docVázané metody lineárn´ı perspektivy
download 
Stížnost Transkript
Vázané metody lineárn´ı perspektivy
Geometrie Zobrazovacı́ metody Vázané metody lineárnı́ perspektivy Výklad • jedná se o konstrukce perspektivy daného objektu vázané na zobrazenı́ v Mongeově promı́tánı́ • perspektivnı́ průměty jednotlivých bodů jsou nejprve sestrojovány v přidruženém Mongeově promı́tánı́ a poté jsou tzv. průsečnou metodou, metodou vynášenı́ výšek a pomocı́ úběžnı́ků hlavnı́ch směrů daného objektu přenášeny do samostatného perspektivnı́ho obrázku • konkrétnı́ použitı́ těchto metod ve svislé a v šikmé perspektivě je ukázáno na dvou následujı́cı́ch přı́kladech Řešené úlohy Svislá perspektiva Přı́klad: Pomocı́ vázaných metod zobrazte průmět kolmého hranolu ABCDA0 B 0 C 0 D0 , jehož dolnı́ podstava ležı́ v půdorysně π, ve svislé perspektivě dané průmětnou ρ a okem S; A[−4; 3; 0], C 0 [−1; 1; 4], ρ(8; 4; ∞), S[1; 8; 1,5]. Zpracoval Jiřı́ Doležal 1 Geometrie Zobrazovacı́ metody D2′ =A′2 D2 =A2 D1′ =D1 A′1 =A1 C2′ =B2′ C2 =B2 C1′ =C1 O1,2 x1,2 B1′ =B1 • podle zadánı́ sestrojme v Mongeově promı́tánı́ sdružené průměty daného kolmého hranolu ABCDA0 B 0 C 0 D0 , který stojı́ na půdorysně π Zpracoval Jiřı́ Doležal 2 Geometrie Zobrazovacı́ metody D2′ =A′2 C2′ =B2′ nρ2 S2 D2 =A2 D1′ =D1 A′1 =A1 C2 =B2 C1′ =C1 x1,2 O1,2 B1′ =B1 pρ1 =ρ1 S1 • doplňme zadánı́ perspektivnı́ průmětny ρ, kde ρ ⊥ π a tedy ρ1 = pρ1 , a středu S promı́tánı́ (oka perspektivy); ze zadánı́ roviny ρ(8; 4; ∞) přı́mo vyplývá tzv. úsekový tvar jejı́ rovnice ρ : x8 + y4 = 1, který snadno převedeme na rovnici obecnou ρ : x + 2y − 8 = 0, a v následujı́cı́m kroku budeme tedy moci dosadit do vzorce pro výpočet vzdálenosti bodu S od roviny ρ: xS = 1, yS = 8, zS = 1,5, a = 1, b = 2, c = 0 a d = −8 Zpracoval Jiřı́ Doležal 3 Geometrie Zobrazovacı́ metody D2′ =A′2 C2′ =B2′ nρ2 S2 H2 h2 w D2 =A2 D1′ =D1 A′1 =A1 C2 =B2 C1′ =C1 Z2 x1,2 O1,2 B1′ =B1 Z1 =H1 pρ1 =ρ1 =h1 =z1 S1 H h w Z z • sestrojme sdružené průměty základnice z = π∩ρ (z1 = ρ1 , z2 = x1,2 ), horizontu h = π 0 ∩ρ (h1 = ρ1 a h2 k x1,2 , S2 ∈ h2 , přičemž π 0 k π, S ∈ π 0 je obzorová rovina), hlavnı́ho bodu H ∈ h (H1 ∈ h1 , H1 S1 ⊥ ρ1 a H2 ∈ h2 ) a základnı́ho bodu Z ∈ z (Z1 = H1 , Z2 ∈ z2 ); souběžně začněme kreslit perspektivnı́ obrázek, který vzniká v rovině ρ, a zvolme v něm horizont h, na něm hlavnı́ bod H, sestrojme základnı́ bod Z (|ZH| = w, kde w = |Sπ| = zS je výška perspektivy) a základnici z k h, Z ∈ z; pro distanci d dané . S +czS +d √ perspektivy platı́: d = |Sρ| = |SH| = |S1 H1 | = axS√+by = 1+16−8 = √95 = 4,02 5 a2 +b2 +c2 Zpracoval Jiřı́ Doležal 4 Geometrie Zobrazovacı́ metody D2′ =A′2 C2′ =B2′ S2 H2 D1′ =D1 A′1 =A1 C2 =B2 C1′ =C1 h2 w Ap2 D2 =A2 nρ2 Z2 x1,2 O1,2 B1′ =B1 Ap1 Z1 =H1 pρ1 =ρ1 =h1 =z1 S1 H h w Z z • v Mongeově promı́tánı́ sestrojme sdružené průměty Ap1 , Ap2 perspektivnı́ho průmětu Ap = = ρ ∩ SA vrcholu A: Ap1 = ρ1 ∩ S1 A1 a nárys Ap2 ležı́ na ordinále a na přı́mce S2 A2 ; přı́mka SA má směrový vektor S − A = (5; 5; 1,5), a pro jejı́ parametrické vyjádřenı́ použijme jeho dvojnásobek: X = A + 2t(S − A); tedy přepsáno do souřadnicový rovnic x = −4 + 10t, y = 3 + 10t a z = 3t; po dosazenı́ do rovnice roviny ρ : x + 2y − 8 = 0 nám vyjde t = 51 , a zpětně dopočı́táme souřadnice bodu Ap [−2; 5; 53 ]; sami si můžete zkusit je v obrázku naměřit. . . Zpracoval Jiřı́ Doležal 5 Geometrie Zobrazovacı́ metody D2′ =A′2 C2′ =B2′ A∗2 S2 H2 vA D1′ =D1 A′1 =A1 C2 =B2 C1′ =C1 h2 w Ap2 D2 =A2 nρ2 Z2 x1,2 O1,2 B1′ =B1 mA Ap1 Z1 =H1 pρ1 =ρ1 =h1 =z1 S1 A∗ mA H h vA w Ap Z z • nynı́ bod Ap přenesme z Mongeova promı́tánı́ do perspektivnı́ho obrázku pomocı́ průsečné metody: z půdorysu odměřme vzdálenost mA =|Ap1 H1 | bodu Ap od hlavnı́ vertikály HZ a na horizontu h v perspektivnı́m obrázku sestojme bod A∗ , |A∗ H|=mA (vlevo od H); podobně odměřme v náryse výšku vA =|Ap2 h2 | bodu Ap pod horizontem h a v perspektivnı́m obrázku ji nanesme dolů pod bod A∗ ; snadno sestavı́me parametrické rovnice osy o=SH dané perspektivy (o : x=1 + r, y=8 + 2r a z=1,5), a dopočı́táme souřadnice √ . hlavnı́ho bodu H[−0,8; 4,4; 1,5]; pak je mA =|Ap1 H1 |= 1,8 = 1,34 a vA =zS − zAp =0,9 Zpracoval Jiřı́ Doležal 6 Geometrie Zobrazovacı́ metody D2′ =A′2 C2′ =B2′ U2p A∗2 S2 H2 vA D1′ =D1 C2 =B2 C1′ =C1 h2 w Ap2 D2 =A2 nρ2 Z2 x1,2 O1,2 U1∞ A′1 =A1 B1′ =B1 mA Ap1 Z1 =H1 pρ1 =ρ1 =h1 =z1 