MBT1 – 4. týden

MBT1 – 4. týden
1
L’Hospitalovo pravidlo
1. Spočtěte limity:
a) lim
x→0
2
tg x − x
,
x − sin x
b) limπ
x→ 2
tg(3x)
,
tg x
c) lim
x→0
ln(cos(ax))
,
ln(cos(bx))
d) lim xx .
x→0
Derivace funkce
2. Nalezněte derivace funkce f všude, kde tato derivace existuje:
q
p
√
2x
a) f (x) = 1−x2 ,
b) f (x) = x + x + x,
c) f (x) = ln(tg x2 ),
√ ,
d) f (x) = arccos 1−x
2
e) f (x) =
√
x
x, x > 0,
f) f (x) = (sin x)cos x + (cos x)sin x .
√
3. Napište rovnici tečny ke křivce y = (x + 1) 3 3 − x procházejı́cı́ bodem
a) [−1, 0],
b) [2, 3],
c) [3, 0].
4. Pod jakým úhlem se protı́najı́ křivky y = x2 a x = y 2 ?
5. Rozhodněte, zda existujı́ lokálnı́ nebo globálnı́ extrémy funkce na dané množině. Pokud
ano, určete body těchto extrémů.
a) x2 sin x, x ∈ [− π2 , π/ 2],
b) x2 e−2x , x ∈ (0, +∞),
x ∈ (−3, 3).
1
c) |x2 + x − 2| − |x2 − 3x + 2|,
Výsledky:
1. 2, 1/3, (a/b)2 , 1;
2. a) 2(1 + x2 )/(1 − x2 )2 , |x| =
6 1,
√
√
√
√
1+2 x+4 x x+ x
b) √ √ √ q √ √ , x > 0,
8 x
x+ x
x+
x+ x
c) 1/(sin x), x ∈ (2kπ, (2k + 1)π), k ∈ Z,
√
√
d) 1/ 1 + 2x − x2 , |x − 1| < 2,
e) x1/x−2 (1 − ln x), x > 0,
f) [(sin x)1+cos x ][cotg2 x − ln sin x] − [(cos x)1+sin x ][tg2 x − ln cos x], x ∈ (2kπ, 2kπ + π/2),
k ∈ Z.
3. a) y =
√
3
4(x + 1), b) y = 3, c) y = 3.
4. 1. průsečı́k [0, 0] – úhel π/2, 2. průsečı́k [1, 1] – úhel π/2 − 2 arctg 12 .
5. a) maximum v bodě π/2, minimum v bodě −π/2, lokálnı́ extrémy nejsou,
b) lokálnı́ i globálnı́ maximum v bodě 1, minimum neexistuje lokálnı́ ani globálnı́,
c) lokálnı́ minimum v bodě 1, lokálnı́ maximum v bodě 1/2, globálnı́ extrémy nejsou.
2