φ - Katedra fyziky FEL-ČVUT

Od zlatého řezu
přes kvazikrystaly
až po velký třesk
aneb o jednom z nejpodivuhodnějších čísel na světě,
o nejslavnější posloupnosti vůbec a jak obojí souvisí s moderní fyzikou.
4.10.2012 Fyzikální čtvrtky, ČVUT –FEL
Ing. Martin Žáček, Ph.D.
http://www.aldebaran.cz/fyz_ctvrtky/
Od zlatého řezu přes kvazikrystaly až po velký třesk
Členění přednášky:
Úvod, teoretické a historické souvislosti:
1. ukázka dvou geometrických konstrukcí zlatého řezu,
2. historické poznámky,
3. některé pozoruhodné vlastnosti zlatého čísla,
4. fibonacciho posloupnost a vztah k zlatému číslu,
Aplikace:
5. příroda,
6. kvazikrystaly,
7. Vesmír,
8. závěr.
Úvod: co je zlatý řez?
Jazykem přirozeným:
Zlatý řez je poměr délek úseků na úsečce takový, že větší úsek ke kratšímu
se má jako celá úsečka k delšímu úseku.
Jazykem matematickým:
a ab

; a, b  ; a, b  0.
a
b
a
a
Definujme  
a vyřešme předchozí rovnici vzhledem k φ :
b
1
1
2
2
  1  ,     1,     1  0, 1,2  1  5 ,
2



S ohledem na podmínky položme
1
  1  1  5  1,6180339887498948420...
2


φ se nazývá zlatý řez nebo také zlaté číslo.
b
Lze zlatý řez zkonstruovat geometricky?
Pro další výklad předběhneme a uvedeme jednu vlastnost φ:
1
1
1  5  .
2



Ověříme výpočtem:
1
5 1
5 1 5 1
5 1
2
1
1  5 




2
2
2
5 1 2 5 1
5 1 




Q.E.D.
Lze zlatý řez zkonstruovat geometricky?
Matematicky přesnější tvrzení: „Lze číslo φ najít za pomocí pravítka a kružítka?“
Odpověď: lze.
2
1
2
5
1
1   
2
2
1
a
a ab
 
b
a
b
Lze zlatý řez zkonstruovat geometricky?
Kontrukce metodou „origami“:
Metoda: překládání papíru jako simulace pravítka a kružítka.
Použité pomůcky: list papíru formátu A3, nůžky.
Teoretický rozbor: viz předchozí slajd.
Výsledek měření:
a   297  1 mm
b  183  1 mm
a
m   1,623  0,014
b
a … délka žlutého a červeného úsek na přeponě trojúhelníku
b … délka červeného úseku na přeponě trojúhelníku
Závěr:
Odchylka od tabulkové hodnoty je o 0,004 9 větší, což je o 0,3%, chybový interval
má pološířku 0,87%, naměřená hodnota tedy leží uvnitř chybového intervalu a
tedy se shoduje s hodnotou tabulkovou.
Historické poznámky
První přesnou definici zlatého řezu podal kolem roku 300 př. n. l.
Euklides, objevuje se v jeho Základech.
Od té doby se zlatým řezem zaobírali nejvýznačnější vědci (Leonard
Pisánský, Johaness Kepler, Roger Penrose, …), zlatý řez však zasahoval
daleko za hranice matematiky, zabývali se jím biologové, výtvarníci,
psychologové, hudebníci, historikové, architekti a i mystikové. Zlatý řez
tak pravděpodobně inspiroval myslitele všech oborů víc než jakékoliv jiné
číslo.
Matematici používají pro zlaté číslo symbol τ z řeckého τομν (řez, díl).
Poč. 20. stol Mark Barr označil φ, podle Feidia, velkého řeckého sochaře,
žijícího zhruba od r. 490 do r. 430 př. n. l.
Název zlatý pravděpodobně zavedl Martin Ohm, v roce 1835 ve druhém
vydání své knihy Die Reine Elementar-Mathematik.
φ bylo předmětem rozsáhlého historického výzkumu (Roger HerzFischler: Mathematical History of the Golden Number).
Všední i pozoruhodné zajímavosti o zlatém čísle
1. φ je iracionální číslo (důkaz lze převést na důkaz iracionality √5)
2. φ je z hlediska aproximace nejiracionálnější číslo (viz dále),
3. φ je algebraické číslo (je totiž řešením algebraické rovnice).
Všední i pozoruhodné zajímavosti o zlatém čísle
1. φ je iracionální číslo.
Říká se, že řecký matematik Hippasos z Metapontu v 5. století př. n. l. zjistit, že
zlaté číslo je iracionální číslo. To bylo v rozporu s představou Pythagorejců a
tehdejším filosofickým názorem, že svět je postaven na arithmos, tj. na
vlastnostech celých čísel.
Poznámka: historicky však takovéto legendy nepůsobí příliš věrohodně.
Všední i pozoruhodné zajímavosti o zlatém čísle
2. φ je z hlediska aproximace nejiracionálnější číslo.
Napíšeme-li totiž φ ve tvaru řetězového zlomku, obdržíme
1
 1
1
1
.
1
1
1  ...
Skutečně, všimněte si, že jmenovatel hlavního zlomku se rovná celému výrazu
vpravo a tedy i zlatému číslu vlevo, tj.
1
 1 ,

