Promítací metody

1
PROMÍTACÍ METODY
1
Promı́tacı́ metody
V technické praxi je naprosto nezbytný přesný popis tvaru a velikosti každého vyráběného objektu tak, aby bylo zaručeno, že finálnı́ výrobek bude zcela odpovı́dat návrhu, který vytvořil
konstruktér. K přesnému zachycenı́ geometrického tvaru a grafických informacı́ 3D prostorového
útvaru na 2D médium (technický výkres, display) sloužı́ promı́tacı́ metody (promı́tánı́), což je
speciálnı́ druh zobrazenı́ prostoru na zvolenou rovinu – průmětnu. Rozlišujeme dva základnı́
druhy promı́tánı́ - středové a rovnoběžné.
1.1
Středové promı́tánı́
3 a průmětnou %,
Středové promı́tánı́ je dáno vlastnı́m bodem – středem promı́tánı́ S ∈ E∞
přičemž platı́, že střed promı́tánı́ neležı́ v průmětně. Obrazem – středovým průmětem libovolného
3 , A 6= S, (středu promı́tánı́ nenı́ přiřazen žádný obraz, nemá průmět) je bod
bodu A ∈ E∞
0
A ∈ %, který je průsečı́kem promı́tacı́ přı́mky a = AS procházejı́cı́ bodem A a bodem S
s průmětnou %. Necht’ střed promı́tánı́ je bod S = (m, n, p, 1), p 6= 0, a průmětnou je půdorysna
π = (x, y). Potom analytickou reprezentacı́ středového promı́tánı́ je transformačnı́ matice

