SA1 skripta - MATEMATIKA online
Transkript
Matematická analýza 1 Přednášejı́cı́: doc. RNDr. Miroslav Kureš, PhD. Cvičı́cı́: Mgr. Jana Hoderová, PhD. Vysázel: Jan Nytra Úvodnı́ informace Toto je studijnı́ materiál k předmětu Matematická analýza 1. Obsahuje poznámky z přednášek a také podklady pro cvičenı́. Přı́slušné cvičenı́ je zařazeno vždy za danou teoriı́. K navigaci je možno použı́t bud’ záložky, nebo obsah skript - všechny položky jsou ”klikacı́”, tzn. odkazujı́ na přı́slušnou kapitolu atd. Látka předmětu je rozdělena do 3 celků: 1. Úvod 2. Diferenciálnı́ počet funkce 1 proměnné 3. Integrálnı́ počet funkce 1 proměnné. Pro dalšı́ informace a materiály navštivte matematiku online. Součástı́ tohoto studijnı́ho materiálu jsou i podpůrné materiály vytvořené v prostředı́ Maple, ve kterých je ukázána práce s tı́mto softwarem. Tyto materiály jsou ke staženı́ také z matematiky online a pro otevřenı́ z tohoto textu je potřeba je umı́stit do stejné složky jako samotný studijnı́ text Tento studijnı́ materiál vznikl za podpory projektu OP VK reg.č. CZ.1.07/2.4.00/17.0100 A-Math-Net - Sı́t’ pro transfer znalostı́ v aplikované matematice. Obsah 1 Pilı́ře matematiky - teorie 1.1 Logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Teorie množin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Pilı́ře matematiky - cvičenı́ 2.1 Logika, důkazy . . . . . . 2.2 Množiny . . . . . . . . . . 2.3 Relace . . . . . . . . . . . 2.4 Zobrazenı́ část 1 . . . . . . 2.5 Zobrazenı́ část 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 10 10 13 15 17 18 3 Přirozená čı́sla 21 4 Celá čı́sla 22 5 Algebraické struktury 5.1 Grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 24 6 Konečná pole 6.1 Prvočı́selná pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Neprvočı́selná pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 26 27 7 Racionálnı́ čı́sla 30 8 Uspořádané pole 32 9 Archimédovská pole 34 10 Reálná čı́sla 10.1 Dedekindovy řezy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 vyjádřenı́ reálných čı́sel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 36 37 11 Mohutnost čı́selných množin (kardinalita) 38 12 Metrické prostory 41 13 Posloupnosti 45 14 Reálné posloupnosti - teorie 47 15 Reálné posloupnosti - cvičenı́ 54 16 Funkce reálné proměnné - teorie 16.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Vlastnosti funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 58 59 17 Funkce reálné proměnné - cvičenı́ 61 18 Limita funkce - teorie 18.1 Vlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě . . 18.2 Limita zprava . . . . . . . . . . . . 18.3 Nevlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě . 18.4 Vlastnı́ limita ve nevlastnı́m bodě . 18.5 Nevlastnı́ limita ve nevlastnı́m bodě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 63 63 64 64 65 19 Limita funkce - cvičenı́ 66 20 Spojitost funkce - teorie 67 21 Spojitost funkce - cvičenı́ 70 22 Elementárnı́ funkce - teorie 22.1 Polynomy . . . . . . . . . 22.2 Racionálnı́ funkce . . . . . 22.3 Mocninné funkce . . . . . 22.4 Exponenciálnı́ funkce . . . 22.5 Logaritmické funkce . . . 22.6 Goniometrické funkce . . . 22.7 Cyklometrické funkce . . . 22.8 Hyperbolické funkce . . . 22.9 Hyperbolometrické funkce . . . . . . . . . 71 73 78 80 81 82 83 89 95 95 23 Elementárnı́ funkce - cvičenı́ 23.1 Rozklad na parciálnı́ zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 96 . . . . . . . . . 24 Derivace - teorie 24.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . 24.2 Základnı́ pravidla derivovánı́ 24.3 Přehled základnı́ch vzorců . 24.4 Vyššı́ derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 97 100 101 101 25 Derivace - cvičenı́ 102 26 Věty o derivaci - teorie 26.1 Rolleova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2 Lagrangeova věta (1. věta o střednı́ hodnotě) 26.3 Cauchyova věta (2. věta o střednı́ hodnotě) . 26.4 Bernoulliho věta (L’Hospitalovo pravidlo) . . 104 104 105 105 106 27 Věty o derivaci - cvičenı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 28 Diferenciál - teorie 109 28.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 28.2 Vyššı́ diferenciály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 29 Diferenciál - cvičenı́ 111 30 Taylorův polynom - teorie 112 31 Taylorův polynom - cvičenı́ 114 32 Extrémy funkce - teorie 32.1 Lokálnı́ extrémy funkce . . . . . 32.2 Významné body funkce . . . . . 32.3 Definice konkávnosti/kovexnosti 32.4 Globálnı́ extrémy funkce . . . . 115 115 118 119 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Extrémy funkce - cvičenı́ 121 34 Asymptoty - teorie 34.1 Vodorovné asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2 Svislé asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.3 Šikmé asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 122 123 123 35 Asymptoty - cvičenı́ 124 36 Průběh funkce - teorie 125 37 Průběh funkce - cvičenı́ 126 38 Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - teorie 38.1 Primitivnı́ funce . . . . . . . . . . . . . . . . 38.2 Přehled vzorců pro integrovánı́ . . . . . . . . 38.3 Základnı́ pravidla integrovánı́ . . . . . . . . 38.4 Metoda per partes . . . . . . . . . . . . . . 38.5 Substituce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.6 Intergrace racionálnı́ch funkcı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 133 134 135 135 136 137 39 Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - cvičenı́ 39.1 Přı́má integrace . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.2 Integrace pomocı́ substituce . . . . . . . . . . 39.3 Integrace per partes . . . . . . . . . . . . . . . 39.4 Integrace racionálnı́ lomené funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 140 141 142 143 40 Riemannův integrál - teorie 40.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2 Zavedenı́ Riemannova integrálu . 40.3 Integrace některých funkcı́ . . . . 40.4 Vlastnosti Riemannova integrálu . 40.5 Newtonův integrál . . . . . . . . 40.6 Základnı́ věta integrálnı́ho počtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 144 145 147 148 148 149 41 Riemannův integrál - cvičenı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 42 Aplikace určitého integrálu - teorie 42.1 Obsah rovinné oblasti . . . . . . . . 42.2 Délka křivky . . . . . . . . . . . . . 42.3 Objem tělesa . . . . . . . . . . . . 42.4 Obsah pláště rotačnı́ho tělesa . . . . . . . 43 Aplikace určitého integrálu - cvičenı́ 43.1 Obsah rovinné oblasti . . . . . . . . . 43.2 Objem tělesa . . . . . . . . . . . . . 43.3 Délka křivky . . . . . . . . . . . . . . 43.4 Porvch tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 151 153 154 156 . . . . 157 157 158 159 159 44 Integrál jako funkce hornı́ meze 160 45 Nevlastnı́ integrály - teorie 163 46 Nevlastnı́ integrály - cvičenı́ 165 1 Pilı́ře matematiky - teorie 1 1 Pilı́ře matematiky - teorie 1.1 Logika - použı́váme logiku Aristotelovu (např. zákon vyloučeného třetı́ho atd.) Výrok - tvrzenı́, o kterém lze řı́ci, zda je pravdivé či nikoliv - výrokem nejsou rozkazy, otázky a nesmysly (např. Colorless green ideas sleep furiously) - z jednoduchých (atomárnı́ch) výroků můžeme pomoci logických spojek (∧ - konjunkce, ∨ - disjuknce, ⇒ - implikace, ⇐⇒ - ekvivalence) Kvantifikátory ∀ - obecký (univerzálnı́) ∃ - existenčnı́ Negace - při negaci výroků použı́váme opačný kvantifikátor ¬(A ∧ B) ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B ¬(A ∨ B) ⇐⇒ ¬A ∧ ¬B ¬(A ⇒ B) ⇐⇒ A ∨ ¬B Př. výrok = Jestliže udělám zkoušku, půjdu oslavovat. negace výroku = Udělám zkoušku a nepůjdu oslavovat. ¬(A ⇐⇒ B) ⇐⇒ (A ∨ ¬B) ∧ (B ∨ ¬A) Stavebnı́ pilı́ře matematiky a) primitivnı́ pojmy - ty, které nejsou definovány Př. bod, množina b) axiomy - tvrzenı́, která se nedokazujı́ (považujı́ se za platná) Př. Existuje prázdná množina. c) definice - zavedenı́ pojmu pomocı́ pojmů již známých Př. Prvočı́slo je čı́slo, které má jen 2 dělitele - 1 a sebe samé. d) teorémy (věty) - tvrzenı́, která se vyvozujı́ z axiomů a již dokázaných teorému a která se dokazujı́ pomocı́ logiky SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 1 Pilı́ře matematiky - teorie 2 Věta A⇒B Důkaz a) přı́mý - po konečném počtu pravdivých výroků dojdeme od výroku A k výroku B, tj A ⇒ V1 ⇒ V2 ⇒ . . . ⇒ Vn ⇒ B b) nepřı́mý - provedeme obrácenou implikaci, tj ¬B ⇒ ¬A a tu pak dokazujeme přı́mo, tj. ¬B ⇒ V1 ⇒ V2 ⇒ . . . ⇒ Vn ⇒ ¬A c) sporem - provedeme negaci výroku, tj. A ∧ ¬B a postupně dojdeme ke sporu: A ∧ ¬B ⇒ W1 ⇒ W2 ⇒ . . . ⇒ Wn ⇒ spor ⇒ platı́ A ⇒ B d) matematickou indukcı́ - sestává ze třı́ kroků: 1) dokážeme výrok pro n = 1 2) uděláme předpoklad, že výrok platı́ pro n = k 3) a pak dokazujeme, že výrok platı́ pro n = k + 1 - řešı́me-li v realitě problém, provedeme abstrakci (převedenı́ na problém matematický) a po jeho vyřešenı́ provedeme implementaci do reálného světa (aplikujeme nalezené řešenı́) Př. Mějme primitivnı́ pojmy jélo, pnı́kat a blefa; axiomy: 1) Každé jélo pnı́kat nejméně 2 blefy. 2) Existuje alespoň jedna blefa, kterou pnı́kajı́ všechna jéla. 3) Kařdou blefu pnı́ká alespoň 1 jélo. 4) Množina blef je neprázdná. a otázky: 1) Má systém konkrétnı́ realizaci (implementaci)? 2) Jsou axiomy nezávislé? 3) Dokažte větu: Existujı́ alespoň 2 blefy. Věta Prvočı́sel existuje nekonečně mnoho. Důkaz Provedeme jej sporem. Předpokládejme, že prvočı́sel je konečný počet. Označme je 2, 3, . . . , N . Nynı́ sestrojme čı́slo a následovně a = 2 · 3 · ... · N + 1 Takovéto čı́slo a nenı́ dělitelné žádným z čı́šel 2, 3, . . . , N ⇒ a je prvočı́slo a zároveň a > N ⇒ spor ⇒ prvočı́sel je nekonečně mnoho. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 1 Pilı́ře matematiky - teorie 1.2 3 Teorie množin - jejı́ základy položil Cantor na přelomu 19./20. stoletı́ množina = primitvinı́ pojem - značı́me A, B, C, . . . - x ∈ A značı́me přı́slušnost do množiny - A = {x; x2 = 1} - za ; pı́šeme vlastnost prvků množiny - prvkem může být cokoliv (funkce, matice, . . . ) Russelův paradox - katalogový problém a) katalog všech pracı́ o matematice 1. Eukleides - Základy matematiky .. . 32150. X. Y. - Poznámka o čı́slu 0 b) katalog všech pracı́ o sportu 1. Guinessova kniha rekordů .. . 1280. Katalog všech pracı́ o sportu ⇒ tento katalog obsahuje sám sebe c) katalog všech katalogů, které samy sebe neobsahujı́ 1. Katalog všech pracı́ o matematice Nynı́ si ovšem musı́me položit otázku. Lze tam zařadit i tento katalog? Dojdeme k tomu, že to neumı́me rozhodnout ⇒ pojem autorefence (tzn. objekt ukazuje sám na sebe) matematicky zapsáno A = {B; B ∈ B} ⇒ neumı́m rozhodnout, zda A ∈ A nebo A 6∈ A ⇓ Lze se zbavit nerozhodnutelných tvrzenı́? - 2. fundamentálnı́ otázka ⇓ Zavázı́ nás na pojem třı́da = množina, která obsahuje množinu. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 1 Pilı́ře matematiky - teorie 4 1. krize matematiky - ve starověkém Řecku - nevěděli, že čı́slo může být i iracionálnı́ 12 + 12 = p2 ⇒ 2q 2 = p2 ⇒ p2 sudé ⇒ p sudé ⇒ p dělitelné 4 ⇒ q 2 je sudé ⇒ q je sudé q2 p q 1 1 Obrázek 1: Úhlopřı́čka čtverce ale p a q musı́ být nesoudělná 2. krize matematiky - při základech diferenciálnı́ho počtu dy ⇒ zavedena limita dx 3. krize matematiky - katalogový paradox Kurt Gödel - našel odpovědi na 2 fundamentálnı́ otázky (Gödelův důkaz, VUTIUM) 1. Je matematika bezesporná? - uvnitř matematiky nelze dokázat jejı́ bezespornost 2. Lze se zbavit nerozhodnutelných tvrzenı́? - nerozhodnutelných tvrzenı́ se zbavit nelze SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 1 Pilı́ře matematiky - teorie 5 Relace (vztahy) v množinách Potenčnı́ množina - množina všech podmnožin množiny A Př. A = {x, y, z} - obsahuje 3 prvky P (A) = {∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {x, z}, {x, y, z}, } - 8 prvků ⇒ označenı́ 2A 2∅ = {∅} Uspořádaná dvojice (a, b) = {{a}, {a, b}} - množinová definice a ∈ A, b ∈ B - prvky mohou být i ze stejné množiny (a1 , . . . , an ) - uspořádaná n-tice Kartézský součin - množina všech uspořádaných dvojic A × B = {(a, b), a ∈ A, b ∈ B} binárnı́ relace R je podmnožina A × B n-nárnı́ relace R je podmnožina A1 × . . . × An Př. A = {x, y, z}, B = {a, b} A × B = {(x, a), (x, b), (y, a), (y, b), (z, a), (z, b)} R = {(x, b), (y, b), (z, a)} Obrázek 2: Relace Př. A - zaměstnanci, B - vozidla firmy R = A × B - univerzálnı́ relace R = ∅ - prázdná relace inverznı́ relace R−1 k relaci R ⊆ A × B je podmnožina B × A definována takto: (b, a) ∈ R−1 ⇐⇒ (a, b) ∈ R SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 1 Pilı́ře matematiky - teorie 6 Zobrazenı́ (= funkce) - funkce je jistá relace R ⊆ A × B z množiny A do množiny B taková, že (a, b) ∈ R, (a, b) ∈ R ⇒ b = b (jeden vzor nemůže mı́t 2 obrazy) - mı́sto R ⊆ A × B pak pı́šeme f : A → B a mı́sto (a, b) ∈ R zapisujeme f (a) = b definičnı́ obor f : A → B je množina Domf = {a ∈ A; ∃ b ∈ B, f (a) = b} obor hodnot f : A → B je množina Imf = {b ∈ B; ∃ a ∈ A, f (a) = b} Obrázek 3: Zobrazenı́ Injekce (prostá funkce) - speciálnı́ zobrazenı́ f : A → B takové, že platı́ f (a) = b, f (a) = b ⇒ a = a Surjekce - je f : A → B takové, že Imf = B (zobrazenı́ na množinu) Bijekce - je f : A → B takové, že Domf = A a f je současně injekce i surjekce ⇒ stejný počet prvků v obou množinách (důležité pro porovnávánı́ nekonečných množin) Je inverznı́ relace zobrazenı́ zase zobrazenı́m? Obecně nemusı́. Ale pokud bude zobrazenı́ injektivnı́, bude i inverznı́ zobrazenı́ injektivnı́. Značı́me pak f −1 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 1 Pilı́ře matematiky - teorie 7 Relace (binárnı́) na množině Řekneme, že relace R ⊆ A × A je: a) reflexivnı́, jestliže (a, a) ∈ R ∀a ∈ A b) symetrická, jestliže (a, b) ∈ R ⇐⇒ (b, a) ∈ R ∀a, b ∈ A c) antisymetrická, jestliže (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b ∀a, b ∈ A d) tranzitivnı́, jestliže (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R ∀a, b, c ∈ A Př. A - lidé, B - mluvı́ stejným jazykem reflexivnı́, symetrická relace ekvivalence = reflexivnı́, symetrická a tranzitivnı́ relace uspořádánı́ = reflexivnı́, antisymetrická a tranzitivnı́ relace a) ekvivalence 1) A - studenti, R - studujı́ stejný ročnı́k ⇒ množina se rozpadne na třı́dy (podmožiny) 2) A = C, (x, y) ∈ R, jestliže x a y majı́ stejnou reálnou část ⇒ třı́dy = přı́mky rovnoběžné s osou y, reprezentanti = reálná čı́sla (a) Studenti (b) Komplexnı́ čı́sla Obrázek 4: Ekvivalence SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 1 Pilı́ře matematiky - teorie 8 3) A = Z, (x, y) ∈ R, jestliže po dělenı́ 3 dostanu tentýž zbytek {. . . , −3, 0, 3, 6, . . .} {. . . , −2, 1, 4, 7, . . .} {. . . , −4, −1, 2, 5, . . .} ⇒ disjunktnı́ třı́dy Z3 (množina zbytkových třı́d modulo 3) Z3 = {C0 , C1 , C2 } jednotlivé třı́dy pak značı́me Ci = {x ∈ Z, zbytek po dělenı́ čı́sla x čı́slem m dá zbytek i} b) uspořádánı́ - např. předci, adrešáře v PC, . . . nesrovnatelné prvky Obrázek 5: Uspořádánı́ v M: ≤ ostré uspořádánı́ - irreflexivnı́, (antisymetrická), tranzitivnı́ relace, značı́me < Věta Je-li R irreflexivnı́, tranzitivnı́ relace, pak je i antisymetrická. (tj. (a, b) ∈ R, (b, a) ∈ R⇒a=b) Důkaz Je-li ovšem (a, b) ∈ R, (b, a) ∈ R, pak z tranzitivity plyne, že (a, a) ∈ R, což nelze (irreflexivita). Tzn., že předpoklad (a, b) ∈ R, (b, a) ∈ R nemůže nastat. Tzn. tvrzenı́ triviálně platı́. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 1 Pilı́ře matematiky - teorie 9 Př. A = N, (x, y) ∈ R, jestliže x|y 4 6 2 9 3 10 5 RSA numbers 7 prvočı́sla 1 Obrázek 6: Uspořádánı́ - dělitelnost RSA numbers - čı́sla, která lze rozložit na součin 2 prvočı́sel částečně uspořádaná množina (poset) - existujı́ nesrovnatelné prvky, tzn. ∃ a, b ∈ M tak, že (a, b) 6∈ R ∧ (b, a) 6∈ R úplně (lineárně) uspořádaná množina tzn. pro ∀a, b ∈ M platı́, že (a, b) ∈ R ∨ (b, a) ∈ R Operace (binárnı́) - zobrazenı́ obecně A × B → C Př. N × N → N f (3, 5) = 8 3+5=8 n-árnı́ operace A1 × . . . × An → A unárnı́ operace A → B odmocnina, |x|, následnı́k SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 2 Pilı́ře matematiky - cvičenı́ 2 10 Pilı́ře matematiky - cvičenı́ 2.1 Logika, důkazy 1. Rozhodněte, zda jde o výrok a u výroků určete pravdivostnı́ hodnotu: a) 3 · 3 = 10; b) Praha je hlavnı́ město České republiky. c) Pozor, schody jsou mokré! d) 0 0 = 0; 2. Mějmě výroky A a B. Sestavte tabulku pravdivostnı́ch hodnot pro: negaci B, konjunkci, disjunkci, implikaci a ekvivalenci výroků A a B. 3. Určete pravdivostnı́ hodnotu výrazu: a) Je-li čı́slo 10 sudé, pak čı́slo 2 dělı́ čı́slo 11. b) ((2 · 3 = 6) ∨ (3 · 4 = 14)) ⇒ (2 < 1) c) ((1 < 2) ∧ (2 6= 2) ⇒ (3 · 5 = 16) 4. Uved’te ekvivalentnı́ výrok k dané negaci a pomocı́ tabulky pravdivostnı́ch hodnot tuto ekvivalenci dokažte: a) (¬(A ∧ B)) ⇐⇒ . . . b) (¬(A ∨ B)) ⇐⇒ . . . c) (¬(A ⇒ B)) ⇐⇒ . . . d) (¬(A ⇐⇒ B)) ⇐⇒ . . . 5. Mějme výrok ve tvaru implikace A ⇒ B (napřı́klad výrok ∀x ∈ N : 6|x ⇒ 2|x). Rozhodněte, které tvrzenı́ je pravdivé: a) A je nutnou podmı́nkou pro B a B je postačujı́cı́ podmı́nkou pro A; b) A je postačujı́cı́ podmı́nkou pro B a B je nutnou podmı́nkou pro A. 6. Znegujte složený výrok 2 < 3 ⇒ 2 · 3 = 6 7. Znegujte (1 + 2 = 3) ⇒ (1 > 2 ∨ 3 ≤ 4) 8. Znegujte ∀x ∈ N : x > 3 ⇒ 2x > 5) 9. Znegujte výrok: Všichni žijı́cı́ lidé jsou vyššı́ než 230 cm. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 2 Pilı́ře matematiky - cvičenı́ 11 10. Dokažte, že jde o tautologie: a) (A ⇒ B) ⇐⇒ (¬B ⇒ ¬A); b) ¬(A ∧ B) ⇐⇒ (¬A ∨ ¬B); c) (A ⇐⇒ B) ⇐⇒ ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)); d) ¬(A ⇒ B) ⇐⇒ (A ∧ ¬B); 11. Dokažte, že (¬A ∨ B) ∧ (¬A ⇒ B) nenı́ kontradikce. 12. Rozhodněte, zda pro implikaci platı́ asociativnı́ zákon, tj. ověřte platnost ekvivalence ((A ⇒ B) ⇒ C) ⇐⇒ (A ⇒ (B ⇒ C)). 13. Rozhodněte, zda je relace implikace tranzitivnı́, tzn. zda platı́ ((A ⇒ B)∧(B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C). 