Text včetně obrázků

LOGARITMICKÁ SPIRÁLA
HISTORIE
Prvnı́, kdo se zabýval problematikou logaritmické spirály a zkoumal jı́, byl René Descartes
(1596-1650) přibližně kolem roku 1638. Nezávisle na něm zkoumal křivku také Evangelista
Toriccelli (1608 - 1647), kterému se podařilo najı́t vzorec pro výpočet délky křivky. Byla to
také oblı́bená křivka matematika Jakoba Bernoulliho (1654 - 1705) - zřejmě za svého života
strávil jejı́m zkoumánı́m tolik času, že si dokonce nechal vyzdobit svojı́ hrobku ornamenty
právě ve tvaru logaritmické spirály a vytesat si na nı́ epitaf “edem mutata resurgo”,
což znamená ve volném překladu “ač změněn, stále zůstává stejný”. Tento text
poměrně výstižně charakterizuje i Bernoulliho oblı́benou křivku, což ukážeme nı́že.
Dalšı́ ekvivalentnı́ názvy pro tuto křivku jsou Fibbonaciho spirála, ekvalingulárnı́
spirála, růstová spirála, Bernoulliho spirála nebo spira mirabilis.
POPIS SPIRÁLY
Logaritmická spirála je křivka, jejı́ž poloměr r roste exponenciálně s velikostı́ úhlu.
Všechny nı́že popsané parametry a body spirály ilustruje obrázek na dalšı́ straně.
Polárnı́ rovnice logaritmické spirály je:
r = a · ebϕ ,
kde
• r je poloměr - vektor spojujı́cı́ pól spirály P (pojem pólu je vysvětlen nı́že) a bod
ležı́cı́ na spirále - B ; (r je funkce r(ϕ))
• ϕ je úhel přı́slučný přı́slušnému bodu B spirály
• a, b jsou konstantnı́ parametry
Tečný úhel (budeme ho značit τ ) je úhel, který svı́rá pro daný bod spirály vektor
poloměru s tečnou ve stejném bodě.
Důležitými body spirály jsou pól a počátek. Pól je bod, ze kterého by “vycházela”
spirála v přı́padě, kdyby se parametr a → 0; v podstatě jde o pomyslný střed spirály. Pól
se dá také popsat jako bod, kde se protnou všechny vektory poloměru - přı́mky vedené
libovolnými body logaritmické spirály, každá svı́rajı́cı́ v daném bodě s přı́slušnou tečnou
stejný tečný úhel τ . V kartézských souřadnı́cı́ch pro neposunutou křivku je pólem počátek
souřadné soustavy [0,0]. Počátek spirály je bod, ze kterého se začı́ná spirála vykreslovat,
pro neposunutou spirálu se nacházı́ v mı́stě [a, 0].
1
Dalšı́ možné vyjadřenı́ rovnice logaritmické spirály zı́skáme jednoduchou úpravou:
ln ar = bϕ
Z tohoto vztahu také vznikl název křivky “logaritmická spirála”.
Obrázek, kde najdeme výše uvedené informace přı́mo ve spirále:
• P - pól spirály
• B - libovolný bod na spirále
• r - vektor poloměru
• τ - tečný úhel v bodě B
• t - tečna v bodě B
• a - konstantnı́ parametr z rovnice spirály
2
Rovnici této křivky můžeme vyjádřit také parametricky:
x = r cos ϕ = aebϕ cos ϕ
y = r sin ϕ = aebϕ sin ϕ
Pro hodnoty b → 0 se bude tvar spirály blı́žit kružnici. Pro b=0 dostáváme:
x = a cos ϕ
y = a sin ϕ
tedy rovnici kružnice s poloměrem a.
Růst poloměru r můžeme vyjádřit jako:
dr
= abebϕ = br
dϕ
Pro tečný úhel τ , který svı́rajı́ vektor poloměru a tečný vektor pro daný bod (r,ϕ) platı́:
tan τ =
r
dr
dϕ
tedy
τ = arctan
r
dr
dϕ
= arctan
1
b
Odtud je opět vidět, že když b → 0, pak 1b → ∞ a arctan( 1b ) → π2 . Tedy tvar spirály se blı́žı́
kružnici (tečna kružnice v každém bodě svı́rá s vektorem poloměru přı́slušejı́cı́mu danému
bodu úhel π2 ).
Také je z tohoto vztahu zřejmé, že tečný úhel (τ ), pod kterým protı́ná vektor poloměru
křivku, je v každém bodě dané spirály stejný, protože parametr b je konstantnı́. Odtud
vznikl název křivky “ekvalingulárnı́ spirála”.
