Pick, Luboš (MFF UK) Hrášek a sluníčko - A-Math-Net

Transkript

Hrášek a sluníčko
Luboš Pick (KMA MFF UK Praha)
Seminář Ostravice, Horní Bečva, 29.1. 2013
Jak nás vidí velikáni
Propagace matematiky:
Propagace matematiky:
Matematikové jsou jako Francouzi. Cokoli jim řeknete, přeloží si do
svého vlastního jazyka, čímž vznikne něco jiného.
(J.W. Goethe)
Propagace matematické analýzy
Dělejte matematickou analýzu!
Ta se hodí všude.
Ta se hodí všude.
Jeden příklad za všechny (citát)
Ta se hodí všude.
Richard Nixon (president USA) řekl v roce 1972:
Ta se hodí všude.
“Rychlost růstu inflace se zpomaluje”.
Ta se hodí všude.
“Rychlost růstu inflace se zpomaluje”.
POZNÁMKA: Jde o první historicky doložený případ využití třetí
derivace ve vrcholné politice.
Začneme s jednotkovou koulí v 3D
Začneme s jednotkovou koulí v 3D
Banachova–Tarského věta - lidová formulace
Jednotkovou kouli v 3D lze rozložit na sjednocení pěti
podmnožin a z nich potom složit dvě koule, obě identické s
původní koulí.
původní koulí.
A to ještě jedna z oněch pěti množin je jednobodová.
původní koulí.
A to ještě jedna z oněch pěti množin je jednobodová.
Důsledek B–T věty: hrášek a sluníčko
Každé dvě množiny v 3D s neprázdnými vnitřky jsou po částech
kongruentní.
kongruentní.
Tedy jednu lze rozstříhat na konečně mnoho kousků, a z nich
potom sestavit druhou.
kongruentní.
Tedy jednu lze rozstříhat na konečně mnoho kousků, a z nich
potom sestavit druhou.
Námitky
Námitky
Že to nedává smysl?
Námitky
Máte na mysli fyzikální smysl?
Námitky
A musí vůbec vše, co děláme, dávat fyzikální smysl?
Námitky
A musí vůbec vše, co děláme, dávat fyzikální smysl?
My nejsme fyzici, my jsme matematikové!
Obrana proti námitkám
V matematice se pohybujeme ve světě axiomů.
Všechno, co v matematice tvrdíme, s nimi musí být v
souladu.
Všechno, co v matematice tvrdíme, s nimi musí být v
souladu.
To nevyhnutelně vede ke vzniku rozličných paradoxů.
Přiléhavá přezdívka
Přiléhavá přezdívka
Ne nadarmo se Banachově–Tarského větě často říká
Banachův–Tarského paradox.
Banachova–Tarského věta: propagační verze
Když se přihlásíte na matfyz
a vydržíte aspoň do třetího semestru,
budete se učit teorii míry!
budete se učit teorii míry!
A tam vás naučíme následující užitečnou dovednost.
Libovolnou bankovku, například 100 Euro je možné
rozstříhat na konečně mnoho kousků, z nichž potom lze
sestavit bankovku jinou, například 500 Euro.
K tomu stačí vlastnit velice speciální nůžky.
Banachova–Tarského věta: verze pro exoty
Banachova–Tarského věta: verze pro exoty
Úskalí teorie míry
Úskalí teorie míry
Milý Bože, kdyby mi zbývala už jen jediná hodina života, dej, ať ji
mohu strávit na přednášce z teorie míry a integrálu. Pak mi bude
tato hodina připadat jako věčnost.
(neznámý americký student)
Publikace věty: 1924
Ohlasy
Ohlasy
Následovala vlna kontroverze mezi matematiky.
Ohlasy
Studenti se chodili ptát: opravdu matematici umějí zdvojnásobovat
objem?
Ohlasy
Studenti se chodili ptát: opravdu matematici umějí zdvojnásobovat
objem?
V Illinoisu počestný občan požadoval zákon, který by výuku
takových nesmyslů zakazoval.
Kdo za to může?
Kdo za to může?
samozřejmě matematici
Kdo za to může?
jejich teorie míry
Kdo za to může?
jejich teorie míry
existence neměřitelných množin
Kdo za to může?
jejich teorie míry
existence neměřitelných množin
a hlavně axiom výběru
Výlet do filozofie matematiky
Výlet do filozofie matematiky
MOTTO: Každý dobrý křesťan by se měl mít na pozoru před
matematiky, kteří již po staletí pomáhají ďáblu zatemnit lidem
ducha.
(Svatý Augustin, 390 n.l.)
Je matematika tvořena nebo (pouze) objevována?
Příklady:
Příklady:
• Karel Plicka
Příklady:
• Karel Plicka
• Ludwig van Beethoven
Příklady:
• Karel Plicka
• Ludwig van Beethoven
• sochy
Dva pohledy na matematiku
Platonisté: matematické objekty nejsou plodem lidského ducha,
existují tam někde nezávisle na našem vnímání a my je pouze
objevujeme.
objevujeme.
Formalisté: matematika je pouze symbolický jazyk,
objevujeme.
při jeho správném použití vzniknou věty, důkazy, konstrukce atd.,
vše je vytvářeno lidmi.
objevujeme.
při jeho správném použití vzniknou věty, důkazy, konstrukce atd.,
vše je vytvářeno lidmi.
Údajně jsou skoro všichni matematikové platonisté, ale nechtějí to
přiznat.
A co jste vy zač?
A co jste vy zač?
Jste platonisté?
A co jste vy zač?
Jste platonisté?
Uvidíme!
Gödelův test platonismu
Poměr obvodu kružnice ku jejímu průměru označíme π.
Pak π je iracionální.
Dokonce je transcendentní.
Nelze jej tedy vypočítat přesně.
Je ho však možno vyjádřit ve tvaru nekonečné sumy, například
π
1 1 1
= 1 − + − + ··· ,
4
3 5 7
Je ho však možno vyjádřit ve tvaru nekonečné sumy, například
π
1 1 1
= 1 − + − + ··· ,
4
3 5 7
Takže jej lze vyjádřit až na libovolně velký počet desetinných míst.
Otázky kolem čísla π
Vyskytují se v desetinném rozvoji π všechny číslice nekonečněkrát?
A se stejnou frekvencí?
A se stejnou frekvencí?
Obsahuje desetinný rozvoj nějaká číselná schémata, která se stále
opakují?
Na scénu vstupuje Kurt Gödel
Kurt Gödel v roce 1931 dokázal existenci tzv. nerozhodnutelných
tvrzení.
Tak, teď se ukáže!
Možná, že následující otázka je nerozhodnutelná:
Obsahuje či neobsahuje v našem axiomatickém systému
desetinný rozvoj čísla π nekonečně mnoho nul?
Věříte-li, že odpověď existuje a zní buď ano nebo ne, pak jste
platonisté.
platonisté.
Formalisté odmítnou otázku jako nesmyslnou.
platonisté.
Dělá padající strom v lese hluk, jestliže okolo není nikdo, kdo by ho
slyšel spadnout?
platonisté.
Dělá padající strom v lese hluk, jestliže okolo není nikdo, kdo by ho
slyšel spadnout?
Tak co, jste platonisté?
Georg Cantor (1845–1918)
MOTTO: Dálka nekonečná, to se jen krásně říká, dokud nezkusíš
jak já po ní plout . . .
(Pavel Bobek)
Cantor a nekonečno
Cantor a nekonečno
Cantorův objev: kardinalita množiny
Cantor a nekonečno
U konečných množin je to počet jejich prvků.
Cantor a nekonečno
Pravá zábava začíná pro nekonečné množiny.
Cantor a nekonečno
Pravá zábava začíná pro nekonečné množiny.
Dvě množiny jsou ekvivalentní, jestliže mezi nimi existuje bijekce.
První Cantorův šok
Množina může být ekvivalentní své vlastní podmnožině!
Příklad: přirozená čísla a sudá čísla.
Příklad: přirozená čísla a sudá čísla.
Spočetné množiny
Spočetné množiny
Množiny, mající nejvýše tolik prvků jako N, nazýváme spočetné.
Spočetné množiny
Příklady:
Spočetné množiny
Příklady:
lichá čísla
Spočetné množiny
Příklady:
lichá čísla, sudá čísla
Spočetné množiny
Příklady:
lichá čísla, sudá čísla, druhé mocniny
Spočetné množiny
Příklady:
lichá čísla, sudá čísla, druhé mocniny, algebraická čísla
Spočetné množiny
Příklady:
lichá čísla, sudá čísla, druhé mocniny, algebraická čísla, prvočísla
Spočetné množiny
Příklady:
lichá čísla, sudá čísla, druhé mocniny, algebraická čísla, prvočísla
A co třeba racionální čísla nebo reálná čísla?
Druhý Cantorův šok
Racionálních čísel je stejné množství jako čísel přirozených!
Racionální čísla jsou spočetná.
Racionální čísla jsou spočetná.
Třetí Cantorův šok
Reálných čísel je podstatně více než přirozených!
Reálná čísla jsou nespočetná.
To vyplývá z diagonalizační metody, kterou Cantor vyvinul.
To vyplývá z diagonalizační metody, kterou Cantor vyvinul.
Čtvrtý Cantorův šok
Existuje více druhů nekonečen!