14. Detektiv vyšetřuje přı́pad vraždy. Vyšetřovánı́m se okruh podezřelých zúžil na 3 osoby A, B, C. O přı́tomnosti podezřelých na mı́stě činu by žjištěno: Jestliže byl v kritické době na mı́stě činu podezřelý C, pak tam nebyl podezřelý A, ale byl tam podezřelý B. Neni pravda, že na mı́stě činu nebyl A a přitom tam nebyl C. Pokud byl na mı́stě činu podezřelý A, nebyl tam C, a když tam nebyl C, byl tam A. Detektiv promyslel všechny možnosti a zjistil, že mu informace k usvědčenı́ vraha nestačı́. Při dalšı́m vyšetřovánı́ se však zjistilo, že pachatel byl na mı́stě činu sám. Který z podezřelých je vrah? 15. Trenér má na závody poslat Adama, Břet’u nebo Čeňka. Přitom má splnit tyto podmı́nky: Pojedou nejvýše dva závodnı́cı́, přitom pojede alespoň jeden. Pojede Adam, nebo Čeněk, ale určitě ne současně. Nepojede-li Čeněk, pak nepojede ani Bret’a. 16. Pracovnı́k při obsluze stroje v danou chvı́li vı́, že: a) Neběžı́-li motor, je vada v motoru nebo nejde proud. b) Je-li vada v motoru, je třeba volat opraváře. c) Proud jde. Pracovnı́k vidı́, že motor neběžı́. Usoudı́: Neběžı́-li motor, je třeba volat opraváře. Je jeho úsudek správný? 17. Máme dokázat tvrzenı́ A ⇒ B. Stručně popiště princip důkazu přı́mého, nepřı́mého a sporem. 18. Dokažte přı́mo, nepřı́mo i sporem tvrzenı́ ∀x ∈ R : x > 0 ⇒ x + 1 x ≥ 2. 19. Dokažte přı́mo, nepřı́mo i sporem tvrzenı́ ∀x ∈ N : x ≥ 2 ⇒ 6x + 3 > 13. 20. Dokažte nepřı́mo tvrzenı́ ∀x ∈ N : x3 je sudé ⇒ x je sudé. 21. Dokažte přı́mo tvrzenı́ ∀a, b, c ∈ N : c|ab ⇒ c|a ∨ c|b. 22. Dokažte sporem, že log2 3 nenı́ racionálcı́ čı́slo. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 2 Pilı́ře matematiky - cvičenı́ 23. Dokažte sporem, že 12 √ √ 13 ≥ 2 2. 24. Dokažte, že součin dvou sudých čı́sel je dělitelný čtyřmi. 25. Dokažte, že pro libovolná reálná čı́sla a, b platı́ a2 + b2 ≥ 2ab. 26. Dokažte, že prvočı́sel je nekonečně mnoho. 27. Dokažte přı́mo. Kvadratická rovnice ax2 + bx + c = a, a 6= 0 má alespoň jeden kořen rovný nule, právě když c = 0. 28. Necht’ má rovnice ax2 + bx + c = a, a 6= 0 celočı́selné koeficienty, přı́čemž a 6= 0 a b je liché čı́slo. Dokažte, že rovnice nemůže mı́t dvojnásobný kořen. 29. Jak postupujeme přı́ důkazu výrokové formule V (n) matematickou indukcı́? 30. Dokažte matematickou indukcı́ tvrzenı́ ∀n ∈ N : 3|(22n − 7). 31. Dokažte matematickou indukcı́ tvrzenı́ ∀k ∈ N : 7|(62k − 8). 32. Dokažte matematickou indukcı́ tvrzenı́ 1 + 2 + . . . + n = n2 (n + 1). 33. Dokažte matematickou indukcı́ tvrzenı́ 1−3+5−7+. . .+(−1)n−1 (2n−1) = (−1)n−1 n. 34. Dokažte matematickou indukcı́ tvrzenı́ 12 + 22 + 32 + . . . + 3n−1 = 12 (3n − 1). 35. Pomocı́ matematické indukce určete vzorec pro výpočet délky strany an pravidelného 2n -úhelnı́ka (n > 1), který je vepsaný do kruhu o poloměru R. 36. Dokažte matematickou indukcı́, že n různých přı́mek v rovině, které majı́ společný průsečı́k, rozděluje rovinu na 2n částı́. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 2 Pilı́ře matematiky - cvičenı́ 2.2 13 Množiny 1. Mějme množiny A = {1, 4, 7, 9, 12} a B = {2, 4, 6, 9, 13}. Utvořte jejich průnik A ∩ B, sjednocenı́ A ∪ B, rozdı́l A − B a rozdı́l B − A. 2. a) Mějme množinu A = {a, b, c}. Vypiště systém všech podmožin množiny A. Pozn. systém všech podmnožin se označuje 2A . b) Necht’ množina B je množina všech sudých přirozených čı́sel menšı́ch než 10. Vypiště všechny jejı́ podmnožiny. 3. Mějme konečnou množinu B o n prvcı́ch. Kolik prvků má množina 2B ? 4. Uved’te přı́klad množina A, B tak, aby A ∈ B a současně A ⊆ B. 5. Je dána množina A = {0, 1, 2}. Přečtěte nahlas násldujı́cı́ výroky a rozhodněte, které z nich jsou pravdivé a které nepravdivé: a) 0 ∈ A; b) {0} ∈ A; c) 0 ⊆ A; d) {0} ⊆ A; e) {} ∈ A; f) {} ⊆ A; g) {∅} ∈ A; h) {∅} ⊆ A; i) {2} ∈ {2, {2}}; j) {2} ⊆ {2, {2}}; k) Množina {∅} nemá žádný prvek; l) {1, 2} = {2, 1}; 6. Uved’te formálnı́ definici množinových operacı́ (pozn. podobně, jako je uvedeno v a) ) a) A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} b) A ∪ B = c) A − B = 7. Dokažte, že pro libovolné množiny A, B, C platı́: a) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C); b) A − (B − C) = (A − B) − C; c) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 8. Jsou dány množiny A = {a} a B = {x, y}. Určete množiny A × B a B × A. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 2 Pilı́ře matematiky - cvičenı́ 14 9. Jsou dány množiny A = {1, 2, 3} a B = {3, 7}. Popiště (třeba i grafiky) množiny A×B, B × A, B × B, B × 2B . 10. Udejte přı́klad množin A, B tak, aby množina A × B měla právě 32 podmnožin. 11. Jsou dány množiny A = {x : x ∈ R, |x − 3| < 1}, B = {x : x ∈ R, x2 − 4x + 3 ≤ 0}. Spočtěte a v souřadnicovém systému zakreslete B ∪ (A − B), (A ∩ B) × (B − A). SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 2 Pilı́ře matematiky - cvičenı́ 2.3 15 Relace 1. Definujte pojem unárnı́ relace na množině M . 2. Definujte pojem (binárnı́) relace mezi množina A a B (v tomto pořadı́). 3. Jak přečteme zápis (x, y) ∈ R, je-li R relace? Uved’te jiný možný zápis relace R mezi prvky x, y. 4. Uvažujme M jako množinu přı́buzných. M = {Adam (otec), Barbora (matka), Cyril (syn), Dana (dcera), Emanuel (dědeček z otcovy strany)}. a) Je dána unárnı́ relace R1 = {x ∈ M : x je mužského pohlavı́}. b) Je dána binárnı́ relace R2 = {(x, y) ∈ M × M : (x, y) je ve vztahu otec a syn}. c) Je dána binárnı́ relace R3 = {(x, y) ∈ M ×M : (x, y) je ve vztahu rodič a potomek}. d) Je dána binárnı́ relace R4 = {(x, y) ∈ M × M : (x, y) je ve vztahu sourozenec a sourozenec}. e) Je dána ternárnı́ relace R5 = {(x, y, z) ∈ M × M × M : (x, y, z) je ve vztahu prarodič, rodič a potomek}. 5. Udejte přı́klady dvou různých relacı́ mezi množinami A = {a, b, c, d} a B = {x, y, z} a také zakreslete jejich uzlové grafy. 6. a) Co je to prázdná relace mezi množinami A a B a co je univerzálnı́ relace mezi množinami A a B? Formálně tyto relace zapiště. b) Zapiště, jak vypadá prázdná a univerzálnı́ relace mezi prázdnými množinami. 7. Definujte pojem (binárnı́) relace na množině M . 8. Je dána množina M = {a, b, c, d}. Zapiště libovolnou relaci na množině M , která má alespoň 4 prvky. Relace znázorněte uzlovým grafem relace a tabulkou relace. 9. Definujte na množině M pojem relace reflexivnı́, symetrická, antisymetrická, tranzitivnı́, úplná. 10. Mějme množinu M = {a, b, c}. Udejte přı́klad relacı́ R1 , R2 , R3 , R4 pomocı́ tabulky tak, aby každá z těchto relacı́ měla právě jednu z vlastnostı́ (pokud je to vůbec možné): reflexivnı́, symetrická, antisymetriká, úplná. 11. Na množině A = {2, 3, 4, 6, 11} je dána relace R = {(x, y) : y je dělitelem x}. Rozhodněte, zda tato relace je reflexivnı́, symetrická, tranzitivnı́. 12. Na množině A = {2, 3, 4, 6, 11} je dána relace R = {(x, y) : y je ciferný součet x}. Rozhodněte, zda tato relace je reflexivnı́, symetrická, tranzitivnı́. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 2 Pilı́ře matematiky - cvičenı́ 16 13. Je dána relace R na množině N. Rozhodněte, zda je relace R, S, A-S, T, Ú, je-li pro x, y ∈ N: a) xRy ⇐⇒ x · y je liché čı́slo; b) xRy ⇐⇒ y = x ∨ y = 2x ∨ y = 3x; c) xRy ⇐⇒ |x − y| − 3 ∨ x = y; [R, A-S] [R, S] d) xRy ⇐⇒ x = y; [R, S, A-S, T] 2 [A-S] e) xRy ⇐⇒ y = x ; SA1 [S, T] ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 2 Pilı́ře matematiky - cvičenı́ 2.4 17 Zobrazenı́ část 1 1. Mějme libovolné neprázdné množiny A a B. Definujte zobrazenı́ množiny A do množiny B: a) korektně, tj. Necht’ f je relace mezi množinami A a B, splňujı́cı́ vlastnost, že . . . Pak ” uspořádanou trojici (A, B, f ) nazýváme zobrazenı́m množiny A do množiny B.“ b) názorněji, tj. Zobrazenı́m f množiny A do B rozumı́me předpis, který . . .“ ” 2. Rozhodněte, zda relace R v přı́kladu 11 (viz Relace) definuje na množině A zobrazenı́. [nenı́ to zobrazenı́] 3. Rozhodněte, zda zadaný předpis f určuje zobrazenı́ množiny A do množiny B: a) A = Z, B = N, f (x) = |x| ∀x ∈ Z. [ne] b) A = {a, b, c, d, e}, B = {u, v, w}, f (a) = u, f (c) = u, f (d) = w, f (x)e = w. [ano] 4. Definujte zobrazenı́ injektivnı́ (tj. prosté), reps. surjektivnı́, resp. bijektivnı́. 5. Jaký je postup při důkazu, že zobrazenı́ f je injektivnı́, resp. nenı́ injektivnı́, resp. je surjektivnı́, resp. nenı́ surjektivnı́? 6. Rozhodněte, zda relace R v přı́kladu 12 (viz Relace) definuje na množině A zobrazenı́. Pokud ano, rozhodněte, zda jde o zobrazenı́ prosté. [Je to zobrazenı́, nenı́ prosté] 7. U zobrazenı́ z přı́kladu 3 rozhodněte, zda jsou injektivnı́ nebo surjektivnı́. [a) nenı́ zobrazenı́, b) nenı́ I, nenı́ S] 8. Dokažte, že mezi množinami A = Z a B = S existuje bijekce. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 2 Pilı́ře matematiky - cvičenı́ 2.5 18 Zobrazenı́ část 2 1. Zakreslete si množiny A a B schématiky jako dva ovály. Zakreslete, co si představujete pod pojmem: a) Zobrazenı́ z množiny A do množiny B. b) Zobrazenı́ množiny A do množiny B. c) Zobrazenı́ z množiny A na množinu B (tj. zobrazenı́ mezi množinami). d) Zobrazenı́ z množiny A na množinu B. 2. Zakreslete do souřadného systému x, y: a) y = |x|; b) y 2 = x. Rozhodněte, která z křivek je grafem funkce a která naopak grafem funkce nenı́. 3. Mějme libovolné neprázdny množiny A a B. Definujte zobrazenı́ z množiny A do množiny B: a) korektně, tj. Necht’ f je relace mezi množinami A a B, splňujı́cı́ vlastnost, že . . . Pak ” uspořádanou trojici (A, B, f ) nazýváme zobrazenı́m z množiny A do množiny B.“ b) názorněji, tj. Zobrazenı́m f z množiny A do množiny B rozumı́me předpis f , který ” . . .“ Použı́váme zápis b = f (a). Poznámka: Zobrazenı́ f mezi čı́selnými množinami řı́káme častěji funkce a pı́šeme f : A → B. 4. Mějme libovolné neprázdny množiny A a B. Definujte zobrazenı́ množiny A do množiny B: a) korektně, tj. Necht’ f je relace mezi množinami A a B, splňujı́cı́ vlastnost, že . . . Pak ” uspořádanou trojici (A, B, f ) nazýváme zobrazenı́m množiny A do množiny B.“ b) názorněji, tj. Zobrazenı́m f množiny A do množiny B rozumı́me předpis f , který ” . . .“ Pozn. Jde tedy o situaci, kdy množina A je přı́mo definičnı́m oborem 5. Formulace: . . . zobrazenı́ na množině A . . . máme na mysli: a) . . . zobrazenı́ z množiny A do množiny A . . . , b) . . . zobrazenı́ množiny A do množiny A . . . ? 6. Na množině A = {2, 3, 4, 6, 11} je dána relace R = {(x, y) : y je dělitelem x}. Rozhodněte, zda relace R definuje na množině A zobrazenı́. [nenı́ to zobrazenı́] SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 2 Pilı́ře matematiky - cvičenı́ 19 7. Rozhodnětem zda zadaný předpis f určuje zobrazenı́ množiny A do množiny B: a) A = Z, B = N, f (x) = |x + 2| ∀x ∈ Z. [ne, ale zobrazenı́ z mn. A do mn. B by to bylo] b) A = {a, b, c, d, e}, B = {u, v, w}, f (a) = u, f (b) = u, f (c) = u, f (d) = w, f (e) = w; [ano] c) A = Z, B = S, f (x) = 2x ∀x ∈ Z; [ano] d) A = R, B = R, f (x) = sin x ∀x ∈ R; [ano] e) A = R, B = h−1; 1i, f (x) = sin x ∀x ∈ R; [ano] f) A = B = N, f (x) = x + 1 ∀x ∈ N; ( 1 pro x = 1 g) A = B = N, f (x) = x − 1 pro x ≥ 2. [ano] [ano] 8. Definujte zobrazenı́ injektivnı́ (tj. prosté), resp. surjektivnı́, resp. bijektivnı́. 9. Jaký je postup při důkazu, že zobrazenı́ f je injektivnı́, resp. nenı́ injektivnı́, resp. je surjektivnı́, resp. nenı́ surjektivnı́? 10. Na množině A = {2, 3, 4, 6, 11} je dána relace R = {(x, y) : y je ciferný součet x}. Rozhodněte, zda relace R definuje na množině A zobrazenı́. Pokud ano, rozhodněte, zda jde o zobrazenı́ prosté. [Je to zobrazenı́, nenı́ prosté] 11. U zobrazenı́ z přı́kladu 7 rozhodněte, zda jsou injektivnı́ nebo surjektivnı́. [a) nenı́ zobrazenı́, b) nenı́ I, nenı́ S, c), d) nenı́ I, nenı́ S, e) nenı́ I, je S, f ) je I, nenı́ S, g) nenı́ I, je S] 12. Rozhodněte, zda dané zobrazenı́ f : N → N je injektivnı́, resp. bijektivnı́, je-li: a) f (x) = 2x − 1. ( 3 b) f (x) = x−3 ( x−1 c) f (x) = x+1 x+1 d) f (x) = 2 e) f (x) = 3x+1 2 [je I, nenı́ S] pro x ≤ 3 pro x > 3. pro xsudé pro xliché. [nenı́ I, je S] [je B] [nenı́ I, je S] [je I, nenı́ S] Pozn.: [a] znamená celou část čı́sla a. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 2 Pilı́ře matematiky - cvičenı́ 20 13. Rozhodněte, zda dané zobrazenı́ f je injektivnı́, resp. surjektivnı́, je-li: a) f : R → R, f (x) = x2 + 6 + + b) f : R → R , f (x) = (x + 1) [je I, nenı́ S] 2 [je B] 14. Dokažte, že mezi množinami A = Z a B = S existuje bijekce. 15. Jsou dána bijektivnı́ zobrazenı́ f, g : R → R, f (x) = 3x − 4, g(x) = 2x + 53 . Zapiště předpis pro zobrazenı́ f ◦ g a g ◦ f . SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 3 Přirozená čı́sla 3 21 Přirozená čı́sla unárnı́ operace následnı́k definována takto A’ = A ∪ {A} ∅’ = ∅ ∪ {∅} = {∅} {∅}’ = {∅} ∪ {{∅}} = {∅, {∅}} {∅, {∅}}’ = {∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}} = zavedenı́ přirozených čı́sel (pomocı́ prázdné množiny) Operace Nynı́ na N zavedeme binárnı́ operace f : N × N → N (obecně f : A × B → C). Př. f (3, 5) = 8 3+5=8 1. Sčı́tánı́ Operaci sčı́tánı́ zavedeme takto A+∅=A A + B’ = (A + B)’ Př. 4 + 2 =? 4 + 2 = 4 + 1’ = (4 + 1)’ = (4 + 0’)’ = ((4 + 0)’)’ = 5’ = 6 ⇒ 4 + 2 = 6 Operace sčı́tánı́ je komunitativnı́. 2. Násobenı́ Operaci násobenı́ zavedeme takto A×∅=∅ A × B’ = A × B + A Operace násobenı́ je komunitativnı́. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 4 Celá čı́sla 4 22 Celá čı́sla Uvažujme uspořádané dvojice přirozených čı́sel (a, b) ∈ N × N. Mezi takovými dvojicemi zavedeme relaci ∼: (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c (a − b = c − d) relace ∼ je: a) reflexivnı́ - tzn. (a, b) ∼ (a, b) ⇐⇒ a + b = b + a ∀(a, b) ∈ N × N operace sčı́tánı́ je komunitativnı́ ⇒ je reflexivnı́ b) symetrická - tzn. (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ (c, d) ∼ (a, b) c) tranzitivnı́ - tzn. (a, b) ∼ (c, d) ∧ (c, d) ∼ (e, f ) ⇒ (a, b) ∼ (e, f ) (a + d = b + c, c + f = d + e ⇒ a + f = b + e) ⇓ a + d + c + f = b + c + d + e ⇒ a + f = b + e ⇒ je tranzitivnı́ ⇒ relace ∼ je ekvivalence ⇒ N × N se rozpadne na třı́dy (3, 1) (1, 3) (5, 5) (4, 2) (10, 12) (4, 4) 2 −2 0 ⇒ Z jsou třı́dy ekvivalence Na Z nynı́ zavedeme operace: 1. sčı́tánı́ zavedeme následovně (a, b) + (c, d) = (e, f ) = (a + c, b + d) 2. součin zavedeme takto (a, b) × (c, d) = (e, f ) = (a · c + b · d, b · c + a · d) SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 5 Algebraické struktury 5 23 Algebraické struktury Algebraickou strukturou rozumı́me množinu s definovanými operacemi, které majı́ jisté vlastnosti: 5.1 Grupa množina G s binárnı́ operacı́ ∗ splňujı́cı́: G1) (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) ∀x, y, z ∈ G asociativnı́ zákon (sdružovacı́ - sdružovánı́ do závorek) G2) ∃ e ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = x ∀x ∈ G G3) ∀x ∈ G ∃ x−1 ∈ G, x ∗ x−1 = x−1 ∗ x = e se nazývá grupa prvek e nazveme neutrálnı́ prvek grupy G prvek x−1 nazveme inverznı́ prvek prvku x Př. 1. G = Z, ∗ = + ⇒ (Z, +) 2. G = Q − {0} = Q∗ , ∗ = × ⇒ (Q∗ , ·) 3. G = regulárnı́ matice daného řádu s operacı́ ∗ = · 4. sčı́tánı́ vektorů pologrupa - asociativnı́ grupoid monoid - asociativnı́ grupoid, v kterém existuje neutrálnı́ prvek Jestliže platı́ navı́c G4) x ∗ y = y ∗ x ∀x, y ∈ G hovořı́me o komutativnı́ (abelovské) grupě. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 5 Algebraické struktury 5.2 24 Pole Množina F , která má alespoň 2 prvky, se 2 operacemi značenými +, · splňujı́cı́mi: F1) x + (y + z) = (x + y) + z ∀x, y, z ∈ F F2) ∃ OF ∈ F tak, že x + OF = OF + x = x ∀x ∈ F F3) ∀x ∈ F ∃ (−x) ∈ F tak, že x + (−x) = (−x) + x = OF ∀x ∈ F F4) x + y = y + x ∀x, y ∈ F F5) x · (y · z) = (x · y) · z ∀x, y, z ∈ F F6) ∃ 1F ∈ F tak, že x · 1F = 1F · x = x ∀x ∈ F F7) ∀x ∈ F ∃ x−1 ∈ F tak, že x · x−1 = x−1 · x = 1F ∀x ∈ F F8) distributivnı́ zákony x · (y + z) = x · y + x · z, (y + z) · x = y · x + z · x ∀x, y, z ∈ F se nazývá pole (field, těleso). F1 - F4 = komutativnı́ grupa k + F5 - F7 = grupa k · F8 = distributiva Požadujeme-li navı́c F9) x · y = y · x ∀x, y, z ∈ F hovořı́me o komutativnı́m poli. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 5 Algebraické struktury 25 Př. 1. (Q, +, ×) 2. (R, +, ×) 3. komplexnı́ čı́sla (C, +, ×), parakomplexnı́ čı́sla (a + bi, i2 = 1, a, b ∈ R), duálnı́ čı́sla (a + bi, i2 = 0, a, b ∈ R) 4. čı́sla typu a + bi + cj + dk, a, b, c, d ∈ R, i2 = j 2 = k 2 = −1, ij = −k, ji = k nazýváme kvaterniony (H, +, ×) - nenı́ to komutativnı́ pole - použitı́ hydromechanice, ve fyzice k popisu pohybu elementárnı́ch částic nebo rotace sfér 5. racionálnı́ funkce 2x3 + x + 2 x4 − x2 − 5x − 1 ⇒ (Rac, +, ×) Př. pole se 2 prvky aditivnı́ operace SA1 × 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 + 0 1 0 1 a multiplikativnı́ operace ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 6 Konečná pole 6 26 Konečná pole Galois - existuje vždy jediné pole o pn prvcı́ch, kde p je prvočı́slo a n ∈ N; pole o jiném počtu prvku neexistujı́ konečná pole: a) prvočı́selná - počet prvků = p (n = 1) → 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . b) neprvočı́selná - počet prvků = pn , n ∈ N, n > 1 → 4, 8, 9, 16, 25, . . . použitı́ v kryptografii 6.1 Prvočı́selná pole + a × se počı́tajı́ modulárně ⇒ modulárnı́ aritmetika (výsledek operace je vždy zbytek po dělenı́ čı́slem p čı́sla, které bychom dostali, kdybychom operaci provedli standartně) Ukázka na přı́kladu - mějme pole F5 . Počı́táme pak 4 + 3 (= 7 = 1 · 5 + 2) = 2, 4 · 3 (= 12 = 2 · 5 + 2) = 2 Zápis tabulek pro pole F5 aditivnı́ × 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4 2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3 3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2 4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1 + 0 1 2 3 4 0 a multiplikativnı́ Př. F11 8+7=4 10 + 2 = 1 8·3=2 6·6=3 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 6 Konečná pole 6.2 27 Neprvočı́selná pole pro pole Fpn reprezentujeme prvky jako polynomy stupně nejvýše n − 1 s koeficienty z Fp Př. Pole F4 0 1 2 0 1 x 3 x+1 Př. F81 ⇒ 0, 1, 2, x, x + 1, . . . , 2x3 + 2x2 + 2x + 2 - polynom 2x3 + 2x2 + 2x + 2 je nejvyššı́ možný 1. sčı́tánı́ - v každém stupni sčı́táme modulo p Př. F81 x3 + + 2x2 3 + 2 0 + 2x x + x 0 + + 2 x + 2 Př. F4 + 0 1 x x+1 0 0 1 x x+1 1 1 0 x+1 x x x x+1 0 1 x+1 x+1 x 1 0 2. násobenı́ - vybereme redukčnı́ polynom Pred stupně n, který je nerozložitelný (ireducibilnı́) na součin polynomů nižšı́ho stupně; vynásobı́me potom opět modulo p - je-li výsledkem polynom stupně > n − 1, odečı́táme xi · Pred (pro vhodné i) tak dlouho, až obdržı́me polynom stupně ≤ n − 1 Př. F4 nejprve musı́me vybrat Pred : x2 = x · x x2 + 1 = (x + 1) · (x + 1) x2 + x = x · (x + 1) x2 + x + 1 = Pred SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 6 Konečná pole 28 Multiplikativnı́ tabulka nakonec dopadne následovně × 0 1 x x+1 0 0 0 0 0 1 0 1 x x+1 x 0 x x+1 1 1 x x+1 0 x+1 Nahradı́me-li polynomy opět čı́sly, dostáváme pro F4 následujı́cı́ tabulky aditivnı́ × 0 1 2 3 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 3 2 1 0 1 2 3 2 2 3 0 1 2 0 2 3 1 3 3 2 1 0 3 0 3 1 2 + 0 1 2 3 0 0 1 a multiplikativnı́ Př. F9 = F32 0 1 2 3 4 0 1 2 x x+1 5 6 7 8 x+2 2x 2x + 1 2x + 2 Pak 7 + 8 = 3 protože + 2x + 1 2x + 2 x Dále vyberme Pred x2 = x · x x2 + 1 = Pred1 x2 + 2 = (x + 1) · (x + 2) x2 + x = x · (x + 1) x2 + 2x = x · (x + 2) x2 + x + 1 = (x + 2) · (x+)) x2 + x + 2 = Pred2 x2 + 2x + 1 = (x + 1) · (x + 1) x2 + 2x + 2 = Pred3 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 6 Konečná pole 29 Vezměme Pred = x2 + 1 a počı́tejme: a) 7 · 8 =? (2x + 1)(2x + 2) x 2 + x 2x x2 + 2 + 2 → - x2 + 2 (x2 + 1) ⇒ 7·8=1 1 b) 6 · 6 =? x2 2x · 2x = x2 → (x2 - + ⇒6·6=2 1) 2 c) 5 · 8 =? (x + 2)(2x + 2) 2x2 + 2x x 2x2 + 1 + 1 → - 2x2 + 1 (x2 + 1) x x2 → - (x2 + 2 1) ⇒ 5·8=2 2 konečné pole je jen 1, ale mohou nám vyjı́t rozdı́lné tabulky (podle výběru Pred ) ⇒ existuje tzv. izomorfismus = bijektivnı́ zobrazenı́, pro které platı́ ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b) tzn. zachovává operaci a jejı́ vlastnosti Pozn. Uloha o 36-důstojnı́cı́ch. Máme seřadit 36 důstojnı́ků z 6 různých pluků a 6 různých hodnostı́ do čtverce tak, aby v jedné řadě ani v jednom sloupci nestáli 2 důstojnı́cı́ ze stejného pluku nebo stejné hodnosti. Cvičenı́. Vyplňte tabulky pro F8 . V závislosti na výběru Pred vyjdou různé tabulky. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 7 Racionálnı́ čı́sla 7 30 Racionálnı́ čı́sla Uvažujme dvojice celých čı́sel (a, b) ∈ Z × Z∗ (Z × Z − {0}) a zaved’me mezi nimi relaci ∼: a c (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a · d = b · c = b d Věta Relace ∼ je ekvivalence. Důkaz 1. reflexivnı́ - tzn. (a, b) ∼ (a, b) ⇐⇒ a · b = b · a ∀(a, b) ∈ Z × Z∗ násobenı́ je komutativnı́ ⇒ je reflexivnı́ 2. symetrická 3. tranzitivnı́ - tzn. (a, b) ∼ (c, d), (c, d) ∼ (e, f ) ⇒ (a, b) ∼ (e, f ) (a · d = b · c, c · f = d · e) Chceme dokázat, že a · f = b · e. Je-li a = 0 platı́, protože a = 0 ⇒ c = 0 ⇒ e = 0 ⇒ 0 = 0 Je-li e = 0 platı́, protože e = 0 ⇒ c = 0 ⇒ a = 0 ⇒ 0 = 0 Předpokládejme dále, že a 6= 0, e 6= 0 ⇒ c 6= 0. a · d · c · f = b · c · d · e ⇒ c · d · (a · f ) = c · d · (b · e). Jelikož platı́, že c 6= 0, d 6= 0, můžeme vykrátı́t a dostáváme a · f = b · e. ⇓ (2, 3) (0, 1) (4, 6) (0, 5) 2 3 0 1 p, q - nesoudělná, p ∈ Z, q ∈ N Nynı́ na Q zaved’me operace: 1. sčı́tánı́ (a, b) + (c, d) = (e, f ) = (ad + bc, bd) 2. násobenı́ (a, b) · (c, d) = (e, f ) = (ac, bd) SA1 a c ad + bc + = b d bd a c ac · = b d bd ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 7 Racionálnı́ čı́sla 31 Věta (Q, +, ·) je pole. Důkaz Jde o přı́me ověřenı́ axiomů pole. √ Př. Tvořı́ množina čı́sel takových, že a + b 2, a, b ∈ Q pole? Je třeba dokázat multiplikativnı́ inverzi. Např. vezměme a = 1 2 a b = 3. √ −1 1 +3 2 = ? 2 √ √ 1 1 −3 2 −3 2 12 √ 2 2 2 = + 2 = 1 = − 71 71 − 18 − 71 4 4 1 2 1 √ · +3 2 1 2 1 2 √ −3 2 √ −3 2 a, b ∈ Q ⇒ je to pole √ √ Cvičenı́ Je množina čı́sel a + b 2 + c 3 takových, že a, b, c ∈ Q, pole? SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 8 Uspořádané pole 8 32 Uspořádané pole Řekneme, že pole F je uspořádané, jestliže v něm existuje množina P ⊆ F tak, že platı́ právě jedna z možnostı́: 1. x ∈ P 2. −x ∈ P 3. x = OF a dále 1. x ∈ P, y ∈ P ⇒ x + y ∈ P 2. x ∈ P, y ∈ P ⇒ x · y ∈ P ∀x, y ∈ F ∀x, y ∈ F Př. Sestrojit P na množině Q. P = Q+ , P - podmnožina pozitivnı́ch čı́sel ⇓ pokud najdeme P , je pole uspořádané Př. F = R ⇒ P = R+ Věta Konečná pole nejsou uspořádaná pole. Věta C nelze uspořádat Důkaz Předpokládejme, že 1 ∈ P . Předpokládejme dále, že také i ∈ P . Jenže pak také i2 = −1 ∈ P . Což je ale spor, protože 1 ∈ P ∧ −1 ∈ P . Zkusme předpokládat, že 1 ∈ P ∧ −i ∈ P . Jenže pak také (−i)2 = −1 ∈ P . Což je ale spor, protože 1 ∈ P ∧ −1 ∈ P . Takže at’ volı́me kombinaci prvků jakkoliv, vždy dojdeme ke sporu, tzn. že C nelze uspořádat. Máme-li uspořádané pole, pak v něm lze zavést relaci ostrého uspořádánı́ takto x < y ⇐⇒ y − x ∈ P Pak zavedeme x ≤ y, jestliže x < y nebo x = y. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 8 Uspořádané pole 33 Věta Pole Rac je uspořádané pole. Každou racionálnı́ funkci lze zapsat v tzv. základnı́m tvaru W+ U V kde U, V, W jsou polynomy a platı́ lc(W ) > 0 a degU < degV Racionálnı́ funkce ve tvaru W + SA1 U V patřı́ do P , jestliže lc(W ) > 0 nebo W = 0 ∧ lc(U ) > 0. ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 9 Archimédovská pole 9 34 Archimédovská pole Řekneme, že uspořádané pole F je archimédovské, jestliže pro každá x, y ∈ P existuje nějaké n ∈ N tak, že n·x>y Je Q archimédovské pole? např x = 1 1000 a y = 550000 ⇒ evidentně ano Věta Pole racionálnı́ch funkcı́ je archimédovské pole. Důkaz Vezměme např. x = t a y = t2 . Pokud vezmeme y − x = t2 − t, zjišt’ujeme, že y − x ∈ P ⇒ y > x. Nynı́ vynásobme člen x čı́slem n. Ovšem zjistı́me, že pro y − nx = t2 − nt opět platı́, že y − nx ∈ P ⇒ y > nx. Tzn., že pro jakékoliv n bude y > nx ⇒ pole racionálnı́ch funkcı́ nenı́ uspořádané. Jestliže pro nějaké y ∈ P existuje x ∈ P takové, že archimédovská vlastnost nenı́ splněna (tzn. neexistuje n ∈ N tak, aby nx > y), pak toto x nazveme infinitezimálnı́ (nekonečně malé) vzhledem k y. Př. polynom 1 t je infinitezinálmı́ vzhledem k 1 Jestliže pro nějaké x existuje y takové, že nenı́ splněna archimédovská vlastnost, pak toto y nazveme infinitnı́ (nekonečně velké) vzhledem k x. Tato cesta byla zavržena - ti, kteřı́ touto cesto pokračujı́ ⇒ nestandartnı́ analýza - použı́vá nearchimédovské pole a přidá si infinitezimálnı́ prvky (, . . .) Vezměme nynı́ Q, A ⊆ Q, A 6= ∅ Řekneme, že x ∈ Q je hornı́ závora A, jestliže x ≥ a pro ∀a ∈ A Řekneme, že x ∈ Q je dolnı́ závora A, jestliže x ≤ a pro ∀a ∈ A Nynı́ vezměme např. A = {a ∈ Q, a ≤ 1}. Tato množina má nekonečno mnoho hornı́ch závor → nejmenšı́ hornı́ závoru nazveme suprémum A a označı́me ji supA. Obdobně největšı́ dolnı́ závoru množiny A nazveme infimum A a značı́me infA. Řekneme, že A je shora ohraničená, jestliže existuje nějaká jejı́ hornı́ závora. Řekneme, že A je zdola ohraničená, jestliže existuje nějaká jejı́ dolnı́ závora. Maximum množiny A je jejı́ největšı́ prvek, značený maxA. Minimum množiny A je jejı́ nejmenšı́ prvek, značený minA. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 9 Archimédovská pole 35 Mějme A ⊆ Q shora ohraničenou. Sestrojme nynı́ množinu A tak, aby: 1. aby existovalo maximum i suprémum - např. A = {x ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 10} 2. aby existovalo suprémum, ale ne maximum - např. A = {x ∈ Q, 0 ≤ x < 10} 3. aby neexistovalo minimum ani suprémum - např. A = {x ∈ Q, x · x < 2} ⇒ důvod pro zavedenı́ R Řekneme, že uspořádané pole F je husté, jestliže pro každé 2 prvky x, y ∈ F takové, že x < y existuje z ∈ F tak, že x < z < y. Věta Q je husté pole. (důkaz - např. aritmetický průměr - vezmeme-li 2 libovolná racionálnı́ čı́sla x a y, x < y, a uděláme-li jejich aritmetický průměr, dostaneme racionálnı́ čı́slo z, pro které bude platit x < z < y) Věta Rac je husté pole. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 10 Reálná čı́sla 10 36 Reálná čı́sla 1. Dedekindovy řezy 2. cauchyovské posloupnosti 3. axiomatické zavedenı́ 10.1 Dedekindovy řezy Definujme množinu D ⊆ Q splňujı́cı́ 2 podmı́nky: 1. jestliže x ∈ D, pak ∃ y ∈ D takové, že x < y 2. jestliže x ∈ D a y je libovolné y ∈ Q a y < x, pak y ∈ D a nazvěme ji Dedekindův řez. Př. 1. Q → ozn. ∞ 2. Q → ozn. −∞ 3. Q− → ozn. O 4. A = {x ∈ Q, x < 1} . . . reálné čı́slo 1 5. A = {x ∈ Q, x · x < 2} . . . reálné čı́slo √ 2 Množinu všedh Dedekindových řezů označı́me R a nazveme ji rozšı́řená reálná čı́sla. Samotná reálná čı́sla pak definujeme takto: R = R − {−∞, ∞} Operace: 1. součet Dedekindových řezů: D + E = {x ∈ Q, x = d + e, d ∈ D, e ∈ E} Poznámka k uspořádánı́ Dedekindových řezů. D ≤ E definujeme takto x ∈ D ⇒ x ∈ E. Jestliže O ≤ D, nazveme D nezáporným Dedekindovým řezem. Jestliže O > D, nazveme D záporným Dedekindovým řezem. Dedekindův řez Q− − E = {x ∈ Q, x = d − e, d < 0 ∧ e ∈ Q − E} označme −E a nazveme opačný k E. Odečı́tánı́ Dedekindových řezů pak definujeme takto D + (−E) = {x ∈ Q, x = d − e, d ∈ D ∧ e ∈ Q − E} SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 10 Reálná čı́sla 37 2. součin Dedekindových řezů: a) D, E jsou nezáporné Dedekindovy řezy D · E = {x ∈ Q, x = d · e, d ∈ D ∧ d ≥ 0, e ∈ E} b) D nezáporný a E záporný D · E = −(D · (−E)) c) D záporný a E nezáporný D · E = −(−D · E) d) D, E záporné D · E = (−D · (−E)) 10.2 vyjádřenı́ reálných čı́sel a) např. 3, 14159265 . . . - nekonečný desetinný rozvoj b) pomocı́ řetězových zlomků - takový zlomek je jednoznačný a je-li čı́slo racionálnı́, je konečný Pozn. Racionálnı́ čı́slo má ukončený nebo periodický desetinný rozvoj. Př. 1 = 0, 9 = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + . . . = Př. 80 11 80 11 0, 9 =1 1 − 0, 1 =? celá část 7 ⇓ 80 11 −7= 3 ; 11 1 3 11 ⇓ 11 3 − 3 = 23 ; 1 2 3 ⇓ 3 2 − 1 = 12 ; ⇓ 2 − 2 = 0; 1 1 2 = = 11 3 3 2 celá část 3 celá část 1 =2 konec ⇒ 80 1 =7+ 11 3 + 1+1 1 2 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 11 Mohutnost čı́selných množin (kardinalita) 11 38 Mohutnost čı́selných množin (kardinalita) čı́selné vyjádřenı́ počtu prvků Př. A = {x, y, z} ⇒ |A| = 3 (cardA = 3) |∅| = 0 |N| = ℵ0 Mohutnost nekonečných množin porovnáváme bijekcı́. Demonstrace na vesmı́rném hotelu: 1) všechny pokoje jsou obsazené a přijede 1 host ⇒ řekneme stávajı́cı́m hostům, at’ se posunou do pokoje s čı́slem o 1 většı́ N0 = N ∪ {0} N 1 - 0 2 - 1 3 - 2 4 - 3 5 .. . - 4 .. . |N ∪ {0}| = ℵ0 |N ∪ A| = ℵ0 − A konečná množina 2) přijede nekonečně mnoho nových hostů - stávajı́cı́m hostům řekneme, at’ se přesunou z pokoje čı́sla x do pokoje 2x sudá N 1 - 2 2 - 4 3 - 6 4 .. . - 8 .. . |sudá| = ℵ0 |lichá| = ℵ0 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 11 Mohutnost čı́selných množin (kardinalita) 39 3) celá čı́sla N Z 1 - 0 2 - 1 3 - −1 4 - 2 5 .. . - −2 .. . 130 - 65 131 - −65 |Z| = ℵ0 4) racionálnı́ čı́sla - |p| + q . . . výšká racionálnı́ho čı́sla N Q 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 .. . - 0 1 − 11 1 1 − 21 − 12 1 2 2 1 − 31 − 13 1 3 .. . |Q| = ℵ0 Pozn. Zavedenı́ intervalů Vezměme A = {x ∈ Q, x < 1} = reálné čı́slo 1. Vezmeme množinu všech Dedekindových řezů B, pro něž platı́ B ≤ A. Tuto množinu označı́me (−∞, 1i. Nynı́ vezmeme (−∞, 1i − A a výsledek označı́me (−∞, 1). Obdobně dostaneme interval (−∞, 0). Interval h0, 1) pak dostaneme takto: h0, 1) = (−∞, 1)− (−∞, 0). SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 11 Mohutnost čı́selných množin (kardinalita) 40 Věta |R| > ℵ0 Důkaz - Cantorova diagonálnı́ metoda Dokážeme, že |h0, 1)| > ℵ0 Označme nynı́ postupně všechna čı́sla z h0, 1) takto: a1 = 0, a11 a12 a13 a14 a2 = 0, a21 a22 a23 a24 a3 = 0, a31 a32 a33 a34 .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . Nynı́ sestrojı́me čı́slo b = 0, b1 b2 b3 b4 . . . takto: ( 1 pro aii 6= 1 bi = 2 pro aii = 1 ⇒ b 6= a1 , b 6= a2 , . . . ⇒ b nenı́ v námi sestrojeném seznamu čı́sel z h0, 1) ale b je v h0, 1) ⇒ spor ⇒ |h0, 1)| > ℵ0 ⇒ |R| > ℵ0 A = {x, y, z} |A| = 3 |2A | = 8 |2N | = ℵ1 |R| = c - dodnes nevyřešeno, zda c = ℵ1 |C| = |R2 | = c Bijekce mezi R a R2 . [0, 325415] ⇒ [0, 351; 0, 245] ⇓ zobrazenı́ bodu do roviny ⇓ |R2 | = c SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 12 Metrické prostory 12 41 Metrické prostory větsinou budeme pracovat s R drtivá většina reálných čı́sel nemá název (zápis) |Q| = ℵ0 |R − Q| = c ⇒ je jich vı́ce než Q √ √ algebraická čı́sla - kořeny polynomů (x2 −2, . . .) - všechny odmocniny atd. ( 2, 32 1024, . . .) |algebraická čı́sla| = ℵ0 √ transcedentnı́ čı́sla - taková iracionálnı́ čı́sla, která nejsou kořeny polynomů (π, e, 2 2 ) |transcendentnı́ čı́sla| = c Teorie metrických prostorů Mějme X 6= ∅, funkci ρ : X × X → R splňujı́cı́: 1. ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ∀x, y ∈ X 2. ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀x, y ∈ X 3. ρ(x, y) + ρ(y, z) ≥ ρ(x, z) ∀x, y, z ∈ X (trojúhelnı́ková nerovnost) Tuto funkci ρ nazveme metrika na X a množinu (X, ρ), na které funkci ρ definujeme, nazveme metrický prostor. Věta ρ je nezáporná funkce. Důkaz ρ(x, x) = 0 ρ(x, x) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, x) ⇒ 2ρ(x, y) ≥ 0 ⇒ ρ(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X Lze na každé množině X zavést metriku? Ano, tzv. triviálnı́ metriku. ( ρ(x, y) = 0 pro x = y 1 pro x 6= y 1. X = R × R (reálná rovina) Máme body x = [x1 , x2 ], y = [y1 , y2 ]. Metriku definovanou p ρ(x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 nazveme eukleidovskou metrikou. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 12 Metrické prostory 42 Obecně pro vı́cedimenzionálnı́ prostor X = Rn platı́ v u n uX ρ(x, y) = t (xi − yi )2 i=1 2. X = R × R (reálná rovina) Máme body x = [x1 , x2 ], y = [y1 , y2 ]. Metriku definovanou ρ(x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | nazveme manhattanskou (poštáckou) metrikou. x y Obrázek 7: Manhattanská metrika 3. X = R × R ρ(x, y) = (x1 − y1 ) Toto nenı́ metrika, protože x 6= y a ρ(x, y) = 0 x y Obrázek 8: Př. nemetriky“ ” Pozn. Pro X = R splyne eukleidovská a manhattanská metrika: p (x − y)2 = |x − y| SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 12 Metrické prostory 43 Otevřená koule Otevřená koule v metrickém prostotu X se středem x0 a poloměrem > 0 je definována Bx0 , = {x ∈ X, ρ(x0 , x) < } eukleidovská metrika X = R × R manhattanská metrika X = R × R y y x0 x0 x x (a) Eukleidovská metrika (b) Manhattanská metrika Obrázek 9: Otevřené koule triviálnı́ metrika < 1 - jen střed x0 > 1 - úplně celá množina Otevřená množina Řekneme, že A ⊆ X je otevřená, jestliže pro ∀a ∈ A ∃ > 0 tak, že: Ba, ⊆ A (tzn. ke každému a můžeme sestrojit otevřenou kouli, která je celá v A) y x Obrázek 10: Otevřená množina SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 12 Metrické prostory 44 Př. prázdná množina, celá množina (triviálnı́ přı́pady), otevřené intervaly Obrázek 11: Otevřené množiny Uzavřená množina Řekneme, že množina A je uzavřená, jestliže jejı́ doplněk je množina otevřená. Př. uzavřený interval, jediný bod Obrázek 12: Uzavřené množiny Věta Q nejsou uzavřená množina ani otevřená množina ∅ je zároveň uzavřená i otevřená množina R je zároveň uzavřená i otevřená množina ) clopen Př. X = Q clopen množiny - ∅, R, A = {x ∈ Q, x · x < 2} ⇒ nedokonalost Q SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 13 Posloupnosti 13 45 Posloupnosti a1 , a2 , a3 , . . . ; {an }∞ n=1 zobrazenı́ a : N → X a(1) = a1 a(2) = a2 většina posloupnostı́ bez pravidla, budeme brát X = R ⇒ reálné posloupnosti 2 způsoby zadánı́ posloupnosti: 1. explicitnı́ zadánı́ zadánı́ posloupnosti pomocı́ obecného členu an Př. an = n nn +n! ⇒ a1 = 21 , a2 = 31 , a3 = 1 , 11 a4 = 1 ,... 70 2. rekurentnı́ zadánı́ vyjádřenı́ obecného členu an pomocı́ členů předchozı́ch Př. a1 = 0, a2 = 1, an = an−1 + an−2 , pro n ≥ 3 a3 = 1, a4 = 2, a5 = 3, a6 = 5 ⇒ Fibonacciho posloupnost tuto posloupnost lze vyjádřit také tı́mto explicitnı́m předpisem √ √ (1 + 5)n − (1 − 5)n √ an = 2n 5 Př. Kobonovy trojúhelnı́ky. Jednotlivé členy této posloupnosti zı́skáváme jako maximálnı́ počet trojúhelnı́ků, které vzniknou při zkřı́ženı́ n přı́mek pro n ≥ 3. Nenı́ zatı́m znám explicitnı́ ani rekurentnı́ předpis. Je známo pouze pár prvnı́ch členů a to 1, 2, 5, 7, 11, . . . (a) n = 3 (b) n = 4 (c) n = 5 Obrázek 13: Kobonovy trojúhelnı́ky SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 13 Posloupnosti 46 Řekneme, že posloupnost {an }∞ n=1 konverguje k a ∈ X, jestliže pro ∀ > 0 existuje N ∈ N takové, že pro všechna n ≥ N platı́, že ρ(an , a) < . Pak pı́šeme lim an = a (n→∞) a 1 2 N Obrázek 14: Konvergentnı́ posloupnost Řekneme, že posloupnost {a∞ n=1 } je cauchyovská, jestliže ∀ > 0 ∃ N ∈ N takové, že pro ∀m, n ≥ N platı́, že ρ(am , an ) < . Platı́, že jestliže je posloupnost konvergentnı́, je také cauchyovská Definice Metrický prostor nazveme úplný, jestliže v něm je každá cauchyovská posloupnost konvergentnı́. Věta Q nenı́ úplný metrický prostor. Důkaz Vezmeme posloupnost an = (1 + Nynı́ počı́tejme a2 − a1 = 9 4 1 n 9 64 625 ) = 2, , , ,... n 4 27 256 − 2 = 14 , a3 − a2 = 64 27 − 9 4 = 13 . 