Z obou výše uvedených výrazů můžeme zjistit, že samotný tvar křivky (tedy nárůst
poloměru nebo úhel tečného vektoru) závisı́ pouze na hodnotě b. Hodnota a určuje vzdálenost počátku spirály od jejı́ho pólu. Na následujı́cı́ straně jsou přı́klady logaritmické spirály
pro různé hodnoty parametrů a, b, všechny ve stejném měřı́tku.
3
4
Pro názornost ukážeme ještě obrázky včetně souřadných os (každý v jiném měřı́tku)
pro různé parametry a, b. Všechny následujı́cı́ obrázky jsou vykresleny pro ϕ ∈< 0, 8π >,
tedy 4 závity spirály.
5
DÉLKA KŘIVKY A JINÉ UŽITEČNÉ VZTAHY
Na křivce zvolı́me libovolný bod P ve vzdálenosti r od pólu spirály. Délka křivky od
P do jejı́ho počátku je vždy konečná a je rovna délce úsečky PQ, kde Q je průsečı́k osy y
a tečny ke křivce procházejı́cı́ bodem P. Jsme schopni tuto délku spočı́tat následovně:
√
√
Z
Z p
2 ebϕ
r
a
1
+
b
1 + b2
=
s = ds =
x02 + y 02 dt =
b
b
Evoluta je obálka normál křivky - množina jejı́ch středů křivosti. Pro rovnici evoluty
křivky zadané parametricky (f (ϕ), g(ϕ)) platı́:
xe = f − R sin ϕ
ye = g + R cos ϕ
kde R je poloměr křivosti pro daný bod [x, y] (vzdálenost mezi středem křivosti S křivky
v jejı́m bodě T a bodem T ) který zjistı́me:
p
2
√
(x02 + y 02 )3
=
a
1 + b2 ebϕ
R = 0 00
00
0
xy −x y
Dosazenı́m dostáváme rovnici evoluty logaritmické spirály:
xe = −abebϕ sin ϕ
ye = abebϕ cos ϕ
což je rovnice dalšı́ logaritmické spirály (be ≡ b, ae ≡ ab). V některých přı́padech může jı́t
dokonce o totožnou spirálu s původnı́ křivkou. Stačı́ když provedeme substituci:
1
ϕ = φ − π ± 2kπ
2
(∀k ∈ N) a dosadı́me do rovnice evoluty:
π
π
± 2kπ) = abebφ eb(− 2 ±2kπ) cos φ
2
π
π
π
ye = abeb(φ− 2 ±2kπ) cos(φ − ± 2kπ) = abebφ eb(− 2 ±2kπ) cos φ
2
Tyto rovnice evoluty jsou shodné s rovnicı́ původnı́ spirály právě tehdy, když platı́:
π
xe = −abeb(φ− 2 ±2kπ) sin(φ −
π
beb(− 2 ±2kπ) = 1
π
ln b + b(− ± 2kπ) = 0
2
ln b
π
= ± 2kπ
b
2
6
Křivost κ je převrácená hodnota poloměru křivosti, tedy:
x0 y 00 − x00 y 0
1
κ= p
= √
2
02
02
3
a 1 + b2 ebϕ
(x + y )
Pro tečný úhel τ platı́, že je konstantnı́ (což už jsme vlastně zjistili z jiného vztahu dřı́ve):
Z
τ = κ(s)ds = konst.
KONSTRUKCE
Logaritmickou spirálu můžeme zkonstruovat následovně - z jednoho bodu (který se
stává pólem spirály) vedeme n polopřı́mek, kde odchylky každých dvou sousednı́ch jsou
(např. 5 polopřı́mek, kde sousednı́ polopřı́mky svı́rajı́ úhel 2π
, 7 polopřı́mek s
stejné: 2π
n
5
2π
úhly 7 atd.). Na jedné polopřı́mce zvolı́me bod - počátek spirály (jeho vzdálenost od
středu je rovna parametru a) a vedeme přı́mku kolmou na polopřı́mku od které začı́náme
k následujı́cı́mu paprsku. Z bodu, kde tato přı́mka prostne následujı́cı́ paprsek opět vedeme
kolmici na tuto polopřı́mku a k následujı́cı́mu paprsku atd. Čı́m vyššı́ bude hodnota n, tı́m
hladšı́ křivku dostaneme. Když n → ∞ potom se křivka bude blı́žit logaritmické spirále.
7
Spirálu s takovými parametry, že jı́ lze vepsat do zlatého obdélnı́ku můžeme zkonstruovat ještě jiným způsobem. Zlatý obdélnı́k je takový obdélnı́k, jehož strany jsou ve zlatém
poměru. Tj. poměr většı́ strany b k menšı́ straně a je roven poměru
součtu delék stran
√
1+ 5
(a+b) k většı́ z nich (b). Tj. poměr délky a šı́řky je roven 2 . Do tohoto obdélnı́ku
vepı́šeme k jedné kratšı́ hraně čtverec o straně a, zbylá plocha je opět zlatý obdélnı́k, do
něj vepı́šeme dalšı́ čtverec stejným způsobem atd. Když do každého takto zkonstruovaného
čtverce vepı́šeme čtvrtkružnici, zı́skáme logaritmickou spirálu (ne jen jejı́ aproximaci) s
b ≈ 0, 306349, pro kterou existuje označenı́ zlatá spirála.