Cantor předpověděl existenci hierarchie nekonečen.
ℵ0 < ℵ1 < ℵ2 < . . .
ℵ0 < ℵ1 < ℵ2 < . . .
Hypotéza kontinua:
c = 2 ℵ0 = ℵ 1 ?
ℵ0 < ℵ1 < ℵ2 < . . .
Hypotéza kontinua:
c = 2 ℵ0 = ℵ 1 ?
Cantor věřil, že ano, ale nedokázal to.
Hilbertův seznam
Hilbertův seznam
David Hilbert (Paříž 1900): 23 nejdůležitějších neřešených
matematických problémů.
Hilbertův seznam
David Hilbert (Paříž 1900): 23 nejdůležitějších neřešených
matematických problémů.
První místo na seznamu: hypotéza kontinua.
Geologicko platónský pohled na matematiku
Co je matematickou obdobou geologického podloží, v kterém čekají
diamanty na objevení?
Co je matematickou obdobou geologického podloží, v kterém čekají
diamanty na objevení?
Axiomatický systém teorie množin!
Axiomy teorie množin
Cantor, Zermelo, Fränkel (1908) (dle Eukleidova vzoru)
Cantor, Zermelo, Fränkel (1908) (dle Eukleidova vzoru)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
axiom
axiom
axiom
axiom
axiom
axiom
axiom
axiom
axiom
existence množiny
extenzionality
vydělení
dvojice
sumy
potence
nahrazení
nekonečna
výběru
Pozor, na seznamu je ukryt škodič!
S jedním z axiomů budou problémy.
Který to je?
Který to je?
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
axiom existence množiny
axiom extenzionality
axiom vydělení
axiom dvojice
axiom sumy
axiom potence
axiom nahrazení
axiom nekonečna
axiom výběru
Axiom výběru
Axiom výběru
Axiom výběru: Pro libovolný soubor množin existuje výběrová
množina, která obsahuje po jednom prvku z každé množiny v
daném souboru.
Axiom výběru
Axiom výběru: Pro libovolný soubor množin existuje výběrová
množina, která obsahuje po jednom prvku z každé množiny v
daném souboru.
Axiom výběru v praxi
Pro konečný počet množin je to snadné.
Pro nekonečné soubory množin začínají problémy.
Příklady:
Příklady:
• nekonečná množina párů bot
Příklady:
• nekonečná množina párů bot
• nekonečná množina párů ponožek
Axiom výběru – konzistence a nezávislost
Otázky kolem axiomu výběru: jeho konzistence a nezávislost na
ostatních axiomech.
Kurt Gödel 1940: Axiom výběru nelze vyvrátit
(tedy je konzistetní s ostatními axiomy).
Zároveň dokázal konzistenci hypotézy kontinua.
Snažil se dokázat jejich nezávislost, ale nepodařilo se.
Snažil se dokázat jejich nezávislost, ale nepodařilo se.
Na tu bylo třeba počkat ještě dalších 25 let.
Paul Cohen
Paul Cohen
Paul Cohen
dokázal (1965) nezávislost axiomu výběru a hypotézy kontinua.
Matematické paradoxy
Existují tři typy paradoxů:
paradoxy typu 1: tvrzení vypadá absurdně, ale platí;
paradoxy typu 2: tvrzení vypadá věrohodně, ale neplatí;
(obvykle jde o nějaký švindl)
(obvykle jde o nějaký švindl)
paradoxy typu 3 (antinomy): výroky vedoucí ke sporným důsledkům
Paradoxy typu 3 (antinomy)
Antinomy jsou v drtivé většině logické paradoxy, k fyzice nemají
žádný vztah.
žádný vztah.
Russellův paradox (1901): Definujeme množinu všech množin, které
nejsou samy sobě svým prvkem. Je tato množina svým vlastním
prvkem?
žádný vztah.
Russellův paradox (1901): Definujeme množinu všech množin, které
nejsou samy sobě svým prvkem. Je tato množina svým vlastním
prvkem?
Obě odpovědi vedou k logickému sporu.
Richardův paradox
Richardův paradox
V roce 1905 objevil Jules Richard zajímavý paradox.
Richardův paradox
Některé slovní útvary a věty v češtině definují nějaké číslo,
Richardův paradox
zatímco jiné nikoli.
Richardův paradox
Například výraz rok nástupu Ferdinanda I. Habsburského na
český trůn definuje číslo
Richardův paradox
český trůn definuje číslo 1526.
Richardův paradox
Naopak, výraz historický význam Habsburků na českém trůně
Richardův paradox
Naopak, výraz historický význam Habsburků na českém trůně žádné