108 13 1 < 108 4 Evidentně se rozdı́ly mezi členy zmenšujı́ ⇒ je to cauchyovská posloupnost. Nenı́ to ale konvergentnı́ posloupnost v rámci Q. (lim an = e 6∈ Q) ⇒ lim an v Q neexistuje. alternativnı́ konstrukce R Zúplněnı́m metrického prostoru Q. Ke všem cauchyovským posloupnostem najdeme limity ⇒ tyto limity vytvořı́ množinu R (limity 6∈ Q, ale budou ležet v nově zavedené množině R). SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 14 Reálné posloupnosti - teorie 14 47 Reálné posloupnosti - teorie a:N→R okolı́ bodu x ∈ R bude libovolný otevřený interval obsahujı́cı́ x, značı́me O(x) x Obrázek 15: Okolı́ bodu -okolı́ bodu x ∈ R je definováno jako interval (x − , x + ), značı́me O (x) x Obrázek 16: -okolı́ bodu ryzı́ okolı́ bodu x ∈ R definujeme O(x) = O(x) − {x} x Obrázek 17: Ryzı́ okolı́ bodu ryzı́ -okolı́ bodu x ∈ R definujeme O (x) = O (x) − {x} x Obrázek 18: Ryzı́ -okolı́ bodu Řekneme, že posloupnost {an }∞ n=1 konverguje k a ∈ R, jestliže ∀O(a) ∃ N ∈ N tak, že ∀n ≥ N platı́, že an ∈ O(a). nynı́ to nemusı́ být -okolı́ ⇒ můžeme vzı́t asymetrické okolı́ bodu x Řekneme, že posloupnost {an }∞ n=1 diverguje k ∞, jestliže pro ∀K ∈ R ∃N ∈ N tak, že pro ∀n ≥ N platı́, že an > K a pı́šeme lim an = ∞ Posloupnost {an }∞ n=1 diverguje k −∞, jestliže pro ∀K ∈ R ∃ N ∈ N tak, že pro ∀n ≥ N platı́, že an < K a pı́šeme lim an = −∞ ⇓ divergentnı́ posloupnost Posloupnost, která nediverguje ani nekonverguje, se nazývá oscilujı́cı́. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 14 Reálné posloupnosti - teorie 48 Omezenost posloupnosti 1. shora omezená - ∃ K ∈ R, an < K 2. zdola omezená - ∃ K ∈ R, an > K 3. omezená (ohraničená) - omezená zdola i shora Monotonnost posloupnosti 1. rostoucı́ - ∀n ∈ N platı́ an+1 > an 2. klesajı́cı́ - ∀n ∈ N platı́ an+1 < an 3. nerostoucı́ - ∀n ∈ N platı́ an+1 ≤ an 4. neklesajı́cı́ - ∀n ∈ N platı́ an+1 ≥ an 5. konstantnı́ - ∀n ∈ N platı́ an+1 = an monotónnı́ - 1) až 4) ryze monotónnı́ - 1) a 2) Řekneme, že posloupnost {an }∞ n=1 má hromadný bod a ∈ R, jestliže pro ∀O(a) platı́, že nekonečně mnoho bodů této posloupnosti ležı́ v O(a). Př. Posloupnost 1, 0, 1, 0, . . . ⇒ 2 hromadné body Př. 1 3 5 1 5 9 1 9 17 , , , , , , , , ,... 2 2 2 4 4 4 8 8 8 tato posloupnost má hromadné body 0, 1 a 2 Řekneme, že posloupnost {an }∞ n=1 má hromadný bod ∞, jestliže pro ∀K ∈ R platı́, že nekonečně mnoho bodů splňuje, že an > K. Např.: 1, 2, 3, 4, . . . Řekneme, že posloupnost {an }∞ n=1 má hromadný bod −∞, jestliže pro ∀K ∈ R platı́, že nekonečně mnoho bodů splňuje, že an < K. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 14 Reálné posloupnosti - teorie 49 Věta Každá posloupnost má alespoň 1 hromadný bod. Důkaz Nenı́-li shora omezená, je hromadným bodem ∞. Nenı́-li zdola omezená, je hromadným bodem −∞. Předpokládejme dále, že posloupnost je omezená ⇒ an ∈ hK, Li. Pak alespoň v jednom i, ( K+L , Li ležı́ nekonečně mnoho bodů posloupnosti. Takto budeme z intervalů hK, K+L 2 2 pokračovat až dostaneme v limitnı́m přı́padě bod ⇒ hromadný bod. suprémum ze všech hromadných bodů posloupnosti se nazývá limes superior a označuje lim sup an infimum ze všech hromadných bodů posloupnosti se nazývá limes inferior a označuje lim inf an Př. 1 5 9 1 9 17 1 3 5 0, , , , 1, , , , 2, , , , 3, . . . 2 2 2 4 4 4 8 8 8 lim sup an = ∞, lim inf an = 0 posloupnost s nekonečně vysokým počtem hromadných bodů 1 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 9 11 13 15 1 , , , , , , , , , , , , , , , ,... 2 4 4 8 8 8 8 16 16 16 16 16 16 16 16 32 lim sup an = 1, lim inf an = 0 Restrikcı́ (zúženı́m) zobrazenı́ a : N → R na nekonečnou množinu J ⊆ N dostáváme vybranou podposloupnost. Věta Má-li posloupnost {an }∞ n=1 hromadný bod a, pak existuje jejı́ vybraná podposloupnost, která konverguje k a. Věta (Bolzano, Weierstrass) Pro každou omezenou posloupnost {an }∞ n=1 existuje jejı́ vybraná podposloupnost, která je konvergentnı́. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 14 Reálné posloupnosti - teorie 50 Výpočty limit ∞ {an }∞ n=1 , {bn }n=1 posloupnosti s vlastnı́mi limitami. Pak platı́ následujı́cı́ vztahy: 1. lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn 2. lim(an · bn ) = lim an · lim bn 3. lim Př. lim an bn = lim an lim bn n3 ( n1 + n12 + n23 ) n2 + n + 2 =0 = lim n3 − 1 n3 (1 − n13 ) Počı́táme-li limitu výrázů typu P , Q platı́: P 1. lim Q = ±∞, pro degP > degQ P = 0, pro degP < degQ 2. lim Q P 3. lim Q = podı́l lc, pro degP = degQ Věta V R platı́, že posloupnost je konvergentnı́ ⇐⇒ cauchyovská. Důkaz 1) ⇒: Předpokládejme, že posloupnost {an }∞ n=1 je konvergentnı́, tj. konverguje k a ∈ R, tzn. pro ∀ > 0, tedy i pro 2 (> 0), existuje N ∈ N tak, že |an − a| < 2 pro ∀n ≥ N a také |am − a| < 2 pro ∀m ≥ N . Pak pro m, n ≥ N je |am − an | = |am − a + a − an | ≤ |am − a| + |an − a| < . Posloupnost je tedy také cauchovská. 2) ⇐: Předpokládejme, že posloupnost {an }∞ n=1 je cauchyovská. Předpokládejme dále, že 0 00 posloupnostt má 2 hromadné body a , a ∈ R. Tzn. existuje vybraná podposloupnost {aki }∞ i=1 , která konverguje k bodu a0 , tzn. pro ∀ > 0, tedy i pro 3 , ∃ N1 ∈ N tak, že |aki − a0 | < 3 00 pro ∀ki ≥ N1 a existuje vybraná podposloupnost {ali }∞ i=1 , která konverguje k bodu a , tzn. ∀ > 0, tedy i pro 3 , ∃ N2 ∈ N tak, že |ali − a00 | < 3 pro ∀li ≥ N2 . Protože je posloupnost cauchyovská, existuje také N ∈ N tak, že |aki − ali | < 3 ∀ki , li ≥ N . Nynı́ vezmeme N0 = max{N1 , N2 , N } Pak pro ki , li ≥ N0 je |a0 −a00 | = |a0 −aki +aki −ali +ali −a00 | = |a0 −aki |+|aki −ali |+—a00 −ali | < . Ukázali jsme, že pro každé > 0 splňujı́ hromadné body a0 , a00 podmı́nku |a0 − a00 | < . Tzn. a0 = a00 , tedy posloupnost má jediný hromadný bod ⇒ tı́m pádem je konvergentnı́. Důsledek R je úplný metrický prostor, tzn. každá cauchyovská posloupnost je zde konvergentnı́. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 14 Reálné posloupnosti - teorie 51 Stolzova věta {bn }∞ n=1 je (alespoň od nějakého indexu) rostoucı́ posloupnost, tj lim bn = ∞. {an }∞ n=1 dalšı́ posloupnost. Pak platı́: lim an an − an−1 = lim bn bn − bn−1 Důkaz Předpokládáme, že lim an − an−1 =l bn − bn−1 tzn. pro ∀ > 0, tedy i pro 2 , ∃ N ∈ N tak, že pro ∀n ≥ N je l− an − an−1 < <l+ 2 bn − bn−1 2 Vezmeme-li tedy jakékoliv n > N (pevně vybrané n), tak potom všechny zlomky an−1 − an−2 an − an−1 aN +1 − aN aN +2 − aN +1 aN +3 − aN +2 , , , ... , , bN +1 − aN bN +2 − aN +1 bN +3 − aN +2 bn−1 − an−2 bn − an−1 ležı́ mezi l − 2 a l + 2 . Mezi l − 2 a l+ 2 ležı́ potom i zlomek an − aN bn − bN ({bn } rostoucı́ ⇒ jmenovatelé zlomků jsou kladné ⇒ můžeme vzı́t průměr čitatelů i jmeno průměr čitatelů vatelů ⇒ dostáváme tak náš zlomek). průměr jmenovatelů Pak platı́: an − aN bn − bN − l < 2 Počı́táme: 1) an aN − lbN bN an − aN −l = + 1− −l bn bn bn bn − bN Výpočet aN − lbN bN an − aN aN − lbN bn − bN an − aN + 1− −l = + −l = bn bn bn − bN bn bn bn − bN aN − lbN bn − bN an − aN − lbn + lbN aN − lbN an − aN − lbn + lbN + = + = = bn bn bn − bN bn bn = an − lbn an lbn an = − = −l bn bn bn bn 2) an − l ≤ aN − lbN + 1 − bN an − aN − l bn bn bn bn − bN SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 14 Reálné posloupnosti - teorie 52 Výpočet - vı́me, že platı́ an − aN aN − lbN b N < bn − bN − l < 2 , 1 − bn < 1 ⇒ stačı́ ukázat, že 2 bn Pamatujeme, že lim bn = ∞ ⇒ zlomek bude nabývat nekonečně malých hodnot (< 2 ). ⇓ Po těchto výpočtech nám vyjde an − l < , tzn. lim an = l. bn bn Předpokládejme nynı́, že lim an − an−1 =∞ bn − bn−1 Tzn., že an −an−1 > bn −bn−1 (alespoň od určitého indexu). Jenže {bn } je rostoucı́ posloupnost ⇒ {an } také rostoucı́ posloupnost. lim bn = ∞ ⇒ lim an = ∞ Pak můžeme počı́tat lim bn − bn−1 =0 an − an−1 Pro přı́pad vlastnı́ho čı́sla (limity) je už Stolzova věta dokázána. {an } je nynı́ vážně rostoucı́, tzn. bn lim =0 an a odtud máme an lim =∞ bn (Tı́m je Stolzova věta dokázána pro vlastnı́ i nevlastnı́ limity.) SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 14 Reálné posloupnosti - teorie 53 Př. 1K + 2K + 3K + . . . + nK nK+1 9 , c3 = 36 ... např. pro K = 3 máme c1 = 1, c2 = 16 81 cn = limcn =? 1K + 2K + 3K + . . . + nK 1K + 2K + . . . + nK − (1K + 2K + . . . + (n − 1)K ) lim = lim = nK+1 nK+1 − (n − 1)K+1 nK = lim nK+1 − (n − 1)(nK − = lim K 1 ! nK−1 + K ! nK−2 − 2 K 3 = ! nK−3 + . . . + (−1)K nK nK 1 = lim = K+1 K+1 K K K K n −n + kn + n + nižsı́ mocniny kn + n + nižsı́ mocniny K +1 ⇒ pro K = 3 nám vyjde lim cn = SA1 1 4 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 15 Reálné posloupnosti - cvičenı́ 15 54 Reálné posloupnosti - cvičenı́ I. část 1. Zakreslete zobrazenı́ f : N → R dané předpisem f (x) = 2 − x1 . Jde o reálnou posloupnost, kterou lze také zapsat jako {an } (někdy se také pı́še {an }∞ n=1 ), 1 kde an = 2 − n . 2. a) Definujte pojem vlastnı́ limita reálné posloupnosti {an }. b) Definujte pojem nevlastnı́ limita reálné posloupnosti {an }. n = 1. n→∞ n + 1 Nápověda: ukažte, že ke každému > 0 existuje N = N () takové, že pro všechna n > N platı́ |an − 1| < . 3. a) Pomocı́ definice limity posloupnosti dokažte, že lim b) Doplňtě tabulku: 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001 Nmin (−1)n+1 = 0. n→∞ n 4. a) Pomocı́ definice limity posloupnosti dokažte, že lim b) Doplňtě tabulku: 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001 Nmin 1 = 1. n→∞ n! Nápověda: ukažte, že ke každému > 0 existuje N = N () takové, že pro všechna n > N platı́ |an − 1| < . 5. a) Pomocı́ definice limity posloupnosti dokažte, že lim b) Doplňtě tabulku: 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001 Nmin 6. a) Dokažte, že lim (−1)n n. = ∞, tj. že daná posloupnost diverguje. n→∞ Nápověda: ukažte, že ke každému K > 0 existuje N = N (K) takové, že pro všechna n > N platı́ |an | < K. b) Doplňtě tabulku: K 10 100 1000 10000 Nmin 7. Rozhod’něte, zda je posloupnost {2, 1 12 , 1 14 , 1 18 , . . .} monotónnı́ a pokuste se odhadnout jejı́ limitu. [1] SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 15 Reálné posloupnosti - cvičenı́ 8. Odhadněte limn→∞ n . 2n 55 [0] 9. Spočtěte následujı́cı́ limity: n−1 ; n→∞ n + 1 b) lim (−1)n 0, 999n ; a) lim n→∞ 2n + 1 ; n→∞ 2n 2n + 3 d) lim ; n→∞ 1 − 4 · 2n 5 e) lim 2 − ; n→∞ 2n √ n f) lim 3; c) lim n→∞ n2 + 2 ; n→∞ 4n2 + 1 sin n ; lim n→∞ n 2n + sin n lim ; n→∞ 3n − 1 n2 ; lim n→∞ n − 1 n2 + 1 lim 3 ; n→∞ n + 5n − 7 1 + (−1)n ; lim n→∞ 2 (n + 2)! + (n + 1)! lim ; n→∞ (n + 2)! − (n + 1)! [0] [1] [− 14 ] [2] [1] g) lim [ 41 ] h) [0] i) j) k) l) m) 1 + (−1)n ; n→∞ 2 3n2 − 123n − 1000 ; lim n→∞ 2n2 + n −n2 lim ; n→∞ 1000n + 2 n3 + 12n2 + 12n + 12 ; lim n→∞ n4 − 1 n + (−1)n lim ; n→∞ n − (−1)n (n + 1)(n + 2)(n + 3) lim ; n→∞ n3 1 lim ; n→∞ (1 − n)2 n) lim o) p) q) r) s) t) SA1 [1] [ 32 ] [∞] [0] [neexistuje] [1] [neexistuje] [ 23 ] [−∞] [0] [1] [1] [0] ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 15 Reálné posloupnosti - cvičenı́ (−1)n ; n→∞ n nn ; v) lim n→∞ n! 2n w) lim ; n→∞ n! u) lim SA1 56 [0] [∞] [0] ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 15 Reálné posloupnosti - cvičenı́ 57 II. část 1. Určete hodnotu následujı́cı́ch výrázů: 1 2 n−1 a) lim ; + + ... + n→∞ n2 n2 n2 Nápověda: Je třeba využı́t vztahu 1 + 2 + . . . + k = . . . 2 1 22 (n − 1)2 b) lim ; + + ... + n→∞ n2 n2 n2 Nápověda: Je třeba využı́t vztahu 12 + 22 + . . . + k 2 = dokažte matematickou indukcı́. 2 1 32 (2n − 1)2 c) lim ; + + ... + n→∞ n3 n3 n3 k(k+1)(2k+1) , 6 [ 21 ] [ 31 ] který si nejprve Nápověda: Zkuste si nejprve odvodit vztah pro 12 + 32 + . . . + (2k − 1)2 = 1)2 = . . . = k(2k−1)(2k+1) 3 1 1 1 d) lim + + ... + ; n→∞ 1·2 2·3 n(n + 1) n X k 3 + 6k 2 + 11k + 5 e) lim ; n→∞ (k + 3)! k=1 [ 34 ] Pk i=1 (2i − [1] [ 53 ] Nápověda: Snahou je, najı́t v polynomu k 3 + 6k 2 + 11k + 5 činitel (k + 1)!, který by se zkrátil. To se bohužel nepovede, ale zkuste rozložit na součin kořenových činitelů polynom k 3 + 6k 2 + 11k + 5 + 1. 2. Definujte pojem hromadný bod posloupnosti. 3. Určete hromadné bofy posloupnosti: a) b) 1 ; 2 1 ; 2 1 ; 2 1 ; 3 1 ; 4 2 ; 3 3 ; 4 1 ; 4 c) an = 3 1 n 7 ; . . . ; 21n ; 2 2−1 n ;... 8 3 1 2 3 4 ; ; ; ; ;... 4 5 5 5 5 − n1 + 2(−1)n 1 ; 8 2 ; 4 [0, 1] [všechna reálná čı́sla v intervalu h0, 1i] [1, 5] 4. Definujte pojem limes superior a limes inferior posloupnosti {an }. 5. Odhadněte lim inf an a lim sup an : n→∞ n→∞ a) an = (−1)n−1 2 + b) an = (−1)n n + c) an = (−1)n n d) an = n SA1 (−1)n 3 n 1+(−1)n 2 [−2, 2] [0, 1] [−∞, ∞] [0, ∞] ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 16 Funkce reálné proměnné - teorie 16 16.1 58 Funkce reálné proměnné - teorie Úvod f : R → R - reálná funkce reálné proměnné (f : N → R = posloupnosti) Domf = definičnı́ obor Imf = obor hodnot přı́klady netradičnı́ch“ funkcı́: ” 1. Dirichletova funkce ( χ(x) = 1 pro x ∈ Q 0 pro x 6∈ Q 2. Riemannova funkce ( ρ(x) = 1 q pro x ∈ Q (x = pq ) 0 pro x 6∈ Q 3. ( λ(x) = k pokud je v desetinném rozvoji čı́sla x čı́slice 7 zastoupena k-krát −1 pokud je v desetinném rozvoji čı́sla x čı́slice 7 zastoupena nekonečně mnohokrát λ(3, 7) = 1 λ(3) = 0 λ( 71 ) = −1 ⇒ na žádnı́m intervalu tato funkce nenı́ shora omezená restrikce (= zúženı́) - vybránı́ podmnožiny Domf Př. f (x) = x2 , provedeme restrikci z Domf = R na Domf = h0, 1i y y x (a) Domf = R 1 x (b) Domf = h0, 1i Obrázek 19: Restrikce Domf SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 16 Funkce reálné proměnné - teorie 59 extenze (= rozšı́řenı́) - vezmeme nadmnožinu Domf a dodefinujeme funkčnı́ hodnoty y x Obrázek 20: Extenze Domf 16.2 Vlastnosti funkce 1. Omezenost funkce: a) shora omezená na množině M ∃ a ∈ R takové, že pro ∀x ∈ M platı́, že f (x) ≤ a b) zdola omezená na množině M ∃ a ∈ R takové, že pro ∀x ∈ M platı́, že f (x) ≥ a c) omezená (ohraničená), je-li na množině M omezená shora i zdola 2. Monotónnost funkce: a) rostoucı́ x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf b) klesajı́cı́ x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf c) neklesajı́cı́ x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf d) nerostoucı́ x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf e) konstantnı́ x1 < x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf monotonnie - a), b), c) nebo d) ryzı́ monotonnie - a) nebo b) SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 16 Funkce reálné proměnné - teorie 60 3. Sudost/lichost Pro sudou či lichou funkci musı́ platit, aby měla souměrný Domf podle 0, tzn. x ∈ Domf ⇐⇒ −x ∈ Domf . a) sudá funkce - f (x) = f (−x) Př.: cos x, x2 , . . . b) lichá funkce - f (x) = −f (−x) Př.: sin x, x3 , . . . y y x x (a) Sudá funkce (b) Lichá funkce Obrázek 21: Sudost/lichost funkce 4. Periodicita 1) existuje p > 0 tak, že ∀x ∈ Domf platı́, že f (x) = f (x + p) 2) mezi takovými p lze vybrat nejmenšı́ ⇒ perioda Př. f (x) = sin x ⇒ p = 2π Dirichtelova funkce periodická nenı́, protože nelze vybrat nejmenšı́ p. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 17 Funkce reálné proměnné - cvičenı́ 17 61 Funkce reálné proměnné - cvičenı́ Grafy funkcı́ - načrtněte grafy funkcı́: x −x 2 3 −1 1 2 x ; 2 1. e ; e ; log0,2 x; ln x; x ; x ; x ; x ; sin x; sin 2x; sin tg x; sinh x = ... −x−5 2. f1 (x) = 2 − 3−(x−1) ; f2 (x) = 1e ; f( x) = |31−x − 1|. 3. g1 (x) = log 1 (5 − x) − 4 + 2; g2 (x) = ln(x + 2). ex −e−x 2 ; cosh x; e 4. h1 (x) = arcsin x; h2 (x) = arccos x; h3 (x) = arctg x; h4 (x) = arccotg x 5. f1 (x) = (x − 1)(x + 2); f2 (x) = (x + 1)(x − 2)(x + 3); f3 (x) = (1 − x2 )(2 + x); f4 (x) = x2 − x4 . Definičnı́ obor funkce q ; 6. f (x) = (x − 2) 1+x 1−x 7. f (x) = √ [h−1, 1i] −x2 + 8x − 12; [h2, 6i] √ 2 + x − x2 ; √ √ 9. f (x) = log −x2 + 8x − 12 − 3 ; 2x 10. f (x) = arcsin x+1 ; 8. f (x) = 11. f (x) = [h−1, 2i] [h3, 5i] [h− 31 , 1i] x2 . x+1 [x 6= −1] Monotonnost - Dokažte, že dané funkce jsou na daném intervalu ostře rostoucı́, resp. ostře klesajı́cı́: 12. f (x) = x2 pro x ∈ (0, ∞); 13. f (x) = tg x pro x ∈ − π2 , π2 ; 14. f (x) = cos x pro x ∈ (0, π). Inverznı́ funkce - Najděte inverznı́ funkci a určete jejı́ definičnı́ obor: 15. f (x) = x2 pro x ∈ (−∞, 0); √ 16. f (x) = 1 − x2 pro x ∈ h−1, 0i; 17. f (x) = SA1 1−x 1+x pro x 6= −1. ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 17 Funkce reálné proměnné - cvičenı́ 62 Sudost, lichost - Rozhodněte u daných funkcı́: 1−x 18. f (x) = ln 1+x ; √ 19. f (x) = ln x + 1 + x2 ; [lichá] [lichá] 20. f (x) = ax + a−x pro a > 0. [sudá] Infimum a suprémum - Určete u následujı́cı́ch funkcı́: 21. f (x) = x2 pro x ∈ (−2, 5); 22. f (x) = x + 1 x pro x ∈ (0, ∞); 23. Dokažte, že funkce f (x) = SA1 x 1+x pro x ∈ h0, ∞) má infimum m = 0 a suprémum M = 1. ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 18 Limita funkce - teorie 18 18.1 63 Limita funkce - teorie Vlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě Řekneme, že funkce f (x) má v bodě x0 limitu a a pı́šeme lim f (x) = a x→x0 jestliže pro ∀O(a) bodu a ∃ ryzı́ okolı́ O(x0 ) bodu x0 tak, že ∀x ∈ O(x0 ) platı́, že f (x) ∈ O(a). y b a x0 x Obrázek 22: Vlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě 18.2 Limita zprava O+ (x0 ) = (x0 , x0 + ) - ryzı́ okolı́ zprava x0 Obrázek 23: Ryzı́ okolı́ zprava O− (x0 ) = (x0 − , x0 ) - ryzı́ okolı́ zleva x0 Obrázek 24: Ryzı́ okolı́ zleva Řekneme, že funkce f (x) má v bodě x0 limitu zprava a a pı́šeme lim f (x) = a x→x+ 0 jestliže pro každé O(a) bodu a ∃ O(x0 ) bodu x0 tak, že ∀x ∈ O+ (x0 ) platı́, že f (x) ∈ O(a). SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 18 Limita funkce - teorie 18.3 64 Nevlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě Řekneme, že funkce f (x) má v bodě x0 limitu rovnu ∞ a pı́šeme lim f (x) = ∞ x→x0 jestliže pro ∀K ∈ R ∃ ryzı́ okolı́ O(x0 ) bodu x0 tak, že pro ∀x ∈ O(x0 ) platı́, že f (x) > K. y x Obrázek 25: Nevlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě Obdobně pro nevlastnı́ limitu rovnu −∞ lim f (x) = −∞ x→x0 jestliže pro ∀K ∈ R ∃ ryzı́ okolı́ O(x0 ) bodu x0 tak, že pro ∀x ∈ O(x0 ) platı́, že f (x) < K. 18.4 Vlastnı́ limita ve nevlastnı́m bodě Řekneme, že funkce f (x) má v ∞ limitu rovnu a a pı́šeme lim f (x) = a x→∞ jestliže pro každé O(a) bodu a ∃ L ∈ R takové, že pro ∀x > L platı́, že f (x) ∈ O(a). y a x Obrázek 26: Vlastnı́ limita ve nevlastnı́m bodě SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 18 Limita funkce - teorie 18.5 65 Nevlastnı́ limita ve nevlastnı́m bodě Řekneme, že funkce f (x) má v ∞ limitu rovnu ∞ a pı́šeme lim f (x) = ∞ x→∞ jestliže pro ∀K ∈ R ∃ L ∈ R tak, že pro ∀x > L platı́, že f (x) > K. y K L x Obrázek 27: Nevlastnı́ limita ve nevlastnı́m bodě Věta Funkce má v bodě (vlastnı́m nebo nevlastnı́m) nejvýše jednu limitu. Věta lim f (x) existuje ⇐⇒ existuje x→x0 lim f (x) ∧ existuje lim+ f (x) a x→x0 − x→x0 a lim f (x) = lim+ f (x) x→x0 − x→x0 a x0 x0 a x0 Obrázek 28: Existence limity SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 19 Limita funkce - cvičenı́ 19 66 Limita funkce - cvičenı́ 1. Definujte (pomocı́ a δ) vlastnı́ limitu funkce f : R → R ve vlastnı́m bodě. 2. Definujte vlastnı́ limitu funkce f : R → R v nevlastnı́m bodě. 3. Definujte nevlastnı́ limitu funkce f : R → R ve vlastnı́m bodě. 4. Určete limitu funkcı́ pro x → 0: a) f (x) = x2 + 1 ( x2 + 1 pro x 6= 0 b) g(x) = −1 pro x = 0 5. Odhadněte limitu funkcı́ pro x → 0: a) f (x) = x3 − 2 ( x3 − 2 pro x 6= 0 b) g(x) = 1 pro x = 0 6. Spočtěte limity: x2 − 4 x→2 x − 2 1 b) lim 1 x→∞ 1 + e x cos x − sin x c) limπ x→ 4 cos 2x [4] a) lim cos2 x x→∞ x 1 lim+ arctg x→0 x 3 sin x lim+ − 1 x→0 e x x − sin x lim x→∞ x + cos x √ x2 − x lim √ x→1 x−1 √ [ 2 ] 2 d) lim [0] e) [ π2 ] f) g) h) x3 − 2x − 1 x→−1 x5 − 2x − 1 i) lim SA1 [ 21 ] [∞] [1] [3] [ 31 ] ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 20 Spojitost funkce - teorie 20 67 Spojitost funkce - teorie Spojitost v bodě Funkce f (x) je spojitá v bodě x0 , jestliže lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Spojitost na množině Řekneme, že funkce f (x) je spojitá na množině M , jestliže je spojitá v každém bodě x ∈ M . Dirichletova funkce - nenı́ spojitá v žádném bodě (protože v žádném bodě neexistuje limita) Riemannova funkce - v x0 = 0 spojitá nenı́, protože ρ(0) = 1 6= 0 = lim ρ(x) x→0 Je spojitá v irracionálnı́ch čı́slech, tj. skoro všude“. ” 1. věta Weierstrassova Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na tomto intervalu ohraničená. 