Iterační metody, úvod do funkcionální analýzy

Aplikovaná matematika – učebnı́ text
J. Stebel
4. listopadu 2014
Obsah
1 Úvod – základnı́ pojmy
1.1 Relace a zobrazenı́ . . . .
1.2 Vektorové prostory . . . .
1.3 Lineárnı́ zobrazenı́, matice
1.4 Soustava lineárnı́ch rovnic
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
3
6
8
2 Iteračnı́ metody řešenı́ soustav lineárnı́ch rovnic
2.1 Klasické iteračnı́ metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Metody Krylovových podprostorů . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Metoda sdružených gradientů (CG) . . . . . . . .
2.2.2 Zobecněná metoda minimálnı́ch reziduı́ (GMRES)
2.2.3 Metoda bikonjugovaných gradientů (BiCG) . . . .
2.3 Předpodmı́něnı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
11
12
13
15
15
16
3 Úvod do funkcionálnı́ analýzy
3.1 Prostor spojitých funkcı́ . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Prostory Lp pΩq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Metrické prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Množiny v metrickém prostoru . . . . . . . . .
3.3.2 Konvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Úplný metrický prostor . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Banachova věta o pevném bodě . . . . . . . . .
3.3.5 Hustá množina, separabilnı́ prostor . . . . . . .
3.4 Normované lineárnı́ prostory . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Prostory H 1 pΩq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Prostory se skalárnı́m součinem . . . . . . . . . . . . .
3.7 Slabé řešenı́ okrajové úlohy a Galerkinova aproximace
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
18
19
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Značenı́
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
1
1
1.1
Úvod – základnı́ pojmy
Relace a zobrazenı́
Definice 1 Binárnı́ relace, nebo také jen relace, mezi množinami A a B je
libovolná podmnožina kartézského součinu A ˆ B.
Je-li R relace mezi A a B, pak skutečnost, že pa, bq P R zapisujeme také
výrazem aRb. Např. mezi množinami A “ tAdam, Sókratés, Karel IV.u a B “
tEva, Xantippa, Marie Terezieu lze zavést relaci partnerstvı́ P “ t(Adam,Eva), (Sókratés,Xantippa)u.
Jiným přı́kladem relace je uspořádánı́ na množině R, reprezentované symbolem
ď, nebo rovnost prvků v R.
Symetrická relace
splňuje
je taková relace R na množině A (tedy R Ă A ˆ A), která
pa, bq P R ô pb, aq P R.
Přı́kladem symetrické relace je rovnost mezi reálnými čı́sly.
Tranzitivnı́ relace R na množině A splňuje
pa, bq P R&pb, cq P R ñ pa, cq P R.
Relace ă na množině R je tranzitivnı́.
Reflexivnı́ relace je taková relace R na množině A, pro kterou platı́:
@a P A : pa, aq P R.
Relace “, ď jsou reflexivnı́, ă nenı́ reflexivnı́.
Zobrazenı́
f množiny A do množiny B je relace f Ă A ˆ B, která splňuje:
@a P A D!b P B : pa, bq P f.
Pı́šeme také f : A Ñ B, f : a ÞÑ b, f paq “ b.
Obraz množiny
A1 při zobrazenı́ f : A Ñ B je množina
f pA1 q :“ tf paq; a P A1 u.
Prosté zobrazenı́
má vlastnost
f pa1 q “ f pa2 q ñ a1 “ a2 .
Inverznı́ zobrazenı́ k prostému zobrazenı́ f : A Ñ B je zobrazenı́ f ´1 :
f pAq Ñ A definované předpisem
f ´1 pbq “ a ô f paq “ b.
2
Surjektivnı́ zobrazenı́ splňuje
f pAq “ B.
Někdy také řı́káme, že f zobrazuje A na B.
Isomorfnı́ zobrazenı́, nebo jen isomorfismus, je zobrazenı́, které je zároveň
prosté a surjektivnı́. Existuje-li mezi A a B isomorfismus, řı́káme, že A a B jsou
isomorfnı́.
Pomocı́ isomorfismů můžeme zavést tyto kategorie množin: Řekneme, že
množina je konečná, pokud je isomorfnı́ s množinou t1, . . . , nu pro nějaké čı́slo
n P N. Spočetná množina je isomorfnı́ s nějakou (ne nutně konečnou) podmnožinou
N. Množina, která nenı́ konečná, se nazývá nekonečná. Množina, která nenı́
spočetná, se nazývá nespočetná.
Např. N, Z, Q jsou spočetné, R je nespočetná.
Složené zobrazenı́. Je-li f : A Ñ B a g : B Ñ C, pak g ˝ f : A Ñ C je
zobrazenı́ složené z f a g, které je definováno vztahem
g ˝ f paq “ gpf paqq.
1.2
Vektorové prostory
Definice 2 Neprázdná množina V , na které je definováno sčı́tánı́ ` : V ˆ V Ñ
V a násobenı́ reálným čı́slem ¨ : R ˆ V Ñ V , se nazývá reálný vektorový
prostor (nebo také lineárnı́ prostor), jestliže pro každé ~x, ~y , ~z P V a každé
α, β P R platı́:
1. @~x, ~y P V : ~x ` ~y “ ~y ` ~x
(komutativita sčı́tánı́)
2. @~x, ~y , ~z P V : p~x ` ~y q ` ~z “ ~x ` p~y ` ~zq
3. @α, β P R @~x P V : α ¨ pβ ¨ ~xq “ pαβq ¨ ~x
(asociativita sčı́tánı́)
(asociativita násobenı́)
4. @α P R @~x, ~y P V : α ¨ p~x ` ~y q “ α ¨ ~x ` α ¨ ~y (distributivita sčı́tánı́ prvků z V )
5. @α, β P R @~x P V : pα ` βq ¨ ~x “ α ¨ ~x ` β ¨ ~x
(distributivita sčı́tánı́ čı́sel)
6. @~x P R : 1 ¨ ~x “ ~x
(vlastnost reálného čı́sla 1)
7. D~0 P V @~x P V : 0 ¨ ~x “ ~0
(existence nulového prvku)
Prvky vektorového prostoru nazýváme vektory. Reálným čı́slům v kontextu
násobenı́ ¨ : R ˆ V Ñ V řı́káme skaláry. Prvek ~0 nazýváme nulový prvek
nebo nulový vektor. Z axiómů uvedených v definici vektorového prostoru lze
odvodit, že pro nulový prvek ~0 P V platı́:
• @~x P V : ~x ` ~0 “ ~x,
• @α P R: α ¨ ~0 “ ~0,
3
• @~x P V @α P R, α ‰ 0: α ¨ ~x “ ~0 ñ ~x “ ~0.
Přı́klady vektorových prostorů:
• euklidovské prostory R, R2 , Rn (násobenı́ skalárem i sčı́tánı́ po složkách)
• triviálnı́ prostor t~0u (α~0 “ ~0 ` ~0 “ ~0)
• prostor F reálných funkcı́ jedné reálné proměnné (pαf qpxq :“ f pαxq, pf `
gqpxq :“ f pxq ` gpxq)
• prostor polynomů P
• prostor Pn polynomů stupně ď n
Definice 3 Řekneme, že W je podprostorem vektorového prostoru V , jestliže
je W Ă V a množina W s operacemi sčı́tánı́ a násobenı́ skalárem převzatými z
V je vektorový prostor.
Např. Pn je podprostorem P a oba jsou podprostory F.
Pro zjištěnı́, zda je nějaká množina podprostorem, nenı́ nutné ověřovat všech
7 vlastnostı́ z Definice 2. Následujı́cı́ tvrzenı́ tuto proceduru usnadňuje.
Věta 1 Necht’ V je vektorový prostor a H ‰ W Ă V . Pak W je podprostorem
V právě tehdy, když platı́
(i) pro každé ~x, ~y P W je ~x ` ~y P W ,
(ii) pro každé ~x P W a α P R je α~x P W .
Platı́, že průnik dvou vektorových prostorů je vektorový prostor. Sjednocenı́
vektorových prostorů tuto vlastnost nemá. Přı́klad: Jsou-li A “ tpα, 0q; α P Ru
a B “ tp0, βq; β P Ru dva podprostory R2 , pak A X B “ t~0u je triviálnı́ prostor.
Naproti tomu A Y B “ tpα, βq; α “ 0 nebo β “ 0u nenı́ vektorový prostor,
nebot’ např. p1, 0q ` p0, 1q “ p1, 1q R A Y B.
Definice 4 Necht’ ~x1 , ~x2 , . . . , ~xn jsou prvky vektorového prostoru V a α1 , α2 , . . . , αn
jsou reálná čı́sla. Vektor
α1 ~x1 ` α2 ~x2 ` . . . ` αn ~xn
se nazývá lineárnı́ kombinacı́ vektorů ~x1 , ~x2 , . . . , ~xn . Čı́slům α1 , α2 , . . . , αn
řı́káme koeficienty lineárnı́ kombinace.
Definice 5 Triviálnı́ lineárnı́ kombinace vektorů ~x1 , ~x2 , . . . , ~xn je taková lineárnı́
kombinace, která má všechny koeficienty nulové. Netriviálnı́ lineárnı́ kombinace je taková, že alespoň jeden jejı́ koeficient je nenulový.
Poznámka: Triviálnı́ lineárnı́ kombinace je vždy rovna nulovému vektoru.
4
Definice 6 Konečnou množinu vektorů t~x1 , . . . , ~xn u nazýváme lineárně závislou,
pokud existuje netriviálnı́ lineárnı́ kombinace těchto vektorů, která je rovna
nulovému vektoru. Stručně řı́káme, že vektory ~x1 , . . . , ~xn jsou lineárně závislé.
Množina vektorů t~x1 , . . . , ~xn u se nazývá lineárně nezávislá, pokud nenı́
lineárně závislá.
Pro 2 a vı́ce vektorů platı́, že jsou lineárně závislé, právě když jeden z vektorů
je roven lineárnı́ kombinaci ostatnı́ch.
Přı́klad: Prvky cos2 x, sin2 x, cos 2x prostoru funkcı́ F jsou lineárně závislé,
nebot’ pro libovolné x P R platı́: cos 2x “ cos2 x ` p´1q sin2 x.
Pojmy lineárnı́ závislost a nezávislost lze zavést také pro nekonečné množiny.
