Sbırka ´uloh ze z´aklad ˚u matematiky 1

U NIVERZITA H RADEC K R ÁLOV É
FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU
Katedra informatiky a kvantitativnı́ch metod
Sbı́rka úloh ze základů matematiky 1
J I Ř Í H AVIGER , TATIANA G AVALCOV Á , PAVEL P RA Ž ÁK , M AGDA S EDL Á ČKOV Á
Tento studijnı́ text vznikl v rámci projektu operačnı́ho programu
Vzdělávánı́ pro konkurenceschopnost CZ.1.07/2.2.00/15.0016
Inovace výuky matematiky v technickém a ekonomickém vzdělánı́ s cı́lem snı́ženı́ studijnı́ neúspěšnosti
Projekt Univerzity Hradec Králové, řešený na Fakultě informatiky a managementu, je spolufinancován
Evropským sociálnı́m fondem a státnı́m rozpočtem České republiky
G AUDEAMUS
2012
Recenzovali: . . .
Tato publikace neprošla jazykovou úpravou.
Vydalo nakladatelstvı́ Gaudeamus, Univerzita Hradec Králové
Jako svou . . . publikaci.
Hradec Králové, 2012
ISBN 978-80-7435-WXY-Z
Obsah
Úvod
5
Kapitola 0. Vybrané dovednosti středoškolské matematiky
Použité značenı́
7
7
Kapitola 1. Množiny, relace
1.1. Čı́selné množiny
1.2. Množiny, systém podmnožin dané množiny
1.3. Relace, vlastnosti relace
13
14
14
14
Kapitola 2. Zobrazenı́, funkce
2.1. Tabulka definičnı́ch oborů elementárnı́ch funkcı́, které nemajı́ D(f ) = R.
2.2. Definičnı́ obory funkcı́
2.3. Složená funkce
2.4. Funkce definované na konečné množině
2.5. Funkce definované rekurentně
19
20
21
21
22
22
Kapitola 3. Elementárnı́ funkce reálné proměnné
3.1. Vlastnosti funkcı́
3.2. Inverznı́ funkce
27
29
29
Kapitola 4. Limita funkce
4.1. Tabulka typových limit
4.2. Definice limity, aritmetika limit
4.3. Limita složené funkce, typové limity
37
39
39
41
Kapitola 5. Spojitost funkce
5.1. Body nespojitosti funkce
5.2. Existence řešenı́ rovnic
47
48
50
Kapitola 6. Derivace funkce
6.1. Tabulka derivacı́ elementárnı́ch funkcı́
6.2. Výpočty derivacı́ dle definice
6.3. Výpočty derivacı́ součtu, rozdı́lu, součinu a podı́lu funkcı́
6.4. Výpočty derivacı́ dle věty o derivaci složené funkce
6.5. Výpočty derivacı́ dle věty o derivaci inverznı́ funkce
57
59
59
59
60
63
Kapitola 7. Aplikace derivacı́
7.1. Tečna a normála grafu funkce
7.2. Extrémy funkce na uzavřeném intervalu
7.3. Intervaly monotonie funkce, stacionárnı́ body, lokálnı́ extrémy funkce
7.4. l’Hospitalovo pravidlo
67
69
70
70
71
Kapitola 8. Aproximace funkcı́
8.1. Diferenciál funkce
8.2. Taylorův a Maclaurinův aproximačnı́ polynom
8.3. Asymptoty grafu funkce
79
81
82
82
Kapitola 9.
87
Průběh funkce
3
4
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
9.1. Průběh funkce
9.2. Aplikace - exponenciálnı́ model
89
99
Kapitola 10. Primitivnı́ funkce a neurčitý integrál
10.1. Tabulka neurčitých integrálů elementárnı́ch funkcı́
10.2. Určenı́ primitivnı́ funkce a neurčitého integrálu
119
120
120
Kapitola 11. Metody výpočtu neurčitého integrálu
11.1. Lineárnı́ substituce
11.2. Metoda per partes
11.3. Prvnı́ věta o substituci
11.4. Druhá věta o substituci
123
125
125
127
128
Kapitola 12. Neurčitý integrál racionálnı́ch funkcı́
12.1. Neurčitý integrál ryze racionálnı́ch funkcı́
12.2. Dělenı́ polynomu polynomem
12.3. Neurčitý integrál funkcı́ ne ryze racionálnı́ch
12.4. Substituce v integrálu vedoucı́ na integraci funkce racionálnı́
133
136
138
139
139
Úvod
Dostáváte do rukou publikaci, která vznikla v rámci projektu Inovace výuky matematiky v technickém
a ekonomickém vzdělánı́ s cı́lem snı́ženı́ studijnı́ neúspěšnosti. Tato publikace je sbı́rkou řešených i neřešených přı́kladů pro předmět Základy Matematiky 1 na Fakultě informatiky a managementu Univerzity
Hradec Králové. Jejı́ členěnı́ i jejı́ obsah jsou tvořeny na základě předem definovaných požadovaných
výstupů ze studia. Ty jsou v rámci každé kapitoly členěny do třı́ kategoriı́:
(1) znalosti, jejich stručný přehled najdete v úvodu každé kapitoly;
(2) dovednosti, které zı́skáte při studiu řešených přı́kladů a řešenı́ úloh;
(3) schopnosti, které zı́skáte při studiu řešených aplikačnı́ch přı́kladů a řešenı́ aplikačnı́ch úloh.