2. věta Weierstrassova Funkce spojitá na uzavřeném intervalu nabývá na tomto intervalu svého maxima i minima. 1. věta Bolzanova Uvažujme funkci f (x) pojitou na uzavřeném intervalu ha, bi takovou, že f (a) · f (b) < 0. Pak existuje c ∈ ha, bi tak, že f (c) = 0. y a c b x Obrázek 29: 1. Bolzanova věta 2. věta Bolzanova Opět mějme funkce f (x) spojitou na uzavřeném intervalu. Zde nabývá všech hodnot mezi svým maximem a minimem na tomto intervalu. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 20 Spojitost funkce - teorie 68 Browerova věta (O pevném bodě) Uvažujme funkce f (x) spojitou na intervalu ha, bi, f (ha, bi) = ha, bi . . . spojité zobrazenı́ ha, bi do sebe. Pak existuje c ∈ ha, bi tak, že f (c) = c. y b a a c1 c2 b x Obrázek 30: Browerova věta Důkaz Je-li f (a) = a, pak vezmeme c = a. Je-li f (b) = b, pak vezmeme c = b. Předpokládejme, že f (a) 6= a a f (b) 6= b. Vezměme funkci g(x) = x − f (x). ⇒ g(a) > 0, g(b) < 0 ⇒ g(a) · g(b) < 0. Funkce g(x) tak splňuje předpoklady 1. Bolzanovy věty ⇒ existuje c takové, že g(c) = 0. 0 = g(c) = c − f (c) pak c = f (c) Znovu definice spojitosti funkce f v bodě x0 Řekneme, že funkce f (x) je spojitá v bodě x0 , jestliže pro ∀ okolı́ bodu f (x0 ) O(f (x0 )) existuje okolı́ bodu x0 O(x0 ) tak, že pro ∀x ∈ O(x0 ) platı́, že f (x) ∈ O(f (x0 )). Nynı́ nahradı́me O(f (x0 )) výrazem (f (x0 ) − , f (x0 ) + ) a O(f (x0 )) výrazem (f (x0 ) − δ, f (x0 ) + δ). Spojitost na množině M (bodově) Řekneme, že funkce f (x) je bodově spojitá na množině M , jestliže pro ∀x0 ∈ M a pro ∀O(f (x0 )) bodu f (x0 ) existuje Oδ (x0 ) (δ-okolı́, tj. (x0 − δ, x0 + δ)) tak, že pro ∀x ∈ Oδ (x0 ) platı́, že f (x0 ) ∈ O(f (x0 )). ⇒ δ je závislé na výběru x0 , tj. nenı́ univerzálnı́ pro množinu M SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 20 Spojitost funkce - teorie 69 Stejnoměrná spojitost Funkce f je stejnoměrně spojitá na množině M , jestliže pro ∀x0 ∈ M a pro ∀O(f (x0 )) (s pevným ) bodu f (x0 ) existuje Oδ (x0 ) bodu x0 tak, že pro ∀x ∈ Oδ (x0 ) (tj. (x0 −δ, x0 +δ)) platı́, že f (x0 ) ∈ O(f (x0 )). Nynı́ chmeme δ univerzálnı́. stejnoměrně spojitá ⇒ bodově spojitá Věta Heineho Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je zde stejnoměrně spojitá. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 21 Spojitost funkce - cvičenı́ 21 70 Spojitost funkce - cvičenı́ 1. Rozhodněte, zda je funkce v bodě x0 = 0 spojitá: ( sin x pro x 6= 0 |x| a) f (x) = 1 pro x = 0 ( sin x pro x 6= 0 x b) f (x) = 1 pro x = 0 ( sin x1 pro x 6= 0 c) f (x) = 1 pro x = 0 [ne] [ano] [ne] 2. Metodou půlenı́ intervalu najděte přibližné řešenı́ rovnice ex +x = 0 v intervalu h−1, 0i s přesnostı́ 0, 2, vı́te-li, že řešenı́ je na tomto intervalu právě jedno. Nápověda: Využijte Bolzanovu větu, která řı́ká: Necht’ f (x) je spojitá na ha, bi a f (a) · f (b) < 0 ⇒ . . . SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 22 71 Elementárnı́ funkce - teorie tj. takové, které lze bez problémů zderivovat (zintegrovat už obtı́žně) - mezi nejznámnějšı́ 2 neelementárnı́ funkce patřı́ e−x , erf(x), Γx Na množině elementárnı́ch funkcı́ zavedeme operace: 1. sčı́tánı́ f + g = h zavedeme takto h(x) = f (x) + g(x) y y y = + 1 x 1 x x Obrázek 31: Sčı́tánı́ funkcı́ sčı́táme po bodech (point-wise) 2. odečı́tánı́ f − g = h 3. násobenı́ f · g = h 4. dělenı́ f g =h 2 5. umocněnı́ - např. (sin x)x , zavedeme také po bodech SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 72 6. kompozice(skládánı́) f ◦ g = f (g) . . . napřed g a potom f (čteme f po g) g Img Domg f Imf Domf Obrázek 32: Kompozice funkcı́ může se stát, že nám vznikne prázdná funkce (tj. Img a Domf by byly disjunktivnı́) ⇒ množiny musı́ mı́t nějaký průnik SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 22.1 73 Polynomy f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 x0 an 6= 0 an 6= 0 ⇒ polynom stupně n proměnné x a . . . koeficienty an xn . . . vedoucı́ člen lt an . . . vedoucı́ koecifient lc 4x3 . . . monom (tj. pouze 1 nenulový člen) 11 . . . polynom stupně 0 0 je polynom, ale nedefinovaného stupně kořeny - taková r ∈ R, že f (r) = 0 1. nulový polynom f (x) = 0 všechno je kořenem, tj ∀x ∈ R, sudá i lichá funkce zároveň y x Obrázek 33: Nulový polynom 2. konstantnı́ f (x) = a, a 6= 0 sudá funkce, nemá žádný kořen y x Obrázek 34: Konstatnı́ polynom SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 74 3. lineárnı́ f (x) = ax + b, a 6= 0 1 kořen: x1 = − b a y x1 x Obrázek 35: Lineárnı́ polynom SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 75 4. kvadratické f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0 0, 1 nebo 2 kořeny: x1,2 = −b ± √ b2 − 4ac 2a y y x1 x2 x x1 (a) 2 reálné kořeny x (b) Dvojnásobný kořen y x (c) 2 komplexnı́ kořeny Obrázek 36: Kvadratické polynomy SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 76 5. kubické f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, a 6= 0 1, 2 nebo 3 kořeny (tj. alespoň 1) - pro výpočet kořenů existujı́ Cardanovy vzorce y y x1 x2 x3 x x1 (a) 3 reálné kořeny x2 x (b) 3 reálné kořeny y x1 x (c) 1 reálný a 2 komplexně sdružené kořeny Obrázek 37: Kubické polynomy SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 77 6. kvartické f (x) = ax4 + bx3 + c2 x + dx + e, a 6= 0 0-4 kořeny 7. 5. stupně 1-5 kořenů ⇒ alespoň 1 polynomy od 5. stupně výš - pro výpočet kořenů nejsou obecné vzorce a nikdy nebudou (Abel) → kořeny lze přibližně zjistit tipovacı́“ metodou = půlenı́m intervalů ” Základnı́ věty algebry Polynom stupně n má n kořenů ∈ C, pokud počı́táme jejich násobnost x2 + 2x + 1 = 0 ⇒ x1,2 = −1 Pn = (x − r1 )(x − r2 ) . . . (x − rn ) rozklad na reálné součinitele → lineárnı́ a kvardatické (na tzv. nerozložitelné) každý kořen ∈ C má v rozkladu i svůj komplexně sdružený kořen → vynásobenı́m zı́skáme kořen ∈ R Př. f (x) = x6 − x5 + 4x4 − 4x3 + 4x2 − 4x f (x) = x2 (x4 + 4x2 + 4) − x(x4 + 4x2 + 4) = (x2 − x)(x2 + 2)2 = x(x − 1)(x2 + 2)2 Př. f (x) = x4 + 1 √ √ f (x) = x4 + 2x2 + 1 − 2x2 = (x2 + 1)2 − 2x2 = (x2 + 2x + 1)(x2 − 2x + 1) SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 22.2 78 Racionálnı́ funkce f (x) = P (x) Q(x) P (x), Q(x) - polynomy; pokud Q(x) = 1 ⇒ racionálnı́ funkce celistvá (= polynom) jmenovatel nesmı́ být nulový ⇒ omezenı́ Domf a) ryzı́ racionálnı́ funkce - degP < degQ b) neryzı́ racionálnı́ funkce - degP ≥ degQ ⇒ převod na součet polynomu a ryzı́ racionálnı́ funkce každou racionálnı́ funkce převedeme na součet parciálnı́ch zlomků (později důležité při integraci) typu: 1. A , x−r 2. A , (x−r)k 3. Ax+B , x2 +px+q 4. Ax+B (x2 +px+q)k r . . . kořen Q(x) k≥2 x2 + px + q . . . nerozložitelný součinitel Q(x) Postup pro určenı́ parciálnı́ch zlomků 1. převod neryzı́ racionálnı́ funkce a součet polynomu a ryzı́ racionálnı́ funkce 2. rozklad Q(x) je-li nějaký součinitel v mocnině k, tak budeme mı́t zlomky s daným součinitelem v mocnině 1 až k Př. x5 (x − 1)2 ⇒ A B C D E F G + 2+ 3+ 4+ 5+ + x x x x x x − 1 (x − 1)k P (x) a Q(x) rovnici vynásobı́me polynomem Q(x) ⇒ metoda neurčitých koeficientů - porovnáváme koeficienty u jednotlivých mocnin na obou stranách ⇒ soustava lineárnı́ch rovnic 3. nynı́ položı́me námi nalezené zlomky rovny původnı́ racionálnı́ funkci ve tvaru SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 79 Př. f (x) = 2x6 + x3 + 5 x5 + 4x4 + 5x3 1. převedeme f (x) na racionálnı́ funkci ryzı́ - vydělı́me 2x6 + x3 + 5 polynomem x5 + 4x4 + 5x3 ⇒ dostaneme f (x) = 2x − 8 + 22x4 + 41x3 + 5 x5 + 4x4 + 5x3 2. rozložı́me jmenovatele x5 + 4x4 + 5x3 = x3 (x2 + 4x + 5) 3. rozklad na parciálnı́ zlomky 22x4 + 41x3 + 5 A B C Dx + E = + 2+ 3+ 2 5 4 3 x + 4x + 5x x x x x + 4x + 5 4. vynásobı́me jmenovatelem a dostaneme 22x4 +41x3 +5 = Ax4 +4Ax3 +5Ax2 +Bx3 +4Bx2 +5Bx+Cx2 +4Cx+5C +Dx4 +Ex3 x0 : 5 = 5C x1 : 0 = 5B + 4C x2 : 0 = 5A + 4B + C x3 : 41 = 4A + B + E x4 : 22 = A + D řešenı́m této soustavy dostáváme A = dosazenı́ dostaneme 11 ,B 25 = − 45 , C = 1, D = 539 ,E 25 = 1001 25 a po 11 4 1 539x + 1001 2x6 + x3 + 5 = 2x − 8 + − 2+ 3+ 5 4 3 x + 4x + 5x 25x 5x x 25x2 + 4x + 5 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 22.3 80 Mocninné funkce f (x) = xa 1. a ∈ N ⇒ polynom 2. a = 0 ⇒ konstantnı́ funkce y = 1 s Domf = R − {0} 3. a ∈ Z, a < 0 ⇒ xa = 1 x−a ⇒ racionálnı́ funkce 4. a ∈ Q a) a = n1 , n ∈ N 1 xa = x n = √ n x √ n x představuje čı́slo, pro něž platı́: p · p · ... · p = x v přı́padě, že jsou tato čı́sla 2, tak pouze to kladné z nich Př. √ 4 16 = 2 n sudé ⇒ Domf = h0, ∞) n liché ⇒ Domf = R y y x x (a) y = √ x (b) y = √ x Obrázek 38: Domf mocninných funkcı́ b) a = p q (základnı́ tvar čı́sla pq , p ∈ Z, q ∈ N) p xa = x q = √ q xp 3 Př. f (x) = x 7 ⇒ Domf = R − {0} SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 81 5. a ∈ R Vezmeme posloupnost {an }∞ n=1 takovou, že lim an = a a an ∈ Q (racionálnı́ posloupnost). Pak xa = xlim an = lim xan a Domf = (0, ∞). 22.4 Exponenciálnı́ funkce f (x) = ax a > 0, Domf = R y y 1 y 1 x 1 x (a) 0 < a < 1 (b) a = 1 x (c) a > 1 Obrázek 39: Exponenciálnı́ funkce Pozn. ex . . . přirozená exponenciálnı́ funkce SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 22.5 82 Logaritmické funkce inverznı́ k funkcı́m exponenciálnı́m f (x) = loga x (ay = x) a > 0, a 6= 1, Domf = (0, ∞) y ax ax 1 y loga x 1 x 1 1 x loga x (a) a > 1 (b) 0 < a < 1 Obrázek 40: Logaritmické funkce obecná pravidla pro logaritmy: log a · b = log a + log b log ab = log a − log b log ab = b · log a SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 22.6 83 Goniometrické funkce a) Zavedenı́ pomocı́ jednotkové kružnice cotgx tgx sin x x cos x Obrázek 41: Jednotková kružnice b) Zavedenı́ na trojúhelnı́ku B c a α C b A Obrázek 42: Zavedenı́ na trojúhelnı́ku a c b cos α = c a sin α tg α = = b cos α b cos α cotg α = = a sin α c 1 sec α = = b cos α c 1 cosec α = = a sin α sin α = sin - lichý, perioda = 2π cos - sudý, perioda = 2π tg , cotg - liché, perioda = π SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie sec = 84 1 cos x Domf = R − {(2n + 1) π2 }, n ∈ Z Imf = (−∞, −1i ∪ h1, ∞) y 1 π 2 π 3 2π 2π x −1 Obrázek 43: y = sec x cosec x = 1 sin x Domf = R − {nπ}, n ∈ Z Imf = (−∞, −1i ∪ h1, ∞) y 1 π 2 π 3 2π 2π x −1 Obrázek 44: y = cosec x SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 85 c) Zavedenı́ pomocı́ nekonečných řad 1+ 1 1 1 1 + + + ... = 2 4 8 1− s1 = a1 = 12 s2 = a1 + a2 = 32 s3 = a1 + a2 + a3 = .. . 1 2 =2⇒ ∞ X 1 je konvergentnı́ n−1 2 n=1 7 4 sk = a1 + . . . + ak . . . součet konečného počtu k členů konvergentnı́ (formálnı́ součet s lim sk k→∞ ∞(−∞) divergentnı́ neexistuje oscilujı́cı́ nynı́ čı́sla nahradı́me funkcemi a) a1 + a2 + a3 + . . . = ∞ X an n=1 nekonečná čı́selná řada b) f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . = ∞ X fn (x) n=1 nekonečná funkčnı́ řada a) je speciálnı́m přı́padem b) SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 86 Př. ∞ X xn n=1 f1 = x, f2 = x2 , f3 = x3 , . . . y y y x x x (a) f1 = x (b) f2 = x2 (c) f3 = x3 Obrázek 45: Nekonečná funkčnı́ řada s(x) = ∞ X fn (x) n=1 pro x = 1 ⇒ 1 + 1 + 1 + 1 + . . . divergentnı́ řada ale pro x = 1 2 1 1 1 1 + + + ... = 2 2 4 8 1− 1 2 =1 funkčnı́ řada je konvergentnı́ v bodě x0 , jestliže tam konverguje jejı́ čı́selná řada obor konvergence - množina všech takových x0 (oblast, kde je funkčnı́ řada konvergentnı́) u této řady (−1, 1) SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie Nynı́ vezměme ∞ X xn n=0 n! 87 =1+x+ x 2 x3 x4 + + + . . . = ex 2 6 24 y y x x (a) y = 1 (b) y = x y y x x (c) y = x2 2 (d) y = x3 6 Obrázek 46: Zavedenı́ ex část 1 y y y x x x (a) s1 (b) s2 (c) s3 Obrázek 47: Zavedenı́ ex část 2 obor konvergence = R pro x = 1 ⇒ e = e1 = 1 + 1 + 21 + 16 + SA1 1 24 + ... ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 88 Zavedeme-li nynı́ nekonečnou řadu ∞ x− X x2n−1 x5 x3 + − ... = (−1)n−1 6 120 (2n − 1)! n=1 dostaneme nám známou funkci sin x y y x x (a) s1 (b) s2 Obrázek 48: Zavedenı́ sin x atd. až vážně dostaneme sin x obdobně ∞ X x 2 x4 x6 x2n 1− + − + ... = (−1)n = cos x 2 24 720 (2n)! n=0 nynı́ počı́tejme ix5 x2 ix3 x4 e = 1 + ix − − + + − . . . = cos x + i sin x 2 6 24 120 ix tzv. eulerova identita, pro x = π ve tvaru eiπ + 1 = 0 ix5 x2 ix3 x4 + + − − . . . = cos x − i sin x 2 6 24 120 eix + e−ix ix −ix 2 cos x = e + e ⇒ cos x = 2 ix e − e−ix 2i sin x = eix − e−ix ⇒ sin x = 2i e−ix = 1 − ix − ex + e−x ex − e−x e = cosh x + sinh x ⇒ cosh x = , sinh x = 2 2 x SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 22.7 89 Cyklometrické funkce inverznı́ k funkcı́m goniometrickým, předpona arc pro konstrukci musı́me vybrat prostou (injektivnı́) část 1. f (x) = arcsin x y = Sin x Domf = h− π2 , π2 i Imf = h−1, 1i y 1 − π2 π 2 x −1 Obrázek 49: y = Sin x y −1 = arcsin x Domf −1 = h−1, 1i Imf −1 = h− π2 , π2 i y π 2 −1 x 1 − π2 Obrázek 50: y = arcsin x SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 90 2. f (x) = arccos x y = Cos x Domf = h0, πi Imf = h−1, 1i y 1 π 2 π x −1 Obrázek 51: y = Cos x y −1 = arccos x Domf −1 = h−1, 1i Imf −1 = h0, πi y π π 2 −1 x 1 Obrázek 52: y = arccos x SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 91 3. f (x) = arctg x funkce lichá, prostá, převádı́ R2 na přı́mku y = Tg x Domf = − π2 , π2 Imf = R y − π2 π 2 x Obrázek 53: y = Tg x y −1 = arctg x Domf −1 = R Imf −1 = − π2 , π2 y π 2 x − π2 Obrázek 54: y = arctg x SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 92 4. f (x) = arccotg x y = Cotg x Domf = (0, π) Imf = R y π 2 π x Obrázek 55: y = Cotg x y −1 = arccotg x Domf −1 = R Imf −1 = (0, π) y π π 2 x Obrázek 56: y = arccotg x SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 93 5. f (x) = arcsec x y = Sec x Domf = h0, πi − π 2 Imf = R y 1 π 2 π x −1 Obrázek 57: y = Sec x y −1 = arcsec x Domf −1 = (−∞, −1i ∪ h1, ∞) Imf −1 = h0, πi − { π2 } y π π 2 −1 x 1 Obrázek 58: y = arcsec x SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 94 6. f (x) = arccosec x y = Cosec x Domf = h− π2 , π2 i − {0} Imf = (−∞, −1i ∪ h1, ∞) y 1 − π2 π 2 x −1 Obrázek 59: y = Cosec x y −1 = arccosec x Domf −1 = (−∞, −1i ∪ h1, ∞) Imf −1 = h− π2 , π2 i − {0} y π 2 −1 x 1 − π2 Obrázek 60: y = arccosec x SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 22 Elementárnı́ funkce - teorie 22.8 95 Hyperbolické funkce ex − e−x 2 x e + e−x cosh x = 2 sinh x tgh x = cosh x cosh x 1 cotgh x = = sinh x tgh , x 1 sech x = cosh x 1 cosech x = sinh x sinh x = y y x 1 x (a) sinh x (b) cosh x Obrázek 61: Hyperbolické funkce funkce rostou exponenciálnı́ rychlostı́ 22.9 Hyperbolometrické funkce inverznı́ k hyperbolickým (opět musı́me vybı́rat jen určité části) Př. f (x) = argsinh - argument hyperbolického sinu SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 23 Elementárnı́ funkce - cvičenı́ 23 23.1 96 Elementárnı́ funkce - cvičenı́ Rozklad na parciálnı́ zlomky U ryze lomených funkcı́ proved’te rozklad na parciálnı́ zlomky. U neryze Lomených nejprve proved’te dělenı́ a teprve potom rozkláedejte. x4 + 3x2 + 4x + 5 1. x2 + 1 2. x2 + 4x + 1 x−2 3. x4 + 6x2 + x − 2 x4 − 2x3 4. 2x2 + 2x + 13 (x − 2)(x2 + 1)2 5. 4x + 3 x +2+ 2 x +1 13 x+6 x−2 2 1 (x + 1)(x2 + x + 1)2 x4 − x3 + 3x2 − x + 1 6. x5 + 2x3 + x 7. x3 − 4x2 + x − 2 x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1 8. x2 − 2 x4 − 2x3 + 2x2 1 1 x − + (x2 + 1)2 x2 + 1 x x x − x2 + 1 (x − 1)2 1 x 1 − − 2+ 2 x x x − 2x + 2 Pro ukázku práce se softwarem Maple klikněte zde. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 24 Derivace - teorie 24 24.1 97 Derivace - teorie Úvod - analogie se silničnı́m radarem - měřı́ naši okamžitou rychlost, tj. snažı́ se změřit o kolik jsme se posunuli za co nejmenšı́ časový okamžik ⇒ ∆t → 0 s ∆s s0 t0 ∆t t Obrázek 62: Silničnı́ radar Pak ∆s = s0 (t0 ) ∆t→0 ∆t v(t0 ) = lim Definice derivace y t f (x0 + h) f (x0 ) x0 x0 + h x Obrázek 63: Definice derivace Derivacı́ funkce v bodě x0 rozumı́me vlastnı́ limitu. Označujeme ji y 0 (x0 ) = dy (x0 ) dx a zapisujeme f (x0 + h) − f (x0 ) h→0 h y 0 (x0 ) = lim SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 24 Derivace - teorie 98 Vyjde-li limita ±∞, nepovažujeme to za derivaci (tzv. nevlastnı́ derivace). y x Obrázek 64: Nevlastnı́ derivace Derivace zprava v bodě x0 lim+ = x→x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 Uvažujeme li derivace funkce ve všech bodech x0 → y 0 (x0 ), dostaneme derivaci funkce ⇒ dy 0 značı́me y = dx → dostáváme novou funkci. y y x ∆x (a) Nulová derivace ∆x x (b) Kladná derivace Obrázek 65: Znaménko derivace SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 24 Derivace - teorie 99 Platı́, že Domf 0 ⊆ Domf , Domf − Domf 0 = {hroty}. Existuje dokonce funkce, kde Domf = R a Domf 0 = ∅ a f spojitá R. y y x x (b) f 0 (x) = (a) f (x) = ln x 1 x Obrázek 66: Porovnánı́ grafu f a f 0 1 y y 1 x x (a) f (x) = |x| −1 (b) f 0 (x) = sgn x Obrázek 67: Porovnánı́ grafu f a f 0 2 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 24 Derivace - teorie 24.2 100 Základnı́ pravidla derivovánı́ Pro funkci vynásobenou konstantou platı́ (c · f )0 = c · f 0 Pro součet dvou funkcı́ f + g platı́ (f + g)0 = f 0 + g 0 Pro součin f · g platı́ (f · g)0 = f 0 · g + f · g 0 Pro podı́l f g platı́ 0 f f 0 · g − f · g0 = g g2 Pro derivaci funkce inverznı́ platı́ f −1 0 = 1 f0 Pro derivaci funkce složené platı́ (f (g))0 = f 0 (g) · g 0 Pro derivaci funkce umocněné na funkci platı́ g 0 g·ln f 0 (f ) = e SA1 =f g g · f0 g · ln f + f 0 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 24 Derivace - teorie 24.3 101 Přehled základnı́ch vzorců (xa )0 = a · xa−1 (ex ) = ex (ax )0 = ax ln a 1 x 1 (loga x) = x ln a 0 (sin x) = cos x (ln x)0 = (cos)0 = − sin x 1 cos2 x 1 (cotg x)0 = − 2 sin x 1 (arcsin x)0 = √ 1 − x2 1 (arctg x)0 = 1 + x2 (sinh x)0 = cosh x (tg x)0 = (cosh x)0 = sinh x (argsinh x)0 = √ 24.4 1 1 + x2 Vyššı́ derivace (f 0 )0 = f 00 . . . druhá derivace f d2 f f = dx2 00 f (25) - 25. derivace f př: f (x) = ln x f (1) = x1 f (2) = − x12 f (3) = x23 f (4) = − x64 f (n) = SA1 (−1)n−1 n − 1! xn ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 25 Derivace - cvičenı́ 25 102 Derivace - cvičenı́ Derivujte a dále neupravujte 1. a) f (x) = 6x5 b) y = c) y = 3 x2 √ 3 x7 d) f (x) = π e) g(x) = sin2 x f) h(x) = sin x2 2. a) y = cos3 x3 b) y = ln(x2 + x − 1) c) f (x) = arctg (x2 + 1) d) k(x) = 5(sin(2x + 3)2 )3 3. a) y = sin3 (cos2 (tg x)) 4. a) y = (x2 + 3) sin x b) z(x) = cos3 x ln3 x3 p √ c) y = x sin x 1 − x2 d) y = x sin2 (x3 ) ln(x2 ) 5. a) t(x) = b) y = tg x2 cotg x3 sin x cos x Určete přı́slušnou prvnı́ derivaci 6. a) s(t) = (t2 + 3t + 6) sin(5t), b) x(s) = sin s ln(cos2 s), dx(s) ds s(t) =? =? 7. a) k(ω) = tg (aω 2 + ω b ), kde a, b ∈ R, b) y(ω) = sin(ωt) cos(ω 2 t), kde t ∈ R, dk(ω) dω dy(ω) dω =? =? Najděte prvnı́ derivaci funkce y = f (x) a zakreslete graf funkce f (x) a f 0 (x): 8. y = sin x 9. y = |x| 10. y = ln |x| SA1 [f 0 (x) = cos x] [f 0 (x) = sgn x, kde x 6= 0] [f 0 (x) = x1 , kde x 6= 0] ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 25 Derivace - cvičenı́ 103 Určete prvnı́ a druhou derivaci funkce y = f (x), která je dána parametricky rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ I: [f 0 (x) = 11. x = 4t + t2 , y = t3 + t 12. x = ln t, y = sin 2t 3t2 +1 , 4+2t f 00 (x) = 6t2 +24t−2 ] (4+2t)3 [f 0 (x) = 2t cos 2t, f 00 (x) = 2t cos 2t − 4t2 sin 2t] Určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce y = f (x) v bodě T [xT , yT ], který je bodem dotyku: 13. f (x) = x1 , T = 12 , ? [t : 4x + y − 4 = 0, n : . . .] √ [t : 2x − y + 2 − π2 = 0, n : . . .] 14. f (x) = 2 2 sin x, T = π4 , ? 15. f (x) = e−x cos 2x, T = [0, ?] [t : x + y − 1 = 0, n : . . .] Pro ukázku práce se softwarem Maple klikněte zde. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 26 Věty o derivaci - teorie 26 26.1 104 Věty o derivaci - teorie Rolleova věta Předpokládejme, že funkce f (x) splňuje: 1. f (x) je spojitá na ha, bi 2. f (x) má na otevřeném intervalu (a, b) vlastnı́ nebo nevlastnı́ derivaci 3. f (a) = f (b) Pak existuje c ∈ ha, bi takové, že f 0 (c) = 0. y a b x Obrázek 68: Rolleova věta Důkaz Je-li f (x) kontantnı́ funkce, lze vzı́t c jako libovolný bod z ha, bi. Předpokládejme dále, že f (x) nenı́ kontantnı́ funkce. Pak existuje bod m ∈ ha, bi takový, že f (x) nabývá v bodě m svého maxima (viz. 2. Weierstrassova věta). Dle podmı́nky 2) má f (x) v bodě m vlastnı́ nebo nevlastnı́ derivaci. Předpokládejme, že f 0 (m) > 0, tzn. f (x) − f (m) >0 x→m x−m f 0 (m) = lim (m) tzn. pro vhodné x ∈ O(m) (tj. pro x < m) je f (x)−f > 0. x−m f (x)−f (m) Ale pro x > m je x−m < 0, protože f (x) < f (m). Tzn. že f 0 (m) 6≥ 0. Obdobně pro předpoklad f (x) − f (m) <0 x→m x−m lim nám vycházi, že f 0 (m) 6≤ 0. Tedy f 0 (m) = 0 a stačı́ vzı́t c = m. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 26 Věty o derivaci - teorie 26.2 105 Lagrangeova věta (1. věta o střednı́ hodnotě) Předpokládejme, že funkce f (x) splňuje: 1. f (x) je spojitá na ha, bi 2. f (x) má na (a, b) vlastnı́ nebo nevlastnı́ derivaci Pak existuje c ∈ ha, bi takové, že: f 0 (c) = f (b) − f (a) b−a y a c b x Obrázek 69: Lagrangeova věta Důkaz Vězměme g(x) = (b − a) · f (x) − (f (b) − f (a)) · x - vyrovná f (b) a f (a). Nynı́ už stačı́ dokázát předpoklady Rolleovy věty pro g(x) ⇒ pak existuje c takové, že g 0 (c) = 0. g 0 (x) = (b − a) · f 0 (x) − (f (b) − f (a)) 0 = g 0 (c) = (b − a) · f 0 (c) − (f (b) − f (a)) f 0 (c) = 26.3 f (b) − f (a) b−a Cauchyova věta (2. věta o střednı́ hodnotě) Předpokládejme, že f (x) a g(x) splňujı́: 1. f (x), g(x) jsou spojité na ha, bi 2. f (x) má na (a, b) vlastnı́ nebo nevlastnı́ derivaci a g(x) má na (a, b) vlastnı́ derivaci 6= 0 Pak existuje c ∈ ha, bi takové, že: f 0 (c) f (b) − f (a) = 0 g (c) g(b) − g(a) Pozn. Lagrangeova věta je speciálnı́m přı́kladem věty Cauchyovy pro g(x) = x. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 26 Věty o derivaci - teorie 26.4 106 Bernoulliho věta (L’Hospitalovo pravidlo) Předpokládejme, že x0 ∈ R (i ± ∞) a že bud’ 1) limx→x0 f (x) = limx→x0 g(x) = 0 nebo 2) limx→x0 g(x) = ∞ nebo limx→x0 g(x) = −∞ Pak platı́, že: f (x) f 0 (x) lim = lim 0 x→x0 g(x) x→x0 g (x) za podminky, že obě limity existujı́ (toto pravidlo platı́ i pro jednostranné limity). aplikace na neurčité výrazy: 00 , ∞ , ∞ 0∞, ∞ − ∞, 1∞ , ∞0 , 00 Přı́klady: 1. cos x sin x = lim =1 x→0 x→0 x 1 lim 2. x100 100 · x99 100! 0 = lim = . . . = x = lim x = 0 x x→∞ ex x→∞ x→∞ e e e lim 3. lim (x · ln x) = lim+ x→0+ x→0 ln x 1 x 1 x = lim+ − x12 x→0 = lim+ (−x) = 0 x→0 4. lim √ x→∞ x2 + x + 1 − √ x2 − x + 1 a) obecný návod pro lim f = ∞, lim g = ∞ lim(f − g) = lim(f − g) · 1 f ·g 1 f ·g = lim 1 g − 1 f 1 f ·g b) při vhodném zadánı́ vynásobit 1“, tj. zlomkem odmocnin s opačným znaménkem ” √ √x2 + x + 1 + √x2 − x + 1 √ √ lim x2 + x + 1 − x2 − x + 1 √ = x→∞ x 2 + x + 1 + x2 − x + 1 2 x + x + 1 − (x2 − x + 1) −2x = √ √ =√ = √ x2 + x + 1 + x 2 − x + 1 x2 + x + 1 + x2 − x + 1 = lim x→∞ √2x+1 2 x2 +x+1 2 + √2x−1 2 x2 −x+1 = lim q x→∞ 2 4x2 +4x+1 4x2 +4x+4 + q 4x2 −4x+1 4x2 −4x+4 = 2 =1 x→∞ 2 = lim SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 26 Věty o derivaci - teorie 107 5. x 1 1 1 lim 1 + = lim ex·ln(1+ x ) = elimx→∞ x·ln(1+ x ) x→∞ x→∞ x nynı́ budeme řešit použe exponent e 1 lim x · ln 1 + x→∞ x 1+ = lim 1 x 1 x x→∞ ⇒ lim x→∞ 1 = lim x+1 x x→∞ 1 1+ x x · − −x1 2 − x12 x =1 x→∞ x + 1 = lim = e1 = e 6. lim √ x x→∞ 1 1 x = lim x x = elimx→∞ x ·ln x x→∞ opět vyřesı́me limitu v exponentu 1 ln x = lim =0 x→∞ x · 1 x→∞ x lim ⇒ lim x→∞ SA1 √ x x = e0 = 1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 27 Věty o derivaci - cvičenı́ 27 108 Věty o derivaci - cvičenı́ Pomocı́ l’Hospitalova pravidla spočtěte následujı́cı́ limity: a) lim ex − e−x − 2x x→0 x − sin x [2] b) lim (π − 2arctg x) ln x [0] x→∞ 1 c) lim cotg x − x→0 x tg x 1 d) lim+ x→0 x [0] [1] tg x − 1 sin 4x [− 21 ] x − sin x x→0 1 − cos x [0] e) limπ x→ 4 f) lim g) lim (1 − x)tg x→1 h) lim+ x→0 πx 2 [ π2 ] ln x ln sin x [1] x3 − 3x + 2 x→1 x4 − 4x + 3 [ 21 ] arcsin x x→0 x [1] arctg 2x x→0 sin 3x [ 32 ] i) lim j) lim k) lim 1 [ √1e ] l) lim (cos x) x2 x→0 1 [1] m) lim x x x→∞ 3 [e3 ] n) lim+ x 4+ln x x→0 1 1 o) lim − x→1 x − 1 ln x 1 1 p) lim+ − x→0 x sin x q) lim+ (arcsin)tg x [− 21 ] [0] [1] x→0 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 28 Diferenciál - teorie 28 28.1 109 Diferenciál - teorie Úvod Diferenciálem funkce f (x) v bodě x0 rozumı́me funkci (lineárnı́). df (x0 ) = f 0 (x0 ) · dx = f 0 (x0 ) · (x − x0 ) y df (x0 ) dx x0 x x Obrázek 70: Diferenciál Použitı́: např. pro přibližné výpočty Př. spočtěte √ 16, 02 Zvolı́me f (x) = √ x, x0 = 16 a f (x) zderivujeme 1 f 0 (x) = √ , 2 x dosazenı́m zı́skáme f 0 (16) = 1 8 1 1 df (16) = (x − 16) = x − 2 8 8 pak pro x = 16, 02 máme p 1 · 16.02 − 2 = 2, 0025 − 2 = 0, 0025 ⇒ 16, 02 ≈ 4.0025 8 Pozn. oskulum - z latiny polibek styk 0. stupně - kontantnı́ funkce protne funkci styk 1. stupně - stejná 1. derivace styk 2. stupně - stejná 2. derivace SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 28 Diferenciál - teorie 28.2 110 Vyššı́ diferenciály Pozn. Jiný zápis diferenciálu: f0 = df dx a nultý diferenciál: d0 f (x0 ) = f (x0 ) Druhý deferenciál pak zapı́šeme takto d2 f (x0 ) = f 00 (x0 ) · dx2 = f 00 (x0 ) · (x − x0 )2 ⇒ f 00 = d2 f dx2 a obecně pro r-tý diferenciál dr f (x0 ) = f (r) (x0 ) · (x − x0 )r SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 29 Diferenciál - cvičenı́ 29 111 Diferenciál - cvičenı́ Vypočtěte diferenciál funkce: 1. f (x) = x sin(2x) q 2. f (x) = 1+x 1−x 3. f (x) = x2 v bodě a = 1 při přı́rustku h = 0, 1. Znázorněte výsledek graficky. Pomocı́ diferenciálu spočtěte přibližnou hodnotu a znázorněte výsledek graficky: 4. sin 35 5. arctg 0, 95 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 30 Taylorův polynom - teorie 30 112 Taylorův polynom - teorie Taylorův polynom řádu r funkce f v bodě x0 : r T (x0 ) = r X di f (x0 ) i=0 i! Taylorovým polynomem defakto nahradı́me původnı́ funkci (zvyšovánı́m jeho řádu dosáhneme přesnějšı́ho nahrazenı́). Pozn. Pokud x0 = 0 ⇒ Maclaurinův polynom. Taylorova věta f : R → R, x0 ∈ Domf , ∃ O(x0 ) bodu x0 tak, že pro ∀x ∈ O(x0 ) ex. derivace funkce f (x) v bodě x až do řádu r + 1 Pak pro každé x ∈ O(x0 ) ex. c ∈ (x0 , x) tak, že: f (x) = T r (x0 ) + f (r+1) (c) (x (r+1)! f (r+1) (c) (x − x0 )r+1 (r + 1)! − x0 )r+1 - Taylorův zbytek, tj. o kolik se lišı́me nalezeným polynomem přibližovánı́m se x k x0 zvyšujeme přesnost, stejně tak zvyšovánı́m stupně Taylorova polynomu Taylorův polynom řádu r: polynom stupně ≤ r Př. f (x) = sin x d2 f (x0 ) = 0 T 2 . . . ale polynom stupně 1 y x Obrázek 71: Řád vs. stupěň polynomu SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 30 Taylorův polynom - teorie 113 Př. Spočtěte Maclaurinům polynom 5. řádu pro f (x) = ex . d0 f = 1 d1 f = x d2 f = x2 d3 f = x3 d4 f = x4 d5 f = x5 ⇓ T 5 (x0 ) = 1 + x + x2 2 + x3 6 + x4 24 + x5 120 (viz. zavedenı́ goniometrických funkcı́) SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 31 Taylorův polynom - cvičenı́ 31 114 Taylorův polynom - cvičenı́ Taylorův polynom: 1. Napište obecný tvar Taylorova polynomu řádu n v bodě a. 2. Napište obecný tvar Maclaurinova polynomu řádu n. 3. Napiště Taylorův polynom řádu 4 funkce f (x) = ln x v bodě a = 4. [T4 (x) = ln 4 + 14 (x − 4) − 1 (x 32 − 4)2 + 1 (x 192 − 4)3 − 1 (x 1024 − 4)4 ] 4. Napiště Maclaurinův polynom řádu 4 funkce f (x) = xe−x . [x − x2 + 12 x3 − 13 x4 ] Aproximujte následujı́cı́ funkce v okolı́ bodu a = 0 polynomem nejvýše pátého stupně: + x4 4! + x5 ] 5! 6. y = sin x [sin x ∼ x − x3 3! + x5 ] 5! 7. y = cos x [cos x ∼ 1 − x2 2! + x4 ] 4! 5. y = ex 8. y = [ex ∼ 1 + x + 1 1+x2 x2 2! + x3 3! 1 2 4 [ 1+x 2 ∼ 1 − x + x ] Odhadněte absolutnı́ chybu v následujı́cı́ch přibližných vztazı́ch 9. ex ∼ 1 + x + 10. sin x ∼ x − + ... + xn n! pro |x| ≤ 1 2 x2 2! x3 6 pro 0 ≤ x ≤ 1 [Je menšı́ než 3 ] (n+1)! [Je menšı́ než 1 ] 3840 Pro ukázku práce se softwarem Maple klikněte zde. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 32 Extrémy funkce - teorie 32 32.1 115 Extrémy funkce - teorie Lokálnı́ extrémy funkce Definice monotónnosti Řekneme, že funkce f (x) je na intervalu I rostoucı́, jestliže pro ∀x1 , x2 taková, že x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Nemůžeme pouze posuzovat derivaci, protože v hrotech funkce nenı́ jejı́ derivace definována. Je-li ale derivace v určitém bodě definována, tak musı́ být kladná. y hroty x Obrázek 72: Hroty funkce Definice lokálnı́ho extrému Řekneme, že funkce f (x) má v bodě x0 ostré lokálnı́ minimum, jestliže ∃ O(x0 ) (ryzı́ okolı́ bodu x0 ) tak, že pro ∀x ∈ O(x0 ) je f (x) − f (x0 ) > 0 y f (x0 ) x0 x Obrázek 73: Lokálnı́ minimum Obdobně řekneme, že funkce f (x) má v bodě x0 ostré lokálnı́ maximum, jestliže ∃ O(x0 ) (ryzı́ okolı́ bodu x0 ) tak, že pro ∀x ∈ O(x0 ) je f (x) − f (x0 ) < 0 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 32 Extrémy funkce - teorie 116 Mějme napaměti: 1. v bodě, kde nastává lokálnı́ extrém, nemusı́ být derivace definována y x0 x Obrázek 74: Minimum v hrotu funkce 2. pokud nastává v bodě x0 lokálnı́ extrém a zároveň je v tomto bodě definována derivace, musı́ platit f 0 (x0 ) = 0 (viz. důkaz Rolleovy věty) y x0 x Obrázek 75: Derivace v extrému 3. dále f 0 (x0 ) = 0 nezaručuje v bodě x0 lokálnı́ extrém y x0 x Obrázek 76: Nulová druhá derivace SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 32 Extrémy funkce - teorie 117 Předpokládejme nynı́, že f (x) má derivaci v bodě x0 . Pak nutnou podmı́nkou lokálnı́ho minima v bodě x0 je f 0 (x0 ) = 0. Toto ale nenı́ postačujı́cı́ podmı́nkou pro určenı́ lokálnı́ho minima (maxima). f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + 12 f 00 (x0 ) · (x − x0 )2 + . . . + O((x − x0 )n ), x → x0 ⇒ O → 0 ⇒ zanedbáváme f (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + 12 (x0 ) · (x − x0 )2 podmı́nky pro lokálnı́ minimum: f (x) − f (x0 ) > 0 (x − x0 ) neznámého znaménka ⇒ f 0 (x0 ) = 0 (x − x0 )2 kladné ⇒ f 00 (x0 ) > 0 postačujı́cı́ podmı́nkou pro lokálnı́ minimum je např. f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) > 0 Postačujı́cı́ podmı́nkou lokálnı́ho minima je, aby některá sudá derivace byla kladná a všechny předchozı́ byly nulové (z Taylorova polynomu). Pro lokálnı́ maximum tak musı́ platit: f 00 (x0 ) < 0 a f 0 (x0 ) = 0. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 32 Extrémy funkce - teorie 32.2 118 Významné body funkce O funkci již vı́me: 1. f (x) = 0 ⇒ x je nulový bod nulové body 6= body, kde docházı́ ke změně znaménka funkce y x Obrázek 77: Změny znaménka funkce 2. f 0 (x) = 0 ⇒ x je stacionárnı́ bod stacionárnı́ body 6= body, kde docházı́ ke změně monotonnie y x Obrázek 78: Změny monotonnosti funkce 3. f 00 (x) = 0 ⇒ x je inflexnı́ bod inflexnı́ body 6= body, kde docházı́ ke změně konkávnost/konvexnost SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 32 Extrémy funkce - teorie 32.3 119 Definice konkávnosti/kovexnosti Řekneme, že funkce f (x) je konvexnı́ na intervalu I, jestliže pro ∀x1 , x2 , x3 ∈ I taková, že x1 < x2 < x3 platı́: f (x3 ) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x1 ) < x2 − x1 x3 − x1 y x1 x2 x3 x Obrázek 79: Konvexnost Pokud existuje f 00 (x), musı́ být kladná. Obdobně řekneme, že funkce f (x) je konkávnı́ na intervalu I, jestliže pro ∀x1 , x2 , x3 ∈ I taková, že x1 < x2 < x3 platı́: f (x2 ) − f (x1 ) f (x3 ) − f (x1 ) > x2 − x1 x3 − x1 y x1 x2 x3 x Obrázek 80: Konkávnost SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 32 Extrémy funkce - teorie 32.4 120 Globálnı́ extrémy funkce Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ostré globálnı́ minimum, jestliže pro ∀x ∈ Domf platı́, že f (x) − f (x0 ) > 0 Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ostré globálnı́ maximum, jestliže pro ∀x ∈ Domf platı́, že f (x) − f (x0 ) < 0 Řekneme, že funkce f má v bodě x0 neostré globálnı́ minimum, jestliže pro ∀x ∈ Domf platı́, že f (x) − f (x0 ) ≥ 0 Řekneme, že funkce f má v bodě x0 neostré globálnı́ maximum, jestliže pro ∀x ∈ Domf platı́, že f (x) − f (x0 ) ≤ 0 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 33 Extrémy funkce - cvičenı́ 33 121 Extrémy funkce - cvičenı́ Určete lokálnı́ extrémy funkcı́: 1. y = x + 4 x [−2 l.max, 2 l.min] 2. y = 4x3 − 3x4 p 3. y = 2x + 3 3 (2 − x)2 [1 l.max] [0 l.max] Určete globálnı́ (= absolutnı́) extrémy funkcı́: 4. y = x3 − 3x + 20, 5. y = x − 2 ln x, x ∈ h−3, 3) x ∈ h1, ei Určete inflexnı́ body funkcı́: 6. y = xe−x 7. y = x3 +2 2x [2] √ [− 3 2] 8. y = ex x+1 [žádné] SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 34 Asymptoty - teorie 34 122 Asymptoty - teorie Asymptoty jsou přı́mky (obecně křivky), ke kterým se funkce blı́žı́. y y x x y x Obrázek 81: Asymptoty funkce 34.1 Vodorovné asymptoty ⇒ rovnoběžné s osou x Pokud nám vyjde lim f (x) = a ∈ R, x→∞ řekneme, že, f (x) má pro x → ∞ asymptotickou přı́mku y = a musı́me počı́tat i pro x → −∞ - přı́mky mohou obecně vyjı́t různě, např. u arctg x SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 34 Asymptoty - teorie 34.2 123 Svislé asymptoty 1. lim f (x) = +∞ x→x0 + tak pak řekneme, že f (x) má pro x → x0 + asymptotickou přı́mku x = x0 2. lim f (x) = −∞ x→x0 + tak pak řekneme, že f (x) má pro x → x0 + asymptotickou přı́mku x = x0 3. lim f (x) = +∞ x→x0 − tak pak řekneme, že f (x) má pro x → x0 − asymptotickou přı́mku x = x0 4. lim f (x) = −∞ x→x0 − tak pak řekneme, že f (x) má pro x → x0 − asymptotickou přı́mku x = x0 34.3 Šikmé asymptoty 1. lim x→∞ f (x) =a∈R x 2. lim (f (x) − ax) = b ∈ R x→∞ pokud obě limity vyjdou vlastnı́, tak řekneme, že funkce f má asymptotickou přı́mku y = ax + b počı́tat i pro x → −∞ SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 35 Asymptoty - cvičenı́ 35 124 Asymptoty - cvičenı́ Určete asymptoty funkcı́: 1. y = x3 2(x + 1)2 1 2. y = xe x SA1 [x = −1, y = 21 x − 1] [x = 0, y = x + 1] ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 36 Průběh funkce - teorie 36 125 Průběh funkce - teorie 1. Základnı́ vlastnosti funkce a) určit Domf b) Imf (pokud to u dané funkce jednoznačně jde) c) sudost/lichost d) periodocita 2. Zjištěnı́ znaménka funkce a) f (x) = 0 ⇒ nulové body Obrázek 82: Znaménko funkce Pozn. Na čı́selnou osu zaneseme nulové body, body nespojitosti a nedefinovanosti. 