číslo nedefinuje.
Richardův paradox
číslo nedefinuje.
Severomoravská verze příkladu:
Richardův paradox
číslo nedefinuje.
Severomoravská verze příkladu: výraz rok, ve kterém Baník poprvé
vyhrál ligu, definuje číslo
Richardův paradox
číslo nedefinuje.
vyhrál ligu, definuje číslo 1976.
Richardův paradox
číslo nedefinuje.
Naopak, výraz Sparta fuj!
Richardův paradox
číslo nedefinuje.
Naopak, výraz Sparta fuj! žádné číslo nedefinuje.
Richardův paradox - pokračování
OTÁZKA:
OTÁZKA: Které číslo definuje následující slovní spojení?
“Nejmenší číslo, které není možné žádným způsobem
definovat pomocí českého slovního útvaru obsahujícího počet
slov ostře menší než dvacet.”
“Nejmenší číslo, které není možné žádným způsobem
definovat pomocí českého slovního útvaru obsahujícího počet
slov ostře menší než dvacet.”
Ať je toto číslo jakékoli, právě jsme jej definovali pomocí českého
slovního útvaru o pouhých devatenácti slovech.
Paradoxy typu 2 (švindly)
Sam Lloyd.
Sam Lloyd.
Zmizelý pidižvýk
Zmizelý pidižvýk
Zmizelý pidižvýk
Máme patnáct pidižvýků.
Zmizelý pidižvýk
Zmizelý pidižvýk
Po záměně horních dílů jich je jen 14.
Zmizelý pidižvýk
Po záměně horních dílů jich je jen 14.
Kam zmizel patnáctý pidižvýk?
Fígl se čtvercem
Fígl se čtvercem
Fígl se čtvercem
a jeho vysvětlení:
Fígl se čtvercem
a jeho vysvětlení:
Paradoxy typu 1
Paradoxy typu 1
Braessův paradox (každý si může ověřit)
Paradoxy typu 1
Zavěsíme závaží na pružinu přerušenou strunou, obě části pružiny
přichytíme dvěma dalšími strunami a původní strunu přestřihneme.
Paradoxy typu 1
Zavěsíme závaží na pružinu přerušenou strunou, obě části pružiny
přichytíme dvěma dalšími strunami a původní strunu přestřihneme.
Je zřejmé, že závaží klesne?
Klesne závaží?
Opak je pravdou!
Simpsonův paradox
Simpsonův paradox
Posuzujeme efektivnost dvou druhů léku proti zákeřné chorobě.
Máme k dispozici data aplikace léků na 245
Simpsonův paradox
Simpsonův paradox
Položte si dvě otázky:
Simpsonův paradox
1) jste-li pacient, kterému léku dáte přednost?
Simpsonův paradox
1) jste-li pacient, kterému léku dáte přednost?
2) jste-li lékař, jaký lék nabídnete pacientovi, jestliže nevíte, zda je
to muž nebo žena?
Kongruence
Kongruence
Dva objekty se nazývají kongruentní, jestliže lze jeden převést na
druhý pomocí izometrie.
Kongruence
Izometrie je rigidní pohyb tělesa zachovávající vzdálenosti mezi
body.
Kongruence
body.
Příklady izometrií:
Kongruence
body.
Příklady izometrií: posun
Kongruence
body.
Příklady izometrií: posun, pootočení
Kongruence
body.
Příklady izometrií: posun, pootočení, zrcadlení.
Kongruence – ilustrace
Kongruence – ilustrace
Nůžková kongruence
Dva rovinné objekty jsou nůžkově kongruentní, jestliže lze jeden
rozstříhat na konečně mnoho částí a z nich složit druhý.
Věta (Wallace–Bólyai–Borwein): Dva mnohoúhelníky jsou
nůžkově kongruentní právě tehdy, když mají stejný obsah.
Hilbertův třetí problém: existuje 3D verze této věty?
Hilbertův třetí problém: existuje 3D verze této věty?
Max Dehn (1900): NE
Úskalí nůžkové kongruence
Pozor na body na okraji střihu!
Příklad: čtverec a trojúhelník.
Co se děje s diagonálou?
A které body se zobrazí do místa slepu?
Čtverec a trojúhelník nejsou kongruentní.
Čtverec a trojúhelník nejsou kongruentní.
Jsou však kongruentní po částech.
Kongruence po částech
Kongruence po částech
Dva objekty jsou kongruentní po částech, lze-li jeden rozložit na
sjednocení konečně mnoha částí a z množin jim kongruentních
sestavit druhý.
Kongruence po částech – příklady
• {1, 2, 3, . . . } a {4, 5, 6, . . . } jsou kongruentní
• {1, 2, 3, . . . } a {2, 4, 6, . . . } nejsou kongruentní