p
0 0 0





 0
p 0 0 
,
G=


 −m −n 0 −1 


0
0 0 p
a středovým průmětem bodu A = (xA , yA , zA , 1) je
pxA − mzA pyA − nzA
A0 = A · G =
,
, 0, 1 .
p − zA
p − zA
Na obr. 1 je zobrazen přı́klad středového promı́tánı́ bodů A, B a C na půdorysnu π = (x, y)
Středovým průmětem útvaru je útvar, který zı́skáme jako množinu středových průmětů všech
bodů promı́taného útvaru.
Středovému promı́tánı́ se zde dále věnovat nebudeme, nebot’ se pro zobrazovánı́ objektů ve
strojı́renstvı́ přı́liš nehodı́. Docházı́ totiž ke zkreslenı́ tvaru. Je to patrné z obr. 2, kde je zobrazen
středový průmět rotačnı́ho válce s osou rotace totožnou s osou z. Rotačnı́ válec se promı́tá do
komolého kužele.
Aplikacı́ středového promı́tánı́ je lineárnı́ perspektiva, která se použı́vá k zobrazovánı́ objektů
předevšı́m v uměnı́, architektuře a stavitelstvı́, viz obr. 3
1.2
Rovnoběžné promı́tánı́
Ve strojı́renstvı́ se převážně použı́vá rovnoběžné promı́tánı́ určené směrem promı́tánı́ s, který
3 majı́cı́ch s přı́mkou s společný nevlastnı́ bod, a který
reprezentuje osnovu přı́mek prostoru E∞
3 je bod A0 ∈ %, který
protı́ná průmětnu % ve vlastnı́m bodě. Obrazem libovolného bodu A ∈ E∞
je průsečı́kem promı́tacı́ přı́mky a k s, A ∈ a s průmětnou %.
Rovnoběžné promı́tánı́ je speciálnı́m přı́padem středového promı́tánı́, kdy střed promı́tánı́ ležı́
3 . Přı́klad rovnoběžného promı́tánı́ bodů A, B a C na půdorysnu
v nevlastnı́m bodě prostoru E∞
π = (x, y) je nakreslen na obr. 4.
Rovnoběžným průmětem útvaru je útvar, který zı́skáme rovnoběžným průmětem všech bodů
promı́taného útvaru. Konkrétně:
c 2014 doc. Ing. Ivana Linkeová, Ph.D.
2
PROMÍTACÍ METODY
Obrázek 1: Středové promı́tánı́
Obrázek 2: Rotačnı́ válec ve středovém promı́tánı́
(Okno s 3D modelem otevřete zde)
• Rovnoběžným průmětem bodu je bod.
• Rovnoběžným průmětem přı́mky rovnoběžné se směrem promı́tánı́ (promı́tacı́ přı́mky) je
bod – průsečı́k promı́tané přı́mky s průmětnou. Rovnoběžným průmětem přı́mky různoběžné
se směrem promı́tánı́ je přı́mka.
• Rovnoběžným průmětem roviny rovnoběžné se směrem promı́tánı́ (promı́tacı́ roviny) je
c 2014 doc. Ing. Ivana Linkeová, Ph.D.
3
PROMÍTACÍ METODY
Obrázek 3: Lineárnı́ perspektiva
Obrázek 4: Rovnoběžné promı́tánı́
přı́mka – průsečnice promı́tané roviny s průmětnou. Rovnoběžným průmětem roviny různoběžné
s průmětnou je celá průmětna.
Mezi důležité vlastnosti rovnoběžného promı́tánı́ patřı́:
• Rovnoběžným promı́tánı́m se zachovává incidence (náleženı́).
• Průmět útvaru, který ležı́ v rovině rovnoběžné s průmětnou je shodný s promı́taným
útvarem.
c 2014 doc. Ing. Ivana Linkeová, Ph.D.
4
PROMÍTACÍ METODY
• Rovnoběžným promı́tánı́m se zachovává rovnoběžnost.
• Rovnoběžným promı́tánı́m se zachovává dělicı́ poměr třı́ bodů na přı́mce.
Aplikacı́ rovnoběžného promı́tánı́ je obecná axonometrie, což je rovnoběžné promı́tánı́ na axonometrickou průmětnu. Podle úhlu ϕ, který svı́rá směr promı́tánı́ s axonometrickou průmětnou,
se obecná axonometrie dělı́ na kosoúhlou axonometrii, kdy ϕ 6= 90◦ a pravoúhlou axonometrii, kdy ϕ = 90◦ . Speciálnı́m přı́padem kosoúhlé axonometrie je kosoúhlé promı́tánı́, u kterého
je axonometrická průmětna totožná s některou ze souřadnicových rovin. Pokud je promı́tánı́
pravoúhlé a axonometrická průmětna zaujı́má obecnou polohu vůči souřadnicovému systému,
hovořı́me stručně o axonometrii. Jak kosoúhlé promı́tanı́, tak také axonometrie se použı́vá ve
strojı́renské praxi. Na technických výkresech se pak použı́vá předevšı́m Mongeovo promı́tánı́,
což je pravoúhlé promı́tánı́ na dvě (popř. vı́ce) vzájemně kolmé průmětny.
1.3
Kosoúhlé promı́tánı́
U kosoúhlého promı́tánı́ je průmětnou zpravidla bokorysna µ = (y, z) a směr promı́tánı́ s s nı́
svı́rá jiný úhel než 90◦ nebo 0◦ . Necht’ je směr promı́tánı́ reprezentován směrovým vektorem
s = (m, n, p, 0), p 6= 0, průmětnou je bokorysna µ = (y, z) a platı́ m 6= 0. Potom analytickou
reprezentacı́ rovnoběžného promı́tánı́ je transformačnı́ matice