3. Vyšetřenı́ monotonnie funkce a) f 0 (x) = 0 ⇒ stacionárnı́ body → určit Domf 0 Obrázek 83: Monotonnie funkce b) lokálnı́ extrémy (a určit v nich funkčnı́ hodnoty) c) globálnı́ extrémy 4. Konvexnost/konkávnost a) f 00 (x) = 0 ⇒ inflexnı́ body → určit Domf 00 Obrázek 84: Konvexnost/konkávnost funkce 5. Asymptoty a) vodorovné b) svislé c) šikmé 6. Graf SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 37 Průběh funkce - cvičenı́ 37 126 Průběh funkce - cvičenı́ Vyšetřete průběh funkcı́: 1. y = 1 − x3 x2 2. y = x3 2(x + 1)2 1 3. y = xe x 4. y = 2x +x −1 x2 5. f (x) = (x − 1)3 x2 D(f ) = R − {0}, N = [1; 0], f 0 (x) = f 00 (x) = (x − 1)2 (x + 2) , D(f 0 ) = D(f ), E = [−2; 6, 75], x3 6(x − 1) , D(f 00 ) = D(f ), x = 0 pro x → 0± , y = x − 3 pro x → ±∞. x4 y 6 4 2 −6 −4 −2 2 4 6 8 x −2 −4 −6 −8 −10 Obrázek 85: Průběh funkce - cvičenı́ 1 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 37 Průběh funkce - cvičenı́ 6. f (x) = 127 x2 − 2x x2 − 2x + 2 D(f ) = R, N1 = [0; 0], N2 = [2; 0], f 0 (x) = 4(x − 1) , D(f 0 ) = D(f ), E = [1; −1], − 2x + 2)2 (x2 4(−3x2 + 6x − 2) f (x) = , D(f 00 ) = D(f ), I1 = [0, 42; −0, 5], I2 = [1, 58; −0, 5], y = 1 2 3 (x − 2x + 2) pro x → ±∞. 00 y 1 0, 5 −15 −10 −5 5 10 15 x −0, 5 −1 Obrázek 86: Průběh funkce - cvičenı́ 2 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 37 Průběh funkce - cvičenı́ 7. f (x) = 128 2x2 + 3x − 4 x2 D(f ) = R − {0}, N1 = [−2, 35; 0], N2 = [0, 85; 0], f 0 (x) = E = [2, 67; 2, 56], f 00 (x) = −3x + 8 , D(f 0 ) = D(f ), 3 x 6(x − 4) , D(f 00 ) = D(f ), I = [4; 2, 5], y = 2 pro x → ±∞. x4 y 2 1 −15 −10 −5 5 10 15 x −1 −2 −3 Obrázek 87: Průběh funkce - cvičenı́ 3 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 37 Průběh funkce - cvičenı́ 8. f (x) = 129 x2 x2 − 1 D(f ) = R − {−1, 1}, N = [0; 0], f 0 (x) = −2x , D(f 0 ) = D(f ), E = [0; 0], − 1)2 (x2 2(3x2 + 1) , D(f 00 ) = D(f ), x = −1 pro x → −1± , x = 1 pro x → 1± , (x2 − 1)3 y = 1 pro x → ±∞. f 00 (x) = y 4 2 −4 −2 2 4 x −2 −4 Obrázek 88: Průběh funkce - cvičenı́ 4 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 37 Průběh funkce - cvičenı́ 9. f (x) = 130 x3 x−1 D(f ) = R − {1}, N = [0; 0], f 0 (x) = f 00 (x) = x2 (2x − 3) , D(f 0 ) = D(f ), E = [1, 5; 6, 75], (x − 1)2 2x(x2 − 3x + 3) , D(f 00 ) = D(f ), I = [0; 0], x = 1 pro x → 1± . (x − 1)3 y 15 10 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 x −5 −10 Obrázek 89: Průběh funkce - cvičenı́ 5 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 37 Průběh funkce - cvičenı́ 10. f (x) = 131 x2 3 − x2 √ √ D(f ) = R − {− 3, 3}, N = [0; 0], f 0 (x) = 6x , D(f 0 ) = D(f ), E = [0; 0], (3 − x2 )2 √ √ √ √ 18(x2 + 1) , D(f 00 ) = D(f ), x = − 3 pro x → − 3± , x = 3 pro x → 3± , f 00 (x) = 2 3 (3 − x ) y = −1 pro x → ±∞. y 4 2 −4 −2 2 4 x −2 −4 Obrázek 90: Průběh funkce - cvičenı́ 6 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 37 Průběh funkce - cvičenı́ 132 11. f (x) = (x − 2x)ex D(f ) = R, N = [0, 5; 0], f 0 (x) = −(2x + 1)ex , D(f 0 ) = D(f ), E = [−0, 5; −0, 05], f 00 (x) = −(2x + 3)ex , D(f 00 ) = D(f ), I = [−1, 5; −4, 5], y = 0 pro x → −∞. y 1 −10 −5 5 x −1 −2 −3 −4 Obrázek 91: Průběh funkce - cvičenı́ 7 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 38 Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - teorie 38 38.1 133 Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - teorie Primitivnı́ funce Řekneme, ze funkce F je primitivnı́ funkcı́ k funkci f na intervalu I, jestliže: F 0 (x) = f (x), pro ∀x ∈ I Př. f (x) = x5 6 F (x) = x6 Př. f (x) = |x| F (x) = sgn x · x2 2 y y x x (a) f (x) = |x| (b) F (x) = sgn x · x2 2 Obrázek 92: Primitivnı́ funkce Věta Jestliže je f (x) na ha, bi spojitá, existuje k nı́ primitivnı́ funkce F (x). Jestliže existuje F (x), tak jich existuje R nekonečně mnoho - množina všech primitivnı́ch funkcı́ k funkci f (x) = neurčitý integrál ( f (x) dx). R mohutnost f (x) dx = c (kontinuum) SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 38 Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - teorie 38.2 134 Přehled vzorců pro integrovánı́ Z c dx = c · x + C Z xa dx = Z xa+1 +C a+1 1 dx = ln |x| + C x Z Z ex dx = ex + C ax dx = ax +C ln a Z sin x dx = − cos x + C Z cos x dx = sin x + C Z 1 dx = −cotg x + C sin2 x Z 1 dx = tg x + C cos2 x Z 1 dx = arctg x + C1 = −arccotg x + C2 1 + x2 Z 1 √ dx = arcsin x + C1 = − arccos x + C2 1 − x2 Z √ 1 √ dx = ln(x + x2 + a) + C a > 0 x2 + a Z 1 x 1 dx = arctg + C 2 2 x +a a a Z 0 f (x) dx = ln |f (x)| + C f (x) SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 38 Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - teorie 38.3 135 Základnı́ pravidla integrovánı́ Předpokládejme, že tyto 3 integrály existujı́. Potom platı́, že nastává tato rovnost. Z Z Z (f ± g) dx = f (x) dx ± g(x) dx Z Např. pro f (x) = χ(x) a g(x) = −χ(x) neexistuje (f + g) dx, protože neexistujı́ integrály k f (x) a g(x) Dále platı́: Z Z c · f (x) dx = c · 38.4 f (x) dx Metoda per partes Pro součin dvou funkcı́ u(x)v(x) platı́: Z Z 0 u · v dx = u · v + u0 · v dx Důkaz Předpokládejme, že u(x), v(x), u0 (x) a v 0 (x) majı́ na intervalu I své primitivnı́ funkce F . Pak platı́: (u · v)0 = u0 · v + u · v 0 Z Z 0 u · v = u · v dx + u · v 0 dx Z Z 0 u · v dx = u · v + u0 · v dx Př. Z u0 = ex u = ex x · ex dx = v = x v0 = 1 Z x = x · e − ex dx + C = x · ex − ex + C = ex (x − 1) + C Př. Z u0 = 1 u=x ln x dx = v = ln x v 0 = 1 x SA1 Z = x · ln x + 1 dx + C = x ln x + x + C = x(ln x + 1) + C ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 38 Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - teorie 136 Př. Z u0 = ex x u = e x x e sin x dx = = e · sin x − ex cos x dx + C = v = sin x v 0 = cos x Z u0 = ex x u = e x x x = = e · sin x − e · cos x − e · (− sin x) dx + C = v = cos x v 0 = − sin x Z Z ex (sin x − cos x) x x x +C = e · sin x − e · cos x − e · sin x dx + C ⇒ ex · sinx dx = 2 Z Př. Z u0 = 1 u=x arctg x dx = v = arctg x v 0 = 21 x +1 = x · arctg x − 38.5 Z 2x 1 dx + C = = x · arctg x − 2 2 x +1 1 ln |x2 + 1| + C 2 Substituce f definována na intervalu I, ϕ definováno na I (ϕ : J → I) ⇒ ϕ(J) = I, ϕ injektivnı́ zobrazenı́ R Pak f (x) dx na I existuje právě tehdy, když existuje Z f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt na J a platı́: Z F (x) = a Z G(t) = Př. SA1 Z f (x) dx = 0 f (ϕ0 (t))ϕ0 (t) dt = F (ϕ(t)) Z f (ϕ(t))ϕ (t) dt = x2 = t Z 3 x2 ex dx = 2x dx = dt x dx = dt 2 f (x) dx = G(ϕ−1 (x)) Z t e 1 1 3 = dt = et + C = ex + C 3 3 2 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 38 Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - teorie 38.6 137 Intergrace racionálnı́ch funkcı́ 1. Př. Z A dx = A ln |x − r| + C x−r Z 3 dx = 3 · ln |x + 4| + C x+4 2. Z Př. Z A 1 A dx = +C (x − r)k (1 − k) (x − r)k−1 3 dx = (x − 2)53 Z 3 3 3 dt = − 52 + C = − +C 53 t 52t 52(x − 2)52 3. Z Ax + B dx + px + q x2 1 - vhodnými úpravami převedu čitatel v derivaci jmenovatele (přı́padně jejı́ násobek) a integrál rozdělit 2 - integrál s konstantou v čitateli ⇒ ten pak převést na derivaci arctg x Př. Z 3x − 8 3 dx = 2 x + 4x + 7 2 2x − 16 3 3 dx = 2 x + 4x + 7 2 Z 3 = ln |x2 + 4x + 7| − 2 Z dx = x2 + 4x + 7 1 =√ 3 Z ⇒ SA1 Z x2 Z t2 Z 2x + 4 3 dx− 2 x + 4x + 7 2 14 dx + C ⇒ řesı́me integrál 2 x + 4x + 7 Z x + 2 = √3t dx = √ (x + 2)2 + 3 dx = 3 dt 28 3 Z x2 + 4x + 7 Z x2 dx = dx + 4x + 7 Z √ 3 dt = = 3t2 + 3 dt 1 x+2 1 = √ arctg t + C = √ arctg √ + C ⇒ +1 3 3 3 3x − 8 3 14 x+2 dx = ln |x2 + 4x + 7| − √ arctg √ + C + 4x + 7 2 3 3 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 38 Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - teorie 138 4. Z (x2 Ax + B dx + px + q)k 1 - v čitateli dostat derivaci jmenovatele a integrál rozdělit 2 - provedeme substituce t = polynom ⇒ 1.integrál se vyřešı́ a řešı́mě druhý R 1 3 - tlačı́me“ na tvar podobný derivaci arctg x, tj tvar (t2 −1) k = Ik ” 4 - vyřešı́me podle rekurentnı́ho vzorce pro Ik+1 (odvozen z integrace per partes) Př. Z 2x + 5 dx = 2 (x + 2x + 9)2 Z 2x + 2 dx + 3 2 (x + 2x + 9)2 Vyřešı́me nejprve prvnı́ integrál Z x2 + 2x + 9 = u 2x + 2 dx = (2x + 2) dx = du (x2 + 2x + 9)2 Z (x2 dx + 2x + 9)2 Z du 1 1 = − + C = − +C = u2 u x2 + 2x + 9 Nynı́ řešı́me druhou část integrálu Z dx = 2 (x + 2x + 9)2 Z x + 1 = 2√2t dx = √ ((x + 1)2 + 8)2 dx = 2 2 dt Z √ 2 2 dt = = (8t2 + 8)2 √ Z √ Z 2 2 2 dt dt = 2 = 2 2 2 8 (t + 1) 32 (t + 1)2 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 38 Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - teorie Označme Z (t2 139 dt = Ik . + 1)k Počı́tejme nynı́ Z u= 1 2t u0 = −k (t2 −1) dt k+1 (t2 −1)k = 2 k 0 v =1 (t + 1) v=t Z t t2 + 2k dt = = 2 (t + 1)k (t2 + 1)k+1 Z Z t2 + 1 − 1 dt dt t dt = 2 + 2k − 2k 2 k+1 k 2 k 2 (t + 1) (t + 1) (t + 1) (t + 1)k+1 t t 1 Ik = 2 + 2kIk − 2kIk+1 ⇒ Ik+1 = + (2k − 1)Ik , I1 = arctg t (t + 1)k 2k (t2 + 1)k t = 2 + 2k (t + 1)k Z 1 I2 = 2 Z ⇒ t + arctg t (t2 + 1) pro k = 1 x+1 √ 1 1 2x + 5 2 2 dx = − + 2 (x2 + 2x + 9)2 x2 + 2x + 9 2 x+1 √ 2 2 SA1 + arctg +1 x+1 √ 2 2 +C ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 39 Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - cvičenı́ 39 140 Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - cvičenı́ 39.1 Přı́má integrace Z - časté využité základnı́ho vzorce f 0 (x) dx = ln |f (x)| + C f (x) 5x2 − 3 √ dx x Z 1 2 3x − 2x + √ dx 2. x3 Z x 3 cos2 x − 5 3. dx cos2 x Z 4. cotg x dx Z 1. Z √ 4 x + 2 + x−4 5. dx x3 Z 1 6. dx x ln x Z 7. x(x − 2)(x − 3) dx SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 39 Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - cvičenı́ 39.2 141 Integrace pomocı́ substituce - často nutno využı́t vzorce: 1 − cos 2x , 2 1 + cos 2x cos2 x = : 2 Z sin2 x 8. dx cos4 x Z √ 3 arctg x 9. dx 1 + x2 Z 1 √ 10. dx 4x + 9 Z 1 11. dx 7x − 9 Z 12. ex cos(ex ) dx sin2 x = Z 13. Z 14. Z 15. Z 16. Z 17. SA1 [ [ 1 3 tg x, (substituce: tg x = t) ] 3 3p 3 (arctg x)4 , (substituce: arctg x = t) ] 4 [ [ 1√ 4x + 9, (substituce: 4x + 9 = t) ] 2 1 ln |7x − 9|, (substituce: 7x − 9 = t) ] 7 [sin(ex) , (substituce: ex = t) ] 1 ex dx x2 1 [ −e x , (substituce: x3 √ dx 1 − x8 [ √ 2x x2 + 1 dx [ 1 dx x · ln x · ln(ln x) 2x √ dx 1 + 4x 1 x = t) ] 1 arcsin x4 , (substituce: x4 = t) ] 4 2 2 (x + 1)3 , (substituce: x2 + 1 = t) ] 3 [ ln | ln(ln x)| ] [ √ 1 ln 2x + 1 + 4x , (substituce: 2x = t) ] ln 2 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 39 Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - cvičenı́ 39.3 142 Integrace per partes Z - umět odvodit vzorec Z 18. Z 19. Z 20. Z 21. Z 22. 0 u v dx = uv − Z uv 0 dx z derivace součinu uv: x2 cos x dx [ (x2 − 2) sin x + 2x cos x ] x2 arctg x dx [ x3 1 1 arctg x − x2 + ln(x2 + 1) ] 3 6 6 sin2 x dx [ x dx sin2 x 1 (x − sin x cos x) ] 2 [ −xcotg x ln | sin x| ] ex [ (sin x + cos x) ] 2 x e cos x dx Z 23. arcsin x dx Z 24. Z 25. x2 sin(2x) dx x3 cos x dx [ x arcsin x + [− SA1 cos(ln x) dx 1 − x2 ] x 1 x2 cos(2x) + sin(2x) + cos(2x) ] 2 2 4 [ (x3 − 6x) sin x + (3x2 − 6) cos x ] Z 26. √ [ x (cos(ln x) sin(ln x)) ] 2 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 39 Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - cvičenı́ 39.4 Integrace racionálnı́ lomené funkce - nejprve nutné rozložit na parciálnı́ zlomky: Z 6 27. dx x+5 Z −2 28. dx (x − 8)2 Z 3x 29. dx x2 + 4 Z 5 dx 30. 2 x +2 Z 6x dx 31. 2 x +x+2 Z −2 32. dx x2 + 2x + 8 Z 4 x + 6x2 + x − 2 33. dx x4 − 2x3 Z 5 34. dx (2x − 3)3 Z 27 √ dx 35. 2x − 5 Z 8x − 31 36. dx 2 x − 9x + 14 Z 11x2 − 2x − 33 dx 37. x2 − 3 Z 4x2 + 4x − 11 38. dx (2x − 1)(2x + 3)(2x − 5) Z 4 − 4x dx 39. 2 4x − 4x + 1 Z 6x + 6 dx 40. 2x2 + 3x SA1 143 [ x − 3 ln |x| − 1 + 5 ln |x − 2| ] 2x2 [− 5 1 ] 4 (2x − 3)2 √ 27 [ √ ln | 2x − 5| ] 2 [ 3 ln |x − 2| + 5 ln |x − 7| ] [ − ln |x − √ 3| − ln |x + √ 3| + 11x ] 1 (2x − 1)3 (2x − 5)3 [ ln ] 8 2x + 3 [ − ln |2x − 1| + 1 ] 2x − 1 [ ln |2x3 + 3x2 ] ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 40 Riemannův integrál - teorie 40 40.1 144 Riemannův integrál - teorie Úvod ”sčı́tánı́ obdélnı́čků” y f (x) x Obrázek 93: Určitý integrál Přı́klady jiných integrálů: Lebesgueův integrál - vodorovné dělenı́ na obdélnı́čky Stieltjesův integrál - využitı́ v pravděpodobnosti Kurzweilův integrál - pojmenován po českém matematikovi SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 40 Riemannův integrál - teorie 40.2 145 Zavedenı́ Riemannova integrálu Mějme funkci f ohraničenou na ha, bi y f (x) a = x0 x1 x2 x3 b = x4 x Obrázek 94: Zavedenı́ Riemannova integrálu interval ha, bi rozdělı́me = dělenı́ D a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b dělenı́ nemusı́ být ekvidistantnı́ (libovolně veliké intervaly po dělenı́) označne mi = inf f (x) a Mi = xi−1 ≤ x ≤ xi sup f (x) xi−1 ≤ x ≤ xi s(f, D) = n X mi (xi − xi−1 ) i=1 nazveme dolnı́ integrálnı́ počet - závisı́ na f a také na dělenı́ D = obsah obdélnı́čků pod jednotlivými inf odbodně hornı́ integrálnı́ počet: S(f, D) = n X Mi (xi − xi−1 ) i=1 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 40 Riemannův integrál - teorie 146 sup s(f, D) - suprémum přes všechna možná D (suprémum všech dolnı́ch integrálnı́ch D součtů) toto suprémum označı́me dolnı́ Riemannův integrál a označı́me jej: Z b sup s(f, D) = f (x) dx a D obdobně pro hornı́ Riemannův integrál: Z inf S(f, D) = b f (x) dx a D Jestliže se hornı́ a dolnı́ Riemannovy integrály rovnajı́, je funkce f na intervalu ha, bi Riemannovsky integrovatelná ⇒ Z b Z b Z b f (x) dx = f (x) dx = f (x) dx a SA1 a a ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 40 Riemannův integrál - teorie 40.3 147 Integrace některých funkcı́ 1. Je Dirichtelova funkce riemannovsky integrovatelná na h0, 1i? Pro každé dělenı́ vyjde 1 Z f (x) dx = 0 0 a 1 Z f (x) dx = 1 0 ⇒ Dirichtelova funkce nenı́ riemannovky integrovatelná. 2. Je Riemannova funkce riemannovsky integrovatelná na h0, 1i? ( 1 x∈Q ρ(x) q 0 x∈R−Q 1 Z ρ(x) dx = 0 0 zjemňovánı́m dělenı́ jsme schopni zı́skat Z 1 ρ(x) = 0 0 y 1 1 x Obrázek 95: Integrace Riemannovy funkce ⇒ riemannovsky integrovatelná a vycházı́ Z 1 ρ(x) = 0 0 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 40 Riemannův integrál - teorie 40.4 148 Vlastnosti Riemannova integrálu 1. aditiva vzledem k funkcı́m Z b Z b Z b (f + g)(x) dx = f (x) dx + g(x) dx a a a 2. aditiva vzledem k integračnı́mu oboru a < c < b Z b Z c Z b f (x) dx f (x) dx + f (x) dx = c a a 3. homogenita b Z Z c · f (x) dx = c · b f (x) dx a a aditivita + homogenita ⇒ linearita 40.5 Newtonův integrál Existuje-li na ha, bi primitivnı́ funkce F (x) k funkci f (x), definujeme Newtonův integrál Z b f (x) dx = F (b) − F (a) (N ) a tj. f (x) je na ha, bi newtonovsky integrovatelná SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 40 Riemannův integrál - teorie 40.6 149 Základnı́ věta integrálnı́ho počtu Obrázek 96: Integrovatelnost Jestliže je funkce f (x) na ha, bi integrovatelná newtonovsky i riemannovsky, pak si jsou Riemannův a Newtonův intergrál rovny Z b f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a) a tzn. platı́ Newton - Leibnitzova formule Pozn. Zavádime-li při výpočtu substituci, musı́me přepočı́tat meze. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 41 Riemannův integrál - cvičenı́ 41 150 Riemannův integrál - cvičenı́ Určitý Riemannův integrál Z 1 xarctg dx 1. [ 0 Z 2 2. (x2 + 1) 1 Z 4 3. 1 Z x π 4 4. 3 2 dx 0 Z 5 5. 2 Z ln 2 SA1 x−1 √ dx 4x − 2 ln 3 6. 