.
163
30.2
30.2.1
Výpočet determinantů matic
Vypočítejte determinanty daných matic
Zadání
0
0 −1
3 0
1
3
5 1) A = −1
3 −5
0 3
5
0
0 3
1
0
1 2 −1
1
2 2) B = −1
1
2
1 1
0
1
2 3
2
3 −1
1
0 −2
0
1
2
3) C = −3
1
0
2 −1
2
0
3 −2
0
3
1
0 −2
1
2
3
0
0 1
2
3
0 4) D = 0
1
2
3 0
0
1
2 1
5
0
0 3
1
5
0 5) E = 0
3
1
5 0
0
3
1 3
5
0
0 1
3 −5
0 6) F = 0 −1
3
5 0
0
1
3 30.2.2
2
0
1. −2
0
Rovnice s determinanty
1 −3
x
1
−1
3
2 −1
2
2. 4
x+2
−1
x
3
1
2
1
3
1
2
1
= 3x + 1
x
1
=
−4 −x
Výsledky
1X Determinant A =
241
2X Determinant B =
−10
3X Determinant C =
−144
4X Determinant D =
−11
5X Determinant E =
181
164
KAPITOLA 30. DETERMINANTY
7
3. 1
−2
4. 3
0
1
30.2.3
+
1.
2.
−
3.
−
−
−3
1 x −2 = 3x
5 −1 x −2 2
3 =
x
1 2
x
+ 25
Cramerovo pravidlo
3x
x
+
2y
5y
+
−
−
4z
z
3z
=
=
=
2x
4x
x
−
+
+
y
2y
4y
+
+
+
3z
3z
6z
=
=
=
2x
x
4x
+
+
−
y
3y
y
+
+
−
3z
2z
z
=
=
=
4x
3x
+
−
y
2y
y
−
−
+
3z
z
3z
=
=
=
+
4.
x
5
−
−
10
7
4
9
10
0
−
10
0
12
−
10
3
3
Literatura
Tištěné zdroje
[1] Dvořáková, Š.: Řešené příklady k matematice I, Praha 2004, ISBN 80-213-1215-7
[2] Dvořáková, Š., Slavík, V.: Integrální počet, ISBN 978-80-213-1625-6
[3] Dvořáková, Š., Wohlmuthová M.: Řešené příklady k Matematice II, Praha 2006, ISBN 80-213-1469-9 (ČZU)
[4] Nešetřilová, H., Šařecová, P.: Matematické metody pro statistiku a operační výzkum, Praha 2009, ISBN 978-80213-0757-5
[5] Slavík, V., Hrubá, J.: Matematika: Diferenciální počet, Praha 1993, ISBN 80-213-0159-7
[6] Slavík, V., Wolhmuthová, M.: Matematika I, Praha 2004, ISBN 80-213-1214-9
Elektronické zdroje
[7] Gurka, P.: Dostupné na World Wide Web: <http://www.petrg.wz.cz/>
[8] Mašková, K.: Dostupné na World Wide Web: <http://matematika-lucerna.cz/>
[9] Wikipedia: Dostupné na World Wide Web: <http://www.wikipedia.org/>
[10] Greenpeace, kampaň Papír má dvě strany: Dostupné na World Wide Web: <http://www.2strany.cz/>
Programy, za jejichž pomoci byl soubor vytvořen
[11] Text a obrázky – LATEX 2ε
[12] Obrázky – Graph (ke stažení <http://www.padowan.dk/graph/Download.php>)
[13] Obrázky – GeoGebra (ke stažení <http://www.geogebra.org/cms/>)
[14] Obrázky – Google <https://www.google.co.uk/>
Online kalkulátory
[15] Online kalkulátor (český) <http://wood.mendelu.cz/math/maw-html/?>
[16] Webová verze programu Mathematica <http://www.wolframalpha.com/>
[17] Sčítání a násobení matic (lineární algebra) <http://www.umat.feec.vutbr.cz/~novakm/algebra_matic/
index_male.php>
Zajímavé odkazy
[18] Stránky katedry matematiky ČZU TF <http://katmat.tf.czu.cz>
[19] Masarykova univerzita (Brno) <http://is.muni.cz/elportal/studovna.pl>
[20] ČVUT <http://math.feld.cvut.cz/mt/indexc.htm>
165
Část III
Přílohy
166
Příloha A
Vzorce povolené ke zkoušce
A.1
Derivace
Funkce a exponenty
1.
2.
3.
4.
5.
(konstanta)0 = 0
(x)0 = 1
(xa )0 = axa−1
0
1
1
=− 2
x
x
√
1
( x)0 = √
2 x
Pravidla pro derivování
Pravidla pro sčítání
19.
Pravidla pro násobení
20.
20.a
9.
1
x ln a
1
(log x)0 =
x ln 10
1
(ln x)0 =
x
(ex )0 = ex
10.
(ax )0 = ax · ln a
7.
8.
(loga x)0 =
12.
(cos x)0 = − sin x
1
(tg x)0 =
cos2 (x)
1
(cotg x)0 = − 2
sin (x)
13.
14.
21. (u · v · w)0 = u0 · v · w + u · v 0 · w + u · v · w0
0
nebo též ((u · v) · w) = (u · v)0 · w + (u · v) · w0
Pravidla pro podíl
22.
0
(sin x) = cos x
22.a
Pravidla pro složené funkce
23.
Cyklometrické funkce
15.
16.
17.
18.
A.2
(k · f (x))0 = k · (f (x))0
Násobení více funkcí
11.
(u · v)0 = u0 · v + u · v 0
Logaritmy a exponenciála
6.
(u ± v)0 = u0 ± v 0
u 0
v
=
f (x)
k
u0 · v − u · v 0
v2
0
=
f 0 (x)
k
0
[f (g(x))] = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
Toto není vzorec pro derivování, jedná se o definici