Definice 7 Množina vektorů M se nazývá lineárně závislá, pokud v nı́ existuje konečná podmnožina, která je lineárně závislá.
Množina vektorů M se nazývá lineárně nezávislá, pokud nenı́ lineárně
závislá.
Přı́kladem lineárně nezávislé množiny v P je množina t1, x, x2 , x3 , x4 , . . .u.
Definice 8 Lineárnı́ obal konečné množiny t~x1 , . . . , ~xn u je množina všech
lineárnı́ch kombinacı́ těchto vektorů. Lineárnı́ obal nekonečné množiny M je
sjednocenı́ lineárnı́ch obalů všech konečných podmnožin množiny M .
Lineárnı́ obal množiny t~x1 , . . . , ~xn u značı́me x~x1 , . . . , ~xn y. Lineárnı́ obal množiny
M značı́me xM y. Je-li M podmnožina vektorového prostoru V , pak xM y je nejmenšı́ vektorový prostor obsahujı́cı́ množinu M .
Definice 9 Báze vektorového prostoru V je množina B Ă V , pro kterou platı́:
(i) B je lineárně nezávislá,
(ii) xBy “ V .
Věta 2 V každém netriviálnı́m vektorovém prostoru existuje báze. Jsou-li B1 a
B2 dvě báze vektorového prostoru V , pak jsou obě nekonečné nebo majı́ stejný
počet prvků.
Věta 3 Necht’ vektory ~x1 , . . . , ~xn tvořı́ bázi vektorového prostoru V . Je-li ~x P V
libovolný vektor, pak existuje právě jedna uspořádaná n-tice čı́sel pc1 , . . . , cn q
taková, že
~x “ c1 ~x1 ` . . . ` cn ~xn .
Definice 10 Čı́sla c1 , . . . , cn z předchozı́ věty se nazývajı́ souřadnice vektoru
~x v bázi ~x1 , . . . , ~xn .
Definice 11 Dimenze vektorového prostoru V je počet prvků báze tohoto prostoru. Označujeme ji symbolem dim V . Speciálnı́ přı́pady:
5
• Triviálnı́ prostor má dimenzi 0.
• Pokud je báze prostoru nekonečná, pak klademe dim V “ 8.
Je-li V vektorový prostor a M je podprostor V , pak dim M ď dim V .
Věta 4 Necht’ V je vektorový prostor, jehož dimenze je dim V “ n a M “
t~x1 , . . . , ~xm u. Pak platı́:
1. Je-li M lineárně nezávislá, pak m ď n.
2. Je-li m ą n, pak M je lineárně závislá.
3. Necht’ m “ n. Pak M je lineárně nezávislá, právě když xM y “ V .
1.3
Lineárnı́ zobrazenı́, matice
Definice 12 Zobrazenı́ f vektorového prostoru V do vektorového prostoru W
se nazývá lineárnı́, jestliže pro každé α P R a ~x, ~y P V platı́:
f pα~x ` ~y q “ αf p~xq ` f p~y q.
Jádrem tohoto zobrazenı́ rozumı́me množinu
ker f :“ t~x P V ; f p~xq “ ~0u.
Obraz f je množina
Rpf q :“ f pV q.
Lineárnı́ zobrazenı́ f je prosté právě tehdy, když ker f “ t~0u.
Věta 5 Jsou-li vektory ~x1 , . . . , ~xk lineárně závislé, pak jsou lineárně závislé také
vektory f p~x1 q, . . . , f p~xk q. Pokud je navı́c f prosté, pak platı́ i obrácené tvrzenı́,
tedy
~x1 , . . . , ~xk jsou lineárně závislé ô f p~x1 q, . . . , f p~xk q jsou lineárně závislé.
Definice 13 (Reálná) matice typu pm, nq je symbol
¨
˛
a1,1 a1,2 . . . a1,n
˚ a2,1 a2,2 . . . a2,n ‹
˚
‹
j“1,...,n
A“˚
‹ “ paij qi“1,...,m ,
..
˝
‚
.
am,1
am,2
...
am,n
kde pro i “ 1, . . . , m a j “ 1, . . . , n jsou aij reálná čı́sla (nazývajı́ se prvky
matice A).
Množinu všech matic typu pm, nq budeme značit Rmˆn . Definujeme-li sčı́tánı́
matic a násobenı́ matic reálným čı́slem po složkách, pak množina Rmˆn je vektorový prostor.
6
Definice 14 Řekneme, že B P Rnˆm je transponovaná matice k matici A P
Rmˆn , jestliže
@i “ 1, . . . , m @j “ 1, . . . , n : aij “ bji .
Pı́šeme také B “ AJ .
Definice 15 Řekneme, že matice A je symetrická, jestliže A “ AJ .
Součin matic A P Rmˆn a B P Rnˆp je matice C P Rmˆp , jejı́ž složky splňujı́:
cij “
n
ÿ
aik bkj , i “ 1, . . . , m, j “ 1, . . . , p.
k“1
Násobenı́ matic nenı́ komutativnı́, tj. obecně AB ‰ BA. Pro matice vhodných
typů (takových, aby je šlo násobit), platı́:
ApBCq “ pABqC,
pA ` BqC “ AC ` BC,
pαAqB “ ApαBq “ αpABq, α P R.
Definice 16 Čtvercovou matici I “ pei,j q P Rnˆn nazýváme jednotkovou
maticı́, jestliže pro jejı́ prvky platı́: ei,j “ 0 pro i ‰ j a ei,j “ 1 pro i “ j.
Definice 17 Řekneme, že B P Rnˆn je inverznı́ matice k matici A P Rnˆn ,
pokud AB “ BA “ I. Tuto matici značı́me symbolem B “ A´1 . Pokud existuje A´1 , pak matici A nazýváme regulárnı́. V opačném přı́padě se A nazývá
singulárnı́ matice.
Definice 18 Hodnost matice A je počet lineárně nezávislých řádků v této
matici. Značı́me ji rank A.
Platı́ také, že hodnost je rovna počtu lineárně nezávislých sloupců, tedy rank AJ “
rank A. Matice A P Rnˆn je regulárnı́ právě tehdy, když platı́: rank A “ n.
Definice 19 Permutace n prvků je uspořádaná n-tice čı́sel 1, 2, . . . , n taková,
že žádné čı́slo se v nı́ neopakuje.
Poznámka: Počet různých permutacı́ n prvků je roven čı́slu n!.
Definice 20 Necht’ pi1 , i2 , . . . , in q je permutace n prvků. Počet inverzı́ této
permutace je počet takových dvojic pik , il q, pro které platı́ ik ą il , a přitom
k ă l.
Definice 21 Pro každou permutaci π “ pi1 , . . . , in q definujeme jejı́ znaménko
sgn π takto:
#
`1 má-li π sudý počet inverzı́
sgn π “
´1 má-li π lichý počet inverzı́
7
Prohozenı́m dvou prvků v permutaci způsobı́ změnu jejı́ho znaménka.
Definice 22 Necht’ A “ pai,j q P Rnˆn . Determinant matice A je čı́slo
ÿ
det A “
psgn πqa1,i1 a2,i2 ¨ ¨ ¨ an,in .
π“pi1 ,i2 ,...,in q
V uvedeném vzorci se sčı́tá přes všechny permutace n prvků, tj. jedná se o n!
sčı́tanců.
Věta 6 Necht’ A, B P Rnˆn . Pak platı́:
1. det A “ 0 právě tehdy, když A je singulárnı́,
2. det AJ “ det A,
3. detpABq “ pdet Aqpdet Bq,
4. detpA´1 q “ 1{ det A.
5. Jestliže se B lišı́ od A jen prohozenı́m dvojice řı́dků, pak det B “ ´ det A.
6. Jestliže matice A má dva stejné řádky, pak det A “ 0.
Definice 23 Čı́slo λ P C se nazývá vlastnı́m čı́slem matice A P Cnˆn , jestliže
existuje nenulový vektor ~u P Cn takový, že
A~u “ λ~u.
Vektor ~u se pak nazývá vlastnı́ vektor matice A přı́slušný vlastnı́mu čı́slu λ.
Množina všech vlastnı́ch čı́sel A se nazývá spektrum matice A a značı́ se σpAq.
Čı́slo λ je vlastnı́m čı́slem A právě tehdy, má-li soustava pA ´ λIq netriviálnı́
řešenı́, tj. právě tehdy, je-li A ´ λI singulárnı́, což je ekvivalentnı́ podmı́nce
detpλI ´ Aq “ 0. Polynom χA pλq :“ detpλI ´ Aq se nazývá charakteristický
polynom matice A. Čı́slo λ je tedy vlastnı́m čı́slem A, je-li kořenem χA . Poznamenejme, že polynom s reálnými koeficienty může mı́t komplexnı́ kořeny, a
reálná matice může proto mı́t komplexnı́ vlastnı́ čı́sla. Je-li ovšem reálná matice
symetrická, pak jsou všechna jejı́ vlastnı́ čı́sla reálná.
1.4
Soustava lineárnı́ch rovnic
V dalšı́m ztotožnı́me vektory z Rn s maticemi typu pn, 1q, tj. ~a P Rn znamená
totéž jako ~a P Rnˆ1 .
¨ ˛
¨ ˛
x1
b1
˚
‹
˚
‹
.
mˆn
n
~
Definice 24 Necht’ A P R
, ~x “ ˝ .. ‚ P R a b “ ˝ ... ‚ P Rm . Pak
xn
maticovou rovnost
A~x “ ~b
8
bm
nazýváme soustavou m lineárnı́ch rovnic o n neznámých. Matici A nazýváme
maticı́ soustavy a vektor ~b nazýváme vektorem pravých stran. Připı́šemeli k matici soustavy do dalšı́ho sloupce vektor ~b (pro přehlednost oddělený svislou čarou), dostáváme matici pA|~bq P Rmˆpn`1q , kterou nazýváme rozšı́řenou
maticı́ soustavy.
Definice 25 Řešenı́m soustavy A~x “ ~b je takový vektor ~a “ pα1 , . . . , αn q P
Rn , pro který platı́: Dosadı́me-li hodnoty αi za symboly xi , pak je splněna požadovaná
maticová rovnost, tj.
