+ C

NEURČITÝ INTEGRÁL — ZÁKLADNÍ VZORCE, PRAVIDLA, METODY
Tabulkové integrály.
R
0 dx = C
R α
α+1
x dx = xα+1 + C (α 6= −1)
R dx
x = ln |x| + C
R x
e dx = ex + C
R x
x
a dx = lna a + C (a > 0, a 6= 1)
R
sin x dx = − cos x + C
R
cos x dx = sin x + C
R dx
= − cotg x + C
sin2 x
R dx
cos2 x = tg x + C
R dx
1+x2 = arctg x + C
R dx
√
= arcsin x + C
1−x2
na (−∞, ∞),
na (0, ∞) (resp. R nebo R \ {0}),
na (−∞, 0) nebo na (0, ∞),
na (−∞, ∞),
na (−∞, ∞),
na (−∞, ∞),
na (−∞, ∞),
na (kπ, π + kπ), k ∈ Z,
na (− π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z,
na (−∞, ∞),
na (−1, 1).
Pravidla pro integrování. Nechť funkce f , g mají na intervalu J primitivní funkce. Potom
také funkce (f + g), (f − g) a c f , c ∈ R, mají na J primitivní funkce a platí
Z
Z
Z
(f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx,
Z
Z
Z
(f (x) − g(x)) dx = f (x) dx − g(x) dx,
Z
Z
cf (x) dx = c f (x) dx.
Integrační metody.
Metoda přímé integrace. Provádějí se pouze základní algebraické úpravy výrazů a používají se
základní integrační vzorce a pravidla.
Metoda integrace per partes.
¯
Z
¯ u = u(x)
v 0 = v 0 (x)
0
u(x)v (x) dx = ¯¯ 0
0
u = u (x) v = v(x)
¯
Z
¯
¯ = u(x)v(x) − u0 (x)v(x) dx
¯
Metoda integrace substitucí.
• 1. způsob
Z
c Petr Gurka
°
¯
¯
¡
¢
f g(x) g 0 (x) dx = ¯¯
¯ Z
¯
g(x) = t
¯ = f (t) dt
0
g (x) dx = dt ¯
¡
¢
= F (t) + C = F g(x) + C
(poslední aktualizace 25. října 2009).
1
2
NEURČITÝ INTEGRÁL — ZÁKLADNÍ VZORCE, PRAVIDLA, METODY
• 2. způsob
Užitečné vzorce.
Z
¯
¯
f (t) dt = ¯¯
¯ Z
¯
¡
¢
t = g(x)
¯ = f g(x) g 0 (x) dx
0
¯
dt = g (x) dx
¯
¯
¯ g(x) = t ¯
¡
¢
¯ = G g −1 (t) + C
= G(x) + C = ¯¯
−1
¯
x = g (t)
Z
¯
¯
f 0 (x)
dx = ln ¯f (x)¯ + C
f (x)
Z
f 0 (x)
−1
¡
¢k dx =
¡
¢k−1 + C
f (x)
(k − 1) f (x)
(k 6= 1)