1
(arcsin x) = √
1 − x2
1
(arccos x)0 = − √
1 − x2
1
0
(arctg x) =
1 + x2
1
(arccotg x)0 = −
1 + x2
0
obecné mocniny
24.
f (x)g(x) = eg(x)·ln f (x)
Tabulka hodnot důležitých goniometrických funkcí
167
168
PŘÍLOHA A. VZORCE POVOLENÉ KE ZKOUŠCE
Tabulka A.1: Důležité hodnoty goniometrických funkcí
− π2
x
− π3
− π4
√
−1 −
sin x
3
2
cos x
0
1
2
tg x
?
√
− 3
cotg x
0
−
√
2
2
−
A.3
1.
0
π
6
− 12
0
1
2
1
√
3
2
√
3
3
√
√
2
2
3
2
√
−1
−
3
3
0
−1
√
− 3
?
√
3
3
− π6
√
π
4
π
3
√
√
2
2
√
2
2
1
π
2
2π
3
3π
4
3
2
√
3
2
√
1
1
2
0
− 21
√
√
3 ? − 3
1
3
3
3
3
7π
6
1
2
0
− 12
√
−
2
2
√
−
3
2
5π
4
√
−
√
3
2
−1 −
√
2
2
√
−
2
2
√
−1
−
3
3
0
−1
√
− 3
?
3
3
√
3
4π
3
1
1
3π
2
5π
3
√
−
3
2
− 12
√
−1 −
3
2
0
1
2
3
?
√
− 3
√
3
3
0
−
√
7π
4
√
2
2
−
√
2
2
− 12
√
3
2
√
3
3
−1
−
−1
√
− 3
√
3
3
11π
6
Vzorce pro integrování
Z
Funkce
Z
3.
Z
4.
Z
5.
Z
6.
k · f (x) dx = k ·
a exponenty
Z
f (x) dx
Pravidla pro integrováníZ
Z
Z
2.
(f (x) ± g(x)) dx = f (x) dx ± g(x) dx
Funkce
Z
9.
Z
10.
Z
11.
Z
12.
0 dx = C
1 dx = x + C
α+1
x
+ C, α 6= −1
α+1
x
a
ax dx =
+C
ln a
Logaritmy
a exponenciála
Z
1
7.
dx = ln |x| + C
Z x
8.
0 −
π
2
2
√
√
3
5π
6
xα dx =
ex dx = ex +C
Určitý integrál
g(b)
Z
g(x) = t
0
18.
f (g(x)) · g (x) dx = 0
g (x) dx = dt
g(a)
cos x dx = sin x + C
sin x dx = − cos x + C
dx
= tg x + C
cos2 x
dx
= − cotg x + C
sin2 x
Funkce
Z vedoucí na cyklometrické funkce
dx
√
13.
= arcsin x + C
1 − x2
Z
dx
14.
= arctg x + C
1 + x2
Vzorce pro použití metod
Metoda per partes
Z
Z
0
15.
u · v = u · v − u · v0
Metoda substituce
Z
g(x) = t
0
17.
f (g(x)) · g (x) dx = 0
g (x) dx = dt
vedoucí na goniometrické funkce
Určitý integrál
Zb
Zb
0
b
16.
u · v = [u · v]a − u · v 0
a
a
Z
= f (t) dt = · · · = F (t) = F (g(x)) + C
a → g(a)
b → g(b)
g(b)
Z
g(b)
f (t) dt = [F (t)]g(a) = F (g(b)) − F (g(a))
=
g(a)
Speciální
Z možnost jak řešit integrály, pakliže jsou v následujícím tvaru: Z 0
g (x)
1
19.
f (ax + b) dx = · F (ax + b) + C pro (F 0 (x) = f (x))
20.
dx = ln |g(x)| + C
a
g(x)
A.4. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU
A.4
1.
Aplikace určitého integrálu
Obsah plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami:
Zb
Zb
P = f (x) dx
pro f (x) ≥ 0 na ha, bi,
P = (f (x) − g(x)) dx
a
2.
Délka křivky:
Zb p
1 + (f 0 (x))2 dx
l=
a
3.
Plášť rotačního tělesa:
S = 2π ·
Zb
a
4.
169
Objem rotačního tělesa:
V =π·
Zb
a
f (x) ·
p
f 2 (x) dx
a
1 + (f 0 (x))2 dx
pro f (x) ≥ g(x) na ha, bi
Příloha B
Návod k programu Graph 4.3
B.1
Úvod
Tento jednoduchý ale šikovný open source program umožňuje nakreslit funkce, řady bodů, provádět základní výpočty
apod. a tak nám může usnadnit orientaci při výpočtu příkladů a zároveň nám nabízí grafické řešení a ověření výsledků.
Často se počítá definiční obor, monotonie, konvexita a konkávita. To jsou charakteristiky funkcí, které lze snadno
vyčíst z obrázku. Bohužel zkouškové předpisy jsou tak složité, že není možné si je v hlavě představit, proto musíme
použít matematický aparát ke zjištění, kde funkce roste a klesá či kde je konkávní a konkávní.
V rámci domácí přípravy však použití tohoto programu může přinést lepší představu o počítaných příkladech.
Verze 4.3, která je dostupná od 26. srpna 2007, je již 28. verzí v pořadí. První verze byla uvedena v březnu 2001. Do
novějších verzí se mimo nových funkcí a případných oprav zapracovávají i nové jazyky, verze 4.3 je dostupná ve 23
jazycích včetně srbštiny a mongolštiny a k šesti z nich je dostupná nápověda. Autorem je Ivan Johansen, který na
programu stále pracuje.
Program byl napsán pro práci pod operačním systémem Windows, dle zpráv od ostatních uživatelů jej však možné