¨ ˛ ¨ ˛
b1
α1
˚ .. ‹ ˚ .. ‹
A ˝ . ‚ “ ˝ . ‚.
bm
αn
Řešit soustavu A~x “ ~b znamená nalézt všechna jejı́ řešenı́, tj. nalézt podmnožinu
Rn všech řešenı́ této soustavy.
Věta 7 (Frobeniova) Soustava A~x “ ~b má řešenı́ právě tehdy, když
rank A “ rank A|~b,
tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti rozšı́řené matice soustavy.
Definice 26 Necht’ A~x “ ~b je soustava m lineárnı́ch rovnic o n neznámých a
C~x “ d~ je soustava k lineárnı́ch rovnic o stejném počtu n neznámých. Řı́káme,
že tyto soustavy jsou ekvivalentnı́, pokud obě soustavy majı́ stejné množiny
řešenı́.
~
Věta 8 Ke každé soustavě A~x “ ~b lze nalézt ekvivalentnı́ soustavu C~x “ d,
jejı́ž matice C je hornı́ trojúhelnı́ková.
Definice 27 Existuje-li v matici ~b aspoň jeden prvek nenulový, řı́káme, že soustava A~x “ ~b je nehomogennı́. Jsou-li všechny prvky v matici ~b nulové, nazýváme
soustavu rovnic homogennı́ a zapisujeme ji takto:
A~x “ ~0.
Věta 9 Množina všech řešenı́ homogennı́ soustavy A~x “ ~0 s n neznámými tvořı́
podprostor vektorového prostoru Rn .
Věta 10 Necht’ A~x “ ~0 je homogennı́ soustava lineárnı́ch rovnic o n neznámých.
Označme k :“ n´rank A. Pak existuje k lineárně nezávislých vektorů ~u1 , . . . , ~uk P
Rn takových, že pro množinu M0 všech řešenı́ soustavy A~x “ ~0 platı́:
M0 “ x~u1 , . . . , ~uk y.
Vektory ~u1 , . . . , ~uk tvořı́ jednu z možných bázı́ vektorového prostoru všech řešenı́
M0 .
9
Důsledek: Je-li M0 vektorový prostor všech řešenı́ homogennı́ soustavy lineárnı́ch
rovnic A~x “ ~0 s n neznámými, pak dim M0 “ n ´ rank A.
Definice 28 Libovolné řešenı́ ~v P Rn nehomogennı́ soustavy lineárnı́ch rovnic
A~x “ ~b o n neznámých se nazývá partikulárnı́ řešenı́ této soustavy.
Pokud zaměnı́me matici ~b za nulovou matici stejného typu, dostáváme homogennı́ soustavu A~x “ ~0, kterou nazýváme přidruženou homogennı́ soustavou k soustavě A~x “ ~b.
Věta 11
1. Necht’ ~v je partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ soustavy A~x “ ~b a
~u je libovolné řešenı́ přidružené homogennı́ soustavy A~x “ ~0. Pak ~v ` ~u
je také řešenı́m soustavy A~x “ ~b.
2. Necht’ ~v a w
~ jsou dvě partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ soustavy A~x “ ~b.
Pak ~v ´ w
~ je řešenı́m přidružené homogennı́ soustavy A~x “ ~0.
Věta 12 Necht’ ~v je partikulárnı́ řešenı́ soustavy A~x “ ~b a M0 je vektorový
prostor všech řešenı́ přidružené homogennı́ soustavy A~x “ ~0. Pak pro množinu
M všech řešenı́ soustavy A~x “ ~b platı́:
M “ t~v ` ~u; ~u P M0 u.
Věta 13 (Cramerovo pravidlo) Necht’ A je čtvercová regulárnı́ matice. Pak
pro i-tou složku řešenı́ soustavy A~x “ ~b platı́:
αi “
det Bi
,
det A
kde matice Bi je shodná s A až na i-tý sloupec, který je zaměněn za sloupec
pravých stran.
2
Iteračnı́ metody řešenı́ soustav lineárnı́ch rovnic
V této kapitole se budeme zabývat numerickým řešenı́m soustavy
A~x “ ~b.
Předpokládáme, že čtenáři je známa Gaussova eliminačnı́ metoda, která je přı́kladem tzv. přı́mých metod. Jejı́ výhodou je univerzálnost — metoda vyřešı́
v přesné aritmetice soustavu s libovolnou regulárnı́ maticı́. Nevýhodou je jejı́
neefektivita pro velké matice a také to, že v průběhu výpočtu nemá uživatel
žádnou informaci o výsledku. Pro úlohy s velkou řı́dkou maticı́ A, se kterými
se setkáváme v mnoha praktických problémech, nebo pro úlohy, kde matice
nenı́ dána explicitně nebo je drahé ji sestavit, může být výhodou použı́t iteračnı́ metody. Tyto metody v zásadě použı́vajı́ jen násobenı́ matic a v průběhu
výpočtu postupně vylepšujı́ aproximaci přesného řešenı́. Konvergence iteračnı́ho
procesu může být asymptotická nebo v konečném počtu iteracı́.
Pro detaily ohledně odvozenı́ a dalšı́ch vlastnostı́ iteračnı́ch metod odkazujeme na knihu [1].
10
104
2
10
0
10
||x-xk||
-2
10
10-4
-6
10
-8
10
10
-10
0
500
1000
1500 2000 2500
pocet iteraci k
3000
3500
4000
Obrázek 1: Přechodový jev u klasické iteračnı́ metody.
2.1
Klasické iteračnı́ metody
Klasické iteračnı́ metody jsou založeny na štěpenı́ matice soustavy A “ M ` N
takovém, že matice M je regulárnı́ a snadno invertovatelná a M a N jsou zvoleny
nějakým vhodným způsobem. Dosazenı́m tohoto štěpenı́ do vztahu A~x “ ~b
dostáváme pM ` Nq~x “ ~b a odtud
~x “ M´1 p~b ´ N~xq “ M´1 p~b ` M~x ´ A~xq “ ~x ` M´1 p~b ´ A~xq.
Je-li dána počátečnı́ aproximace řešenı́ ~x0 , můžeme definovat iteračnı́ proces
následovně:
~xk “ ~xk´1 ` M´1 p~b ´ A~xk´1 q “ pI ´ M´1 Aq~xk´1 ` M´1~b.
Lze ukázat, že pro chybu aproximace platı́ odhad
}~x ´ ~xk }
ď }pI ´ M´1 Aqk } ď }I ´ M´1 A}k ,
}~x ´ ~x0 }
přičemž pro velká k je }pI´M´1 Aqk } « ρpI´M´1 Aqk (symbolem ρpAq značı́me
tzv. spektrálnı́ poloměr, který je definován jako maxt|λ|; λ P σpAqu). Vidı́me
tedy, že metody konvergujı́ k přesnému řešenı́, pokud ρpI ´ M´1 Aq ă 1. I v
přı́padě, že tato podmı́nka je splněna, však může být }I´M´1 A}k ą 1 a docházı́
pak k tzv. přechodovému jevu, kdy chyba aproximace nejprve roste a teprve pak
začne klesat (viz obr. 1).
Přı́klady klasických iteračnı́ch metod. Následujı́cı́ metody jsou založeny
na štěpenı́ A “ D ´ L ´ U, kde D je hlavnı́ diagonála, ´L je striktně dolnı́
trojúhelnı́k matice A a ´U je striktně hornı́ trojúhelnı́k. Z rovnice
pD ´ L ´ Uq~x “ ~b
pak lze odvodit jednotlivé metody.
11
Jacobiova metoda je definována iteracı́
D~xk “ L~xk´1 ` U~xk´1 ` ~b.
Rozepı́šeme-li tento vzorec po složkách (xki značı́ i-tou složku vektoru ~xk ),
dostaneme pro i “ 1, . . . , n:
˜
¸
n
ÿ
1
k´1
k
bi ´
aij xj
.
xi “
aii
j“1,j‰i
Nevýhodou této metody může být, že v průběhu výpočtu je třeba uchovávat
dvě posobě jdoucı́ aproximace řešenı́ ~xk , ~xk´1 . Metoda Gauss-Seidelova se
od předchozı́ lišı́ v tom, že ihned využı́vá již spočtené složky vektoru ~xk , tj. po
složkách počı́tá
¸
˜
i´1
n
ÿ
ÿ
1
k´1
k
k
xi “
bi ´
aij xj ´
aij xj
.
aii
j“1
j“i`1
Spočtené složky aproximace řešenı́ je tedy možné ihned přepisovat. Maticově lze
tuto iteraci zapsat jako
D~xk “ L~xk ` U~xk´1 ` ~b.
Z Gauss-Seidelovy metody je odvozena Superrelaxačnı́ metoda (SOR, successive over-relaxation). Pracuje s relaxačnı́m parametrem ω P r0, 2s a je definována
vztahem
D~xk “ ωpL~xk ` U~xk´1 ` ~bq ` p1 ´ ωqD~xk´1 ,
tj. kombinuje Gauss-Seidelovu metodu s předchozı́ iteracı́.
Přı́klad 1 Uvažujme matici
ˆ
A“
˙
0.01 ´0.4
.
0
0.01
Konvergence Jacobiovy metody pro tuto matici závisı́ na vlastnostech matice
˙
ˆ
0 ´40
´1
I´D A“
.
0
0
Jelikož tato matice má pouze nulové vlastnı́ čı́slo, jejı́ spektrálnı́ poloměr je 0, a
tedy podmı́nka ρpI ´ D´1 Aq ă 1 je splněna, neboli metoda konverguje. Na druhé
straně }I ´ D´1 A} “ 40 ą 1, při výpočtu proto lze pozorovat přechodový jev.
2.2
Metody Krylovových podprostorů
Důležitá třı́da iteračnı́ch metod je založena na myšlence projektovat soustavu
A~x “ ~b na posloupnost tzv. Krylovových prostorů a tı́m zı́skávat postupně
aproximace řešenı́.
12
Definice 29 Necht’ A P Rnˆn , ~v P Rn a k ď n. k-tým Krylovovým prostorem
nazýváme podprostor
Kk pA, ~v q :“ x~v , A~v , A2~v , . . . , Ak´1~v y.