0 −n −p 0




0 m 0 0 


G=

0 0 m 0 


0 0 0 m
a rovnoběžným průmětem bodu A = (xA , yA , zA , 1) je
myA − nxA mzA − pxA
0
A = A · G = 0,
,
,1 .
m
m
V syntetické reprezentaci je průmětnou bokorysna µ = (y, z), proto se veškeré rozměry
rovnoběžné se souřadnicovými osami y a z promı́tajı́ ve skutečné velikosti. Rozměry rovnoběžné
se souřadnicovou osou x se promı́tajı́ zkreslené. Poměr zkreslenı́ x−ových souřadnic je volitelný
a označuje se jako kvocient kosoúhlého promı́tánı́
q=
xk
,
x
kde xk je velikost promı́tnuté x−ové souřadnice a x je velikost skutečné x−ové souřadnice. Úhel
mezi kosoúhlým průmětem osy y a kosoúhlým průmětem osy z je pravý, úhel ω mezi kosoúhlým
průmětem osy x a kosoúhlým průmětem osy y je volitelný. Často se volı́ q = 1 : 2 a ω = 135◦ ,
viz obr. 5, na kterém je nakreslen rotačnı́ válec (stejný jako na obr. 2). Jsou však obvyklé i jiné
hodnoty q a ω.
Kosoúhlé promı́tánı́ se kvůli značné jednoduchosti často použı́vá k náčrtkům a vysvětlujı́cı́m
zobrazenı́m v technickém textu, viz obr. 6 (převzato z item 3).
Vzhledem ke skutečnosti, že kosoúhlým průmětem kulové plochy je elipsa a jejı́ vnitřek,
nepoužı́vá se kosoúhlého promı́tánı́ v CAD systémech a 3D modelářı́ch.
c 2014 doc. Ing. Ivana Linkeová, Ph.D.
5
PROMÍTACÍ METODY
Obrázek 5: Rotačnı́ válec v kosoúhlém promı́tánı́ q = 1 : 2, ω = 135◦
Obrázek 6: Ozubené kolo v kosoúhlém promı́tánı́
1.4
Axonometrie
Axonometriı́ mı́nı́me pravoúhlé promı́tánı́ na axonometrickou průmětnu, která zaujı́má obecnou
polohu vůči souřadnicovým osám. Vzhledem k tomu, že se jedná o rovnoběžné promı́tánı́, má
axonometrie všechny výše uvedené vlastnosti rovnoběžného promı́tánı́, ale protože jde zároveň
o promı́tánı́ pravoúhlé, vyznačuje se navı́c ještě následujı́cı́mi vlastnostmi:
• Délka pravoúhlého průmětu úsečky AB na přı́mce svı́rajı́cı́ s průmětnou úhel β je rovna
délce promı́tané úsečky násobené cos β. Znamená to, že délka pravoúhlého průmětu úsečky
je rovna délce promı́tané úsečky pouze tehdy, je-li úsečka na přı́mce rovnoběžné s průmětnou.
V opačném přı́padě je kratšı́.
• Pravoúhlé promı́tánı́ zachovává pravý úhel, je-li jedno jeho rameno rovnoběžné s průmětnou
a druhé k nı́ nenı́ kolmé.
• Pravoúhlý průmět kulové plochy je kružnice a jejı́ vnitřek.
c 2014 doc. Ing. Ivana Linkeová, Ph.D.
6
PROMÍTACÍ METODY
Je-li nákresnou půdorysna π = (x, y), je analytickou reprezentacı́ axonometrie transformačnı́
matice