spustit jej i pod Linuxem a Macintoshem.
Výstupy z grafu lze uložit pod koncovkou *.grf, nebo je též možné vyexportovat je jako obrázcek (nabízí se běžné
druhy obrázků: *.jpg, *.png, *.bmp, *.emf a *.pdf) pod Soubor ⇒ Uložit jako obrázek.
V následujících kapitolkách si ukážeme nejdůležitější funkce, které Graph 4.3 nabízí.
B.2
Popis pracovní lišty a nápovědy
Obrázek B.1 ukazuje základní pracovní plochu programu s lištou nástrojů. Na následujících obrázcích jsou vysvětleny
jednotlivé funkce a způsob ovládání.
B.2.1
Nastavení os
Pod růžově zvýrazněným symbolem os se skrývá tabulka, kde je možné zaškrtnout zda se má zobrazovat mřížka,
legenda, jak budou pojmenovány jednotlivé osy a nakonec i změna nastavení barev na Obrázek B.2.
170
B.2. POPIS PRACOVNÍ LIŠTY A NÁPOVĚDY
171
Obrázek B.1: Základní pracovní plocha
Zdroj: program Malování – print screen programu Graph
Obrázek B.2: Základní nastavení os a barev
B.2.2
Nápověda
Samotný program nabízí ve své nápovědě kompletní „slovníkÿ pro překlad požadavků do jazyka Graphu. Je pod
záložkou Nápověda ⇒ Seznam funkcí jak je ukázáno na Obrázku B.3.
172
PŘÍLOHA B. NÁVOD K PROGRAMU GRAPH 4.3
Obrázek B.3: Slovník – seznam funkcí
B.3
Jak zadávat funkce
Nejdůležitějším nástojem je samozřejmě samotné zadávání předpisů. Lze si buď vybrat z horní lišty Funkce ⇒ Vložit
funkci, nebo použít ikonu znázorňující osy s červenou křivkou, jak je znázorněno na Obrázku B.4.
V tabulce Vložit funkci na Obrázku B.4 lze také nastavit ohraničení zobrazení křivky, tloušťku, styl čáry a její barvu
pro lepší orientaci.
Obrázek B.4: Vložení nové funkce
B.3. JAK ZADÁVAT FUNKCE
B.3.1
173
Předpisy funkcí a jak je zadávat
Zde jsou vypsané zjednodušeně pokyny z této nápovědy:
Tabulka B.1: Slovník
typ funkce
jak se zapisuje
jak poprosit Graph
mocnina
druhá odmocnina
n-tá odmocnina
logaritmus (přirozený)
logaritmus (o základu n)
logaritmus (dekadický)
sinus
cosinus
tangens
arcus sinus
arcus cosinus
arcus tangens
Eulerovo číslo
Ludolfovo číslo
x2
√
x
√
n
x
ln x
log2 10x
log x
sin x
cos x
tg x
arcsin x
arccos x
arctg x
e
π
x∧ 2
sqrt (x)
root(n, x)
ln (x)
logb(10x, 2)
log (x)
sin (x)
cos (x)
tan (x)
asin (x)
acos (x)
atan (x)
e
pi
∧
sqrt
Ctrl + Alt + tlačítko 3š
square root
stříška
anglicky „odmocninaÿ
174
Tabulka B.2: Konkrétní funkce
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Funkce
Jak mluvit na Graph
f (x) = (x + 2) · ln(x − 3) − 1
r
4−x
f (x) = 3 − 2 ln
x+2
x2 + 2x − 15
2
f (x) = ln
+ ex −16
x−1
x3 − 16x √
f (x) = ln
+ 36 − x2
x−5
√
x3 + 4x2 − 21x
f (x) = 25 − x2 + ln
4−x
2
√
x
+
3x − 3
f (x) = 25x − x3 + ln 2
x + 2x − 8
√
1−log (x+3)
f (x) = e
r
1
9x2 − 1
f (x) =
+
2
log (8 − x)
x − 10x + 21
r
4x
2−e
f (x) = ln
2 + e4x
√
3
x2 − 3x − 10
f (x) =
+ log (8 − x)
log (x + 4) − 1
(x + 2) ∗ ln(x − 3) − 1
! NEŠETŘETE ZÁVORKAMI
! Program pracuje s desetinnou tečkou.
3 − 2 ln(sqrt((4 − x)/(x + 2)))
ln((x∧ 2 + 2x − 15)/(x − 1)) + e∧ (sqrt(x∧ 2 − 16))
ln((x∧ 3 − 16x)/(x − 5)) + sqrt(36 − x∧ 2)
sqrt(25 − x∧ 2) + ln((x∧ 3 + 4x∧ 2 − 21x)/(4 − x))
sqrt(25x − x∧ 3) + ln((x∧ 2 + 3x − 3)/(x∧ 2 + 2x − 8))
e∧ (sqrt(1 − log(x + 4)))
1/(log(8 − x)) + sqrt((9x∧ 2 − 1)/(x∧ 2 − 10x + 21))
ln(sqrt((2 − e∧ (4x))/(2 + e∧ (4x))))
((x∧ 2 − 3x − 10)∧ (1/3))/(log(x + 4) − 1) + log(8 − x)
B.3. JAK ZADÁVAT FUNKCE
175
Není-li výraz v argumentu (to, co je „logaritmovánoÿ, „sínusovánoÿ atd.) v závorce, může se stát, že program nakreslí
jinou funkci; dále viz příklad rozdílné interpretace jedné funkce.
Zadáme-li do Graphu funkci ne zcela jednoznačným způsobem, může dojít k následujícímu:
log 8 − x
log (8) − x
y
2
