Integrace per partes

Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné
- 9.1 -
INTEGRACE PER PARTES
PŘÍKLAD 1
Pomocí metody per partes vypočítejte
∫ ln x dx .
Řešení
Obecný vzorec pro výpočet integrálu pomocí metody per partes zní
∫ f ′( x) g ( x) dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ( x) g ′( x) dx ,
integrand musí mít tedy tvar součinu dvou funkcí, z nichž alespoň jednu integrovat umíme.
V integrálu ze zadání si potřebný součin musíme připravit uměle ∫ 1⋅ ln x dx .1 Pak je již použití metody per partes přímočaré:
f ( x ) = ∫ 1dx = x
 f ′( x ) = 1,

1
⋅
=
x
x
1
ln
d

 = x ln x − ∫ x ⋅ dx = x ln x − ∫ 1dx = x ln x − x + C .
∫
′
x
 g ( x ) = ln x, g ′( x ) = ( ln x ) = 1/ x 
CVIČENÍ K PŘÍKLADU 1
1. Pomocí metody per partes (podle potřeby opakovaně použité) vypočítejte následující integrály
∫ x ln x dx
b) ∫ xe dx
a)
n
x
∫ x e dx
d) ∫ x sin x dx
c)
2
x
∫ x sin x dx
f) ∫ x cos x dx
e)
∫ x cos x dx
h) ∫ ( x − 1) e dx
2
PŘÍKLAD 2
Pomocí metody per partes vypočítejte
g)
2
2
∫ sin
2
x
x dx .
Řešení
Zapíšeme-li integrál ze zadání ve tvaru ∫ sin x ⋅ sin x dx , je použití metody per partes nasnadě
 f ′( x ) = sin x, f ( x ) = ∫ sin x dx = − cos x 
⋅
=
sin
x
sin
x
d
x

 = − cos x ⋅ sin x + ∫ cos x ⋅ cos x dx .
∫
′
 g ( x ) = sin x, g ′( x ) = ( sin x ) = cos x 
Bohužel se ale nezdá, že by vedlo k cíli – integrál ze zadání je převeden na zhruba stejně
komplikovaný integrál ∫ cos 2 x dx . Ani opakování per partes při výpočtu nového integrálu
k cíli nevede. Sami si jistě ověříte, že bychom takto dospěli k sice platné, leč nic neříkající
rovnosti ∫ sin 2 x dx = ∫ sin 2 x dx . Že by metoda per partes nebyla pro výpočet našeho integrálu
vhodná? I když to tak na první pohled vypadá, není tomu naštěstí tak. Stačí si uvědomit, že
1
Podobný „trik“ se používá poměrně často, takže je určitě užitečné si jej zapamatovat.
Integrace per partes
nový integrál
∫ cos
- 9.2 x dx můžeme přepsat pomocí jednoduché identity cos 2 x + sin 2 x = 1 do
2
tvaru
∫ cos
2
x dx = ∫ (1 − sin 2 x ) dx = ∫ 1dx − ∫ sin 2 x dx = x − ∫ sin 2 x dx
a pomocí mezivýsledku, ke kterému nás dovedla integrace per partes, psát
∫ sin
2
x dx = − cos x ⋅ sin x + x − ∫ sin 2 x dx .
Ani tato rovnost není sice na první pohled příliš užitečná – integrál ∫ sin 2 x dx se vyskytuje na
její levé i pravé straně. S opačnými znaménky ovšem, takže po jeho převedení např. na stranu
levou získáme 2
2 ∫ sin 2 x dx = − cos x ⋅ sin x + x
a po doplnění nezbytné integrační konstanty i konečný výsledek
∫ sin
2
x dx =
1
2
( x − cos x ⋅ sin x ) + C .
CVIČENÍ K PŘÍKLADU 2
1. Podobně jako jsme v příkladu 2 počítali ∫ sin 2 x dx vypočítejte následující integrály
a) ∫ cos 2 x dx
b)
∫
ln x
dx
x
●c)
∫ f ( x) f ′( x) dx
●d)
∫ f ′( x) f ′′( x) dx
PŘÍKLAD 3
Pomocí metody per partes vypočítejte
●d)
∫f
( n −1)
( x) f ( n ) ( x) dx
∫ arcsin x dx .
Řešení
Kromě jiného je metoda per partes vhodná k výpočtu integrálů inverzních goniometrických
funkcí. Jak – to si ukážeme v tomto příkladu a procvičíme v navazujících cvičeních.
Postup je zpočátku obdobný jako v příkladu 1
 f ′( x ) = 1,
 g ( x ) = arcsin x,
=
⋅
=
arcsin
x
d
x
1
arcsin
x
d
x
∫
∫