což je ale jinak zapsaná výchozí rovnice, z níž jsme číslo φ odvodili.
Koeficienty jsou všechny rovny 1, kromě toho, že tento vzorec dává číslu φ
zajímavé a výsadní postavení, říká nám také, že φ je nejhůře aproximovatelné
iracionální číslo číslem racionálním.
Všední i pozoruhodné zajímavosti o zlatém čísle
Porovnejme aproximace zlatého čísla a např. čísla π.
1
 1
1
1
1
1
1  ...
1  2; chyba 23%
3
 2  ; chyba 7,2%
2
5
3  ; chyba 3,0%
3
8
 4  ; chyba 1,1%
5
13
5  ; chyba 0,4%
8
1
  3
1
7
1
15 
1
1
292  ...
22
1  ; chyba 0,04%
7
333
2 
; chyba 0,0026%
106
355
3 
; chyba 0,0000085%
113
103993
4 
; chyba 0,000000018%
33102
Všední i pozoruhodné zajímavosti o zlatém čísle
Vyjádření pomocí odmocnin
Zlaté číslo lze například vyjádřit pomocí odmocnin:
  1  1  1  ...
.
Opravdu, převedeme-li jedničku doleva a umocníme-li rovnici, máme
 2  1  1  1  1  ...
,
kde vpravo je opět týž výraz. Porovnáním dostaneme
 2  1  ;  2    1  0 ,
Což je původní rovnice.
Všední i pozoruhodné zajímavosti o zlatém čísle
Další zajímavé vztahy:
Zkusme vyjádřit mocniny zlatého čísla:
2   1
.
 3   2  (  1)   2    2  1
 4   3  (2  1)  2 2    3  2
...atd.
Obecný vzorec pak bude
 n  an  an 1 , kde an  2  an 1  an ; a1,  a2  1.
an jsou členy Fibonacciho posloupnosti.
an = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
(má svůj vlastní vědecký časopis,
Fibonacci Quaterly.)
an
Platí vztah lim
  (všiml si ho r. 1611 Johannes Kepler).
n  an 1
Odbočka k Fibonacciho posloupnosti
Leonardo Pisánský, známý pod jménem Leonardo Fibonacci, cca 1170 – 1240
1202 Liber Abaci (Kniha o abaku). V knize se objevuje tato úloha:
„Jeden muž umístil pár králíků do prostoru obehnaného ze všech stran zdí. Kolik
párů králíků vznikne z tohoto páru, předpokládáme-li, že každý pár zplodí každý
měsíc nový pár, který začne plodit potomky druhý měsíc po narození?“
Řešení: Počty králíků po měsících jsou: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Název Fibonacciho posloupnost zavedl až v 19. století francouzský matematik
Edouard Lucas (1842-1891).
Existuje mnoho úloh, při jejímž řešení se uplatní Fibonacciho posloupnost.
Jedna úloha z optiky:
Kolika možnými
cestami cest může
projít paprsek,
prodělá-li n vnitřních
reflexí?
Odbočka k Fibonacciho posloupnosti
Lichý součet součinů sousedních
Fibonacciho čísel dá druhou
mocninu.
Například 1.1+1.2+2.3 = 9
Odbočka k Fibonacciho posloupnosti
Přímý vzorec pro k-tý člen Fibonacciho posloupnosti:
1
1  n 1 
n
n
an 
1  2 
  n 
5
5
 