log (8 − x)
1
x
−2 −1
−1
1
2
Toto bude nakresleno.
B.3.2
Otázkou je, jakou funkci jsme měli na mysli.
Konkrétní příklad
Předpis křivky: f (x) = x + e(1−x
2
)
je tedy x+e∧ (1-x∧ 2)
Tento předpis je nutné vložit do „Vložit funkciÿ. Z Obrázku B.5 je vidět, kde funkce roste a kde klesá.
Funkce roste na intervalech
Funkce klesá na intervalu
h−∞; 0i a h1, 5; ∞)
h0; 1, 5i
Lze tedy očekávat, že funkční hodnoty derivace budou v místech poklesu záporné a v místech růstu funkce kladné.
Obrázek B.5: Konkrétní příklad – funkce f (x) = x + e(1−x
2
)
176
B.4
B.4.1
Další funkce
Ohraničení funkce, šrafování
Šrafováním se dá znázornit např. interval pro výpočet lokálních extrémů, plocha při výpočtu určitého integrálu apod.
Kliknutím na růžově zvýrazněný symbol vyšrafované křivky na Obrázku B.6 se nám otevře dialogové okno se třemi
záložkami:
Šrafování zde zvolíme druh šrafování a směr od funkce a horizontální osy
Možnosti nabízí se nám zobrazit šrafování od – do, typ šrafování (čtverečky, šikmé čáry. . . )
Druhá funkce pro případ, že chceme zvýraznit plochu mezi dvěma funkcemi, je tu třetí záložka, kde určíme jaké
funkce se mají na požadované ploše podílet
Obrázek B.6: Šrafování
B.4. DALŠÍ FUNKCE
B.4.2
177
Tečna a normála
Jak nakreslit tečnu a normálu? Musí být označena funkce, ke které mají být požadované přímky sestrojeny. Symbol je
označen v růžovém rámečku na liště na Obrázku B.7. Pak je nutné zadat x-ovou souřadnici do horního pole dialogového
okna. V případě, že má být nakreslena normála, pak je třeba zaškrtnout příkaz „Kolmiceÿ (jiný název pro normálu,
neboť normála je kolmá na tečnu).
Obrázek B.7: Vložení tečny a normály k vybrané funkci
B.4.3
Řada bodů / souřadnic
Kromě funkcí je možno zadat i řadu bodů. To je vhodná jak pro znázornění konkrétních souřadnic, vývoj sledovaných
veličin, tak ke zvýraznění určitých bodů – např. maxim a minim, inflexních bodů, hraničních bodů a podobně.
B.4.4
Text, popisky a legenda
Kromě funkcí je možné na plochu vložit i text a další symboly. Je možné pohrát si s barvami textu a pořadí či velikostí
písma.
B.4.5
Výpočty
Mezi další funkce patří například výpočet určitého integrálu (délka, obsah). Všechny ikonky nástrojů mají bublinovou nápovědu, takže kdo si chce s funkcemi pohrát více – má šanci.
K zadané již nakreslené funkci Graph hravě dopočítá a ihned nakreslí derivaci přos Funkce ⇒ Vložit f 0 (x),nezobrazí
však její maximální algebraickou úpravu.
178
Obrázek B.8: Řada bodů
Obrázek B.9: Vložení textu
B.4.6
Ostatní
Na nástrojové liště jsou další ikonky, např. ikonka černých os a červené křivky slouží k dopočítání a zvýraznění
souřadnic na vybrané funkci, obrázky lupy či ručky, díky které lze s obrazem libovolně hýbat a posouvat osu, stačí
B.5. UŽITEČNÉ ODKAZY
prostě obrázek „čapnoutÿ a posunout kam je libo.
B.5
Užitečné odkazy
Program ke stažení (aktuální verze k datu 9. srpna 2015 je 4.4.2):
• <http://www.padowan.dk/graph/Beta.php>
Oficiální stránky a dokumentace k programu Graph:
• <http://www.padowan.dk/graph/>
Tento soubor je v aktuální verzi ke stažení na:
• <www.matematika-lucerna.cz/obrazky/navod-graph.pdf>
179
Příloha C
Lineární algebra
Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009).
C.1
Definice z lineární algebry
1. definice
Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které jsou definovány dvě operace: sčítání
prvků množiny V (každé dvojici prvků x, y ∈ V je jednoznačně přiřazen prvek x + y ∈ V) a násobení prvků množiny
V reálným číslem (každému prvku x ∈ V a každému reálnému číslu r ∈ R je jednoznačně přiřazen prvek r · x ∈ V).