U1p S1 U1∞ Up A∗ mA H h vA w Ap Z z • označme U ∞ nevlastnı́ bod přı́mky AB a sestrojme jeho perspektivnı́ průmět U p , tj. úběžnı́k jednoho hlavnı́ho směru daného hranolu: v Mongeově promı́tánı́ je U1p ∈ h1 , U1p S1 k A1 B1 a U2p ležı́ na ordinále a na h2 ; následně jej přenesme na horizont h vlevo od hlavnı́ho bodu H v perspektivnı́m obrázku, kde |U p H| = |U1p H1 |; úběžnı́k U p ležı́ v rovině ρ : x + 2y − 8 = 0 a současně je jeho y-ová i z-ová souřadnice stejná jako u oka S; odtud dopočı́táme jeho x-ovou souřadnici a máme U p [−8; 8; 1,5]; potom je √ √ . |HU p | = 7,22 + 3,62 = 64,8 = 8,05 Zpracoval Jiřı́ Doležal 7 Geometrie Zobrazovacı́ metody D2′ =A′2 C2′ =B2′ U2p A∗2 S2 H2 vA D1′ =D1 C2 =B2 C1′ =C1 h2 w Ap2 D2 =A2 nρ2 Z2 x1,2 O1,2 U1∞ A′1 =A1 B1′ =B1 mA Ap1 B1p Z1 =H1 pρ1 =ρ1 =h1 =z1 U1p S1 U1∞ Up A∗ mA H h vA w Ap Bp Z z • sestrojme půdorys B1p perspektivnı́ho průmětu B p bodu B, přenesme vzdálenost B1p H1 do perspektivnı́ho obrázku tentokrát vpravo od hlavnı́ho bodu H a sestrojme rovnoběžku s hlavnı́ vertikálou HZ; přı́mka AB procházı́ nevlastnı́m bodem U ∞ , a jejı́ perspektivnı́ průmět Ap B p se tudı́ž ubı́há do úběžnı́ku U p ; perspektiva B p je tedy sestrojena částečně průsečnou metodou a částečně pomocı́ úběžnı́ku jednoho hlavnı́ho směru Zpracoval Jiřı́ Doležal 8 Geometrie Zobrazovacı́ metody D2′ =A′2 C2′ =B2′ U2p A∗2 S2 H2 vA D1′ =D1 C2 =B2 C1′ =C1 h2 w Ap2 D2 =A2 nρ2 Z2 x1,2 O1,2 U1∞ A′1 =A1 N1 B1′ =B1 mA Ap1 B1p Z1 =H1 pρ1 =ρ1 =h1 =z1 U1p S1 U1∞ Np B ′p A′p Up A∗ 4 mA H h vA w Ap Bp Z N1p z • dále sestrojme průsečı́k N = A0 B 0 ∩ ρ: v Mongeově promı́tánı́ je N1 = A01 B10 ∩ ρ1 ; v perspektivnı́m obrázku je N1p = Ap B p ∩ z a výška zN = |N1 N | = 4 se v perspektivě zachová, tj. |N p N1p | = 4, N p N1p k HZ; na přı́mce N p U p , která je perspektivnı́m průmětem přı́mky N U ∞ = A0 B 0 , pak snadno doplnı́me perspektivy A0p , B 0p vrcholů A0 , B 0 hranolu: Ap A0p k B p B 0p k HZ; použitá konstrukce se nazývá metoda vynášenı́ výšek Zpracoval Jiřı́ Doležal 9 Geometrie Zobrazovacı́ metody D2′ =A′2 C2′ =B2′ U2p A∗2 S2 =V2p H2 vA D1′ =D1 C2 =B2 C1′ =C1 h2 w Ap2 D2 =A2 nρ2 Z2 x1,2 O1,2 U1∞ A′1 =A1 B1′ =B1 mA V1∞ Ap1 V1p