− cos α − sin α · sin ε 0 0




 sin α − cos α · sin ε 0 0 
,
G=



0
cos ε
0 0


0
0
0 1
kde α je azimut a ε je elevace, α, ε ∈ (−360◦ , 360◦ ), α, ε 6= 0◦ , ±90◦ , ±180◦ , ±270◦ . Axonomonetrickým průmětem bodu A = (xA , yA , zA , 1) je
A0 = A · G = (yA sin α − xA cos α, − sin ε(xA sin α + yA cos α) + zA cos ε, 1) .
Na obr. 7 je nakreslen rotačnı́ válec (stejný jako na obr. 2) v axonometrii.
Obrázek 7: Rotačnı́ válec v axonometrii
(Okno s 3D modelem otevřete zde)
Axonometrie se použı́vá velmi často na technické náčrty, viz obr. 8 (převzato z item 4),
v CAD systémech a ve 3D modelářı́ch.
Obrázek 8: Výroba ozubených kol dělicı́ metodou v axonometrii
Jak již bylo řečeno, axonometrie je rovnoběžné pravoúhlé promı́tánı́ na axonometrickou
průmětnu % v obecné poloze vůči kartézskému souřadnicovému systému (O, x, y, z) se souřadnicovými
c 2014 doc. Ing. Ivana Linkeová, Ph.D.
7
PROMÍTACÍ METODY
vektory
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) a k = (0, 0, 1),
(1)
see obr. 9. Axonometrická průmětna % protı́ná souřadnicové osy x, y a z v bodech
X = % ∩ x, Y = % ∩ y and Z = % ∩ ν,
vrcholech axonometrického trojúhelnı́ka 4XY Z, viz obr. 10, a souřadnicové roviny π = (x, y),
µ = (yz) a ν = (x, z) v přı́mkách, na nichž ležı́ strany
XY = % ∩ π, Y Z = % ∩ µ and ZX = % ∩ ν,
axonometrického trojúhelnı́ka 4XY Z. Průmět počátku O souřadnicového systému je bod O0 ∈ %
v ortocentru axonometrického trojúhelnı́ka 4XY Z. Průměty souřadnicových os x, y a z jsou
přı́mky x0 = O0 X, y 0 = O0 Y a z 0 = O0 Z, na kterých ležı́ výšky axonometrického trojúhelnı́ka
4XY Z. Délky ux , uy a uz průmětů souřadnicových vektorů dle rov. (1) jsou tzv. axonometrické
jednotky.
z
ν
µ
k
i
x
π
O
j
y
Obrázek 9: Souřadnicový systém
Pravoúhlá axonometrie má následujı́cı́ vlastnosti.
1. Axonometrický trojúhelnı́k 4XY Z je ostroúhlý, což je důsledek obecné polohy axonometrické průmětny vzhledem k souřadnicovému systému (O, x, y, z).
2. Axonometrické průměty souřadnicových os x0 ,y 0 a z 0 jsou přı́mky, na nichž ležı́ výšky
axonometrického trojúhelnı́ka 4XY Z, tj. x0 ⊥ Y Z, y 0 ⊥ ZX a z 0 ⊥ XY . Abychom
dokázali tuto vlastnost, uvažujme např. x0 . Platı́ Y Z ⊥ OO0 (protožeOO0 k s, s ⊥ % a
Y Z ⊂ %) a zároveň Y Z ⊥ XO (protože XO ⊂ x, x ⊥ (y, z) a Y Z ⊂ (y, z)). Z toho
vyplývá, že Y Z je kolmá k rovině XOO0 , a tudı́ž je kolmá k x0 , protože x0 ⊂ XOO0 .
Obdobně je možné dokázat y 0 ⊥ ZX a z 0 ⊥ XY .
3. Úhly mezi kladnými poloosami x0 , y 0 a z 0 jsou tupé, což je důsledek předchozı́ch dvou
vlastnostı́.
Při konstrukci axonometrických průmětů ztotožnı́me axonometrickou průmětnu s nákresnou,
viz obr. 11. Pravoúhlá axonometrie je jednoznačně definována ostroúhlým axonometrickým
trojúhelnı́kem 4XY Z (osy x0 , y 0 a z 0 jsou konstruovány jako výšky tohoto trojúhelnı́ka) nebo
c 2014 doc. Ing. Ivana Linkeová, Ph.D.
8
PROMÍTACÍ METODY
z
z'
z
s ρ
Z
uz
ν
µ
k
O'
k
O
ux
i
x
O
j
X
x
ρ
j
i uy
x'
Y
y'
π
y
y
Obrázek 10: Pravoúhlá axonometrie
z'
Z
j
(O' )
( z' )
z'
Z
z'
Z
( z' )
j
j
( x')
x' X
O'
O'j z
j x O' j y
j
Y
y'
x' X
Y y'
Obrázek
11: Axonometrický trojúhelnı́k
j
( x')
( y')
j
c
)
souřadnicovými osami x0 , y 0 a z 0 svı́rajı́cı́mi tupé úhly(O'
(strany
axonometrického trojúhelnı́ka jsou
z'
kolmé na tytoZ osy). Před vlastnı́ konstrukcı́ je třeba určit axonometrické jednotky ux , uy y uz ,
( z' ) otočı́me souřadnicovou rovinu (např. půdorysnu) do axonometrické průmětny, viz obr. 12.
proto
1
(O' )
Osa
otáčenı́ je dána stranou XY axonometrického trojúhelnı́ka 4XY Z. Všechny útvary ležı́cı́