f ( x ) = ∫ 1dx = x
(
Integrál ze zadání je tedy převeden na nový integrál
uvědomíme-li si, že platí 3
2
3
)
g ′( x ) = arcsin x ′ =
∫x/

x
 = x arcsin x − ∫
dx.
2
2

−
1
x
1− x 
1
1 − x 2 dx , který snadno určíme,
Další užitečný trik hodný zapamatování. Setkáme se s ním např. v některých z následujících příkladů a cvičení.
Jinou možností je při výpočtu tohoto integrálu použít první větu o substituci.
Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné
- 9.3 -
x
′ 1 1
1 − x2 =
,
( −2 x ) = −
2
2 1− x
1 − x2
neboli
x
∫
1− x
2
dx = − 1 − x 2 .
Můžeme tedy psát konečný výsledek
∫ arcsin x dx = x arcsin x +
1 − x2 + C .
CVIČENÍ K PŘÍKLADU 3
1. Postupem podle příkladu 3 vypočítejte následující integrály
a) ∫ arccos x dx
b) ∫ arctg x dx
c)
∫ arccotg x dx
PŘÍKLAD 4
Pro n ≥ 1 ověřte pomocí metody per partes rekurentní vzorec
n x
n x
n −1 x
∫ x e dx = x e − n ∫ x e dx .
Řešení
Při ověřování tohoto jednoduchého rekurentního vzorce budeme postupovat podle návodu
uvedeného v Breviáři (první tabulka kap. 3.2):
 f ′( x ) = e x ,
∫ x e dx =  g ( x) = x n ,

n x

f ( x ) = ∫ e dx = e
′
n
n −1 
g ′( x ) = x
= nx 
x
x
( )

= x n e x − ∫ nx n −1e x dx = x n e x − n ∫ x n −1e x dx .
PŘÍKLAD 5
Pro n ≥ 2 ověřte pomocí metody per partes rekurentní vzorec
1
x
2n − 3
1
∫ 1 + x 2 n dx = 2 n − 1 1 + x 2 n−1 − 2n − 2 ∫ 1 + x 2 n−1 dx .
( )(
( )
)
( )
Řešení
Ne vždy je výpočet vedoucí k některému z rekurentních vzorců tak jednoduchý, jako ten
z předcházejícího příkladu. Jako ilustraci komplikovanějšího rekurentního vzorce si uveďme
vzorec pro výpočet integrálu ∫ 1/(1 + x 2 ) n dx , mimochodem velmi významného pro integrová-
ní racionálních lomených funkcí.
Podle návodu z Breviáře postupujeme takto:
Integrace per partes
∫
1
(1 + x 2 )
=
=
n
dx = ∫ 1 ⋅
x
(1 + x )
2 n
x
(1 + x )
- 9.4 -
2 n
f ( x ) = ∫ 1dx = x
 f ′( x ) = 1,



′
dx = 
 1 
=
1
1
′
2
⋅
x
=
=
−
g ( x) =
,
g
(
x
)
n
n
n
n
+
1


2


(1+ x2 )
(1+ x2 )
 (1+ x ) 


1
(1 + x )
2 n


1
x
x2


− ∫ x ⋅ −n
⋅ 2 x dx =
+ 2n ∫
dx =
2 n
2 n +1
 (1 + x 2 )n +1

x
x
+
+
1
1
(
)
(
)


+ 2n ∫
x2 + 1 −1
(1 + x )
=
2
dx =
n +1
x
(1 + x )
2 n
x
+ 2n ∫
(1 + x )
2 n
+ 2n ∫
1
(1 + x )
2 n
x2 + 1
(1 + x )
dx − 2n ∫
2 n +1
dx − 2n ∫
1
(1 + x )
2 n +1
1
(1 + x )
2 n +1
dx =
dx .
Označíme-li pro zjednodušení zápisu ∫ 1/(1 + x 2 ) n dx ≡ I n , můžeme tedy psát
In =
x
(1 + x )
2 n
+ 2nI n − 2nI n +1
a řešením této rovnice vzhledem k In+1 získat
I n +1 =
x
2n (1 + x
)
2 n
+
2n − 1
In .
2n
To je již ale hledaný rekurentní vzorec, i když poněkud odlišný od toho, který je uveden
v Breviáři. Přeznačením (substitucí) n + 1 ≡ m (čili n = m − 1 ) však snadno získáme
Im =
x
2n (1 + x
)
2 m −1
+
2(m − 1) − 1
x
2m − 3
I m −1 =
I m −1 ,
+
m
−
1
2(m − 1)
2m − 2
2n (1 + x 2 )
tedy vzorec, který je, po nepodstatném přejmenování indexu m zpět na n, zcela identický se
vzorcem z Breviáře.
CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 4 A 5
1. Ověřte platnost všech rekurentních vzorců uvedených ve druhé tabulce kapitoly 3.2 Breviáře.