N1 B1p Z1 =H1 V1∞ pρ1 =ρ1 =h1 =z1 U1p S1 U1∞ Np B ′p A′p Up A∗ mA H 4 Vp h vA w Ap Bp Z N1p z • doplňme úběžnı́k V p druhého hlavnı́ho směru V ∞ určeného např. přı́mkou BC: v Mongeově promı́tánı́ je V1p ∈ h1 , V1p S1 k B1 C1 a V2p = S2 ; v perspektivnı́m obrázku je pak V p ∈ h (vpravo) a |V p H| = |V1p H1 |; opět z podmı́nky V p ∈ ρ dourčı́me chybějı́cı́, √ tentokrát y-ovou souřadnici: V p [1; 3,5; 1,5], a vypočteme délku |HV p | = 1,82 + 0,92 = √ . = 4, 05 = 2,01 Zpracoval Jiřı́ Doležal 10 Geometrie Zobrazovacı́ metody D2′ =A′2 C2′ =B2′ U2p A∗2 nρ2 S2 =V2p H2 vA w Ap2 D2 =A2 D1′ =D1 C2 =B2 C1′ =C1 h2 Z2 x1,2 O1,2 U1∞ A′1 =A1 B1′ =B1 mA V1∞ Ap1 B1p C1p V1p N1 Z1 =H1 V1∞ pρ1 =ρ1 =h1 =z1 U1p S1 U1∞ Np B ′p A′p Up A∗ C ′p mA H 4 Vp h vA w Ap Bp Z Cp N1p z • sestrojme půdorys C1p perspektivnı́ho průmětu C p bodu C a přenesme do perspektivnı́ho obrázku vzdálenost C1p H1 (průsečná metoda); perspektivnı́ průměty C p , C 0p (kde C p C 0p k HZ) dále najdeme na přı́mkách B p V p , B 0p V p (užitı́ úběžnı́ku druhého hlavnı́ho směru) Zpracoval Jiřı́ Doležal 11 Geometrie Zobrazovacı́ metody D2′ =A′2 C2′ =B2′ U2p A∗2 nρ2 S2 =V2p H2 vA w Ap2 D2 =A2 D1′ =D1 h2 C2 =B2 C1′ =C1 Z2 x1,2 O1,2 U1∞ A′1 =A1 B1′ =B1 mA V1∞ Ap1 B1p C1p V1p N1 Z1 =H1 V1∞ pρ1 =ρ1 =h1 =z1 U1p S1 U1∞ Np B ′p A′p Up mA H A∗ vA C ′p D′p Dp w Ap Bp Z 4 Vp h Cp N1p z • perspektivnı́ průměty Dp , D0p zbývajı́cı́ch vrcholů D, D0 již dokončı́me přı́mo v perspektivnı́m obrázku jen pomocı́ úběžnı́ků U p , V p hlavnı́ch směrů: Dp = Ap V p ∩ C p U p a D0p = A0p V p ∩ C 0p U p ; současně platı́ Dp D0p k HZ; tı́m je konstrukce perspektivnı́ho průmětu daného hranolu pomocı́ metod vázaných na zobrazenı́ v Mongeově promı́tánı́ dokončena 2 Zpracoval Jiřı́ Doležal 12 Geometrie Zobrazovacı́ metody Šikmá perspektiva Přı́klad: Pomocı́ vázaných metod zobrazte průmět kolmého hranolu ABCDA0 B 0 C 0 D0 , jehož dolnı́ podstava ležı́ v půdorysně ρ, v šikmé perspektivě dané průmětnou ρ a okem S; A[−3; 0; 0], |AB| = 3, |BC| = 5, |AA0 | = 5, < ) (AB, x) = 60◦ , ρ(6; ∞; 5), S[3; 4; 6]. Zpracoval Jiřı́ Doležal 13 Geometrie D2′ Zobrazovacı́ metody C2′ A′2 B2′ A2 =A′1 =A1 D2 C2 B2 D1 =D1′ B1′ =B1 O1,2 