V polovině 19. století znovuobjevil Jacques Philippe Marie Binet, v 18.
století již znali Leonard Euler a Abraham de Moivre.
2 perličky na závěr k Fibonacciho posloupnosti:
Součet libovolných deseti po sobě jdoucích členů je dělitelný
jedenácti.
666 číslic má 3 184. Fibonacciho číslo (zjistil Clifford A. Pickover,
všechna čísla s nějakým vztahem k 666 nazývá apokalyptická).
Zlatý řez a geometrie
Zlatý obdélník
b
Kde
a
b
b
b
a-b
a
 .
b
Zlatý řez a geometrie
Zlatý trojúhelník, zlatý gnómon a pentagram
Zlatý trojúhelník
Po stranách zlaté
gnómony
Nekonečná posloupnost
pentagramů
Všední i pozoruhodné zajímavosti o zlatém řezu
Platónská tělesa a jejich vztah ke zlatému řezu
Do pravidelného dvacetistěnu lze
vepsat tři navzájem kolmé zlaté
obdélníky.
Zlatý řez
Trochu záhadologie:
Souvislost zlatého řezu s egyptskými pyramidami?
Řada autorů tvrdí, že základem rozměrů Velké pyramidy je zlatý řez.
Mohli znát Egypťané zlatý řez?
„Je krajně nepravděpodobné, že by zlatý řez a jeho vlastnosti objevili
starověcí Babyloňané nebo Egypťané, tento úkol zůstal na řeckých
matematicích.“ (Mario Livio: Zlatý řez, Argo/Dokořán, český překlad 2006)
Zlatý řez, příroda a umění
Salvador Dalí – Poslední večeře
formát 105,5×67,75 palců je s chybou 0,84% zlatý obdélník
http://dali.uffs.net/galerie/pictures/1955_the_last_supper_01.jpg
Zlatý řez, příroda a umění
Filotaxe (z řeckého uspořádání listů)
Termín zavedl v roce 1754 Charles Bonnet, 1720-1793
Listy na stonku se řadí určitým schématem, nejsou přesně nad sebou, aby si nestínily.
Fylotaktický poměr: počet listů na jednu otočku spirály.
Odpozorované poměry: ½, 1/3, 2/5, 3/8, …
Systematický výzkum filotaxe prováděl poprvé Leonardo da Vinci, Johannes Kepler první
intuitivně objevil vztah mezi filotaxí a Fibonacciho čísly.
Ananas: každý dílek je součástí tří spirál, 8 řad s mírným sklonem, 13 strmějších řad a 21
velmi příkrých řad. Čísla vpravo propojuje tzv. genetická spirála.
Důležitým znakem je úhel mezi sousedními listy.
360
1837 – bratři Bravaisové zjistili, že je to 137,5°.
360 
 137,5
Tzv. zlatý úhel.