1 1 [ − √ + 1 √ , (substituce: x2 + 1 = t2 ) ] 5 2 1 √ dx (1 + x) x sin x cos2 x dx ex dx e2x − 1 π 1 − , (per partes) ] 4 2 [ 2arctg 2 − π , (substituce: x = t2 ) ] 2 √ 1 (4 − 2), (substituce: cos x = t) ] 12 √ 3 2 [ , (substituce: 4x − 2 = t) ] 2 1 1 1 [ ln − ln , (substituce: ex = t) ] 2 2 3 [ ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 42 Aplikace určitého integrálu - teorie 42 151 Aplikace určitého integrálu - teorie 42.1 Obsah rovinné oblasti 1. obsah podgrafu: y f (x) a x b Obrázek 97: Obsah podgrafu a) explicitnı́ zadánı́ Z S= b f (x) dx a b) parametrické zadánı́ Z S = β α ψ(t) · ϕ0 (t) dt 2. plocha mezi 2 grafy: f (x) y g(x) a b x Obrázek 98: Plocha mezi 2 rafy Z b (f (x) − g(x)) dx S= a SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 42 Aplikace určitého integrálu - teorie 152 Př. Odvod’me vzorec pro obsah elipsy. y b a x Obrázek 99: Obsah elipsy Z analytické rovnice elipsy x2 y 2 + 2 =1 a2 b vyjádřı́me explicitnı́ předpis pro hornı́ část elipsy takto r x2 y = f (x) = b · 1 − 2 a Pro jednoduchost vypočteme obsah elipsy jako 4-násobek jedné jejı́ části takto Z a r Z x2 4b a √ 2 b · 1 − 2 dx = S=4 a − x2 dx a a 0 0 zavedeme nynı́ substituci takto: x = a sin t ⇒ dx = a cos t dt, 0 → 0, a → 4b S= a Z π 2 Z p 2 2 2 a − a sin t · a cos t dt = 4ab 0 π 2 2 Z cos t dt = 2ab 0 π 2 ⇒ π 2 (cos 2t + 1) dt = 0 π2 sin 2t = 2ab + t = πab 2 0 (pokud a = b = r ⇒ S = πr2 ) SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 42 Aplikace určitého integrálu - teorie 42.2 153 Délka křivky y f (x) a x b Obrázek 100: Délka křivky 1. explicitnı́ zadánı́ Z bp l= 1 + (f 0 (x))2 dx a 2. parametrické zadánı́ x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ ha, bi ⇒ Z β l= p (ϕ0 (t))2 + (ψ 0 (t))2 dt α Př. Odvod’me vzorec pro délku kruřnice. Mohli bychom počı́tat z analytického vyjádřenı́ kruřnice √ x2 + y 2 = R 2 ⇒ y = R 2 − x2 ale odmocnina by se asi integrovala obtı́žně. Zvolı́me proto parametrické vyjádřenı́ kružnice. ϕ = R · cos t ⇒ ϕ0 = −R · sin t, ψ = R · sin t ⇒ ψ 0 = R · cos t, t ∈ h0, 2πi Pak máme Z l= 0 SA1 2π Z p 2 2 2 2 R sin t + R cos t dt = 2π R dt = [Rt]2π 0 = 2πR 0 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 42 Aplikace určitého integrálu - teorie 42.3 154 Objem tělesa 1. S(x) plošný průřez obsahu, a ≤ x ≤ b v každém x z ha, bi známe plošný obsah průřezu ⇒ Z b S(x) dx V = a Př. z 1 √ √ 3 2 y x Obrázek 101: Plošný průřez tělesa √ S(0) = 1, 3 S(1) = , 2 1 S = 2 √ 2+ 3 2 √ · 2 √ 2+ 3 2 √ √ 2+2 6+3 5+2 6 = = 8 8 Ve výšce v platı́ pro délku odvěsny: √ √ √ √ √ v = 2 + v( 3 − 2) = 2(1 − v) + 3 · v Pak dostaneme √ 2 1 √ 1 √ 2 · (1 − 2v − v 2 ) + 2 6(v − v 2 ) + 3v 2 = Sv = 2(1 − v) + v 3 = 2 2 √ 5 √ = − 6 v 2 + ( 6 − 2)v + 1 2 ⇒ S(x) = Z V = 0 1 √ 5 √ − 6 x2 + ( 6 − 2)x + 1 2 " √ 5 √ − 6 x2 + ( 6 − 2)x + 1 dx = 2 5 2 − #1 √ 3 √ 6 x ( 6 − 2)x2 + +x = 3 2 0 √ = ... = SA1 5+ 6 6 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 42 Aplikace určitého integrálu - teorie 155 2. objem tělesa vzniklého rotacı́ kolem osy x a) explicitnı́ zadánı́ Z b f 2 (x) dx V =π a b) parametrické zadánı́ Z V = π β α ψ (t) · ϕ (t) dt 0 2 Př. Odvod’te objem kužele. y y= r v ·x v x Obrázek 102: Objem kužele Z V =π 0 v 3 v Z v r 2 r2 r2 r2 x v3 1 2 x dx = 2 · π = 2 ·π· x dx = 2 · π = πvr2 v v v 3 0 v 3 3 0 3. objem tělesa, vzniklého rotacı́ kolem osy y Z b xf (x) dx V = 2π a Př. Odvod’me objem anuloidu. Budeme počı́tat pro rotaci půlkruhu. Polokružnice má rovnici p (x − R)2 + y 2 = r2 ⇒ y = r2 − (x − R)2 y x r R Obrázek 103: Objem anuloidu SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 42 Aplikace určitého integrálu - teorie 156 x − R = rt Z R+r p dx = r dt 2 2 V = 2·2π x r − (x − R) dx = R−r R − r → −1 R+r →1 = 4πr 2 Z 1 Z √ 2 (R + rt) 1 − t2 dt = 4πr R −1 2 1 √ Z 1 √ = 4π (rt+R)·r 1 − t2 ·r dt = −1 1 − t2 dt + r −1 Z 1 = 4πr · R √ 1 − t2 dt + 0 = 4πr2 · R −1 Z 1 Z √ t 1 − t2 dt = −1 0 √ Z 1− t2 dt + −1 1 √ 1− t2 dt = 0 t = sin u Z πp Z 1√ 2 dt = cos u du 2 2 2 1 − t dt = = 8πr · R 1 − sin2 u · cos u du = = 4πr · R · 2 0 → 0 0 0 π 1→ 2 π2 Z π Z π 2 2 sin 2u 1 cos 2u 1 2 2 2 2 cos u du = 8πr ·R + du = 8πr R + u = 8πr ·R = 2 2 4 2 0 0 0 = 2π 2 r2 R 42.4 Obsah pláště rotačnı́ho tělesa 1. explicitnı́ zadánı́ Z b f (x) S = 2π p 1 + (f 0 (x))2 dx a 2. parametrické zadánı́ Z β P = 2π p ψ(t) (ϕ0 (t))2 + (ψ 0 (t))2 dt α SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 43 Aplikace určitého integrálu - cvičenı́ 43 157 Aplikace určitého integrálu - cvičenı́ explicitnı́ rovnice PLOŠNÝ OBSAH OBJEM DÉLKA KŘIVKY POVRCH PLÁŠTĚ parametrické rovnice y = f (x), x ∈ ha, bi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ hα, βi Z β Z b 0 S= f (x) dx S= ψ(t) · ϕ (t) dt Zα β Za b 2 2 0 [f (x)] dx V =π V = π [ψ(t)] · ϕ (t) dt Z β α Z b pa p 0 2 0 2 2 L= 1 + [f (x)] dx L= [ϕ (t)] + [ψ(t)] dt Z β α Z ab p p f (x) 1 + [f 0 (x)]2 dx P = ψ(t) [ϕ0 (t)]2 + [ψ(t)]2 dt P = 2π a 43.1 α Obsah rovinné oblasti 1. Určete obsah plochy ohraničené křivkou y = x2 a osou x pro x ∈ h−3, 3i. 2. Určete obsah plochy ohraničené křivkami y = x3 a y = x pro x ∈ h1, 2i. 3. Určete obsah plochy ohraničené křivkami y = 2 1+x2 a y = xx . [ 18 ] [ 94 ] [ π − 23 ] 4. Určete obsah plochy ohraničené křivkami y = x3 + x2 − 6x a osou x pro x ∈ h−3, 3i. [ 28 32 ] 5. Určete obsah plochy ohraničené křivkami y = 2x2 a y = x2 a y = 1. 6. Určete obsah plochy ohraničené křivkami y = ex − 1 a y = e2x a x = 0. √ [ 2 2−3 2 ] [ ln 4 − 12 ] 7. Určete obsah půlkruhu zadaného prametrickými rovnicemi x = r cos t, y = r sin t, 2 t ∈ h0, πi. [ πr2 ] 8. Pomocı́ určitého integrálu určete obsah trojúhelnı́ka ABC, kde A = [−1, 0], A = [2, 0], A = [0, 2]. [3] SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 43 Aplikace určitého integrálu - cvičenı́ 43.2 158 Objem tělesa 9. Vypočtěte objem kuželu, který vznikne rotacı́ přı́mky y = 12 x − 1 kolem osy x pro x ∈ h2, 6i. [ π 16 ] 3 10. Vypočtěte Přı́klad 14 pomocı́ vhodné parametrizace. 11. Vypočtěte objem tělesa, který vznikne rotacı́ plochy mezi křivkami y = x2 + 1, y = 0, x = 1 a x = 0 kolem osy y. [ 32 π ] 12. Vypočtěte objem tělesa, který vznikne rotacı́ plochy mezi křivkami y = 5x, y = 5x2 : a) kolem osy x; b) pro x ∈ h1, 4i kolem osy y; [ 10 π] 3 [ 4590π ] 13. Vypočtěte objem tělesa, který vznikne rotacı́ plochy mezi křivkami y = 21 x2 + 1, y = − 12 x + 4 a x = 0: a) kolem osy x; [ 92 π] 5 b) kolem osy y; [ 4π ] 14. Odvod’te vztah pro objem rotačnı́ho komolého kuželu s poloměry podstav 0 < r1 ≤ r2 a výškou v. Z r2 − r1 [ V = π 0v x + r1 dx ] v 15. Určete objem elipsoidu, který vznikne rotacı́ elipsy dané parametrickými rovnicemi x = a cos t, y = b cos t, t ∈ h0, 2πi kolem osy x. [ 4πr2 ] SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 43 Aplikace určitého integrálu - cvičenı́ 43.3 159 Délka křivky 16. Určete délku asteroidy dané parametrickými rovnicemi x = a cos3 t, y = b sin3 t, t ∈ h0, 2πi. [ 6a ] 43.4 Porvch tělesa 17. Pomocı́ Riemannova integrálu určete povrch koule o poloměru r, je-li tvořı́cı́ půlkružnice dána: √ [ 4πr2 ] a) explicitně y = + r2 − x2 ; b) parametricky x = r cos t, y = r sin t, kde t ∈ h0, πi; [ 4πr2 ] 18. Určete pláště tělesa, které vznikne rotacı́ části asteroidy x = a cos3 t, y = b sin3 t, povrch [ 65 πa2 ] t ∈ 0, π2 kolem osy x. 19. Odvod’te vzorec pro povrch koule o poloměru r. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 44 Integrál jako funkce hornı́ meze 44 160 Integrál jako funkce hornı́ meze Mějme f (x) na ha, bi riemannovsky integrovatelnou, pro x ∈ ha, bi Z x f (t) dt a nazveme integrál jako funkce hornı́ meze. Př. y = x2 , ha, bi x Z 3 x t x3 1 t dt = + = 3 1 3 3 2 1 ⇒ a má vliv na konstantu Z x f (t) dt = 0 (pro x = a) x Z a Z Z f (t) dt = − x<a⇒ Pozn. x a f (t) dt x b f (t) dt . . . integrál jako funkce dolnı́ meze x použitı́: Z dx ln x Z zavedeme a x dt = Li(x) . . . zavedli jsme zcela konkrétnı́ funkci, tzv. funkci logaritmus inln t tegrál Li(x) SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 44 Integrál jako funkce hornı́ meze 161 Věta Předpokládejme, ze f (x) je riemannovsky integrovatelná ja ha, bi. Pak je Z x f (t) dt F (x) = a spojitá na ha, bi. Důkaz x0 ∈ ha, bi, > 0, funkce f (x) je riemannovsky integrovatelná na ha, bi, tzn. je zde omezená. Tzn. existuje c ∈ R takové, že |f (x)| ≤ c. Označme δ = c . Vezměme x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ ha, bi. Pak Z x0 Z x0 Z x f (t) dt ≤ |x − x0 |c < δc = c = f (t) dt = f (t) dt − |F (x0 ) − F (x)| = c x a a y c x0 x x Obrázek 104: F (x) omezená Tzn. F (x) je spojitá. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 44 Integrál jako funkce hornı́ meze 162 Věta Předpokládeje, že f (x) je riemannovsky integrovatelná na ha, bi a spojitá v x0 ∈ ha, bi. Pak Z x f (t)dt F (x) = a má derivaci a platı́, že F 0 (x0 ) = f (x0 ). (Je-li x0 = a nebo x0 = b, jedná se o derivaci jednostrannou). Důkaz > 0, f (x) spojitá v x0 , tzn. pro 2 existuje δ > 0 takové, že ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ ha, bi platı́ |f (x) − f (x0 )| < 2 . Pro x 6= x0 , x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ ha, bi máme Z x Z x0 1 F (x) − F (x0 ) f (x )(x − x ) 0 0 = = − f (x ) f (t) dt − f (t) dt − 0 x − x0 x − x0 x − x0 a a Z 1 = x − x0 x Z f (t) dt − x0 1 ≤ |x − x0 | Z · x x0 x x0 f (x0 ) dt = |f (t) − f (x0 )| dt ≤ 1 |x − x0 | 1 |x − x0 | Z · x x0 Z x · (f (t) − f (x0 ) dt ≤ x0 h i x 1 t = < . dt = 2 |x − x0 | 2 x0 2 Tzn. F 0 (x0 ) = f (x0 ). Důsledky 1. Je-li f (x) spojitá na ha, bi, pak Z F (x) = x f (t)dt a má derivaci na ha, bi a platı́ F 0 (x) = f (x) tzn. F (x) je na ha, bi primitivnı́ funkcı́ k funkci f (x). 2. k funkci spojité na ha, bi existuje funkce primitivnı́ a to spojitá. ⇒ i pro Riemannovu funkci tak existuje primitivnı́ funkce F (x) a to v bodech spojitosti, tj. v iracionálnı́ch čı́slech. F (x) tak existuje bodově, ne na určitém intervalu. SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 45 Nevlastnı́ integrály - teorie 45 163 Nevlastnı́ integrály - teorie ∞ Z x Z f (t) dt f (x) dx = lim x→∞ a a nazveme nevlastnı́ integrál vlivem meze. y f (x) = 1 x2 x Obrázek 105: Nevlastnı́ integrál vlivem meze Vyjde-li limita vlastnı́, tak řekneme, že integrál je konvergentnı́. Vyjde-li limita nevlastnı́, tak řekneme, že integrál je divergentnı́. Neexistuje-li limita, tak řekneme, že integrál je divergentnı́. Př. Z 1 ∞ 1 dx = lim x→∞ x2 Z Z x 1 1 f (t) dt = lim − +1=1 x→∞ x b b Z f (t) dt f (x) dx = lim x→−∞ −∞ Z ∞ Z a Z f (x) dx = −∞ ∞ f (x) dx . . . nutno integrál rozdělit f (x) dx + −∞ x a Bude konvergentnı́, pokud budou konvergentnı́ oba integrály na pravé straně rovnosti. y 1 f (x) = e−x 2 x Obrázek 106: Gaussova křivka SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 45 Nevlastnı́ integrály - teorie 164 Roste-li funkce na námi zkoumaném intervalu nadevšechny meze, tak počı́táme Z b Z x f (x) dx = lim− f (t) dt x→b a a a nazveme tento integrál nevlastnı́m integrálem vlivem funkce. y a b x Obrázek 107: Nevlastnı́ integrál vlivem funkce SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 46 Nevlastnı́ integrály - cvičenı́ 46 165 Nevlastnı́ integrály - cvičenı́ 1. Spočtěte následujı́cı́ nevlastnı́ integrály: Z 1 x ln x dx a) 0 Z ∞ b) 1 Z 8 c) 0 Z x3 + 1 dx x4 [6] 1 2 (x − 1) 3 0 Z dx [6] ∞ e−ax cos bx dx e) 0 Z [ diverguje ] 1 √ dx 3 x 2 d) [ − 14 ] ∞ a [ a2 +b 2 ] 2 xe−x dx f) [ 12 ] 0 Z ∞ g) 1 Z h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) arctg x dx 1 + x2 2 [ − 3π ] 32 1 1 dx 1 − x2 0 Z ∞ 1 dx 2 −∞ 1 + x Z ∞ 1 √ dx x x 1 Z ∞ 1 dx x2 2 Z ∞ 1 √ dx x 1 Z ∞ 1 dx 2 x(x + 1) 1 Z ∞ 1 dx x ln x 2 Z ∞ 1 √ dx x x+1 1 Z ∞ x2 e−x dx 0 Z ∞ 1 dx −x + ex −∞ e Z ∞ cos x dx [ π2 ] √ [π] [2] [ 12 ] [ diverguje ] [ 12 ln 2 ] [ ∞, diverguje ] √ [ ln √2+1 ] 2−1 [2] [ π2 ] [ diverguje ] 1 SA1 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 46 Nevlastnı́ integrály - cvičenı́ Z ∞ s) 1 Z t) 1 x4 +2 166 [1 − dx π 4 ] ∞ e−3x dx [ 13 ] 0 Z ∞ 2. Rozhodněte, pro která k > 0 konverguje, resp. diverguje integrál 1 1 dx. xk pro 0 < k ≤ 1 diverguje, pro k > 1 konverguje k čı́slu − Z 3. Rozhodněte, pro která k > 0 konverguje, resp. diverguje integrál 0 1 1 dx. xk pro k ≥ 1 diverguje, pro 0 < k < 1 konverguje k čı́slu Z 4. Rozhodněte, pro která k > 0 konverguje, resp. diverguje integrál 1 1−k 1 1−k ∞ e−kx dx. 0 pro všechna k > 0 konverguje k čı́slu SA1 1 k ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 46 Nevlastnı́ integrály - cvičenı́ 167 Věta (Srovnávacı́ kritérium integrálů) Necht’ 0 ≤ f (x) ≤ g(x) v ha, bi, kde f (x) je v levém okolı́ bodu b neohraničená a inteZ b grovatelná na všech ha, ci, a < c < b. Pak platı́, že konverguje-li integrál g(x) dx, pak a Z b Z b Z b g(x) dx. f (x) dx, pak diverguje i f (x) dx. Diverguje-li konverguje také a a a 5. Na základě srovnávacı́ho kritéria rozhodněte o konvergenci integrálů: Z ∞ Z ∞ ln(x2 + 2) 1 a) dx Srovnávat např. s dx, diverguje x x 1 1 Z ∞ Z ∞ 1 x dx Srovnávat např. s b) dx, konverguje 3 x +1 x2 1 1 Z ∞ Z ∞ 1 arctg x dx Srovnávat např. s dx, diverguje c) x x 1 1 Věta (Integrálnı́ kritérium pro konvergenci nekonečné řady ∞ X an ) n=1 Necht’ f (x) je na intervalu ha, ∞), a > 0 taková spojitá nezáporná nerostoucı́ funkce, že Z ∞ ∞ X an a integrál f (x) dx f (n) = an pro skoro všechna přirozená n. Pak nekonečná řada n=1 a zároveň konvergujı́ nebo divergujı́. 6. Na základě integrálnı́ho kritéria rozhodněte o konvergenci nekonečné řady: a) b) c) d) ∞ X 1+n 1 + n2 n=1 ∞ X n=1 ∞ X n=1 ∞ X n=1 SA1 n (n + 1)3 diverguje konverguje n 1 + n2 diverguje 1 −1 konverguje n2 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 Seznam obrázků 168 Seznam obrázků 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 SA1 Úhlopřı́čka čtverce . . . . . . . . . Relace . . . . . . . . . . . . . . . . Zobrazenı́ . . . . . . . . . . . . . . Ekvivalence . . . . . . . . . . . . . Uspořádánı́ . . . . . . . . . . . . . Uspořádánı́ - dělitelnost . . . . . . Manhattanská metrika . . . . . . . Př. nemetriky“ . . . . . . . . . . . ” Otevřené koule . . . . . . . . . . . Otevřená množina . . . . . . . . . Otevřené množiny . . . . . . . . . . Uzavřené množiny . . . . . . . . . Kobonovy trojúhelnı́ky . . . . . . . Konvergentnı́ posloupnost . . . . . Okolı́ bodu . . . . . . . . . . . . . -okolı́ bodu . . . . . . . . . . . . . Ryzı́ okolı́ bodu . . . . . . . . . . . Ryzı́ -okolı́ bodu . . . . . . . . . . Restrikce Domf . . . . . . . . . . . Extenze Domf . . . . . . . . . . . Sudost/lichost funkce . . . . . . . . Vlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě . . Ryzı́ okolı́ zprava . . . . . . . . . . Ryzı́ okolı́ zleva . . . . . . . . . . . Nevlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě . Vlastnı́ limita ve nevlastnı́m bodě . Nevlastnı́ limita ve nevlastnı́m bodě Existence limity . . . . . . . . . . . 1. Bolzanova věta . . . . . . . . . . Browerova věta . . . . . . . . . . . Sčı́tánı́ funkcı́ . . . . . . . . . . . . Kompozice funkcı́ . . . . . . . . . . Nulový polynom . . . . . . . . . . . Konstatnı́ polynom . . . . . . . . . Lineárnı́ polynom . . . . . . . . . . Kvadratické polynomy . . . . . . . Kubické polynomy . . . . . . . . . Domf mocninných funkcı́ . . . . . Exponenciálnı́ funkce . . . . . . . . Logaritmické funkce . . . . . . . . Jednotková kružnice . . . . . . . . Zavedenı́ na trojúhelnı́ku . . . . . . y = sec x . . . . . . . . . . . . . . . y = cosec x . . . . . . . . . . . . . . Nekonečná funkčnı́ řada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 6 7 8 9 42 42 43 43 44 44 45 46 47 47 47 47 58 59 60 63 63 63 64 64 65 65 67 68 71 72 73 73 74 75 76 80 81 82 83 83 84 84 86 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 Seznam obrázků 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 SA1 Zavedenı́ ex část 1 . . . . . . . . Zavedenı́ ex část 2 . . . . . . . . Zavedenı́ sin x . . . . . . . . . . y = Sin x . . . . . . . . . . . . . y = arcsin x . . . . . . . . . . . y = Cos x . . . . . . . . . . . . y = arccos x . . . . . . . . . . . y = Tg x . . . . . . . . . . . . . y = arctg x . . . . . . . . . . . . y = Cotg x . . . . . . . . . . . . y = arccotg x . . . . . . . . . . y = Sec x . . . . . . . . . . . . . y = arcsec x . . . . . . . . . . . y = Cosec x . . . . . . . . . . . y = arccosec x . . . . . . . . . . Hyperbolické funkce . . . . . . Silničnı́ radar . . . . . . . . . . Definice derivace . . . . . . . . Nevlastnı́ derivace . . . . . . . . Znaménko derivace . . . . . . . Porovnánı́ grafu f a f 0 1 . . . . Porovnánı́ grafu f a f 0 2 . . . . Rolleova věta . . . . . . . . . . Lagrangeova věta . . . . . . . . Diferenciál . . . . . . . . . . . . Řád vs. stupěň polynomu . . . . Hroty funkce . . . . . . . . . . Lokálnı́ minimum . . . . . . . . Minimum v hrotu funkce . . . . Derivace v extrému . . . . . . . Nulová druhá derivace . . . . . Změny znaménka funkce . . . . Změny monotonnosti funkce . . Konvexnost . . . . . . . . . . . Konkávnost . . . . . . . . . . . Asymptoty funkce . . . . . . . . Znaménko funkce . . . . . . . . Monotonnie funkce . . . . . . . Konvexnost/konkávnost funkce Průběh funkce - cvičenı́ 1 . . . . Průběh funkce - cvičenı́ 2 . . . . Průběh funkce - cvičenı́ 3 . . . . Průběh funkce - cvičenı́ 4 . . . . Průběh funkce - cvičenı́ 5 . . . . Průběh funkce - cvičenı́ 6 . . . . Průběh funkce - cvičenı́ 7 . . . . Primitivnı́ funkce . . . . . . . . 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 87 88 89 89 90 90 91 91 92 92 93 93 94 94 95 97 97 98 98 99 99 104 105 109 112 115 115 116 116 116 118 118 119 119 122 125 125 125 126 127 128 129 130 131 132 133 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011 Seznam obrázků 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 SA1 Určitý integrál . . . . . . . . . . Zavedenı́ Riemannova integrálu Integrace Riemannovy funkce . Integrovatelnost . . . . . . . . . Obsah podgrafu . . . . . . . . . Plocha mezi 2 rafy . . . . . . . Obsah elipsy . . . . . . . . . . . Délka křivky . . . . . . . . . . . Plošný průřez tělesa . . . . . . Objem kužele . . . . . . . . . . Objem anuloidu . . . . . . . . . F (x) omezená . . . . . . . . . . Nevlastnı́ integrál vlivem meze . Gaussova křivka . . . . . . . . . Nevlastnı́ integrál vlivem funkce 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 145 147 149 151 151 152 153 154 155 155 161 163 163 164 ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011
Podobné dokumenty
Úloha 2.26 - Ústav teoretické fyziky a astrofyziky
Tudíž ze Země nemůžeme pozorovat efekt gravitační čočky v gravitačním poli Slunce. Nejbližší
hvězda Proxima Centauri se od Země nachází ve vzdálenosti l ≈ 4.1016 m ≫ F . Libovolná
z hvězd tak může ...
(dvojný) integrál
Riemannův integrál na K, tj. zápis f ∈ R(K) znamená, že existuje dvojný Riemannův integrál funkce
f na K. V tom případě také říkáme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na obdélníku K.
Věta ...
BAKAL´AˇRSK´A PR´ACE
z prostředků umožňujı́cı́ch náhled na zpracovánı́ a analýzu EEG záznamu, nebo libovolného biomedicı́nského signálu obecně, za použitı́ grafického uživatelského prostředı́.
Může b...
1 Základy 2 Výroková logika 3 Formáln´ı axiomatický systém logiky
Otevřená koule S(x0 , r) v metrickém prostoru X je množina bodů x ∈ X , pro které platı́ %(x, x0 ) < r. Pevný
bod x0 se nazývá střed a r poloměr koule.
Uzavřená koule je definována an...
Základy obecné algebry
4) T 7→ M \ T =: T ′ je unárnı́ operace na množině všech podmnožin P(M ) množiny M .
Definice 1.4. Bud’ A množina, n ∈ N0 , D ⊆ An . Potom zobrazenı́ ω : D → A se nazývá
n-árnı́ parciáln...
4 - Petr Olšák
Pozorovánı́: Každý lineárnı́ prostor L konečné dimenze n je izomorfnı́ s Rn. Tı́m izomorfismem jsou souřadnice vzhledem k bázi.
Věta: Každé dva lineárnı́ prostory stejné konečné dime...
Pravděpodobnost a statistika
Sporem, kdyby A = {x ∈ R | p ≤ FX (x)} neměla nejmenší prvek, pak by existovala
klesající posloupnost x1 , x2 , . . . taková, že p ≤ FX (xi ) pro každé i = 1, 2, . . .
a limi→∞ xi 6∈ A. Potom ale p...
Iterační metody, úvod do funkcionální analýzy
Přı́klad: Prvky cos2 x, sin2 x, cos 2x prostoru funkcı́ F jsou lineárně závislé,
nebot’ pro libovolné x P R platı́: cos 2x “ cos2 x ` p´1q sin2 x.
Pojmy lineárnı́ závislost a nezávislost l...