x1,2 C1 =C1′ • podle zadánı́ sestrojme v Mongeově promı́tánı́ sdružené průměty daného kolmého hranolu ABCDA0 B 0 C 0 D0 Zpracoval Jiřı́ Doležal 14 Geometrie Zobrazovacı́ metody ρ2 =nρ2 D2′ C2′ S2 A′2 B2′ A2 =A′1 =A1 D2 C2 B2 D1 =D1′ B1′ =B1 x1,2 O1,2 S1 C1 =C1′ pρ1 • doplňme zadánı́ perspektivnı́ průmětny ρ, kde ρ ⊥ ν a tedy ρ2 = nρ2 , a středu S promı́tánı́ (oka perspektivy) Zpracoval Jiřı́ Doležal 15 Geometrie Zobrazovacı́ metody ρ2 =nρ2 D2′ C2′ h2 =H2′ S2 π2′ A′2 B2′ A2 =A′1 =A1 D2 C2 B2 D1 =D1′ B1′ =B1 x1,2 O1,2 H1′ S1 C1 =C1′ H′ pρ1 h1 h • v Mongeově promı́tánı́ sestrojme sdružené průměty horizontu h = ρ ∩ π 0 , kde π 0 k π, S ∈ π 0 je obzorová rovina (π20 k x1,2 , S2 ∈ π20 ): nárysem je bod h2 = ρ2 ∩ π20 a půdorys h1 ⊥ x1,2 odvodı́me pomocı́ ordinály; na horizontu h sestrojme pomocný bod H 0 tak, že SH 0 ⊥ h: H10 ∈ h1 , S1 H10 ⊥ h1 a H20 = h2 ; souběžně začněme kreslit perspektivnı́ obrázek: zvolme v něm horizont h a na něm pomocný bod H 0 Zpracoval Jiřı́ Doležal 16 Geometrie Zobrazovacı́ metody h2 =H2′ =U2p =V2p ρ2 =nρ2 C2′ D2′ S2 π2′ A′2 B2′ V1p A2 =A′1 =A1 D2 C2 B2 x1,2 O1,2 V1∞ V1∞ B1′ =B1 D1 =D1′ H1′ S1 C1 =C1′ U1∞ U1∞ U1p Up H′ h1 Vp pρ1 h • najděme sdružené průměty úběžnı́ků U p , V p hlavnı́ch vodorovných směrů U ∞ , V ∞ daného hranolu a přenesme je do perspektivnı́ho obrázku: v půdorysu je U1p , V1p ∈ h1 a U1p S1 k B1 C1 (směr U ∞ ), V1p S1 k C1 D1 (směr V ∞ ), v nárysu platı́ U2p = V2p = H20 ; v perpsektivnı́m obrázku je pak U p , V p ∈ h a |U p H 0 | = |U1p H10 |, |V p H 0 | = |V1p H10 | Zpracoval Jiřı́ Doležal 17 Geometrie Zobrazovacı́ metody W2∞ C2′ D2′ h2 =H2′ =U2p =V2p ρ2 =nρ2 S2 π2′ A′2 B2′ V1p W2p W2∞ A2 =A′1 =A1 D2 C2 B2 x1,2 O1,2 V1∞ V1∞ B1′ =B1 D1 =D1′ H1′ S1 =W1p C1 =C1′ U1∞ U1∞ U1p Up H′ h1 Vp pρ1 h Wp • podobně sestrojme úběžnı́k W p svislého směru W ∞ : v Mongeově promı́tánı́ je W2p = = ρ2 ∩ S1 S2 , W1p = S1 ; vzdálenost bodu W p od pomocného bodu H 0 přenesme z nárysu do perspektivnı́ho obrázku: |W p H 0 | = |W2p H20 |, W p H 0 ⊥ h Zpracoval Jiřı́ Doležal 18 Geometrie Zobrazovacı́ metody W2∞ C2′ D2′ h2 =H2′ =U2p =V2p ρ2 =nρ2 S2 π2′ A′2 B2′ Ap2 V1p W2p W2∞ A2 =A′1 =A1 D2 C2 B2 x1,2 O1,2 V1∞ V1∞ B1′ =B1 D1 =D1′ Ap1 H1′ S1 =W1p C1 =C1′ U1∞ U1∞ U1p Up H′ h1 Vp pρ1 h Wp • sestrojme sdružené průměty Ap1 , Ap2 perspektivnı́ho průmětu Ap bodu A: v náryse je Ap2 = S2 A2 ∩ ρ2 a půdorys Ap1 odvodı́me pomocı́ ordinály na přı́mce S1 A1 Zpracoval Jiřı́ Doležal 19 Geometrie Zobrazovacı́ metody C2′ D2′ h2 =H2′ =U2p =V2p ρ2 =nρ2 W2∞ S2 π2′ vA A′2 B2′ Ap2 V1p W2p W2∞ A2 =A′1 =A1 D2 C2 B2 x1,2 O1,2 V1∞ V1∞ B1′ =B1 D1 =D1′ Ap1 mA H1′ S1 =W1p C1 =C1′ U1∞ U1∞ U1p Up h1 H′ Vp pρ1 h vA mA Ap Wp • bod Ap přenesme do perspektivnı́ho obrázku pomocı́ průsečné metody: vzdálenost vA pod horizontem h odměřı́me v náryse (vA = |Ap2 h2 |) a naneseme ji od bodu H 0 dolů, podobně odměřı́me v půdoryse vzdálenost mA od hlavnı́ vertikály H 0 W p , naneseme ji (při pohledu z bodu S) doprava a zı́skáme tak perspektivnı́ průmět Ap vrcholu A Zpracoval Jiřı́ Doležal 20 Geometrie Zobrazovacı́ metody C2′ D2′ h2 =H2′ =U2p =V2p ρ2 =nρ2 W2∞ A′2 B2′ S2 π2′ vA A′p 2 Ap2 V1p W2p W2∞ A2 =A′1 =A1 D2 C2 B2 x1,2 O1,2 V1∞ V1∞ B1′ =B1 D1 =D1′ Ap1 mA H1′ S1 =W1p C1 =C1′ U1∞ U1∞ U1p Up h1 H′ Vp pρ1 h A′p vA mA Ap Wp • pro perspektivu vrcholu A0 užijeme začátek průsečné metody a úběžnı́k W p svislého 0p 0 směru: z nárysu přeneseme vzdálenost |A0p 2 h2 | (kde A2 = S2 A2 ∩ ρ2 ) pod horizont h a dále bod A0p najdeme na přı́mce W p Ap Zpracoval Jiřı́ Doležal 21 Geometrie Zobrazovacı́ metody C2′ D2′ h2 =H2′ =U2p =V2p ρ2 =nρ2 W2∞ A′2 B2′ S2 π2′ vA A′p 2 Ap2 B2p V1p W2p W2∞ A2 =A′1 =A1 D2 C2 B2 x1,2 O1,2 V1∞ V1∞ B1′ =B1 D1 =D1′ Ap1 mA H1′ S1 =W1p C1 =C1′ U1∞ U1∞ U1p Up h1 H′ B ′p vA Vp pρ1 h A′p mA Bp Ap Wp • podobně sestrojı́me perspektivnı́ průmět B p bodu B pomocı́ začátku průsečné metody (výška |B2p h2 | pod horizontem) a pomocı́ úběžnı́ku V p jednoho hlavnı́ho vodorovného směru; perspektivu B 0p vrcholu B 0 doplnı́me snadno již jen užitı́m úběžnı́ků V p , W p Zpracoval Jiřı́ Doležal 22 Geometrie Zobrazovacı́ metody C2′ D2′ h2 =H2′ =U2p =V2p ρ2 =nρ2 W2∞ A′2 B2′ S2 π2′ vA A′p 2 C2p Ap2 B2p V1p W2p W2∞ A2 =A′1 =A1 D2 C2 B2 x1,2 O1,2 V1∞ V1∞ B1′ =B1 D1 =D1′ Ap1 mA H1′ S1 =W1p C1 =C1′ U1∞ U1∞ U1p Up h1 H′ Vp pρ1 h C ′p B ′p vA Cp A′p mA Bp Ap Wp • analogicky jako v předchozı́m kroku