Z názvu plyne, že těžiště této publikace ležı́ v řešených přı́kladech, neřešených úlohách a úlohách
aplikačnı́ch, teoretické znalosti uvedeny pouze ve stručném přehledu.
Publikace je členěna do třinácti kapitol. Prvnı́ z nich je značená čı́slicı́ 0, úlohy v nı́ jsou označeny 0.x
a obsahuje vybrané úlohy středoškolské matematiky, které by měl každý student před studiem samotného předmětu zvládnout. Ostatnı́ kapitoly korespondujı́ s obsahem předmětu Základy matematiky 1. Protože výstupy ze studia jsou klı́čové pro studium jednotlivých kapitol, jsou na začátku každé
kapitoly popsány.
Velmi děkujeme také recenzentům . . . za pečlivé pročtenı́ textu a za poznámky, které vedly k vylepšenı́
obsahové i formálnı́ stránky textu. Z našich kolegů děkujeme J.Lounkovi, I.Vojkůvkové a J. Sedláčkovi za
pečlivé čtenı́ a cenné připomı́nky k textu, všem dalšı́m kolegům z Katedry informatiky a kvantitativnı́ch
metod a vedenı́ Fakulty informatiky a managementu děkujeme za podporu.
Za kolektiv autorů: J. Haviger, Hradec Králové, 2012.
5
KAPITOLA 0
Vybrané dovednosti středoškolské matematiky
Tato kapitola obsahuje dovednosti, které by student měl znát před studiem předmětu Základy matematiky 1.
Použité značenı́
Značenı́ použı́vané v rámci celé sbı́rky.
A
A
a
[a1 , a2 ]
ha1 , a2 i
(a1 , a2 )
{a1 , a2 , . . . , an }
{x ∈ Z| x2 < 3}
N
R, Q, Z
R+
R∗
f : y = f (x)
bod
množina, zobrazenı́
proměnná, neznámá, výrok
souřadnice bodu, uspořádaná dvojice
uzavřený interval
otevřený interval
množina zadaná výčtem prvků
množina definovaná vlastnostı́
množina všech čı́sel přirozených, N = {1, 2, . . . }
množina všech čı́sel reálných, resp. racionálnı́ch, resp. celých
množina všech čı́sel reálných kladných, R+ = (0, ∞)
množina všech čı́sel reálných rozšı́řená o prvky ±∞
funkce f
Dovednosti - úlohy
Úloha 0.1 Výroky. Rozhodněte, které z následujı́cı́ch vět jsou výroky.
a) Hradec Králové ležı́ na soutoku Labe s Úpou.
b) V Antarktidě lidé nežijı́.
c) At’ žije Petr!
d) Někdo napsal 5. symfonii.
e) Kolik je hodin?
f) Úhlopřı́čky každého čtverce jsou navzájem kolmé.
g) Úhlopřı́čky čtverce nejsou navzájem kolmé.
h) Čı́slo, které je sudé, musı́ být násobkem čı́sla 10.
i) Celá čı́sla jsou bud’ sudá nebo lichá.
j) Existuje alespoň jedno záporné čı́slo, jehož druhá mocnina je menšı́ než 10.
k) Každé celé čı́slo dělitelné 3 lze zapsat ve tvaru 2k + 1 pro nějaké celé čı́slo k.
[ výroky jsou: a, b, d, f, g, h, i, j, k; výroky nejsou: c, e. ]
Úloha 0.2 Výroky. Utvořte negaci výroků.
a) Pardubice jsou hlavnı́m městem ČR.
b) O prázdninách jsem byl u moře a také na horách.
c) Alespoň jednou denně plavu.
d) V zoo je nejméně 25 malých surikat.
e) Každá čı́selná množina je konečná.
f) Každý student má rád bud’ matematiku, nebo angličtinu.
7
8
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
g) Pro žádné celé čı́slo k neplatı́ 3k − 1 > 0.
h) Neexistuje přirozené čı́slo n s vlastnostı́ n2 = 2.
i) Byla tam Olga nebo Eliška.
[ a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
]
Pardubice nejsou hlavnı́m městem ČR.
O prázdninách jsem bud’ nebyl u moře nebo jsem nebyl na horách.
Ani jednou denně neplavu.
V zoo je nejvýše (maximálně) 24 malých surikat.
Alespoň jedna čı́selná množina nenı́ konečná.
Alespoň jeden student má rád bud’ oba předměty, nebo ani jeden.
Existuje alespoň jedno celé čı́slo k, pro které platı́ 3k − 1 > 0
Existuje alespoň jedno přirozené čı́slo n s vlastnostı́ n2 = 2.
Nebyla tam ani Olga ani Eliška.
Úloha 0.3 Výroky. Necht’ p, q jsou následujı́cı́ výroky:
p: Koupil jsem si los; q: Vyhrál jsem milion korun.