Az
v otočené půdorysně se po otočenı́ jevı́ nezkresleně. Otočené osy (x0 ) a (y 0 ) jsou tedy k sobě kolmé,
a proto otočený počátek (O0 ) ležı́ na Thaletově kružnici určené průměrem XY . Každý bod ležı́cı́
v půdorysně se při otáčenı́ pohybuje po kružnici se středem na ose otáčenı́ XY a ležı́cı́ v rovině
A'z
( y')kružnice se promı́tá jako kolmice na osu otáčenı́ procházejı́cı́ otáčeným
kolmé
A 2 na osu otáčenı́. Tato
A y otočeného počátku určı́me tedy jako průsečı́k Thaletovy kružnice a kolbodem. Přesnou polohu
O'
3
mice
k ose otáčenı́ XY A
procházejı́cı́ počátkem O0 . Jednotky na otočených osách se jevı́ ve skutečné
A'
x
3
A
velikosti. Abychom určili axonometrické jednotky ux a uy , otočı́me koncové body jednotkových
x' X
Y 2znamená,
A'y
úseček u zpět, což
že zkonstruujeme kolmice k ose otáčenı́ XY a nalezneme průsečı́ky
Ax
0
0
( x') těchto
kolmic
2
A 1 s 1osami x ay' y .
Obdobně
postupujeme při konstrukci axonometrické jednotky uz . Na obr. 12 je znázorněna
1
konstrukce všech axonometrických jednotek pomocı́ otočenı́ všech souřadnicových rovin do axo(O' )
x' X
Y
y'
c 2014 doc. Ing. Ivana Linkeová, Ph.D.
9
PROMÍTACÍ METODY
nometrické průmětny. V praxi volı́me pouze nezbytně nutný počet otočenı́.
Uvedeným postupem je možné zı́skat axonometrický průmět libovolného bodu zadaného
kartézskými souřadnicemi, viz přı́klad na obr. 13, kde je nakreslen souřadnicový kvádr bodu
A = (xA , yA , zA ) = (2, 3, 1).
u
(O' )
z'
Z
( z' )
( z' )
u
u
( x')
(O' )
uz
u
ux O' uy
( y')
x' X
Y y'
u
( x')
( y')
u
c
(O' )
Obrázek 12: Konstrukce axonometrických jednotek
u
z'
Z
( z' )
( z' )
1
(O' )
( z' )
z'
Z
zA
z'
Z
u
X
120
°
u
ux O' uy
x'A
( y')
( x')
u
3
A3
A
X
Y 2
xA
y'A
A1
2
( y')
1
Y
y'
1
(O' )
(O' )
Obrázek 13: Souřadnicový kvádr bodu A = (2, 3, 1) v pravoúhlé axonometrii
°
O'
120
°
z'
2 poměr zkrácenı́ na jednotlivých souřadnicových osách
Axonometrické jednotky vyjadřujı́
uy
uz
ux
kx =
, ky =
a kz =
,
(2)
1 u
2
u
u
z'A= zA 3
kde u = 1 je skutečná délka promı́taného souřadnicového vektoru dle rov. (1). Obecně platı́
z'
z'
O'
kx 6= ky 6= kz , což může být považováno za nevýhodu pro ručnı́ rýsovánı́ axonometrických
Z
Z
x'A = xA 23
1
1
2
y'A =
cyA 2014
doc. Ing. Ivana Linkeová, Ph.D.
2
3
2
A
120
c
( x')
u
O'O'
yA
120°
x' X
Y y'
( y')
°
120
uz
z'A
A2
(O' )
x'
3
3
A1
y'
O'
10
PROMÍTACÍ METODY
průmětů.
Útvary ležı́cı́ v rovinách rovnoběžných s axonometrickou průmětnou se promı́tajı́ nezkreslené,
jak vyplývá z vlastnostı́ rovnoběžného promı́tánı́.
1.5
Isometrie
Isometrie je speciálnı́ typ pravoúhlé axonometrie, kdy axonometrická průmětna % protı́ná osy
souřadnicového systému ve stejných vzdálenostech od počátku. Důsledkem této speciálnı́ pozice
se isometrie vyznačuje velmi praktickými vlastnostmi, viz obr. 14.
1. Axonometrický trojúhelnı́k 4XY Z je rovnostranný.
2. Úhly mezi kladnými poloosami x0 , y 0 a z 0 jsou rovny 120◦ .
3. Všechny rozměry rovnoběžné se souřadnicovými osami se zkracujı́ stejně v poměru
r
2
k=
.
3
(3)
°
O'
120
120
°
z'
Z
120°
Y
X
y'
x'
Obrázek 14: Isometrie
Pro odvozenı́ poměru zkrácenı́ v isometrii uvažujme situaci zobrazenou na obr. 15. Máme
z'
2
k=
d0
.
d
(4)
0
1
Z pravoúhlého trojúhelnı́ka
4XO
z'A=
zA 23 S vyplývá
O'
sin 60◦ =
xA 23
||XS||
||XS||
=⇒ d0 =
0
d
sin 60◦
(5)
3
y'
||XS||
||XS||
=⇒ d =
.
d
sin 45◦
(6)
x'A =
1
1
0y'
yA 23
a z pravoúhlého
trojúhelnı́ka
4XS(O
)A =
vyplývá
2
2
A
x'
3
◦
sin
A1 45 =
Po dosazenı́ rov. (5) a rov. (6) do rov. (4) a ze znalosti sin 60◦ =
dostáváme rov. (3).
z'
q
3
2
a sin 45◦ =
q
2
2
4
3
2