Obě operace musí navíc (pro všechny prvky x, y, z ∈ V a všechna reálná čísla r, s ∈ R) splňovat následující axiomy:
A1 :
x + y = y + x,
A2 : x + (y + z) = (x + y) + z,
A3 : existuje prvek o ∈ Vtakový, že x + o = x,
A4 :
r · (x + y) = r · x + r · y,
A5 :
(r + s) · x = r · x + s · x,
A6 :
r · (s · x) = (r · s) · x,
A7 :
1 · x = x,
0 · x = o.
Prvky vektorového prostoru nazveme vektory. Prvek o nazveme nulovým vektorem vektorového prostoru V.
2. definice
Neprázdná podmnožina Svektorového prostoru V se nazývá podprostor vektorového prostoru V, jestliže platí
1. pro všechna x, y ∈ S je x + y ∈ S(S je uzavřená vzhledek ke sčítání),
2. pro každé x ∈ S a každé reálné číslo r ∈ R je r · x ∈ S (S je uzavřená vzhledem k násobení reálným číslem).
3. definice
Nechť x1 , x2 , . . . , xk jsou vektory z vektorového prostoru V. Řekneme, že vektor x je lineární kombinací vektorů
x1 , x2 , . . . , xk , je-li
x = c1 · x1 + c2 · x2 + . . . + ck · xk
kde c1 , c2 , . . . , ck jsou nějaká reálná čísla. Čísla c1 , c2 , . . . , ck se nazývají koeficienty lineární kombinace.
4. definice
Nechť M je libovolná množina vektorů vektorového prostoru V, lineárním obalem množiny M (ve V) nazveme
množinu všech lineárních kombinací vektorů z M, označíme ji L(M).
180
C.1. DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
181
5. definice
Vektory x1 , x2 , . . . , xk ∈ V nazýváme lineárně závislé, jestliže existují reálná čísla c1 , c2 , . . . , ck , z nichž alespoň
jedno je nenulové, taková, že
x = c1 · x1 + c2 · x2 + . . . + ck · xk = o
Nejsou-li vektory x1 , x2 , . . . , xk lineárně závislé, říkáme, že jsou lineárně nezávislé.
6. definice
Nechť M ⊆ V je taková množina vektorů z V, že L(M) = V. Pak řekneme, že M generuje celý vektorový prostor
V. Je-li množina M konečná, M = {x1 , x2 , . . . , xk }, pak říkáme, že vektorový prostor V je konečně generovaný
a vektory x1 , x2 , . . . , xk nazýváme generátory tohoto prostoru.
7. definice
Nechť M je lineárně nezávislá množina generátorů vektorového prostoru V. Pak říkáme, že množina M je bází vektorového prostoru V.
8. definice
Počet vektorů v bázi vektorového prostoru V nazveme dimenzí tohoto prostoru a značíme dim V. Dále definujeme
dim {o} = 0.
9. definice
Nechť n ∈ N. Označme Rn množinu všech uspořádaných n-tic reálných čísel. Tedy Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ); kde
x1 , x2 , . . . , xn ∈ R.} Řekneme, že dvě uspořádané n-tic (x1 , x2 , . . . , xn ) a (y1 , y2 , . . . , yn ) z Rn jsou si rovny právě
když
x1 = y1 , x2 = y2 , . . . , xn = yn
10. definice
Nechť x = (x1 , x2 , . . . , xn ) a y = (y1 , y2 , . . . , yn ) jsou dva vektory z Rn . Skalárním součinem x · y nazveme reálné
číslo
x · y = x1 y1 + x2 y2 , . . . , xn yn ,
nebo stručněji
x·y =
n
X
xi yi .
i=1
11. definice
Nechť x ∈ Rn . Reálné číslo
|x| =
√
x·x
182
PŘÍLOHA C. LINEÁRNÍ ALGEBRA
nazveme velikostí (normou) vektoru x. Vektor x se nazývá jednotkový (normovaný) vektor, jestliže |x| = 1.
12. definice
Vektory x, y z vektorového prostoru Rn se nazývají vzájemně ortogolální (kolmé), jestliže x · y = 0.
13. definice
Báze x1 , x2 , . . . , xm podprostoru S vektorového prostoru Rn , m ≤ n, se nazývá ortogonální, jestliže vektory
x1 , x2 , . . . , xm tvoří ortogonální skupinu vektorů. Jsou-li navíc x1 , x2 , . . . , xm jednotkové vektory, nazýváme tuto
bázi ortonormální bází S.
14. definice
Nechť S je podmnožina Rn . Ortogonálním doplňkem množiny S v Rn nazveme množinu { v ∈ Rn ; v · x = 0 pro
všechny vektory x ∈ S}, označíme ji S⊥ .
15. definice
Matice A typu (m, n) ∈ N, je tabulka reálných čísel uspořádaná do m řádků a n sloupců