Metody, které zmı́nı́me v následujı́cı́ části, majı́ společnou vlastnost tzv. projekčnı́ch metod, tj. hledajı́ aproximace ve tvaru
~xk P ~x0 ` Sk ,
~rk K Ck ,
kde ~rk :“ ~b ´ A~xk je tzv. reziduum a Sk a Ck jsou vhodné podprostory. Prostor
Sk je obvykle roven Krylovovu podprostoru Kk pA, ~r0 q, ale jsou možné i jiné
volby, např. AKk pA, ~r0 q. Volbou prostoru Ck lze docı́lit optimality aproximace
řešenı́ v tom smyslu, že chyba aproximace ~x ´ ~xk je v nějaké normě minimálnı́.
Pokud dimenze podprostorů Sk , Ck roste, pak pro k “ n dostáváme Cn “ Rn a
z podmı́nky ~rk K Rn plyne ~rn “ ~0, tedy ~xn “ ~x je přesné řešenı́. Jinak řečeno,
rostou-li dimenze prostorů Sk , Ck , pak projekčnı́ metody najdou řešenı́ systému
A~x “ ~b nejvýše v n krocı́ch.
2.2.1
Metoda sdružených gradientů (CG)
Tato metoda (stručně ji budeme označovat symbolem CG — z anglického Conjugate gradients) je určena pro symetrické pozitivně definitnı́ matice.
Definice 30 Matice A P Rnˆn je pozitivně definitnı́, pokud pro každý nenulový
vektor ~x P Rn platı́:
A~x ¨ ~x ą 0.
Výraz
}~x}A :“
?
~x ¨ A~x
se nazývá energetická norma nebo také A-norma. Řekneme, že vektory ~u, ~v P Rn
jsou navzájem A-ortogonálnı́, jestliže
~u ¨ A~v “ 0.
Aproximace řešenı́ je v metodě CG konstruována podle vzorce
~xk :“ ~xk´1 ` γk´1 p~k´1 ,
kde p~k´1 je směrový vektor a γk´1 je délka kroku. Tyto parametry se určı́
následujı́cı́m způsobem:
• p~k volı́me ve tvaru p~k :“ ~rk ` δk p~k´1 tak, aby byl A-ortogonálnı́ na p~k´1 ,
tj. p~k ¨ A~
pk´1 “ 0. Toho docı́lı́me pro
δk :“
~rk ¨ ~rk
.
~rk´1 ¨ ~rk´1
13
• γk´1 volı́me takové, aby byla minimálnı́ energetická norma }~x ´ ~xk }A . To
nastane právě tehdy, když
γk´1 :“
~rk´1 ¨ ~rk´1
.
p~k´1 ¨ A~
pk´1
Na základě předchozı́ch vztahů lze ukázatm že CG patřı́ mezi Krylovovské
metody, nebot’ platı́:
~xk P ~x0 ` Kk pA, ~r0 q,
~rk K Kk pA, ~r0 q.
Na metodu sdružených gradientů lze také nahlı́žet jako na metodu, která hledá
minimum kvadratického funkcionálu 12 ~x ¨ A~x ´ ~x ¨ ~b. Následujı́cı́ algoritmus
reprezentuje standardnı́ implementaci metody CG.
Algoritmus A1 Metoda sdružených gradientů
input A, ~b, ~x0
~r0 :“ ~b ´ A~x0
p~0 :“ ~r0
for k “ 1, 2, . . .
~
rk´1 ¨~
rk´1
γk´1 :“ p~k´1
¨A~
pk´1
~xk :“ ~xk´1 ` γk´1 p~k´1
~rk :“ ~rk´1 ´ γk´1 A~
pk´1
~
rk ¨~
rk
δk :“ ~rk´1 ¨~rk´1
p~k :“ ~rk ` δk p~k´1
end
Vidı́me, že v každé iteraci je třeba provést 1 násobenı́ matice A s vektorem
a v průběhu výpočtu je třeba uchovávat pouze 4 vektory. Metoda CG je tedy
velmi efektivnı́ zejména pro velké řı́dké matice. Je-li matice symetrická pozitivně definitnı́, pak v přesné aritmetice algoritmus nalezne řešenı́ nejvýše po
n iteracı́ch. V praxi ovšem kvůli zaokrouhlovacı́m chybám docházı́ ke ztrátě
A-ortogonality vektorů t~
pk u (resp. ortogonality vektorů t~rk u), což způsobuje
zpožděnı́ konvergence, tedy že i po n krocı́ch je ~xn ‰ ~x. Tento nedostatek se
někdy odstraňuje tak, že se vektor ~rk ortogonalizuje proti všem předchozı́m
t~ri uk´1
i“0 a proces ortogonalizace se zopakuje vı́cekrát (obvykle stačı́ dvakrát).
Nynı́ si uvedeme, co je známo o rychlosti konvergence metody CG. K tomu
potřebujeme znát pojem čı́slo podmı́něnosti.
Definice 31 Necht’ A je symetrická pozitivně definitnı́ matice. Čı́slo podmı́něnosti
matice A je definováno předpisem
κpAq :“
λmax pAq
,
λmin pAq
kde λmax pAq, λmin pAq značı́ největšı́, resp. nejmenšı́ vlastnı́ čı́slo matice A.
14
Označı́me-li ~ek :“ ~xk ´ ~x chybu k-té aproximace řešenı́, pak platı́ následujı́cı́
odhad chyby:
˜a
¸k
κpAq ´ 1
}~ek }A
ď2 a
.
}~e0 }A
κpAq ` 1
Všimněme si, že čı́slo v závorce v předchozı́ nerovnosti je vždy menšı́ než 1.
Pokud je κpAq blı́zké 1, pak odhad chyby řı́ká, že chyba klesá velmi rychle.
Pro špatně podmı́něné matice (tj. je-li κpAq velké) je čı́slo v závorce blı́zké
jedné a odhad často nadhodnocuje skutečnou velikost A-normy chyby. Špatná
podmı́něnost matice přesto může mı́t za následek pomalou konvergenci metody.
Tuto skutečnost lze řešit pomocı́ tzv. předpodmı́něnı́, které spočı́vá v tom, že
ˆ “ ~ˆb s maticı́ Â,
původnı́ soustava A~x “ ~b se nahradı́ ekvivalentnı́ soustavou Â~x
která má menšı́ čı́slo podmı́něnosti než A.
2.2.2
Zobecněná metoda minimálnı́ch reziduı́ (GMRES)
Metodu GMRES (generalized minimal residual method) lze charakterizovat ve
smyslu projekčnı́ch metod pomocı́ vztahů
~xk P ~x0 ` Kk pA, ~r0 q,
~rk K AKk pA, ~r0 q.
Jak napovı́dá název, jejı́ vlastnostı́ je, že v každé iteraci minimalizuje normu
rezidua }~rk }. To vede na úlohu nejmenšı́ch čtverců, jejı́ž efektivnı́ implementace
je poměrně technicky obtı́žná. Proto zde jejı́ algoritmus neuvádı́me. Nepřı́jemnou
vlastnostı́ metody GMRES je, že produkuje posloupnost ortogonálnı́ch vektorů
t~vk u, které je třeba uchovávat, (řı́káme, že metoda generuje dlouhé rekurence)
a to klade vysoké nároky na pamět’. Za tuto cenu ovšem metoda dokáže řešit
soustavu s libovolnou regulárnı́ maticı́.
Stejně jako u metody CG, vlivem zaokrouhlovacı́ch chyb docházı́ ke zpomalenı́ konvergence kvůli ztrátě ortogonality systému t~vk u. I u GMRES tedy obvykle provádı́me vı́cenásobnou ortogonalizaci. Problém s pamět’ovou náročnostı́
se obvykle řešı́ pomocı́ tzv. restartu — program uchovává mı́sto celé posloupnosti jen poslednı́ch m vektorů t~vi uki“k´m`1 .
2.2.3
Metoda bikonjugovaných gradientů (BiCG)
Poslednı́m a často použı́vaným přı́kladem krylovovské metody je metoda BiCG,
jež na rozdı́l od předchozı́ch dvou řešı́ zároveň dvě soustavy A~x “ ~b a AJ ~y “ ~c.
Označı́me-li ~sk :“ ~c ´ AJ ~yk , pak je metoda BiCG charakterizována vztahy
~xk P ~x0 ` Kk pA, ~r0 q,
~yk P ~y0 ` Kk pAJ , ~s0 q,
~rk K Kk pAJ , ~s0 q,
~sk K Kk pA, ~r0 q.
Vektory t~rk u a t~sk u jsou navzájem biortogonálnı́: ~si ¨ ~rj “ 0 pro i ‰ j.
15
Algoritmus A2 Metoda bikonjugovaných gradientů (BiCG)
input A, ~b, ~c, ~x0 , ~y0
~r0 :“ p~0 :“ ~b ´ A~x0
~s0 :“ ~q0 :“ ~c ´ AJ ~y0
for k “ 1, 2, . . .
~
sk´1 ¨~
rk´1
γk´1 :“ q~k´1
¨A~
pk´1
~xk :“ ~xk´1 ` γk´1 p~k´1
~rk :“ ~rk´1 ´ γk´1 A~
pk´1
~yk :“ ~yk´1 ` γk´1 ~qk´1
~rk :“ ~sk´1 ´ γk´1 AJ ~qk´1
~
sk ¨~
rk
δk :“ ~sk´1
¨~
rk´1
p~k :“ ~rk ` δk p~k´1
~qk :“ ~sk ` δk ~qk´1
end
Metoda generuje krátké rekurence, je tedy pamět’ově úsporná, a lze ji použı́t
na obecné regulárnı́ matice. Na rozdı́l od CG a GMRES však nenı́ zaručena
konvergence BiCG. Je-li totiž matice A nesymetrická, může dojı́t k předčasnému
zastavenı́, když ~rk ¨ ~sk “ 0.
2.3
Předpodmı́něnı́
Jak již bylo zmı́něno v odst. 2.2.1, konvergence krylovovských metod úzce souvisı́ s čı́slem podmı́něnosti matice A. Ukážeme si myšlenku předpodmı́něnı́ pro
metodu CG (u jiných metod lze postupovat obdobně). Necht’ C je libovolná
regulárnı́ matice. Potom lze soustavu A~x “ ~b se symetrickou pozitivně definitnı́
maticı́ zapsat ve tvaru
pC´1 AC´J qpCJ ~xq “ C´1~b.