r' = r
c 2014 doc. Ing. Ivana Linkeová, Ph.D.
11
PROMÍTACÍ METODY
O'
°
O'
z'
Z
120
120
°
z'
Z
d' 6
0°
( x')
120°
Y
X
y'
x'
( y')
S
x' X
Y y'
45°
d
(O' )
Obrázek 15: K odvozenı́
z' poměru zkrácenı́ v isometrii
z'
2
1 z'A= zA
Je zřejmé, že při rýsovánı́ objektů v isometrii
q nenı́ třeba konstruovat axonometrické jednotky.
.
Stačı́ souřadnice všech bodů násobit k = 23 (přibližně k = 0.8) a nanášet zkrácené velikosti
O'
podél os isometrického souřadnicového systému. Např. bod A = (xA , yA , zA ) se promı́tne do
bodu
1 q
1
q
q
x'A = xA
y'A = yA 32
0
0
0
0
2
2
2
A
A = 2(xA , yA , zA ) = (xA 3 , yA y'A3 =
, zyAA 23 ),
(7)
z'A= zA 23
O'
1
2
A
3
A1
3
3
y'
x' je nakreslen souřadnicový kvádr
y' přı́klad na obr. 16, kde
viz
bodu
A = (2, 3, 1) v isometrii.
A1z'
2
z'
'
1
4
z'A= zA 23
O' r' = r 3
2
x'A = xA 32
r' = r
x'
2
2
3
1
1
3
A'
3
S'
z S' = z S 32
y'A = yA 23
2
y'
A'1
z S' = z S
1
O'
Obrázek 16: Souřadnicový
kvádr bodu A = (2, 3, 1) v isometrii
z'
1
1
1
2
3
2
Útvary ležı́cı́ v rovinách
rovnoběžných s2 4isometrickou průmětnou jsou promı́tány ve skutečné
3
3
z vlastnostı́ rovnoběžného promı́tánı́.
To znamená, že kulová plocha určená
x'
y' velikosti, jak vyplývá
y'
r' = r
3
středem S = (xS , yS , zS ) a poloměrem r se promı́tne do kružnice se středem, jehož souřadnice
vypočı́táme dle rov. (7) a poloměrem r0 = r (průmětem kulové plochy je průmět hlavnı́ kružnice
2
kulové plochy ležı́cı́ v rovině rovnoběžné s isometrickou
průmětnou, která se promı́tá ve skutečné
velikosti). Přı́klad isometrického průmětu
kulové
plochy
se středem S = (0, 0, 2) a poloměrem
S'
1
r = 2 je nakreslen na obr. 17.
z S' = z S 32
O'
1
2
3
c 2014 doc. Ing. Ivana Linkeová, Ph.D.
1
2
3
12
PROMÍTACÍ METODY
z'
4
2
S'
z S' = z S 32
1
O'
1
1
2
2
3
x'
3
y'
Obrázek 17: Kulová plocha se středem S = (0, 0, 2) a poloměrem r = 2 v isometrii
1.6
Technická isometrie
Alternativou isometrie je Technická isometrie, kdy poměr zkrácenı́ je zvolen k = 1. Tento způsob
zobrazovánı́ jeqznačně rozšı́řen ve strojı́renstvı́, nebot’ odpadá nepohodlné násobenı́ souřadnic
2
koeficientem
3 . Tı́m pádem se bod A = (xA , yA , zA ) promı́tá do bodu se souřadnicemi ve
skutečné velikosti
0
0
A0 = (x0A , yA
, zA
) = (xA , yA , zA ),
(8)
Přı́klad souřadnicového kvádru bodu A = (2, 3, 1) v technické isometrii je nakreslen na obr. 18.
z'
z'
2
1
2
1
z'A= zA 23
O'
z'A= zA
O'
1
2
A'
y'A = yA 23
3
y'
x'A = xA
1
x'
1
A'
2
3
2
y'A = yA
3
y'
A'1
A'1
Obrázek 18: Souřadnicový kvádr bodu A = (2, 3, 1) v technické isometrii
z'
z'
4
3
4
Útvary ležı́cı́ v rovinách rovnoběžných
s isometrickou
r' = r 3průmětnou jsou promı́tány zvětšené,
q
2
1
3
1.2), viz přı́klad technické isometrie kulové plochy
r' = rtj. násobené koeficientem k =
2 (přibližně
3
se středem S = (0, 0, 2) a poloměrem r = 2 na obr. 19.
2
2
S'
'
'
r' = r
3
1
z S' = z S 32
1
O'
c 2014 doc. Ing. Ivana Linkeová, Ph.D.
z S' = z S
13
PROMÍTACÍ METODY
z'
z'
4
4
r' = r
3
r' = r 3
2
3
2
2
S'
S'
z S' = z S 23
1
O'
1
z S' = z S
1
O'
1
1
2
2
3
y'
x'
3
1
2
3
y'
Obrázek 19: Kulová plocha se středem S = (0, 0, 2) a poloměrem r = 2 v technické isometrii
1.7
Mongeovo promı́tánı́
Mongeovo promı́tánı́ je pravoúhlé promı́tánı́ na dvě vzájemně kolmé průmětny – půdorysnu
3 je jednozdačně
π = (x, y) a nárysnu ν = (x, z). Každému bodu A = (xA , yA , zA , 1) ∈ E∞
přiřazená dvojice jeho sdružených průmětů – pravoúhlý průmět bodu A do půdorysny – půdorys
A1 a pravoúhlý průmět bodu A do nárysny – nárys A2 .
Analytická reprezentace pravoúhlého promı́tánı́ do půdorysny je určena maticı́