• {1, 2, 3, . . . } a {1, 2, 3} ∪ {5, 6, 7 . . . }
nejsou kongruentní, ale jsou kongruentní po částech,
• {1, 2, 3, . . . } a {1, 2, 3} ∪ {5, 6, 7 . . . }
protože množina {5, 6, 7 . . . } je kongruentní množině
{4, 5, 6, 7 . . . }.
• {1, 2, 3, . . . } a {1, 2, 3} ∪ {5, 6, 7 . . . }
protože množina {5, 6, 7 . . . } je kongruentní množině
{4, 5, 6, 7 . . . }.
Posun z/do nekonečna
Kružnice je po částech kongruentní kružnici bez bodu.
Myšlenka:
Myšlenka:
Obdoba pro kruh bez poloměru
Kruh je po částech kongruentní kruhu bez ploměru.
Myšlenka:
Myšlenka:
Hilbertův hotel
Hilbertův hotel
Hilbertův hotel má nekonečně mnoho pokojů
Hilbertův hotel
a všechny jsou obsazené.
Hilbertův hotel
Přijíždí nový turista.
Hilbertův hotel
Hilbert posune všechny hosty do pokoje s číslem o jedničku vyšším.
Hilbertův hotel
Přijíždí autobus s nekonečně mnoha turisty.
Hilbertův hotel
Přijíždí autobus s nekonečně mnoha turisty.
Hilbert posune každého hosta do pokoje s dvojnásobným číslem.
Předchůdci Banachova–Tarského paradoxu
Vitaliova konstrukce neměřitelných množin:
Čísla a a b jsou ekvivalentní, je-li jejich rozdíl racionální.
[0, 1] se rozpadne na třídy ekvivalence.
Axiom výběru: sestrojíme výběrovou množinu M.
Pro q ∈ Q definujeme Mq := {x + q; x ∈ M}.
Pak R =
S
q∈Q Mq .
Pak R =
S
q∈Q Mq .
Tedy M nemůže být měřitelná.
Superslovník Hyperwebster
Superslovník Hyperwebster
MOTTO:
Popsat Vám ji lze jen stěží, slovník můj má málo slov . . .
(The Rangers)
Obsah slovníku
Obsah slovníku
Všechny výrazy, které lze formulovat z 26 písmen anglické abecedy.
Obsah slovníku
Začíná: A, AA, AAA, AAAA, . . .
Obsah slovníku
Po nekonečně mnoha výrazech: AB, ABA, ABAA, . . .
Obsah slovníku
Není to sice výkladový slovník, ale definice v něm jsou:
Obsah slovníku
správné: LICHOBEZNIKJECTYRUHELNIKKTERYMAPRAVEDVESTRANYROVNOBEZNE
Obsah slovníku
správné: LICHOBEZNIKJECTYRUHELNIKKTERYMAPRAVEDVESTRANYROVNOBEZNE
i nesprávné: LICHOBEZNIKJEPLECHOVYHLODAVEC
Vydání Hyperwebsteru
Vydavatel se rozhodne vydat slovník ve 26 dílech:
Díl A: A, AA, AAA, . . . , AB, ABA, . . . , ABB,
Díl B: B, BA, BAA, . . . , BB, BBA, . . . , BBB,
Díl C: C, CA, CAA, . . . , CB, CBA, . . . , CBB,
..
.
Díl Z: Z, ZA, ZAA, . . . , ZB, ZBA, . . . , ZBB,
..
.
Pak škrtne zbytečné první písmenko.
..
.
Pak zjistí, že jsou všechny díly stejné, takže vydá jen díl A.
..
.
Pak zjistí, že jsou všechny díly stejné, takže vydá jen díl A.
A změní jeho název na Hyperwebster.
Sierpińského–Mazurkiewiczův paradox
Wacław Sierpiński: Lze rozložit nějakou množinu E na disjunktní
sjednocení dvou množin E1 a E2 tak, aby každá z nich byla
kongruentní původní množině?
S. Mazurkiewicz: ANO
S. Mazurkiewicz: ANO
Odbydeme obrázkem.
Sierpińského–Mazurkiewiczův paradox - obrázek
Množina E :
Množina E :
Souvislost s Hyperwebsterem
Souvislost s Hyperwebsterem
Banachova–Tarského věta - mazácká formulace
kongruentní.
kongruentní.
Blížíme se k důkazu BT věty
Jsme připraveni na důkaz?
Co vlastně je matematický důkaz?
Co vlastně je matematický důkaz?
Dáme si příklad.
Čísla jsou ohromně zajímavá
VĚTA (o zajímavosti čísel):
Všechna přirozená čísla jsou zajímavá.
Důkaz.
Důkaz.
Předpokládejme pro spor, že tvrzení věty neplatí.
Důkaz.
Pak existuje nejmenší nezajímavé přirozené číslo.
Důkaz.
Je to nejmenší číslo s jistou netriviální vlastností.
Důkaz.
To jej činí zajímavým.
Důkaz.
To jej činí zajímavým.
Dostáváme spor.
Důkaz Banachovy–Tarského věty
Osnova důkazu:
Osnova důkazu:
• 1. krok: grupa rotací na sféře
Osnova důkazu:
• 2. krok: rozklad sféry na množiny, splňující Hausdorffův paradox
Osnova důkazu:
• 2. krok: rozklad sféry na množiny, splňující Hausdorffův paradox