ˆ :“ CJ ~x a ~ˆb :“ C´1~b, pak novou soustavu
Označı́me-li  :“ C´1 AC´J , ~x
ˆ “ ~ˆb, přičemž Â je opět symetrická pozitivně definitnı́.
můžeme zapsat jako Â~x
Tuto soustavu lze řešit metodou CG a mezi aproximacemi řešenı́ nové a původnı́
ˆk . Pro úplnost zde uvádı́me algoritmus předpodmı́něné
soustavy platı́ vztah ~xk “ C´J ~x
metody CG:
16
Algoritmus A3 Předpodmı́něná metoda sdružených gradientů (PCG)
input A, ~b, ~x0
~r0 :“ ~b ´ A~x0
~z0 :“ C´J C´1~r0
p~0 :“ ~z0
for k “ 1, 2, . . .
~
zk´1 ¨~
rk´1
γ̂k´1 :“ p~k´1
¨A~
pk´1
~xk :“ ~xk´1 ` γ̂k´1 p~k´1
~rk :“ ~rk´1 ´ γ̂k´1 A~
pk´1
~zk :“ C´J C´1~rk
~
zk ¨~
rk
δ̂k :“ ~zk´1
¨~
rk´1
p~k :“ ~zk ` δ̂k p~k´1
end
Poznamenejme, že v algoritmu nikdy nepočı́táme inverznı́ matici C´1 , ale
operaci ~zk :“ C´J C´1~rk převedeme na řešenı́ dvou soustav
C~y “ ~rk ,
CJ ~zk “ ~y .
Aby bylo řešenı́ nové soustavy efektivnějšı́ než řešenı́ soustavy původnı́, je třeba
zvolit matici C podle následujı́cı́ch požadavků:
• Matici C volı́me tak, aby metoda CG konvergovala co nejrychleji. Ideálně
 “ C´1 AC´J « I.
• Aby nedošlo k výraznému zvýšenı́ náročnosti výpočtu, je potřeba, aby
soustavy C~y “ ~rk a CJ ~zk “ ~y byly rychle řešitelné.
• Pokud je matice A řı́dká, pak by i C měla být řı́dká. Jinak výrazně vzrostou pamět’ové i výpočetnı́ nároky.
Efektivnı́ volba předpodmiňovacı́ matice často vycházı́ z daného (např. fyzikálnı́ho)
problému nebo z konkrétnı́ struktury matice A. Mezi použı́vané obecné předpodmiňovacı́
strategie patřı́ např.:
• neúplný Choleského rozklad, který konstruuje dolnı́ trojúhelnı́kovou matici
C tak, aby A « CCJ ,
• neúplný LU rozklad: A « LU, kde L je dolnı́ trojúhelnı́ková a U je hornı́
trojúhelnı́ková matice. Předpodmı́něná soustava pak má tvar
pL´1 AU´1 qpU~xq “ L´1~b.
3
Úvod do funkcionálnı́ analýzy
V této kapitole budeme studovat některé vlastnosti pojmů jako metrika, norma
nebo skalárnı́ součin. Teorie těchto abstraktnı́ch pojmů je poměrně obsáhlá, pro
zájemce o hlubšı́ poznatky odkazuji na knihu [2]. Než přistoupı́me k zavedenı́
obecných pojmů, objasnı́me je na přı́kladech prostorů funkcı́.
17
3.1
Prostor spojitých funkcı́
V dalšı́m textu bude Ω symbol pro otevřenou souvislou množinu v R, R2 nebo
R3 . Připomı́náme, že otevřená souvislá množina se zkráceně nazývá oblast.
Pro zjednodušenı́ některých úvah také budeme předpokládat, že Ω je omezená.
Hranici Ω budeme značit symbolem BΩ a uzávěr symbolem Ω :“ Ω Y BΩ.
Necht’ CpΩq značı́ vektorový prostor všech spojitých funkcı́ na Ω. Pro funkce
u, v P CpΩq definujeme následujı́cı́ operace:
Definice 32 Skalárnı́ součin funkcı́ u, v P CpΩq je (reálné) čı́slo
ż
pu, vq :“
upxqvpxq dx.
Ω
Norma funkce u P CpΩq je čı́slo
dż
a
}u}2 :“ pu, uq “
u2 pxq dx.
Ω
Vzdálenost funkcı́ u, v P CpΩq je čı́slo
%2 pu, vq :“ }u ´ v}2 .
Vzdálenosti %2 také budeme řı́kat metrika. Snadno lze odvodit tyto vlastnosti
skalárnı́ho součinu:
Věta 14 Necht’ u, v, w P CpΩq a α, β P R. Pak platı́:
(i) pu, uq ě 0,
(ii) pu, vq “ pv, uq,
(iii) pαu ` βv, wq “ αpu, wq ` βpv, wq,
(iv) pu, uq “ 0 ô u ” 0 v Ω.
Podobně lze dokázat následujı́cı́ vlastnosti normy:
Věta 15 Necht’ u, v P CpΩq a α P R. Pak platı́:
(i) }u}2 “ 0 ô u ” 0 v Ω,
(ii) }αu}2 “ |α|}u}2 ,
(iii) }u ` v}2 ď }u}2 ` }v}2 .
Nakonec uvedeme ještě vlastnosti metriky:
Věta 16 Necht’ u, v, w P CpΩq. Pak platı́:
(i) %2 pu, vq “ 0 ô u “ v v Ω,
18
(ii) %2 pu, vq “ %2 pv, uq,
(iii) %2 pu, wq ď %2 pu, vq ` %2 pv, wq.
Kromě výše uvedené normy a metriky lze na množině spojitých funkcı́ definovat také následujı́cı́ normu:
}u}8 :“ max |upxq|
xPΩ
a z nı́ indukovanou metriku
%8 pu, vq :“ }u ´ v}8 .
Lze ukázat, že pro } ¨ }8 a %8 také platı́ Věta 15, resp. Věta 16.
Přı́klad 2 Uvažujme funkce
#
10 sinp1000πxq
upxq :“
0
1
pro x P r0, 1000
s
jinak
a
vpxq “ 0.
Vzdálenost u a v lze snadno spočı́tat:
d
ż 1{1000
100 sin2 p1000πxq dx
%2 pu, vq “
0
d
„
“
%8 pu, vq “
x sinp2000πxq
´
100
2
4000π
max
xPr0,1{1000s
1{1000
x“0
1 .
“ ? “ 0, 224.
2 5
|10 sinp1000πxq| “ 10.
Metrika %8 se zdá být v jistém smyslu přirozenějšı́, nebot’ měřı́ maximálnı́
odchylku hodnot dvou spojitých funkcı́. Přesto existujı́ důvody, proč je vhodné
použı́vat metriku %2 . Předně, metrika %2 byla zavedena pomocı́ skalárnı́ho součinu.
Skalárnı́ součin hraje v některých úlohách důležitou roli. Lze ukázat, že na
množině spojitých funkcı́ nelze zavést skalárnı́ součin s rozumnými vlastnostmi, který by indukoval normu } ¨ }8 , resp. metriku %8 . Dalšı́m důvodem je,
že v mnoha aplikacı́ch nevystačı́me se spojitými funkcemi. Nenı́ snadné rozšı́řit
metriku %8 na obecnějšı́ třı́du funkcı́, zatı́mco rozšı́řenı́ metriky %2 na dostatečně
obecnou třı́du funkcı́ je velmi jednoduché a vede přirozeně k vytvořenı́ tzv. prostoru L2 .
3.2
Prostory Lp pΩq
Definice 33 Necht’ p P r1, 8q. Prostorem Lp pΩq rozumı́me množinu funkcı́
"
*
ż
ż
p
p
L pΩq :“ u : Ω Ñ R;
upxq dx ă 8,
|upxq| dx ă 8 .
Ω
Ω
19
Norma v prostoru Lp pΩq je definována výrazem
˙1{p
ˆż
p
}u}p,Ω :“
|upxq| dx
.
Ω
Pokud je zřejmé, na jaké oblasti uvažujeme normu, pak budeme zkráceně
psát }u}p . Z definice plyne, že každá spojitá funkce v Ω patřı́ do prostorů Lp pΩq
pro všechna p P r1, 8q. Do těchto prostorů ovšem patřı́ i mnohem obecnějšı́
funkce, které mohou mı́t skoky nebo jsou neomezené. Poznamenejme, že pro
správnost některých tvrzenı́ je třeba uvažovat integrály v Definici 33 v tzv.
Lebesgueově smyslu.
Přı́klad 3 Uvažujme funkci
1
upxq :“ ?
x
na intervalu Ω :“ p0, 1q. Platı́:
ż1
}u}1 “
0
“ ? ‰1
1
? dx “ 2 x x“0 “ 2,
x
a tedy u P L1 p0, 1q. Na druhou stranu
d
ż1
1
}u}2 “
dx “ `8,
x
0
takže u R L2 p0, 1q. Funkce
1
vpxq :“ ?
3
x
patřı́ do L1 p0, 1q i L2 p0, 1q, nebot’
ż1
ż1
vpxq dx “
0
0
ż1
3
1
?
dx “ ,
3
x
2
ż1
2
|vpxq| dx “
0
0
1
?
dx “ 3.
3
x2
Pokud je oblast Ω omezená, pak vždy L2 pΩq Ă L1 pΩq, resp. obecněji pro 1 ď
p ď q ă 8 platı́ Lq pΩq Ă Lp pΩq.
Přı́klad 4 Funkce
$
’
&´1
sgn x :“ 0
’
%
1
pro x ă 0
pro x “ 0
pro x ą 0
je prvkem prostoru Lp p´1, 1q pro libovolné p P r1, 8q, nebot’
ż1
ż0
| sgn x|p dx “
´1
ż1
| sgn x|p dx `
´1
ż0
| sgn x|p dx “
0
20
ż1
1 dx `
´1
1 dx “ 2,
0
a tedy } sgn x}p “
?
p
2. Podobně funkce
#
0
upxq :“
10
pro x ‰ 0
pro x “ 0
patřı́ do Lp p´1, 1q, p P r1, 8q, a jejı́ norma je }u}p “ 0. Vidı́me, že norma
nezávisı́ na hodnotě funkce v bodě x “ 0. Dokonce nenı́ nutné, aby byla funkce
v bodě 0 definována.
