Stáhnout

Křivky - šroubovice
3. ŠROUBOVICE
3.1 Definice
Definice 4. Šroubový pohyb vzniká složenı́m rovnoměrného otáčivého pohybu kolem
pevné přı́mky (osy) a rovnoměrného posuvného pohybu ve směru této přı́mky. Šroubovice
je dráha bodu A při šroubovém pohybu, kde ω je úhel otočenı́ a p posunutı́ bodu A.
Definice 5. Výška závitu v je velikost posunutı́ bodu při otočenı́ o 2π radiánů. Jestliže
otočı́me bod o 1 radián, označı́me velikost posunutı́ v0 a nazýváme redukovanou výškou
závitu.
Platı́
v0 =
v
2π
Šroubovice (o, A, v0, {±}) je určena osou o, bodem A, redukovanou výškou závitu v0 a
informacı́ o pravotočivosti nebo levotočivosti šroubovice (+ nebo −).
1
Křivky - šroubovice
3.2 Parametrické vyjádřenı́ šroubovice
Parametrické rovnice pravotočivé šroubovice, jejı́ž osou je osa z , r je poloměr válcové
plochy, na nı́ž šroubovice ležı́, redukovaná výška závitu je v0 a bod A[r, 0, 0], jsou
x = r cos t,
y = r sin t,
z = v0t,
t ∈ R.
2
Křivky - šroubovice
3.3 Vlastnosti šroubovice
Věta 9. Tečny šroubovice svı́rajı́ konstantnı́ úhel s rovinou kolmou k ose šroubovice, resp.
s osou šroubového pohybu. Řı́káme, že šroubovice je křivka konstantnı́ho spádu.
Důkaz: Určı́me tečný vektor křivky a vypočteme odchylku tohoto vektoru od směrového
vektoru osy šroubovice. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že osou šroubovice je
osa z , tedy směrový vektor osy z = (0, 0, 1). Derivovánı́m složek parametrické rovnice
šroubovice podle parametru ϕ vypočteme
P0 = (
Pro odchylku α vektorů z a P 0 platı́
0
cos α = z ·P 0 =
|z |·|P |
Z toho je zřejmé, že úhel α nezávisı́ na parametru t a tedy odchylka tečny šroubovice od
jejı́ osy je ve všech bodech šroubovice stejná.
3
Křivky - šroubovice
Věta 10. Řı́dı́cı́ kužel šroubovice (řı́dı́cı́ kuželová plocha), který je tvořen površkami
rovnoběžnými s tečnami šroubovice, je rotačnı́, má výšku v0 a poloměr podstavy r .
Důkaz: Tvrzenı́ plyne z důkazu věty 9. Tečna šroubovice je rovnoběžná s přeponou
trojúhelnı́ka o odvěsnách v0 a r s tı́m, že odvěsna délky v0 ležı́ na ose šroubového pohybu.
4
Křivky - šroubovice
Hlavnı́ normála šroubovice je normála kolmá k ose a osu protı́ná.
Oskulačnı́ rovina je určena hlavnı́ normálou a tečnou šroubovice.
Binormála je normála kolmá na oskulačnı́ rovinu.
Frenetův průvodnı́ trojhran je tvořen tečnou, hlavnı́ normálou a binormálou.
5
Křivky - šroubovice
Obrázek 1:
6
Křivky - šroubovice
Věta 11. Prvnı́ křivost šroubovice je konstatnı́ a platı́
1
k=
r
.
r 2 + v0 2
Druhá křivost šroubovice je konstatnı́ a platı́
2
k=
v0
.
r 2 + v0 2
7
Křivky - šroubovice
Důkaz:
2
0
00
(P ×P )2
0
0
(P ·P )3
k=
0
00
000
(P ,P ,P )
0
00
(P ×P )2
1
( k) =
2
8
Křivky - šroubovice
3.4 Přı́klady
Přı́klad 11. Sestrojı́me průsečı́k šroubovice (o, A, v0, +) s rovinou β ⊥ o.
9
Křivky - šroubovice
Přı́klad 12. Sestrojı́me průsečı́k šroubovice (o, A, v0, +) s rovinou α k o.
10
Křivky - šroubovice
Přı́klad 13. V daném bodě šroubovice (o, A, v0, +) určete průvodnı́ trojhran (výpočtem
dokažte, že hlavnı́ normála je kolmá k ose a osu protı́ná).
11