A=


a11
a21
..
.
am1
a12
a22
..
.
am2
...
...
..
.
...
a1n
a2n
..
.
amn






16. definice
Řekneme, že matice A a B jsou si rovny (A = B), jsou-li to matice stejného typu (m, n), pro jejichž prvky platí
aij = bij
i = 1, 2, . . . , m
j = 1, 2, . . . , n
17. definice
Nechť A a B jsou matice stejného typu (m, n),



A=


a11
a21
..
.
am1
a12
a22
..
.
am2
...
...
..
.
...
a1n
a2n
..
.
amn






, B = 




b11
b21
..
.
bm1
b12
b22
..
.
bm2
...
...
..
.
...
Součtem matic A + B nazveme matici

a11 + b11
a12 + b12 . . . a1n + b1n

a22 + b22 . . . a2n + b2n
 a21 + b21
A+B=
..
..
..
..

.

.
.
.
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn
b1n
b2n
..
.
bmn












18. definice
Hodností matice A typu (m, n) rozumíme dimenzí podprostoru Rn generovaného řádkovými vektory matice A.
Hodnost matice A označíme hA.
19. definice
Řekneme, že matice T typu (m, n) je trojúhelníková matice, jestliže m ≤ n a pro prvky matice T platí
tij = 0 pro j < i a tii 6= 0 pro i = 1, . . . , m.
C.1. DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
183
20. definice
Nechť A je matice typu (m, n). Transponovanou maticí k matici A nazveme matici AT typu (m, n) pro kterou
platí, že i-tý řádek matice A je i-tým sloupcem matice AT .

1
 6

M =
 11
16
N
2
3
7
8
12 13
17 18


4 5 Transponace 


9 10 

T
M =


14 15 


19 20
1
2
3
4
5
NT
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20








21. definice
Řekneme, že matice A je Gaussova matice, jestliže první nenulový prvek v každém řádků je zároveň posledním
nenulovým prvkem příslušného sloupce a matice A navíc neobsahuje žádný nulový řádek.
22. definice
Řekneme, že matice A je Jordanova matice, jestliže první nenulový prvek v každém řádku je roven jedné a je to
také jediný nenulový prvek v příslušném slupci. Matice A navíc neobsahuje žádný nulový řádek.
23. definice
Nechť A je matice typu (m, p), B je typu (p, n). Součinem matic A a B nazveme matici C typu (m, n), pro jejíž
prvky platí
cij =
p
X
aik · bkj , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
k=1
Součin matic A a B označíme A · B (resp. AB).
24. definice
Nechť A je čtvercová matice řádu n, n ∈ N. Řekneme, že matice A je regulární, jestliže hA = n. Matici A, která
není regulární, nazveme singulární maticí.
25. definice
Nechť A je čtvercová matice řádu n, n ∈ N. Jestliže existuje čtvercová matice A−1 řádu n, pro kterou platí
A · A−1 = A−1 · A = E
pak říkáme, že matice A−1 je inverzní maticí k matici A.
26. definice
Dvojici (ki , kj ) nazýváme inverzní v permutaci π = (k1 , k2 , . . . , kn ), jestliže platí i < j a současně ki < kj .
27. definice
Permutace π se nazývá sudá, jestliže celkový počet inverzí r v této permutaci je sudé číslo. Permutace π se nazývá
lichá, jestliže počet inverzí r je liché číslo.
184
28. definice
Nechť A je čtvercová matice řádu n,