Do prostorů Lp pΩq tedy patřı́ i některé nespojité a neomezené funkce. Funkce,
která je rovna nule všude až na hodnotu v jednom bodě, má nulovou normu a je
v jistém smyslu ekvivalentnı́ s nulovou funkcı́. Obecněji postačı́, když je funkce
nulová všude v Ω mimo množinu mı́ry nula. Mezi množiny s nulovou mı́rou patřı́
např. všechny konečné a spočetné množiny.
Definice 34 Necht’ funkce u, v P Lp pΩq, p P r1, 8q jsou si v oblasti Ω rovny
skoro všude, tj. všude mimo množinu mı́ry nula (kde se bud’ jejich hodnoty lišı́
nebo některá z funkcı́ nenı́ definována). Pak řekneme, že u a v jsou v prostoru
Lp pΩq ekvivalentnı́. Pı́šeme u “ v v Lp pΩq.
Funkce u a v jsou tedy v tomto prostoru pokládány za sobě rovné. Dvě funkce
u, v ekvivalentnı́ v prostoru Lp pΩq jsou charakterizovány vlastnostı́
ż
|upxq ´ vpxq|p dx “ 0.
Ω
Na prostoru Lp pΩq je možné zavést metriku %p,Ω pu, vq :“ }u ´ v}p,Ω . V prostoru L2 pΩq je navı́c zaveden skalárnı́ součin stejným způsobem jako v Definici
32:
ż
pu, vqΩ :“
upxqvpxq dx, u, v P L2 pΩq.
Ω
To, že skalárnı́ součin je konečný pro libovolné u, v P L2 pΩq, je důsledkem tzv.
Schwarzovy nerovnosti:
@u, v P L2 pΩq : |pu, vqΩ | ď }u}2,Ω }v}2,Ω ,
která je speciálnı́m přı́padem obecnějšı́ho tvrzenı́:
Věta 17 (Hölderova nerovnost) Necht’ p, q P p1, 8q splňujı́ vztah
1 1
` “ 1.
p q
Pak pro každé dvě funkce u P Lp pΩq a v P Lq pΩq platı́:
ˇż
ˇ ˆż
˙1{p ˆż
˙1{q
ˇ
ˇ
p
q
ˇ upxqvpxq dxˇ ď
|upxq|
dx
|vpxq|
dx
.
ˇ
ˇ
Ω
Ω
Ω
21
3.3
Metrické prostory
V této části zavedeme metriku, zobecněnı́ pojmu vzdálenost. Uvedeme vlastnosti
metrických prostorů a vše aplikujeme na konkrétnı́ přı́klady.
Definice 35 Necht’ X je neprázdná množina. Funkce % : X ˆ X Ñ R se nazývá
metrika, jestliže pro všechny prvky x, y, z P X platı́:
(i) %px, yq “ 0 ô x “ y,
(ii) %px, yq “ %py, xq,
(iii) %px, zq ď %px, yq ` %py, zq.
Dvojici pX, %q pak řı́káme metrický prostor.
Z vlastnostı́ metriky vyplývá, že % nabývá pouze nezáporných hodnot (zkuste
to ověřit!).
Přı́klad 5 Necht’ X je množina všech měst v ČR. Metriku na X lze zavést např.
jako přı́mou vzdálenost vzdušnou čarou, nejkratšı́ vzdálenost po silnici nebo dobu
jı́zdy automobilem.
Přı́klad 6 Necht’ X “ Rn , n P N. Definujme funkce
˜
dp p~x, ~y q :“
n
ÿ
¸1{p
|xi ´ yi |
p
pro p P r1, 8q,
i“1
d8 p~x, ~y q :“ max |xi ´ yi |.
i“1,...,n
Lze ukázat, že tyto funkce jsou metrikami na Rn . Metriku d1 nazýváme sčı́tacı́,
d2 euklidovská a d8 maximová metrika.
Přı́klad 7 Levenshteinova metrika měřı́ podobnost dvou textových řetězců. Je
definována jako nejmenšı́ počet nahrazenı́, vloženı́ nebo smazánı́ znaku nutný ke
konverzi řetězce na druhý. Např. levpprvek,pravěkq “ 2, nebot’ k přeměně stačı́
operace:
prvek Ñ pravek Ñ pravěk.
Lze ukázat, že funkce lev splňuje axiómy metriky.
Přı́klad 8 Funkce %2 a %8 jsou metrikami na prostoru CpIq spojitých funkcı́
na uzavřeném intervalu I. Totéž platı́ na prostoru CpKq, kde K je kompaktnı́
(tj. uzavřená a omezená) množina v Rn , n P N.
Přı́klad 9 Dvojice pLp pΩq, %p q je metrický prostor. Jelikož funkce spojité na Ω
patřı́ do L2 pΩq, je pCpΩq, %2 q podprostorem metrického prostoru pL2 pΩq, %2 q.
22
3.3.1
Množiny v metrickém prostoru
Podobně jako u euklidovské vzdálenosti v Rn , lze definovat mnoho pojmy jako
koule, okolı́ nebo otevřená množina pomocı́ metriky.
Definice 36 Necht’ pX, %q je metrický prostor.
• Koule se středem x P X a poloměrem r ą 0 je množina
Br pxq :“ ty P X; %px, yq ă ru.
• Množinu O Ă X nazveme okolı́m bodu x, jestliže existuje poloměr r ą 0,
takže O obsahuje kouli Br pxq.
• Je-li O okolı́ bodu x, pak množinu Oztxu nazýváme prstencové okolı́ bodu
x.
• Množina M se nazývá otevřená, pokud pro každý bod x P M existuje koule
se středem x, která ležı́ v M .
• Množina se nazývá uzavřená, pokud jejı́ doplněk v X je otevřený.
Přı́klad 10 Koule v prostoru R2 se středem v počátku souřadné soustavy má
tvar
a) čtverce, jehož vrcholy ležı́ na souřadných osách a těžiště v počátku, uvažujemeli sčı́tacı́ metriku d1 ;
b) kruhu se středem v počátku, uvažujeme-li euklidovskou metriku d2 ;
c) čtverce, jehož strany jsou rovnoběžné se souřadnými osami a těžiště ležı́ v
počátku, uvažujeme-li maximovou metriku d8 .
Definice 37 Necht’ pX, %q je metrický prostor, x P X a M Ă M .
• Bod x je vnitřnı́m bodem množiny M , pokud existuje poloměr r ą 0
takový, že Br pxq Ă M . Množinu všech vnitřnı́ch bodů M budeme značit
Int M .
• Bod x je hraničnı́m bodem množiny M , pokud každé okolı́ x obsahuje alespoň jeden bod z M a alespoň jeden bod z XzM . Množina všech hraničnı́ch
bodů M se nazývá hranice M a značı́ se BM .
• Uzávěr množiny M je množina M :“ M Y BM .
• Bod x je hromadným bodem množiny M , pokud každé jeho prstencové
okolı́ obsahuje nějaký bod M . Množinu všech hromadných bodů M budeme
značit Hr M .
• Bod x je izolovaný bod množiny M , pokud x P M , ale x nenı́ hromadným
bodem M . Množinu všech izolovaných bodů M budeme značit Iz M .
23
Mezi právě definovanými množinami platı́ mnoho vztahů. Např.:
Int M Ă M Ă M ,
Int M X BM “ H,
M “ Hr M Y Iz M,
Iz M Ă BM,
3.3.2
Hr M X Iz M “ H,
Int M Ă Hr M.
Konvergence
Definice 38 Posloupnost txn unPN v metrickém prostoru pX, %q se nazývá konvergentnı́, jestliže existuje prvek x P X takový, že
lim %pxn , xq “ 0.
nÑ8
Řı́káme, že x je limita posloupnosti txn u a pı́šeme
x “ lim xn v pX, %q, nebo xn Ñ x v pX, %q.
nÑ8
Pro limitu v metrickém prostoru platı́ obdobná tvrzenı́ jako pro limitu v Rn
známá ze základnı́ch kurzů matematiky. Např. každá posloupnost má nejvýše
jednu limitu. Má-li posloupnost funkcı́ tun u limitu v pLp pΩq, %p q, p P r1, 8q, tj.
un Ñ u v pLp pΩq, %p q, pak prvek u se skoro všude shoduje s bodovou limitou,
tj.
p lim un qpxq “ lim pun pxqq.
nÑ8
nÑ8
Pro zjišt’ovánı́ konvergence posloupnosti funkcı́ je tedy vhodné nejprve zjistit,
zda existuje bodová limita.
Přı́klad 11 Uvažujme posloupnost funkcı́ tun u,
#
10 sinpnπxq pro x P r0, n1 s
un pxq :“
0
jinak
v prostoru Cpr0, 1sq. Pro ověřenı́, zda má daná posloupnost limitu, nejprve
potřebujeme vhodného “kandidáta”. Spočteme proto nejprve bodovou limitu. Zřejmě
lim un p0q “ 0. Je-li x P p0, 1s, pak lze najı́t čı́slo n0 P N takové, že x ą n10 , takže
pro n ě n0 platı́ un pxq “ 0, a proto musı́ být lim un pxq “ 0. Bodová limita
posloupnosti je tedy nulová funkce. Lze ukázat, že
1
%2 pun , 0q “ ? , takže lim %2 pun , 0q “ 0,
2n
a tedy
lim un “ 0 v pCpr0, 1sq, %2 q, resp. v pL2 p0, 1q, %2 q.
Dále platı́
%8 pun , 0q “ 10,
z čehož plyne, že v prostoru pCpr0, 1sq, %8 q nenı́ nulová funkce limitou posloupnosti tun u (ve skutečnosti posloupnost nenı́ v tomto prostoru konvergentnı́).
24
Uvedený přı́klad poukazuje na to, že existence limity v metrickém prostoru závisı́
na tom, jakou uvažujeme metriku. Na omezené oblasti Ω platı́ následujı́cı́ vztah
mezi limitami.
Věta 18 Necht’ Ω je omezená oblast v Rd , d P t1, 2, 3u, a tun u je posloupnost
funkcı́. Pak platı́:
(i) Jestliže un Ñ u v pCpΩq, %8 q, pak un Ñ u také v pLp pΩq, %p q, p P r1, 8q.
