A + B

DŮLEŽITÉ VZTAHY A VZORCE
1. Reálná čísla, nerovnosti. Pro všechna reálná čísla a, b, c ∈ R platí:
a < b ∧ b < c =⇒ a < c
a < b ⇐⇒ a + c < b + c,
pro c > 0 je
a < b ⇐⇒ c a < c b,
pro c < 0 je
a < b ⇐⇒ c a > c b ( speciálně: a < b ⇐⇒ −a > −b ),
pro a, b ≥ 0 je
a < b ⇐⇒ a2 < b2
(analogické vlastnosti platí také pro relace ≤, > a ≥).
Pro řešení nerovnic je důležité:
ab > 0 ⇐⇒ buď a > 0 ∧ b > 0 anebo a < 0 ∧ b < 0,
ab < 0 ⇐⇒ buď a > 0 ∧ b < 0 anebo a < 0 ∧ b > 0.
Speciálně:
a2 > 0 pro každé a ∈ R \ {0},
a2 = 0
⇐⇒
a = 0,
a ≥ 0 pro každé a ∈ R.
2
2. Druhé mocniny a součiny dvojčlenů. Platí
(A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 ,
(A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 ,
A2 − B 2 = (A + B)(A − B)
(kde A, B ∈ R).
√
3. Druhá odmocnina v R. Druhá odmocnina x reálného čísla x je nezáporné reálné
číslo a, pro které platí a2 = x, tj.
√
x=a
⇐⇒
a ≥ 0 ∧ a2 = x.
√
Z faktu a2 ≥ 0 pro každé a ∈ R plyne, že x má smysl v R pouze pro x ≥ 0.
√
4. Absolutní hodnota reálného čísla. Je |x| = x2 , x ∈ R. Platí
a |a|
|a| ≥ 0, | − a| = |a|, |ab| = |a| |b|, =
, |a + b| ≤ |a| + |b|
b
|b|
pro a, b ∈ R, pro něž jsou všechny výrazy definovány.
5. Kvadratická rovnice. Jedná se o rovnici
ax2 + bx + c = 0
(kde a, b, c ∈ R, a ̸= 0)
s neznámou x.
Číslo D = b2 − 4ac se nazývá diskriminant. Kořeny x1 , x2 určíme podle vzorců:
√
−b± D
2a
D>0
⇒ x1,2 =
D=0
b
⇒ x1 = x2 = − 2a
√
−b±i
|D|
⇒ x1,2 =
2a
D<0
(2 různé reálné kořeny),
(1 dvojnásobný reálný kořen),
(kde i2 = −1)
(2 komplexně sdružené kořeny)
(zdůrazněme, že je-li D < 0, pak kvadratická rovnice nemá řešení v R).
Jiný způsob nalezení reálných kořenů kvadratické rovnice je založen na rovnosti:
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).
Speciálně pro a = 1 je
x2 + bx + c = (x − x1 )(x − x2 ) = x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 ,
c Petr Gurka
⃝
(poslední aktualizace 25. září 2016).
1
2
DŮLEŽITÉ VZTAHY A VZORCE
tedy
b = −(x1 + x2 ),
c = x1 x2
Poznámka 1. Kořenům x1 , x2 kvadradratické rovnice ax2 + bx + c = 0 říkáme také nulové
body kvadratické funkce P2 (x) = ax2 + bx + c. Reálné nulové body x1 , x2 určují první
souřadnice průsečíků osy x s grafem kvadratické funkce P2 , tj. průsečíky křivky y = P2 (x)
s přímkou y = 0 jsou body [x1 , 0], [x2 , 0]. V případě x1 = x2 se jedná o jeden průsečík.
Pro D < 0 křivka y = P2 (x) neprotíná osu x, tedy buď P2 (x) > 0, anebo P2 (x) < 0 pro
všechna reálná čísla x.
6. Binomické věta. Pro A, B ∈ R, n ∈ N platí
(A + B)n =
n
∑
(n)
k
An−k B k =
(n) n (n) n−1
( n )
( )
B + · · · + n−1
AB n−1 + nn B n ,
0 A + 1 A
k=0
kde
(n)
k
=
n!
(n−k)! k! ,
k! = k · (k − 1) · · · · · 2 · 1.
7. Polynomická funkce stupně n. Jedná se o funkci
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
kde n ∈ N, an , . . . , a0 ∈ R, an ̸= 0 .
Podle Základní věty algebry má rovnice n-tého stupně Pn (x) = 0 v množině komplexních
čísel právě n kořenů. Některé z nich se sobě mohou rovnat. Jsou-li x1 , x2 , . . . , xm navzájem
různé kořeny, pak platí
Pn (x) = an (x − x1 )k1 (x − x2 )k2 . . . (x − xm )km .