1 0 0 0




0 1 0 0

G=


0 0 0 0


0 0 0 1
a půdorys je dán
A1 = A · G = (xA , yA , 0, 1) .
Analytická reprezentace pravoúhlého promı́tánı́

1


0
G=

0

0
do nárysny je určena maticı́

0 0 0


0 0 0


0 1 0

0 0 1
a nárys je dán
A2 = A · G = (xA , 0, zA , 1) .
Pro nakreslenı́ výsledného zobrazenı́ sdružı́me průmětny otočenı́m jedné z průměten do roviny druhé průmětny kolem společné průsečnice – osy x. Jejı́ průmět se označuje x1,2 a nazývá
c 2014 doc. Ing. Ivana Linkeová, Ph.D.
14
PROMÍTACÍ METODY
se základnice. Tı́m zı́skáme v jedné nákresně dvojici sdružených průmětů, jejichž spojnice A1 A2
se nazývá ordinála a je kolmá na základnici, viz obr. 20.
Obrázek 20: Princip Mongeova promı́tánı́ (vlevo) a sdružené průměty bodu (vpravo)
Na obr. 21 je zobrazen rotačnı́ válec (stejný jako na obr. 2) v Mongeově promı́tánı́.
Obrázek 21: Rotačnı́ válec v Mongeově promı́tánı́
V Mongeově promı́tánı́ se zobrazujı́ objekty na technických výkresech. Často jsou kvůli
složitosti použity i průměty do dalšı́ch průměten, viz obr. 22 (převzato z item 1. Průměty se
označujı́ následovně: 1 – půdorys (pohled shora), 2 – nárys (pohled zepředu), 3 – (pravý) bokorys
(pohled zleva), 4 – levý bokorys (pohled zprava), 5 – pohled zdola, 6 – pohled zezadu).
Potřebný počet obrazů se volı́ s ohledem na složitost zobrazované součásti. Přı́klad je uveden
na obr. 12, kde je zobrazeno závěsné oko v nárysu a v bokorysu v řezu.
c 2014 doc. Ing. Ivana Linkeová, Ph.D.
15
PROMÍTACÍ METODY
Obrázek 22: Mongeovo promı́tánı́ na 6 průměten
Obrázek 23: Technický výkres závěsného oka
(Okno s 3D modelem otevřete zde)
c 2014 doc. Ing. Ivana Linkeová, Ph.D.
16
PROMÍTACÍ METODY
Reference
[1] Linkeová, I. – Novák, F.: Vybrané partie z technického kreslenı́, Gradient, Praha, 2004,
ISBN 80-86786-01-3.
[2] Velichová, D.: Konštrukčná geometria. Elektronická učebnice.
[3] Parametry ozubeného kola: http://dml.chania.teicrete.gr/ereuna/gear5 en.html
[4] Princip výroby ozubených kol: http://www.tumlikovo.cz/princip-vyroby-ozubenych-koldelicim-zpusobem
c 2014 doc. Ing. Ivana Linkeová, Ph.D.