• 3. krok: povinné ztloustnutí (mentální antianorexie)
Rotace
Rotace
rotací kolem osy v 3D nazýváme rigidní pohyb všech bodů tělesa
po stejné kruhové dráze
Rotace
rotací kolem osy v 3D nazýváme rigidní pohyb všech bodů tělesa
po stejné kruhové dráze
veškeré distorze jsou zakázány
Dvě základní rotace
τ ... rotace o 120◦ kolem osy z po směru hodinových ručiček
σ ... rotace o 180◦ kolem osy z = x po směru hodinových ručiček
σ ... rotace o 180◦ kolem osy z = x po směru hodinových ručiček
Kombinace rotací
Kombinace rotací
Uvažujeme všechny možné kombinace základních rotací.
Kombinace rotací
Příklady:
Kombinace rotací
Příklady:
• τ τ = τ 2 ... rotace o 240◦ kolem osy z po směru hodinových
ručiček
Kombinace rotací
Příklady:
ručiček
• σσ = σ 2 ... rotace o 360◦ kolem osy z = x po směru hodinových
ručiček
Kombinace rotací
Příklady:
ručiček
• σσ = σ 2 ... rotace o 360◦ kolem osy z = x po směru hodinových
ručiček
tj. nestane se nic
Vztahy mezi rotacemi
Identickou rotací I nazýváme rotaci, při níž se poloha bodů
nemění.
nemění.
Příklady vztahů:
nemění.
Příklady vztahů:
I σ = σI = σ,
2
Iτ = τI = τ
3
σ =τ =I
τ 7 = τ 3 τ 3 τ = II τ = τ
τ 4 σ 3 τ 2 = τ 3 τ σ 2 στ 2 = I τ I στ = τ στ 2 .
nemění.
Příklady vztahů:
I σ = σI = σ,
2
Iτ = τI = τ
3
σ =τ =I
τ 7 = τ 3 τ 3 τ = II τ = τ
τ 4 σ 3 τ 2 = τ 3 τ σ 2 στ 2 = I τ I στ = τ στ 2 .
Pozorování: Každá rotace je složením konečné posloupnosti
základních rotací τ , τ 2 , σ.
Délka rotace
Délka rotace
Délkou rotace nazýváme počet symbolů v definici rotace v
základním tvaru.
Délka rotace
základním tvaru.
Příklady
Délka rotace
základním tvaru.
Příklady
• I má délku 0;
Délka rotace
základním tvaru.
Příklady
• I má délku 0;
• στ 2 στ má délku 4.
Grupa rotací
Grupa rotací
množinu všech rotací na sféře označíme G
Grupa rotací
Potom platí:
Grupa rotací
Potom platí:
• G je grupa
Grupa rotací
Potom platí:
• G je grupa
• Každá rotace z G má jednoznačnou reprezentaci v základním
tvaru.
Rozklad grupy G
Rozklad grupy G
Grupu G rozložíme na tři části:
Rozklad grupy G
G = G1 ∪ G2 ∪ G3
Rozklad grupy G
G = G1 ∪ G2 ∪ G3
Algoritmus rozkladu
Algoritmus rozkladu
Ilustrace rozkladu
Ilustrace rozkladu
Stroj Roberta Frenche:
Ilustrace rozkladu
Stroj Roberta Frenche:
Vztahy mezi třídami
Pozorování: provedeme-li τ na rotaci z G1 , dostaneme rotaci z G2 .
Platí to ale i naopak!
Každá rotace v G2 je tohoto tvaru.
Tento fakt zapíšeme ve formě identity
Tento fakt zapíšeme ve formě identity
τ G1 = G2 .
Vztahy mezi třídami – souhrn
Obdobně dostaneme další vztahy.
Obdobně dostaneme další vztahy.
τ G1 = G2
τ 2 G1 = G3
σ G1 = G2 ∪ G3 .
Druhý krok – rozklad sféry
Každá rotace má dva póly.
Pól je bod, který se při dané rotaci nemění.
Rotací je spočetně mnoho, tedy také pólů je spočetně mnoho.
Označíme P množinu všech pólů všech rotací.
Pak P je spočetná.
Pak P je spočetná.
Množinu P necháme stranou a věnujeme se zbytku S \ P.
Rozklad množiny S \ P na orbity
Množinu S \ P rozložíme na třídy ekvivalence.
Do jedné třídy patří body, které lze spojit nějakou rotací z G .
Tyto třídy nazýváme orbity.
Každý bod z S \ P patří právě do jedné orbity.
Každá orbita je spočetná.
Každá orbita je spočetná.
A pochopitelně jich je nespočetně mnoho.
Nadešla chvíle axiomu výběru!
Stvoříme výběrovou množinu C , která obsahuje právě jeden bod z
každé orbity.
každé orbity.
Pak
každé orbity.
Pak
• C je nespočetná
každé orbity.
Pak
• C ∩P =∅
každé orbity.
Pak
• C ∩P =∅
• žádné dva body z C nelze spojit žádnou rotací z G
každé orbity.
Pak
• C ∩P =∅
• žádné dva body z C nelze spojit žádnou rotací z G
• do každého bodu z S \ P se lze dostat z nějakého bodu z C
nějakou rotací z G .
Rozklad sféry