najdeme perspektivnı́ průměty C p , C 0p bodů C, C 0 ; užijeme při tom opět prvnı́ část průsečné metody a úběžnı́ky U p , W p Zpracoval Jiřı́ Doležal 23 Geometrie Zobrazovacı́ metody C2′ D2′ h2 =H2′ =U2p =V2p ρ2 =nρ2 W2∞ A′2 B2′ S2 π2′ vA A′p 2 C2p Ap2 B2p V1p W2p W2∞ A2 =A′1 =A1 D2 C2 B2 x1,2 O1,2 V1∞ V1∞ B1′ =B1 D1 =D1′ Ap1 mA H1′ S1 =W1p C1 =C1′ U1∞ U1∞ U1p Up h1 H′ Vp pρ1 h D′p C ′p B ′p vA A′p Dp Cp mA Bp Ap Wp • perspektivnı́ průměty Dp , D0p zbývajı́cı́ch vrcholů D, D0 již dokončı́me jen pomocı́ úběžnı́ků U p , V p hlavnı́ch vodorovných směrů: Dp = Ap U p ∩ C p V p a D0p = A0p U p ∩ C 0p V p ; přitom musı́ přı́mka Dp D0p procházet úběžnı́kem W p 2 Zpracoval Jiřı́ Doležal 24
Podobné dokumenty
Geometrie 3
1. grafická práce - Mongeovo promı́tánı́ - Vypracujte jednu z úloh 5.3, 5.4, 5.9, 5.10,
5.11, 5.12 ze souboru Mongeovo promı́tánı́ - cvičenı́.
Termı́n odevzdánı́: 3.12. 2008
2. grafická pra...
ˇRešené úlohy na ohniskové vlastnosti kuzelosecek
Konstrukce kuželosečky z daných podmı́nek
Přı́klad: Sestrojte kuželosečku, je-li dáno jejı́ ohnisko F1 , tečna t = T K s bodem T dotyku
a excentricita e; F1 [0; 0], T [5; 2], K[3; −4], e = ...
Zobrazen´ı kruznice v pravoúhlé axonometrii
• v poslednı́m kroku sestrojme nejprve hlavnı́ vrchol H a půlelipsy la , a to analogicky
jako jsme sestrojili hlavnı́ vrcholy Aa , B a elipsy k a : stačı́ od bodu S”a = X na polopřı́mku XZ nané...
Pr˚uniky rotacn´ıch ploch
plochy podle toho, jakou vzájemnou polohu majı́ osy daných ploch.
průnik — hledáme body společné daným plochám;
rozdı́l — od prvnı́ plochy odečı́táme (odebı́ráme) druhou, např. odečı́t...
Matematika I
kde p je libovolné čı́slo. Ze druhé rovnice určı́me y = −11p/5.
Po dosazenı́ do 1. rovnice vypočteme x = −3y − 5z = 8p/5.
Promítací metody
1. Axonometrický trojúhelnı́k 4XY Z je ostroúhlý, což je důsledek obecné polohy axonometrické průmětny vzhledem k souřadnicovému systému (O, x, y, z).
2. Axonometrické průměty souř...
Deskriptivn´ı geometrie 1
Definice 2.2 Všechny navzájem rovnoběžné roviny v prostoru majı́ společnou právě jednu
přı́mku, kterou nazýváme nevlastnı́ přı́mkou - obr. 2.3.
Definice 2.3 Nevlastnı́ rovina je množin...
