01MAA4 Wiki Skriptum

1. Integrál na měřitelné množině
Definice 1.1. Bud’ A ⊂ X měřitelná, f : X 7→ R∗ , A ⊂ Dom f . Položme
(
f (x) x ∈ A
fA (x) =
.
0
x∈X rA
Řekneme, že f je měřitelná na A (f ∈ M(A)), právě když fA ∈ M. Řekneme, že f ∈ Λ(A) (resp.
L(A)), přávě když fA ∈ Λ (resp. L). Řekneme, že f je integrabilnı́ na A, právě když f ∈ L(A).
Řekneme, že f má integrál na A, právě když f ∈ Λ(A). f ∈ M(A).
Poznámka. L(A) ⊂ Λ(A) ⊂ M(A).
Definice 1.2. Bud’ f ∈ Λ(A).
Z
f = I fA
A
nazveme Lebesgueovým integrálem funkce f na množině A.
Poznámka.
Budeme
předpokládat, že X = Rn . Toto omezenı́ musı́me zavést, nebot’ potřebujeme,
R
R
aby ∃ A f ⇒ ∃ B⊂A f a to obecně neplatı́. V Rn však platı́ fB+ = fA+ χB ≤ fA+ ∈ Λ, fB− = fA− χB ≤
fA− ∈ Λ, přičenž jedna z nich je ∈ L, nebot’ jedna z fA+ , fA− je z L.
Věta 1.3. Bud’ B měřitelná podmnožina měřitelné množiny A ⊂ R. Jestliže f ∈ Λ(A), pak f ∈
Λ(B).
Důkaz. Viz předchozı́ poznámku.
Věta 1.4. Necht’ f ∈ L(A) a necht’ pro skoro všechna x ∈ A platı́ |f (x)| ≤ C. Pak
Z f ≤ Cµ(A).
A
Důkaz. |fA | . CχA .
n,∞
VětaS1.5. Bud’ {Am }m=1 nejvýše spočetný systém vzájemně disjunktnı́ch měřitelných množin,
A = m Am a f ∈ Λ(A). Potom
Z
XZ
f=
f.
A
Důkaz.
m
Am
(1) f & 0,
fA =
X
fAm
m
konečné i nekonečné (Levi).
(2) f ∼ f + − f − aplikováno na obě části zvlášt’, jeden z integrálů bude konečný.
(3) (∀m)(f ∈ Λ(Am )).
n,∞
Věta 1.6. Bud’ {Am }m=1 nejvýše spočetný systém vzájemně disjunktnı́ch měřitelných množin,
bud’ dále f (x) & 0 na A a f ∈ Λ(Am ). Potom f ∈ Λ(A) a platı́
Z
XZ
f=
f.
A
m
Důkaz. Triviálnı́. (z definice měřitelnosti a Leviho)
1
Am
2
∞
’
’
Věta
S∞ 1.7. Bud {Bm }m=1 rostoucı́ posloupnost měřitelných množin Bm ⊂ Bm+1 . Bud A =
’
B
.
Bud
dále
f
(x)
&
0
na
A
a
f
∈
Λ(B
).
Potom
f
∈
Λ(A)
a
m
m=1 m
Z
Z
f = lim
f.
m→∞
Bm
A
Důkaz. Vyplývá přı́mo z rozšı́řené Leviovy věty pro posloupnosti.
Věta 1.8. Bud’ A ⊂ X, A ∈ M, f ∈ L(A). Potom platı́


Z
(∀ε > 0)(∃δ > 0) B ⊂ A ∧ µ(B) < δ ⇒
|f | < ε .
B
Důkaz. f ∈ L(A), |f | ∈ L(A), fm = min(|f | , m), fm % |f |,
na A
Z
Z
fm .
|f | = lim I fmA = lim
m→∞
m→∞
A
A



Z
Z
ε
(∀ε > 0)(∃m) 0 ≤  |f | − fm  < 
2

A
A
ε
Pro B ⊂ A (volı́m δ < 2m
)
Z
Z
Z
Z
ε ε
|f | = fm + (|f | − fm ) ≤ mµ(B) + (|f | − fm ) < + = ε
2 2
B
B
B
A
|f | − fm ≥ 0, (|f | − fm )B ≤ (|f | − fm )A ,fm = min(|f | , m) ≤ m
Poznámka. Absolutnı́ spojitost — viz skripta.
Věta 1.9. Bud’ f ∈ M(A), necht’ existujı́ α, β taková, že α ≤ f (x) ≤ β platı́ skoro všude na A.
Bud’ g ≥ 0 skoro všude na A, g ∈ L(A). Potom
(i) f g ∈ L(A),
Z
Z
Z
α g ≤ f g ≤ β g;
A
A
A
(ii) existuje γ ∈ hα, βi tak, že
Z
Z
fg = γ
A
g;
A
(iii) je-li navı́c A kompaktnı́ a souvislá, f ∈ C 0 (A), pak existuje ξ ∈ A takové, že
Z
Z
f g = f (ξ) g.
A
A
Důkaz.
(1)
tedy f g ∈R L (f g má integrabilnı́ majorantu).
R αg . f g . βg na A, |f g| ≤ (|α|+|β|)g,
R
(2) Je-li A g = 0, je g ∼ 0, proto f g ∼ 0 a A f g = 0, nebo A g > 0 a pak
R
fg
α ≤ RA
≤ β.
g
A
| {z }
γ