Rozklad sféry
Definujeme
K1 = G1 C
K2 = G2 C
K3 = G3 C .
Rozklad sféry
Definujeme
K1 = G1 C
K2 = G2 C
K3 = G3 C .
Pak
S = P ∪ K1 ∪ K2 ∪ K3 .
Vztahy mezi třídami K1 , K2 , K3
Rotací τ se dostaneme z kteréhokoli bodu z K1 do nějakého bodu z
K2 .
K2 .
A všechny body z K2 takto vyčerpáme!
K2 .
Tedy K1 a K2 jsou kongruentní tj. K1 ≈ K2 !
K2 .
Obdobně: K1 ≈ K3 (pomocí rotace τ 2 )
K2 .
a K1 ≈ K2 ∪ K3 (pomocí rotace σ).
K2 .
a K1 ≈ K2 ∪ K3 (pomocí rotace σ).
Celkem:
K1 ≈ K2 ≈ K3 ≈ K2 ∪ K3 .
Hausdorffův paradox
Též paradox třetiny a poloviny:
Skoro K = K1 ∪ K2 ∪ K3 (až na póly, ale těch je málo).
Tedy K je kongruentní své skorotřetině.
Tedy K je kongruentní své skorotřetině.
Zároveň je ale K kongruentní své skoropolovině.
Pozor, blíží se klíčový krok!
Množinu K2 ∪ K3 použijeme jako rozkladový vzor.
S její pomocí rozložíme každou z K1 , K2 a K3 na dvě části.
Jedna bude kongruentní K2 a druhá K3 .
Jedna bude kongruentní K2 a druhá K3 .
A jsme skoro hotovi
A jsme skoro hotovi
Tím jsme rozložili množinu S \ P na šest částí, z nichž každá je
kongruentní buď K2 nebo K3 .
A jsme skoro hotovi
Vezmeme vždy tři a tři a deklarujeme kongruenci množinám K1 , K2
a K3 .
A jsme skoro hotovi
a K3 .
Tím získáme dvě identické kongruentní kopie S \ P, jejichž
sjednocením je ale opět S \ P.
A jsme skoro hotovi
a K3 .
Tím získáme dvě identické kongruentní kopie S \ P, jejichž
sjednocením je ale opět S \ P.
Co zbývá?
Co zbývá?
Zbývá zbavit se pólů.
Co zbývá?
Na to ale stačí posun z nekonečna.
Co zbývá?
Na to ale stačí posun z nekonečna.
Třetí krok – mentální antianorexie
Odbydeme to obrázkem!
(Těžké matiky už bylo dost.)
Díru v počátku zaplníme posunem z nekonečna.
Je čas na oslavy!
Je čas na oslavy!
No vidíte, dokázali jsme to!
Je čas na oslavy!
Dokázali jsme duplikační verzi Banachovy–Tarského věty.
Je čas na oslavy!
Dokázali jsme něco, co odporuje zdravému rozumu!
Je čas na oslavy!
Dokázali jsme něco, co odporuje zdravému rozumu!
K tomu musíme zaujmout nějaké stanovisko.
Jak chápat Banachovu-Tarského větu?
Možnost 1: exemplárně ji zavrhnout jakožto zjevný naprostý
nesmysl.
nesmysl.
Dobře, ale pak musíme zavrhnout axiom výběru.
nesmysl.
A rozloučit se s rozsáhlými partiemi nádherné matematiky.
nesmysl.
Možnost 2: přijmout bez výhrad a bez další interpretace.
nesmysl.
Možnost 2: přijmout bez výhrad a bez další interpretace.
Pak zase ale musíme začít zdvojovat hmotu.
Naštěstí je tu ještě jedna možnost
Možnost 3: uvědomit si, že jde (pouze) o matematickou větu.
V Zermelo-Fränkelově axomatickém systému toto tvrzení platí,
přijmeme-li axiom výběru.
Axiom výběru je matematický axiom, nikoli fyzikální!
Celé je to možné jedině díky tomu, že pracujeme s množinami,
které nemají objem.
Celé je to možné jedině díky tomu, že pracujeme s množinami,
které nemají objem.
Zdvojovat hmotu tedy asi nebudeme.
Projevy Banachova–Tarského paradoxu v reálném světě
dědečkovy hodiny
dědečkovy hodiny
pes
Má tedy Banach-Tarského paradox vztah k fyzickému světu?
A musí vůbec mít všechno, co vidíme a slyšíme, fyzikální
smysl?
smysl?
Například toto jsem slyšel v rádiu:
smysl?
Ten okamžik trval snad celý světelný rok . . .
(Lenka Filipová)
smysl?
(Lenka Filipová)
PRO SROVNÁNÍ:
smysl?
(Lenka Filipová)
PRO SROVNÁNÍ:
Dneska ráno jsem uběhl patnáct kilogramů.
(Luboš Pick)
Poučení:
Poučení:
Všude, kam přijdete, udržujte fyzikální povědomí!
Poučení:
A tolerujte matematiky i s jejich pošetilými tvrzeními!
Poučení:
A tolerujte matematiky i s jejich pošetilými tvrzeními!
A hlavně: neberte se moc vážně.
Historka na závěr - jak nás vnímá veřejnost
Historka na závěr - jak nás vnímá veřejnost
Milan
Končíme