KDE NAJDEME LOGARITMICKOU SPIRÁLU
“Myšı́ problém” - do každého vrcholu pravidelného n-úhelnı́ka umı́stı́me jednu myš.
Těchto n myšı́ se začne v jeden časový okamžik pohybovat konstantnı́ rychlostı́ směrem k
nejbližšı́ myši (všechny stejným směrem - bud’ po nebo proti směru hodinových ručiček).
Myši se takto setkajı́ ve středu n-úhelnı́ka, budou se pohybovat po logaritmické spirále a
urazı́ dráhu
1
s=
1 − cos( 2π
)
n
S logaritmickou spirálou se můžeme setkat všude kolem sebe každý den. Dı́ky konstantnı́mu tečnému úhlu na nı́ můžeme narazit velmi často přı́rodě - napřı́klad když se
hmyz blı́žı́ k nějakému bodu (třeba k žárovce), letı́ v takovém směru, aby svı́ral stále
stejný úhel se zdrojem světla. A toho dosáhne právě tehdy, když se bude pohybovat po
logaritmické spirále. V praxi ale vypadá dráha většinou spı́š jako přı́mka, protože bud’ je
cı́l obvykle hodně vzdálený (napřı́klad slunce) nebo je úhel od něj tak malý, že se dráha
blı́žı́ přı́mce (spirála bude mı́t ve 2D minimálnı́ nárůst poloměru, tedy bude se blı́žit bodu
a přidánı́ třetı́ dimenze bod pouze “roztáhne” do přı́mky).
8
Spirálu také najdeme u rostlin - když se podı́váte do květu napřı́klad slunečnice nebo
sedmikrásky, najdete tyčinky nebo semı́nka uspořádané ne v kruzı́ch, ale v logaritmických
spirálách. Stejně tak jsou uspořádaná třeba semı́nka na šiškách, nebo ostny na kaktusech.
Do tvaru logaritmické spirály ve 3D roste velká většina neživých části živých organismů
- rohy, drápy nebo třeba slonı́ kly (nabývajı́ tohoto tvaru stejným způsobem, který je
popsán v následujı́cı́m odstavci). Také pavoučı́ sı́tě jsou aproximacı́ logaritmické spirály
- jsou pavouky stavěny podobným způsobem, jakým jsme aproximovali křivku pomocı́
polopřı́mek.
Nejoblı́benějšı́m přı́kladem výskytu spirály jsou ulity měkkýšů. Tohoto tvaru nabývajı́
následujı́cı́m způsobem - převedeme problém do 2 dimenzı́ a vytvořı́me nepravidelný objekt
O1 , zvětšı́me ho k -krát, zı́skáme O2 a přiložı́me ho k O1 tak, aby se dvě hrany dotýkaly.
Nynı́ zvětšı́me O2 k -krát, vznikne O3 který přiložı́me k hraně objektu O2 atd.
Když problém převedeme do 3D, zı́skáme postup, jakým si stavı́ ulity někteřı́ měkkýši
- na začátku majı́ určitou velikost a jsou schovanı́ v jedné komůrce, pak povyrostou a
přistavı́ si dalšı́ kousek ulity. Tvar jejich těla se ale neměnı́, tedy se neměnı́ ani tvar ulity,
pouze roste velikost přistavovaného dı́lu (zvětšovánı́ komůrek pro tělo je hezky vidět na
obrázku vpravo pod textem - jde o řez ulitou měkkýše Nautila, který si stavı́ ulitu dokonce
do tvaru zlaté spirály). Navı́c tito živočichové rostou “spojitě”, takže výsledný tvar spirálu
aproximuje poměrně přesně a hladce.
9
Dalšı́ mı́sto, kde můžeme tuto křivku najı́t jsou spirálovité galaxie - jejich ramena majı́
tvar právě logaritmické spirály (na obrázcı́ch jsou galaxie NGC 3370 a M51). Naše vlastnı́
galaxie Mléčná dráha má (údajně) 4 ramena ve tvaru spirály s tečným úhlem přibližně 12◦ .
Stejně tak ramena tropických cyklónů a hurikánů majı́ tvar logaritmické spirály.
10
POUŽITÉ OBRÁZKY:
• konstrukce logaritmické spirály - mathworld.wolfram.com
• galaxie - hubblesite.org
• satelitnı́ snı́mek tornáda - airs.jpl.nasa.gov
• řez ulitou Nautila - en.wikipedia.org
11