Čísla k1 , . . . , km jsou násobnosti kořenů x1 , . . . , xm (v tomto pořadí) a platí k1 + · · · + km = n.
8. Mocniny a odmocniny s obecnými exponenty. Jsou-li m, n ∈ N, r, s ∈ R, pak
platí pro všechna x, y ∈ R, pro která mají obě strany smysl:
r
xr : xs = xxs = xr−s ,
x−r = x1r ,
x0 = 1,
( x )r
( 1 )r
xr
1
xr y r = (x y)r ,
,
(xr )s = xrs ,
yr = y
xr = x ,
√
√
√ √
√
n x
1
√
n
n x y = n x n y,
n x = √ ,
x = xn ,
n y
y
√
√
(
)
√
√
√
√
√
√
r
r
n
xr = n x = x n , n m x = m n x = n·m x, n xn = 1
xr xs = xr+s ,
9. Exponenciála a logaritmus. Předpokládejme, že a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞). Potom
ay = x
10y = x
ey = x
⇔
⇔
⇔
(pro x > 0, y ∈ R)
(pro x > 0, y ∈ R)
(pro x > 0, y ∈ R)
y = loga x
y = log x
y = ln x
(e = 2, 718 . . . je Eulerovo číslo).
Pro u, v > 0, s ∈ R a n ∈ N platí:
loga (u v) = loga u + loga v,
(√ )
loga n u = n1 loga u,
( )
s = loga as ,
loga
(u)
v
(obecný logaritmus),
(dekadický logaritmus),
(přirozený logaritmus)
= loga u − loga v,
loga 1 = 0,
a
loga u
( )
loga us = s loga u,
loga a = 1,
us = as loga u .
= u,
Poslední vzorec slouží k definici obecné mocniny. Většinou se používá pro a = 10 nebo
a = e tj.
us = 10s log u ,
us = es ln u .
DŮLEŽITÉ VZTAHY A VZORCE
3
10. Goniometrické funkce.
Vzorce pro goniometrické funkce. Je-li k ∈ Z, pak platí pro všechna x ∈ R, pro která mají
obě strany smysl:
(
)
sin x
x
cos x = sin π2 − x ,
sin2 x + cos2 x = 1,
tg x = cos
cotg x = cos
x,
sin x ,
sin(−x) = − sin x,
cos(−x) = cos x,
sin(x ± 2kπ) = sin x, cos(x ± 2kπ) = cos x,
tg(−x) = − tg x,
cotg(−x) = − cotg x,
tg(x ± kπ) = tg x,
cotg(x ± kπ) = cotg x.
Pro všechna x, y ∈ R, pro která mají obě strany smysl, platí:
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y,
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y,
tg(x ± y) =
cotg(x ± y) =
tg x±tg y
1∓tg x tg y
cotg x cotg y∓1
cotg y±cotg x ,
cos 2x = cos2 x − sin2 x,
sin 2x = 2 sin x cos x,
tg 2x =
2 tg x
1−tg2 x ,
cotg 2x =
sin2 x =
1−cos 2x
,
2
cos2 x =
cotg2 x−1
2 cotg x ,
1+cos 2x
.
2
Tabulka důležitých hodnot goniometrických funkcí.
x
0
π
6
sin x
0
cos x
1
1
2
√
3
2
√
3
3
tg x
0
√
cotg x −
3
π
4
√
2
2
√
2
2
1
1
π
3
√
3
2
1
1
2
0
√
π
2
3 −
√
3
3
0
Je nutné si zapamatovat funkční hodnoty goniometrických funkcí x ∈ ⟨0, π2 ⟩. Funkční hodnoty v ostatních intervalech se snadno odvodí ze symetrií grafů těchto funkcí (periodičnost,
sudost, lichost).
11. Definiční obor reálné funkce reálné proměnné. Při určování definičního oboru
reálné funkce reálné proměnné x nejdříve stanovíme podmínky, za nichž má funkční předpis smysl.
Nejdůležitější podmínky uvádíme v následující tabulce:
výraz ve jmenovateli musí být nenulový:
výraz pod druhou odmocninou musí být nezáporný:
výraz pod sudou odmocninou musí být nezáporný:
výraz v argumentu logaritmu musí být kladný:
1
má smysl pro g(x) ̸= 0
g(x)
√
g(x) má smysl pro g(x) ≥ 0
√
2k
g(x) má smysl pro g(x) ≥ 0
(
)
log g(x) má smysl pro g(x) > 0