a11 a12 . . . a1n


 a21 a22 . . . a2n 
A=
..
.. 
..
 ..
,
.
 .
.
. 
an1 an2 . . . ann
Determinantem matice A nazveme reáln číslo
det A =
X
r
(−1) a1k1 · a2k2 , . . . , a2nkn ,
(π)
P
kde (π) znamená součet přes všchny permutace π = (k1 , k2 , . . . , kn ) sloupcových indexů (1, 2,. . . , n) a r je celkový
počet inverzní v permutaci π.
29. definice
Nechť A = (aij ) je čtvercová matice řádu n, n > 1. Submaticí Aij matice A nazveme čtvercovou matici řádu n–1,
která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. Algebraickým doplňkem Dij prvku aij matice
A nazveme číslo
Dij = (−1)i+j det Aij .
30. definice
Nechť A je čtvercová matice řádu n. Jestliže pro nenulový vektor x ∈ Rn a komplexni číslo λ platí
A(x)T = λ(x)T ,
pak číslo λ (lambda) nazveme vlastní číslo matice A a vektor x nazveme vlastní vektor matice A příslušející
vlastnímu číslu λ.
C.2
Věty z lineární algebry
1. věta
Nechť M = {x1 , x2 , . . . , xk } je množina vektorů z vektorového prostoru V a nechť
( k
)
X
L(M) =
ci · xi ; ∀ixi ∈ M, ci ∈ R .
i=1
Pak lineární obal L(M) množiny M je podprostor V.
2. věta
Nechť x1 , x2 , . . . , xk jsou vektory z vektorového prostoru V, k ≥ 2, k ∈ N. Vektory x1 , x2 , . . . , xk jsou lineárně závislé
právě tehdy, je-li možné alespoň jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinací ostatních vektorů.
3. věta
Nechť x1 , x2 , . . . , xk jsou lineárně nezávislé vektory z V a nechť vektor y ∈ V je lineární kombinací vektorů x1 , x2 , . . . , xk ,
C.2. VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
185
y = c1 · x1 + c2 · x2 + . . . + ck · xk .
Pak koeficienty, c1 , c2 , . . . , ck této lineární kombinace jsou určeny jednoznačně.
4. věta
Podmnožina M vektorového prostoru V je množinou generátorů V právě tehdy, když každý vektor y ∈ V lze vyjádřit
jako lineární kombinací vektorů z M.
5. věta
Nechť x1 , x2 , . . . , xk jsou generátory vektorovéo prostoru V a nechť y1 , y2 , . . . , ym jsou vektory, které vznikly z vektorů
x1 , x2 , . . . , xk některou z následujících ekvivalentních úprav:
1. změnou pořadí vektorů ve skupině;
2. násobením libovolného vektoru nenulovým reálným číslem;
3. tak, že k libovolnému vektoru přičteme lineární kombinaci ostatních vektorů;
4. vynecháním vektoru, který je lineární kombinací ostatních vektorů (specielně lze vynechat nulový vektor, není-li
to jediný vektor, který skupinu obsahuje);
5. přidáním vektoru, který je lineární kombinací vektorů x1 , x2 , . . . , xk .
Pak vektory y1 , y2 , . . . , ym generují stejný vektorový prostor V jako vektory x1 , x2 , . . . , xk .
6. věta – Steinitzova věta
Nechť x1 , x2 , . . . , xm jsou lineárně nezávislé vektory z vektorového prostoru V; nechť y1 , y2 , . . . , yn jsou další vektory
z V takové, že každý vektor xi je lineární kombinací vektorů y1 , y2 , . . . , yn , tj. xi ∈ L({y1 , y2 , . . . , yn }), i = 1, 2, . . . , m.
Potom platí
m ≤ n.
7. věta
Libovolné dvě báze (konečně generovaného) vektorového prostoru V mají stejný počet vektorů.
8. věta
Nechť V je vektorový prostor dimenze n a nechť x1 , x2 , . . . , xm jsou vektory z V. Je-li m > n, pak jsou vektory
x1 , x2 , . . . , xm lineárně závislé.
9. věta
Nechť V je vektorový prostor dimenze n, pak každá skupina n lineárně nezávislých vektorů x1 , x2 , . . . , xn z V tvoří
bázi vektorového prostoru V.
10. věta
Nechť V je vektorový prostor dimenze n, x1 , x2 , . . . , xm lineárně nezávislé vektory z V. Je-li m < n, pak lze vektory
x1 , x2 , . . . , xm doplnit na bázi V; to znamená, že existují vektory xm+1 , . . . , xn ∈ V takové, že x1 , x2 , . . . , xm , xm+1 ,
. . . , xn je báze vektorového prostoru V.
11. věta
Nechť S je podprostor vektorového prostoru V. Potom platí
186
dim S ≤ dim V,
přičemž rovnost m ≤ n ve Steinitzově větě platí právě když S = V.
12. věta
Nechť x, y, z jsou libovolné vektory z Rn , r ∈ R libovolné reálné číslo. Pak platí:
1. x · y = y · x
2. (x + y) · z = x · z + y · z
3. r · (x · y) = (r · x) · y
4. x · x ≥ 0, přitom x · x = 0 právě tehdy, je-li x = 0.
13. věta
Skupina nenulových vzájemně ortogonálních vektorů x1 , x2 , . . . , xk je vždy lineárně nezávislá.
14. věta
Každý netriviální podprostor S vektorového prostoru Rn má ortogonální bázi.
15. věta
Nechť S je podmnožina Rn . Pak platí
(§⊥ )⊥ = L(S).
Je-li S podprostor Rn , lze s použitím Gramm-Schmidtovi ortogonalizující konstrukce dokázat následující důležitou
větu, kterou použijeme při řešení soustav lineárních rovnic.
16. věta
Nechť S je podprostor Rn . Potom platí
dim S⊥ = dim Rn − dim S
17. věta
Nechť A, B a C jsou matice typu (m, n), r, s ∈ R. Pak platí
1. A + B = B + A,
2. A + (B + C) = (A + B)+ C,
3. r · (A+ B)= r · A + r · B,
4. (r + s) · A = r · A + s · A,
5. r · (sA) = (r · s) · A.
187
18. věta
Množina Rm·n všech matic typu (m, n) spolu s operacemi sčítání matic a násobení matice reálným číslem tvoří
vektorový prostor dimenze m · n.
19. věta
Je-li matice T typu (m, n) trojúhelníková matice, pak
h(T) = m.
20. věta
Nechť AT je transponovaná matice k matici A, pak platí
h(A) = h(AT ).
21. věta
Nechť je dána homogenní soustava m lineárních rovnic o n neznámých a nechť A je matice této soustavy. Vektor x ∈
Rn je řešením této soustavy právě když x ∈ R (A)⊥ v Rn .
22. věta – Frobeniova věta
Soustava lineárních rovnic je řešitelná právě když hodnost matice soustavy A a hodnost rozšířené matice soustavy AR
jsou stejné.
23. věta
Každé řešení x nehomogenní soustavy lineárních rovnic lze zapsat jako součet
x=y+z
kde y je libovolné (pevné) řešení nehomogenní soustavy a z je nějaké řešení homogenní soustavy se stejnou maticí A.
Poznámka: z této věty vyplývá, že množinu M všech řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic lze symbolicky
zapsat jako
M = y + R(A)⊥ = {y + z; z ∈ R(A)⊥ }.
24. věta
Jsou-li A, B a C matice a r ∈ R libovolné reálné číslo, pak platí
1. A · (B · C) = (A · B) · C, (asociativní zákon)
2. A · (B + C) = A · B + A · C, (distributivní zákon)
3. (B + C) · A = B · A + C · A, (distributivní zákon)
4. r · (AB) = (rA) · B = A · (rB).
188
mají-li uvedené výrazy smysl.
25. věta
Nechť A je čtvercová matice. Pak inverzní matice A−1 k matici A existuje právě tehdy, je-li A regulární.
26. věta
Nechť A, B jsou regulární matice stejného řádu. Potom matice nechť AB je také regulární a platí
(AB)
−1
= B−1 · A−1 .
Je-li r ∈ R nenulové reálné číslo, pak
(rA−1 ) =
1
· A−1 .
r
27. věta
Nechť A · x = b je soustava n lineárních rovnic o n neznámých. Je-li matice soustavy A regulární, pak má soustava
jediné řešení
x = A−1 · b.
28. věta
Nechť A = (aij ) je trojúhelníková matice řádu n. Pak platí
det A = a11 a22 . . . ann .
29. věta
Nechť A je libovolná čtvercová matice řádu n. Pak platí:
1.
det AT = det A,
2. jestliže matice B vznikla z matice A přehozením dvou řádků (resp. sloupců), pak
det B = − det A,
3. jestliže matice B vznikla z matice A vynásobením jednoho řádku (resp. sloupce) reálným číslem r ∈ R, pak
det B = r · det A,
4. jestliže matice B vznikla z matice A tak, že k jednomu řádku matice A byla přičtena lineární kombinace ostatních
řádků, pak
det B = det A,
5. jestliže také matice B a C jsou čtvercové matice řádu n takové, že k-tý řádek matice C, k = 1, 2,. . . , n, je
součtem k-tých řádků matic A a B a ostatní řádky mají všechny tři matice stejné, pak
det C = det A + det B,
189
6. jestliže B je čtvercová matice řádu n, pak
det (AB) = det A · det B,
7. jestliže A je regulární matice, pak
det A−1 =
1
.
det A
30. věta
Nechť A je čtvercová matice. Matice A je regulární právě tehdy, je-li det A 6= 0.
31. věta
Nechť A = (aij ) je čtvercová matice řádu n. Pak pro každé přirozené číslo i, 1 ≤ i ≤ n, platí
det A =
n
X
aij · Dij ,
j=1
a pro každé přirozené číslo j, 1 ≤ j ≤ n, platí
det A =
n
X
aij · Dij ,
i=1
kde Dij je algebraický doplněk prvku aij matice A.
32. věta – Inverzní matice pomocí determinantů
Nechť A = (aij ) je regulární čtvercová matice řádu n. Potom inverzní matici k matici A lze zapsat
A
−1