(ii) Jestliže un Ñ u v pLp pΩq, %p q, pak un pxq Ñ upxq pro skoro všechna x P Ω.
Definice 39 Necht’ %1 a %2 jsou metrikami na množině X. Jestliže existujı́
konstanty α, β ą 0 takové, že pro kažné x, y P X platı́
α%1 px, yq ď %2 px, yq ď β%1 px, yq,
pak řı́káme, že metriky %1 a %2 jsou na X ekvivalentnı́.
Jsou-li metriky %1 a %2 ekvivalentnı́, pak platı́
xn Ñ x v pX, %1 q
ô
xn Ñ x v pX, %2 q.
Ekvivalentnı́ metriky také generujı́ stejné otevřené a uzavřené množiny. Metriky
%p a %8 obecně nejsou ekvivalentnı́.
3.3.3
Úplný metrický prostor
Skutečnost, že daná posloupnost v metrickém prostoru je konvergentnı́, závisı́
nejen na zvolené metrice, ale také na prostoru samotném. Existujı́ napřı́klad
posloupnosti racionálnı́ch čı́sel, které majı́ za limitu iracionálnı́ čı́slo, tzn., že jsou
konvergentnı́ v prostoru R, ale nejsou konvergentnı́ v Q. Takové posloupnosti se
nazývajı́ cauchyovské.
Definice 40 Posloupnost txn u v metrickém prostoru pX, %q se nazývá cauchyovská,
jestliže
@ε ą 0 DN P N @m, n P N : m, n ą N ñ %pxm , xn q ă ε.
Vzdálenost prvků cauchyovské posloupnosti tedy může být libovolně malá, jsouli indexy těchto prvků dostatečně velké. Každá konvergentnı́ posloupnost je
cauchyovská, opačné tvrzenı́ však obecně neplatı́.
Definice 41 Metrický prostor pX, %q se nazývá úplný, jestliže každá cauchyovská posloupnost má v tomto prostoru limitu.
Přı́klad 12 Prostory pRn , dp q, n P N, p P r1, 8s jsou úplné (dı́ky BolzanověCauchyově podmı́nce). Prostor pQ, d2 q nenı́ úplný (např. posloupnost tp1 ` n1 qn u
je v něm cauchyovská, ale jejı́ limita e R Q).
25
Přı́klad 13 Uvažujme posloupnost tun u, kde
?
un pxq :“ 2n`1 x,
na prostoru pCpr´1, 1sq, %2 q. Bodová limita posloupnosti je sgn x, což je nespojitá
funkce. Platı́ ale
d
2
%2 pun , sgnq “
,
pn ` 1qp2n ` 3q
takže %2 pun , sgnq Ñ 0, a tedy tun u konverguje k sgn v prostoru pL2 p´1, 1q, %2 q.
Našli jsme posloupnost, která je cauchyovská, ale nenı́ konvergentnı́ v pCpr´1, 1sq, %2 q.
Tı́m jsme dokázali, že prostor pCpr´1, 1sq, %2 q nenı́ úplný. Podobně lze ukázat,
že prostor pCpΩq, %p q nenı́ úplný pro žádné p P r1, 8q.
Věta 19 Prostor pCpΩq, %8 q je úplný.
Věta 20 Prostor pLp pΩq, %p q, p P r1, 8q, je úplný.
3.3.4
Banachova věta o pevném bodě
V úplném metrickém prostoru lze řešit abstraktnı́ nelineárnı́ rovnice. Je-li f :
X Ñ X zobrazenı́ na metrickém prostoru X, pak můžeme definovat rovnici
x “ f pxq.
Prvek x P X, který ji řešı́, se nazývá pevný bod zobrazenı́ f . Existuje poměrně
elegantnı́ tvrzenı́, které dává návod k nalezenı́ pevného bodu pro zobrazenı́ s
následujı́cı́ vlastnostı́.
Definice 42 Řekneme, že zobrazenı́ f : X Ñ X na metrickém prostoru pX, %q
je kontrakce, pokud existuje α P p0, 1q takové, že
@x, y P X : %pf pxq, f pyqq ď α%px, yq.
Následujı́cı́ věta zaručuje existenci a jednoznačnost pevného bodu a také dává
návod k jeho nalezenı́. Je pojmenována po polském matematikovi Stefanu Banachovi.
Věta 21 (Banachova věta o pevném bodě) Necht’ pX, %q je úplný metrický
prostor a f : X Ñ X je kontrakce. Pak existuje právě jeden pevný bod x P X
zobrazenı́ f . Je-li x0 P X libovolný prvek, pak posloupnost txk u, xk :“ f pxk´1 q,
je konvergentnı́ a platı́:
lim xk “ x,
kÑ8
%pxk , xq ď αk %px0 , xq,
kde α P p0, 1q je konstanta z definice kontrakce.
Poznamenejme, že věta má dva důležité předpoklady — úplnost metrického
prostoru pX, %q a kontraktivnost zobrazenı́ f .
26
Přı́klad 14 Pomocı́ Banachovy věty lze ukázat, že rovnice x “ cos x má na
intervalu r0, 1s právě jedno řešenı́. Stačı́ zvolit X “ r0, 1s, f pxq :“ cos x a
ukázat, že f pXq Ă X a |f 1 pxq| ď α ă 1 pro x P r0, 1s.
Přı́klad 15 Obyčejnou diferenciálnı́ rovnici, resp. systém rovnic, lze formulovat
jako úlohu hledánı́ pevného bodu. Uvažujme počátečnı́ úlohu
y 1 pxq “ f px, ypxqq na intervalu I, ypx0 q “ y0 .
(1)
Jejı́ řešenı́ lze charakterizovat rovnicı́
żx
f pt, yptqq dt.
ypxq “ y0 `
x0
Zavedeme-li zobrazenı́ F : CpIq Ñ CpIq vztahem
żx
F pwqpxq :“ y0 `
f pt, wptqq dt,
x0
pak počátečnı́ úloha (1) je ekvivalentnı́ s úlohou
y “ F pyq.
Za jistých předpokladů na pravou stranu f a počátečnı́ podmı́nku px0 , y0 q lze
použı́t Banachovu větu a dokázat, že F má jediný pevný bod. Tyto předpoklady
jsou předmětem tzv. Picardovy věty.
3.3.5
Hustá množina, separabilnı́ prostor
Metrické prostory obecně nemajı́ lineárnı́ strukturu jako vektorové prostory.
Nelze v nich proto definovat bázi. Každý metrický prostor ale obsahuje podmnožinu,
jejı́miž prvky lze aproximovat libovolný prvek.
Definice 43 Řekneme, že množina M Ă X je hustá v metrickém prostoru
pX, %q, pokud M “ X.
Je-li M hustá množina, pak pro každý prvek x P X existuje posloupnost txn u
prvků M taková, že
xn Ñ x.
Věta 22 Množina všech polynomů je hustá v Lp pΩq, p P r1, 8q.
Důsledkem předchozı́ věty je, že ke každé funkci f P Lp pΩq a pro libovolné ε ą 0
existuje polynom fε , který je vzdálen od f o méně než ε:
}f ´ fε }p ă ε.
Množina všech polynomů je ovšem poměrně velká (obsahuje nespočetně mnoho
funkcı́).
27
Definice 44 Řekneme, že metrický prostor je separabilnı́, jestliže v něm existuje hustá množina, která je nanejvýš spočetná.
Jestliže je prostor separabilnı́, pak lze najı́t posloupnost jeho prvků, které tvořı́
hustou množinu.
Věta 23 Prostor pLp pΩq, %p q, p P r1, 8q, a prostoru pCpΩq, %8 q je separabilnı́.
Přı́kladem spočetné husté množiny v Lp pΩq, resp. v CpΩq, je množina všech
polynomů s racionálnı́mi koeficienty.
3.4
Normované lineárnı́ prostory
Některé množiny sdı́lejı́ vlastnosti metrických a vektorových prostorů. Konkrétně,
v Lp pΩq umı́me násobit skalárem i sčı́tat funkce, měřit vzdálenost a počı́tat
normu. V takovém přı́padě mluvı́me o normovaném lineárnı́m prostoru.
Definice 45 Necht’ X je vektorový prostor. Funkce } ¨ } : X Ñ R se nazývá
norma na X, pokud @x, y P X, α P R:
(i) }x} “ 0 ô x “ ~0,
(ii) }αx} “ |α|}x},
(iii) }x ` y} ď }x} ` }y}.
Je-li na vektorovém prostoru X definována norma, nazývá se X normovaný
lineárnı́ prostor.
Pomocı́ normy lze vždy definovat metriku:
%px, yq :“ }x ´ y},
každý normovaný lineárnı́ prostor je tedy zároveň metrickým prostorem.
Definice 46 Úplný normovaný lineárnı́ prostor se nazývá Banachův prostor.
Přı́klad 16 Přı́klady normovaných lineárnı́ch prostorů:
• Množina R s absolutnı́ hodnotou }x} :“ |x|;
řn
1{p
• Rn , n P N, s normou }px1 , . . . , xn q}p :“ p i“1 |xi |p q , p P r1, 8q, nebo s
normou }px1 , . . . , xn q}8 :“ maxi“1,...,n |xi |;
• CpΩq s normou } ¨ }p , p P r1, 8s;
• Lp pΩq s normou } ¨ }p , p P r1, 8q;
• C 1 pΩq :“ tf P CpΩq; @i “ 1, . . . , n
řn
Bf
}f }8,Ω ` i“1 } Bx
}
.
i 8,Ω
Bf
Bxi
P CpΩqu s normou }f }C 1 pΩq :“
Speciálně zde zmı́nı́me ještě normy na prostoru matic.
28
Definice 47 Necht’ }¨}X značı́ normu na Rn a }¨}Y normu na Rm . Generovaná
norma na prostoru matic Rmˆn je definována vztahem
}A}XY :“ max
~
xPRn zt~
0u
}A~x}Y
“
max
}A~x}Y .
}~x}X
~
xPRn ,}~
x}X “1
Generované normy majı́ následujı́cı́ vlastnosti:
}AB}XY ď }A}XY }B}XY ,
ρpAq ď }A}XY ,
}I}XY “ 1.