Zlatý řez, příroda a umění
Filotaxe
Slunečnice:
Nejobvyklejší vzor: 34 spirál v jednom směru a 55 spirál v druhém směru.
Byly však nalezeny i poměry 89/55, 144/89 a dokonce 233/144.
Podobně se řadí okvětní lístky růží apod.
Proč zrovna 137,5°?
Přelomové práce pojaté geometricky: pupeny
jsou seskupeny nejefektivněji, jsou-li odděleny
zlatým úhlem. Pokud by poměr byl racionální
číslo, listy by se řadily paprskovitě. Zlatý řez
mezi všemi ostatními iracionálními čísly proto,
protože má od racionálních čísel nejdál.
Tým fyziků N. Riviera ukáza ve studii uveřejněné
v r. 1984 v Journal de Physique matematický
algoritmus, který ukázal, že v případě zlatého
úhlu, vznikají struktury podobné slunečnicím a
požadavky na homogenitu a soběpodobnost
počet možných struktur razantně omezují.
Zlatý řez, příroda a umění
Zlatá spirála
Měkýši: jak rostou, vytvářejí si další větší komůrky ve schránce, staré uzavřou a nepoužívají.
Zlatý řez, příroda a umění
Spirálová struktura galaxií
Proč si galaxie udrží spirálový tvar,
když v různých vzdálenostech od
jádra rotují různou rychlostí?
Denzitní vlny, podobné vlnám v
hustém dálničním provozu.
Spirálová galaxie M51
Zlatý řez, dláždění, kvazikrystaly
Dláždění v rovině
Rovinu lze periodicky pokrýt pouze dlaždicemi s tříčetnou, čtyřčetnou a šestičetnou symetrií.
Alhambra,Granada
Zlatý řez, dláždění, kvazikrystaly
Dláždění v rovině
Pětiúhelník se na periodické dláždění nehodí.
Avšak: 1974 Roger Penrose objevil dvě základní sady
dlaždic, které pokryjí rovinu a zároveň budou vykazovat
pětičetnou symetrii. Jak je to možné?
Penroseovy dlaždice: šipka a drak.
Penrose a Conway ukázali, že dlaždice pokryjí rovinu neperiodicky a to nekonečně mnoha
způsoby. Přitom počet draků je 1,618× větší než počet šipek.
Zlatý řez, dláždění, kvazikrystaly
Dláždění v rovině
Další pár penroseových dlaždic:
Tlustý a tenký kosočtverec.
Na velkých plochách se podobně blíží poměr tlustých a tenkých kosočtverců číslu 1,618.
Zlatý řez, dláždění, kvazikrystaly
Dláždění v rovině
Penroseovo dláždění vykazující symetrii vůči otočení:
Zlatý řez, dláždění, kvazikrystaly
Kvazikrystaly
Trojrozměrná analogie: Robert Ammann nalezl tzv. Ammannovy romboedry.
Jejich stěny jsou přitom shodné s Penroseovými dlaždicemi.
1984 – překvapivý objev: Dany Schectman se spolupracovníky zjistil, že krystaly
hliníko-manganové slitiny vykazují pětičetnou symetrii. Pro krystalografy to byl
šok!
Bourá se tím tradiční rozdělení krystalické a amorfní látky.
Kvazikrystaly: nejsou ani amorfní ani periodické, mají však těsné uspořádání
jako dosavadní známé krystaly.
Předefinování krystalu:
krystal je jakákoli pevná látka, jejíž difrakční diagram je bodový.
Zlatý řez, dláždění, kvazikrystaly
Kvazikrystaly
Další práce (Sergej E. Burkov z Landauova institutu teoretické fyziky,, Petra
Gummeltová z Greifswaldu) vedly na teorii překrývajících se desetiúhelníků.
Steinhardt a Čong: experimentální výzkum a koncept kvazielementární buňky.
Kvazielementární buňka: shluk atomů, vytvářející kvaziperiodickou strukturu.
Model kvazikrystalu Ag-Al.
Zlatý řez, volnější souvislost s kosmologií
Roger Penrose (Oxford) a Paul Steinhardt (Princeton) učinili významné práce v
oboru kvazikrstalů a přitom jsou oba výzmamní astrofyzici. Je zde nějaká
souvislost?
Roger Penrose: studoval matematiku, algebraickou geometrii, věnoval se ale
také relativistické fyzice, v obecné teorii objevil teoreticky singulární struktury,
které mají v reálném světě podobu černých děr.
Paul Steinhardt: Jedním z klíčových postav inflačního modelu, vytvořeného
Alanem Guthem z MIT, 2001 přišel se svým týmem s ekpyrotickým modelem
velkého třesku.
Otázka, kterou si položil Mario Livio ve své knize o zlatém řezu:
Proč se dva vynikající kosmologové rozhodli, že se budou zabývat
zábavnou matematikou a studovat kvazikrystaly?
Livio se jich jednoduše zeptal a odpovědi nejsou nezajímave:
Zlatý řez, volnější souvislost s kosmologií
Odpověď Penroseho:
„Nevím, zda na to mám nějakou hlubokou odpověď, jak víte, matematika je něco, co
většina matematiků dělá pro potěšení. Od dětství se bavím vzájemným spojováním
různých tvarů; některé mé práce na dlaždicích tak předcházely tomu, co jsem dělal v
kosmologii. Tehdy ale byla moje aktivita v zábavné matematice minimálně zčásti
motivována kosmologickým výzkumem. Přemýšlel jsem o velkoprostorových
strukturách vesmíru a hledal jsem modely hraček s jednoduchými základními
pravidly, které by přitom mohly vytvořit komplikované struktury na velkých plochách.“
Livio: „Jenomže co Vás vlastně přimělo, abyste na tomto problému dál pracoval?“
Penrose:
„Jak víte, vždycky jsem se zajímal o geometrii a ten problém mě zkrátka zaujal. A
kromě toho, tušil jsem, že takové struktury se mohly v přírodě vyskytovat, nebylo mi
ale jasné, jak by je příroda mohla sestavit známým způsobem růstu krystalů, který
má lokální povahu. Úplně jasné mi to není pořád.“
Odpověď Steinhardta:
„Dobrá otázka! … Jako vysokoškolá jsem opravdu nevěděl, co vlastně chci dělat.
Na postgraduálním studiu jsem hledal nějakou duševní úlevu od namáhavého
studia fyziky elementárních částic a našel jsem ji v oblasti uspořádání a symetrie
pevných látek. Jakmile jsem narazil na problém kvaziperiodických krystalů, nemohl
jsem mu odolat a už pořád jsem se k němu vracel.“
Na závěr: co se nestihlo
Zlatý řez a hudba,
fraktální struktury,
pyramidologie a mnoho mýtů kolem zlatého řezu,
spousta zajímavých historických souvislostí,
konstrukce pravítkem a kružítkem,
Fibonacciho posloupnost a finanční trhy,
aplikace v numerických metodách
… a mnoho dalšího.
Literatura
Mario Livio: Zlatý řez. New York 2002, český překlad Argo/Dokořán 2006
Karel Čupr: Matematické zábavy a hry, Praha, ČSAV 1953
Vlasta Chmelíková: Zlatý řez. Bákalářská práce, MFF UK, 2006, katedra
didaktiky matematiky
Adam Spencer: Kniha čísel, Albatros, Praha 2005,
Magická čísla a bludné hvězdy,
Roger Penrose: Shadows of the Mind, Oxford University Press 1995,
http://cs.wikipedia.org/wiki/Kvazikrystal
http://cs.wikipedia.org/wiki/Penroseovo_dláždění
Použité zkratky:
Q.E.D. … quod erat demonstrandum (což jsme měli dokázat)