1 

=
det A 

D11
D21
..
.
D1n
D21
D22
..
.
D2n
...
...
..
.
...
Dn1
Dn2
..
.
Dnn



 = 1 (Dij )T ,
 det A

kde Dij je algebraický doplněk prvku aij matice A pro všechna i, j = 1, 2, . . . , n.
33. věta – Cramerovo pravidlo
Nechť je dána soustava n lineárních rovnic o n neznámých x1 , x2 , . . . , xn
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
·········
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn .
Je-li matice soustavy A = (aij ) regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí
xi =
det Ai
, pro i = 1, 2, . . . , n,
det A
kde Ai je matice, která vznikne z matice A nahrazením i-tého sloupce sloupcem pravých stran soustavy (b1 , b2 , . . . , bn )T .
Příloha D
Řecká abeceda
transliterace moderní velké znaky moderní malé znaky
název
výslovnost
a
A
α
alpha
[alfa]
b
g
d
e
B
Γ
∆
E
β
γ
δ
, ε
beta
gamma
delta
epsilon
[beta]
[gama]
[delta]
[epsilon]
z
ê, H
th
i
k
Z
H
Θ
I
K
ζ
η
θ, ϑ
ι
κ, κ
zeta
eta
theta
iota
kappa
[zéta]
[éta]
[théta]
[ióta]
[kapa]
l
m
n
x
Λ
M
N
Ξ
λ
µ
ν
ξ
lambda
mu
nu
xi
[lambda]
[mí]
[ný]
[ksí]
o
p
r
s
O
Π
P
Σ
o
π, $
ρ, %
σ, ς
omicron
pi
rho
sigma
[omikrón]
[pí]
[ró]
[sigma]
t
u
f, ph
ch
T
Υ
Φ
X
τ
υ
φ, ϕ
χ
tau
upsilon
phi
chi
[tau]
[ypsilon]
[fí]
[chí]
ps
ô, O
Ψ
Ω
ψ
ω
psi
omega
[psí]
[omega]
190
Hurá konec, všechno umím. . .
lém
ob
Ap
lik
a
ce
Nov
ýp
r
Obrázek D.1: Cyklus učení
Zk
ou
má
ní
Ře
šen
í
Challenge
. . . tak to asi ne, jen hezky pokračujte. . .
Název
Verze
Autorka
Kontakt na autorku
Určeno
Počet stran
.
,
POMNĚNKA
9. srpna 2015
MSc. Catherine Morris
[email protected]
studenti ČZU, PaA, PaE a všem ostatním
kdo mají pocit, že je pro ně soubor užitečný ,
191
.

POMNˇENKA

Transkript

Podobné dokumenty

Maticový a tenzorový počet (Elektrotechnika, elektronika

Milý čtenáři! - Vždyť tu nic není!

MORAVSK¥ KRU ML OV I V Moravsk˙ Kr u ml ov I V

openMagazin 7/2011

Použití derivací L`HOSPITALOVO PRAVIDLO PO ˇCÍTÁNÍ LIMIT

zpracování půdy - Great Plains Danmark

Teoretické otázky PROFANT 2007

MBT1 – 4. týden