Přı́klad 17 Přı́klady generovaných maticových norem:
řm
• }A}1 :“ max}~x}1 “1 }A~x}1 “ maxj“1,...,n i“1 |aij |;
a
• }A}2 :“ max}~x}2 “1 }A~x}2 “ ρpAJ Aq;
řn
• }A}8 :“ max}~x}8 “1 }A~x}8 “ maxi“1,...,m j“1 |aij |.
Kromě generovaných norem existuje řada dalšı́ch maticových norem. Často
použı́vaná je tzv. Frobeniova norma
g
fÿ
n
fm ÿ
|aij |2 .
}A}F :“ e
i“1 j“1
Dá se ukázat, že Frobeniova norma nenı́ generovaná, přesto však je multiplikativnı́:
}AB}F ď }A}F }B}F .
Prostory H 1 pΩq
3.5
Pro funkce z prostorů Lp pΩq lze zavést pojem derivace. Uvažujme nejprve funkci
u P C 1 pr0, 1sq. Je-li v P C 1 pr0, 1sq, vp0q “ vp1q “ 0, pak dı́ky pravidlu per partes
platı́
ż1
ż1
ż1
u1 pxqvpxq dx “ rupxqvpxqs1x“0 ´
upxqv 1 pxq dx “ ´
upxqv 1 pxq dx.
0
0
0
Zde vidı́me, že zatı́mco pro integrál nalevo je třeba, aby existovala u1 , výraz
na pravé straně je definován i pro u P L1 p0, 1q. To vede k pojmu zobecněná
derivace.
Definice 48 Necht’ u P Lp pΩq. Funkce g P Lp pΩq se nazývá zobecněná parciálnı́
derivace funkce u podle i-té proměnné, pokud pro každé v P C 1 pΩq, vBΩ “ 0,
platı́:
ż
ż
Bv
pxq dx.
gpxqvpxq dx “ ´ upxq
Bx
i
Ω
Ω
Pı́šeme g “
Bu
Bxi
v Lp pΩq.
29
Přı́klad 18 Spočtěme zobecněnou derivaci funkce upxq :“ |x| na intervalu p´1, 1q.
Pro v P C 1 pr´1, 1sq, vp´1q “ vp1q “ 0 platı́:
ż1
ż0
ż1
|x|v 1 pxq dx “ ´
´
´1
p´xqv 1 pxq dx ´
xv 1 pxq dx
0
´1
ż0
“
rxvpxqs0x“´1
ż1
vpxq dx ´
´
rxvpxqs1x“0
ż1
vpxq dx “
`
0
´1
sgn xvpxq dx.
´1
Je tedy u1 “ sgn v Lp p´1, 1q pro libovolné p P r1, 8q.
Přı́klad 19 Uvažujme funkci upxq “ sgn x. Pro v P C 1 pr´1, 1sq, vp´1q “
vp1q “ 0 platı́:
ż1
ż0
upxqv 1 pxq dx “ ´
´
´1
ż1
p´v 1 pxqq dx ´
v 1 pxq dx
0
´1
ż1
“ rvpxqs0x“´1 ´ rvpxqs1x“0 “ 2vp0q “ 2
δ0 pxqvpxq dx,
´1
kde δ0 se nazývá Diracova δ-funkce (ve skutečnosti to nenı́ funkce, ale tzv. distribuce). V jistém smyslu tedy platı́ sgn1 “ 2δ0 , nicméně δ0 R Lp pΩq.
Ne každá funkce z Lp pΩq tedy má zobecněnou derivaci v Lp pΩq.
Definice 49 Prostor H 1 pΩq je množina
H 1 pΩq :“ tu P L2 pΩq; @i “ 1, . . . , n :
Bu
P L2 pΩqu.
Bxi
Norma na tomto prostoru je definována výrazem
˜
}u}H 1 pΩq :“
n
ÿ
Bu 2
}2
}u}22 `
}
Bx
i
i“1
¸1{2
a skalárnı́ součin výrazem
ppu, vqq :“ pu, vq `
n
ÿ
Bu Bv
p
,
q.
Bx
i Bxi
i“1
Věta 24 Prostor H 1 pΩq je separabilnı́ Banachův prostor.
3.6
Prostory se skalárnı́m součinem
Skalárnı́ součin hraje významnou roli v řadě fyzikálnı́ch a inženýrských úloh.
Vı́me, jak je zaveden a jaké má vlastnosti skalárnı́ součin v Euklidovských prostorech Rn , v L2 pΩq nebo v H 1 pΩq. Nynı́ uvedeme obecnou definici a vlastnosti
prostorů se skalárnı́m součinem.
30
Definice 50 Necht’ X je (reálný) vektorový prostor. Zobrazenı́ p¨, ¨q : X ˆ X Ñ
R se nazývá skalárnı́ součin, pokud pro každé x, y, z P X a α P R platı́
(i) px, xq ě 0, px, xq “ 0 ô x “ ~0,
(ii) px, yq “ py, xq,
(iii) pαx, yq “ αpx, yq,
(iv) px ` y, zq “ px, zq ` py, zq.
Je-li na vektorovém prostoru definován skalárnı́ součin, nazývá se X prostor se
skalárnı́m součinem.
a
Skalárnı́ součin indukuje normu |||x||| :“ px, xq. Je-li prostor X s touto normou úplný, nazývá se X Hilbertův prostor. Platı́ tzv. Cauchyova-Schwarzova
nerovnost:
@x, y P X : |px, yq| ď |||x||| ¨ |||y|||.
Definice 51 Množina M Ă X v Hilbertově prostoru X se nazývá ortogonálnı́,
jsou-li všechny jejı́ prvky navzájem ortogonálnı́, tj.
@x, y P M, x ‰ y : px, yq “ 0.
Platı́-li navı́c
@x P M : |||x||| “ 1,
pak se M nazývá ortonormálnı́ systém.
Přı́kladem ortonormálnı́ho systému je kanonická báze v Rn nebo množina
"
* "
* "
*
1
1
1
?
Y ? sin nx; n P N Y ? cos nx; n P N v L2 p´π, πq.
π
π
2π
3.7
Slabé řešenı́ okrajové úlohy a Galerkinova aproximace
Na závěr ještě uvedeme přı́klad, jak lze formulovat okrajovou úlohu s nespojitou
pravou stranou a jejı́ aproximaci.
Je dána okrajová úloha
´u2 ` u “ f v p0, 1q,
up0q “ up1q “ 0.
Je-li f P Cr0, 1s, pak má smysl hledat klasické řešenı́, tj. funkci u P C 2 p0, 1q X
Cr0, 1s takovou, že uvedené rovnosti platı́ v celém intervalu p0, 1q. Pro méně
regulárnı́ pravou stranu ale klasické řešenı́ nemusı́ existovat. Ukážeme odvozenı́
definice tzv. slabého (zobecněného) řešenı́.
Předpokládejme, že u je klasické řešenı́. Pak pro každé v P V :“ tv P
C 1 r0, 1s; vp0q “ vp1q “ 0u platı́
p´u2 ` u, vq “ pf, vq.
31
Integracı́ per partes dostaneme
ż1
p´u2 ` u, vq “
p´u2 pxq ` upxqqvpxq dx
0
ż1
“ r´u1 pxqvpxqs1x“0 `
u1 pxqv 1 pxq ` upxqvpxq dx “ ppu, vqq.
0
Mı́sto klasického řešenı́ můžeme tedy hledat funkci u takovou, aby
ppu, vqq “ pf, vq
pro všechna v P V . Protože ale V nenı́ úplný prostor v normě H 1 p0, 1q, nehodı́
se pro definici zobecněného řešenı́ u. Zúplněnı́m V v normě H 1 p0, 1q dostaneme
prostor
H01 p0, 1q :“ tv P H 1 p0, 1q; vp0q “ vp1q “ 01 u.
Slabé (zobecněné) řešenı́ okrajové úlohy tedy lze definovat jako funkci u P H01 p0, 1q,
která splňuje
@v P H01 p0, 1q : ppu, vqq “ pf, vq.
Všimněme si, že tato formulace okrajové úlohy má smysl pro f P L2 p0, 1q.
1
Necht’ tvi u8
i“1 je nějaká báze prostoru H0 p0, 1q. Galerkinova aproximace slabého
řešenı́ je definována jako funkce
un pxq :“
n
ÿ
αin vi pxq,
i“1
která splňuje
@j “ 1, . . . , n : ppun , vj qq “ pf, vj q.
Dosazenı́m za un dostaneme soustavu lineárnı́ch algebraických rovnic
n
ÿ
αin ppvi , vj qq “ pf, vj q, j “ 1, . . . , n,
i“1
pro koeficienty ~u :“ pα1n , . . . , αnn qJ . Definujeme-li matici A “ paij qni,j“1 , kde
aij :“ ppvj , vi qq, a vektor ~b “ pbi qni“1 , kde bi :“ pf, vi q, pak lze tuto soustavu
zapsat zkráceně
A~u “ ~b.
Dı́ky vlastnostem skalárnı́ho součinu je matice A symetrická pozitivně definitnı́,
soustava má proto pro libovolné ~b P Rn právě jedno řešenı́.
Lze také ukázat, že posloupnost tun u je v jistém smyslu konvergentnı́ a jejı́
limita je slabé řešenı́ u.
1 Výraz
vp0q, resp. vp1q zde značı́ tzv. stopu funkce v.
32
4
Značenı́
Nı́že jsou uvedeny
symbol
N
Z
Q
R
C
AĂB
AXB
AYB
AzB
AˆB
pa1 , . . . , an q
pa, bq
ra, bs
a vysvětleny v textu často použı́vané symboly.
význam
množina přirozených čı́sel (1, 2, 3, . . . )
množina celých čı́sel
množina racionálnı́ch čı́sel
množina reálných čı́sel
množina komplexnı́ch čı́sel
A je částı́ (podmnožinou) B
průnik
sjednocenı́
rozdı́l množin
kartézský součin
uspořádaná n-tice
otevřený interval
uzavřený interval
Reference
[1] J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, and P. Tichý.
Analýza metod pro maticové výpočty. Základnı́ metody. Matfyzpress, 2012.
ISBN 978-80-7378-201-6.
[2] K. Rektorys. Variačnı́ metody v inženýrských problémech a v problémech
matematické fyziky. SNTL, Praha, 1974.
33