Děkuji Vám za pozornost a teď už máte volno!
BLBOSTI
Z přednášky prof. Karla Olivy (ÚJČ)
Psi pokousaly hyeny.
Umřeli mi ondatry.
Umřeli mi ondatry.
Pošli mi ondatry.
Umřeli mi ondatry.
Pošli mi ondatry.
vyděl
Umřeli mi ondatry.
Pošli mi ondatry.
vyděl
Psi štěkaly.
Umřeli mi ondatry.
Pošli mi ondatry.
vyděl
Psi štěkaly.
Vaši odporní šerední chlupatí páchnoucí psi včera v noci strašlivě
hlasitě štěkaly na měsíček.
Umřeli mi ondatry.
Pošli mi ondatry.
vyděl
Psi štěkaly.
Vaši odporní šerední chlupatí páchnoucí psi včera v noci strašlivě
hlasitě štěkaly na měsíček.
Úplně stejně jako vaši odporní šerední chlupatí páchnoucí psi
štěkaly včera v noci naše krásné plavé čistotné hyeny na měsíček.
Z přednášky prof. Karla Olivy (ÚJČ) - continued
Obecní úřad každému občanu vyplatí 50 Kč.
Obecní úřad každému občanu, jenž toho tuláka udá, vyplatí 50 Kč.
Obecní úřad každému občanu, jenž toho tuláka, který tu sochu
poškodil, udá, vyplatí 50 Kč.
Obecní úřad každému občanu, jenž toho tuláka, který tu sochu,
která na sloupu, jenž na mostě, který na cestě, jež Horní a Dolní
náměstí spojuje, leží, stojí, stojí, poškodil, udá, vyplatí 50 Kč.
Obecní úřad každému občanu, jenž toho tuláka, který tu sochu,
která na sloupu, jenž na mostě, který na cestě, jež Horní a Dolní
náměstí spojuje, leží, stojí, stojí, poškodil, udá, vyplatí 50 Kč.
SOUTĚŽ O TRIČKO - ÚKOL 1
TROJČLEN
TROJČLEN
Najděte alespoň jedno přirozené číslo n < 41 tak, aby
n2 + n + 41
nebylo prvočíslo.
KDE SE STALA CHYBA?
KDE SE STALA CHYBA?
Rozhodněte, která z následujících rovností je špatně:
q
√
6
−1 = (−1)3 = (−1) 2 = (−1)6 = 1 = 1
TUCET SLAVNÝCH MATEMATIKŮ
Určete, která z následujících třinácti významných osobností nikdy
nestudovala matematiku na vysoké škole:
1) Lewis Carroll, spisovatel (Alenka)
2) Art Garfunkel, zpěvák
3) Marek Benda, cenzor, právník z Plzně (náhubkový zákon)
1)
2)
3)
4)
Lewis Carroll, spisovatel (Alenka)
Art Garfunkel, zpěvák
Marek Benda, cenzor, právník z Plzně (náhubkový zákon)
Michael Jordan, sportovec (koš)
1)
2)
3)
4)
5)
Philip Glass, hudební skladatel
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Emanuel Lasker, mistr světa v šachu
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Kryštof Eben, hudebník a bratr
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Leon Trockij, revolucionář
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Leon Trockij, revolucionář
Sir Christopher Wren, architekt (St. Paul’s Cathedral)
4) Michael Jordan, sportovec (koš)
5) Philip Glass, hudební skladatel
6) Emanuel Lasker, mistr světa v šachu
7) Kryštof Eben, hudebník a bratr
8) Leon Trockij, revolucionář
9) Sir Christopher Wren, architekt (St. Paul’s Cathedral)
10) Jan Kodeš, tenista, vítěz Wimbledonu 1973
11) Ivo Svoboda, ministr a vězeň
12) Eamon de Valera, prezident Irské republiky
12) Eamon de Valera, prezident Irské republiky
13) Bram Stoker, spisovatel (Drákula)

Pick, Luboš (MFF UK) Hrášek a sluníčko - A-Math-Net

Transkript

Podobné dokumenty

klasifikace jako kognitivní funkce1 - P-MAT

fraktální dimenze d

1 Petr Kolář: Pravda a fakt, Filosofia, Praha, 2002

KOMUNIKAČNÍ VZORCE V.SATIROVÁ

Vývoj fraktální geometrie

Technické kreslení

1. Predikátová logika jako prostředek reprezentace znalostí

Počítačové metody analýzy fraktálních množin

Logické vyplývání - Filosofický časopis

Odůvodnění stížnosti obviněné do usnesení ze

Zápis z konference pořádané nadací Action Duchenne (formát PDF)

wiki skriptum

Spory o realismus, Hegel a jazyk(y) matematiky

sborník ISBN 978-80-245-1921-0

Alkohol

Prezentace

Teorie vědy 2011-4 - text.indd - Teorie vědy / Theory of Science

Anotace předmětů