Vyslovte následujı́cı́ výroky utvořené z těchto výroků:
a) p ∨ q;
d) p ⇐⇒ q;
g) + p ∨ (p ∧ q).
c) p ∧ q;
f) + p∧ + q;
b) p =⇒ q;
e) + p =⇒+ q;
[ a) Koupil jsem si los nebo jsem vyhrál milion korun;
]
b) Jestliže jsem si koupil los, pak jsem vyhrál milion korun;
c) Koupil jsem si los a vyhrál jsem milion korun;
d) Koupil jsem si los právě tehdy, když jsem vyhrál milion korun;
e) Jestliže jsem si nekoupil los, pak jsem nevyhrál milion korun;
f) + p∧ + q;
g) + p ∨ (p ∧ q).
Úloha 0.4 Výroky. Vyslovte stejným způsobem vytvořené výroky jako v předchozı́ úloze k těmto výrokům:
p: Studoval jsem celý semestr;
q: Úspěšně jsem udělal zkoušku.
[ a) Studoval jsem celý semestr nebo jsem úspěšně udělal zkoušku;
]
b) Jestliže jsem studoval celý semestr, pak jsem úspěšně udělal zkoušku;
c) Studoval jsem celý semestr a úspěšně udělal zkoušku;
d) Studoval jsem celý semestr právě tehdy, když jsem úspěšně udělal zkoušku;
e) Jestliže jsem studoval celý semestr, pak jsem neudělal úspěšně zkoušku;
f) + p∧ + q;
g) + p ∨ (p ∧ q).
Úloha 0.5 Výroky. Necht’ p, q, r jsou výroky, + p je negace výroku p. Pomocı́ tabulek pravdivostnı́ch
hodnot určete, zda jsou následujı́cı́ výrokové formule tautologiemi, které kontradikcemi a které nejsou
ani tautologie, ani kontradikce:
b) (p ∧ q) =⇒ (p ∨ q);
d) (p =⇒ q) ∨ (+ p =⇒ q);
f) p =⇒ (p ∨ q);
h) + p =⇒ (p =⇒ q);
a) p∨ + p;
c) p ∧ (p ∨ q) =⇒ q;
e) + (p ∧ q) ⇐⇒ (+ p∨ + q);
g) (p =⇒ q) =⇒ (+ q =⇒+ p);
i) (+ p ∧ (p ∨ q)) =⇒ q.
[ a,b,c,d,f,g,h,i - tautolgie; ]
e - kontradikce.
Úloha 0.6 Analytická geometrie - rovnice přı́mky. Rovnici přı́mky procházejı́cı́ danými body napište ve směrnicovém nebo v obecném tvaru:
a) A[5, 7], B[−3, −9];
d) P [3, 0], Q[0, 2];
b) A[3, 1], B[−3, 1];
e) M [−2, 0], N [0, 5];
c) A[1, 1], B[3, 7];
f) K[1, 2], L[1, 4].
KAPITOLA 0. VYBRANÉ DOVEDNOSTI STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY
[ a) y = 2x − 3;
d) y = 2 − 2x/;
9
c) y = 3x − 2; ]
f) x − 1 = 0.
b) y = 1;
e) y = 5x/2 + 5;
Úloha 0.7 Analytická geometrie - rovnice přı́mky. V rovině jsou dány body A[3, 1], B[1, 5].
a) Napište rovnici přı́mky p určené body A, B; znázorněte graficky a zjistěte, zda přı́mka protı́ná souřadnicové osy ox , oy .
b) Jestliže ano, vypočı́tejte souřadnice průsečı́ků P , Q přı́mky p se souřadnicovými osami.
c) Zjistěte, zda přı́mka p protı́ná přı́mku q o rovnici 3x + 4y = 3; jestliže ano, vypočı́tejte souřadnice
průsečı́ku S těchto přı́mek.
[ a) y = 7 − 2x;
b) P [7/2, 0], Q[0, 7];
c) S[5, −3]. ]
Úloha 0.8 Analytická geometrie - rovnice přı́mky. Napište rovnici přı́mky procházejı́cı́ bodem P [4, 5]
s vlastnostı́:
a) je rovnoběžná s osou ox ;
b) je rovnoběžná s osou oy ;
c) je rovnoběžná s přı́mkou procházejı́cı́ body Q[0, 7], S[5, −3];
d) je rovnoběžná s přı́mkou o rovnici y + 5x = 0;
e) je rovnoběžná s přı́mkou o rovnici 2y − 4x = 1;
f) je kolmá k přı́mce o rovnici 3x − 6y = 1.
[ a) y = 5;
d) y + 5x = 25;
b) x = 4;
e) y = 2x − 3;
c) y + 2x = 13; ]
f) y + 2x = 13.
Úloha 0.9 Analytická geometrie - rovnice přı́mky. V rovině jsou dány body A[6, −7], B[11, −3], C[2, −2].
a) Napište obecné rovnice přı́mek, ve kterých ležı́ strany trojúhelnı́ka ∆ ABC.
b) Dokažte, že trojúhelnı́k ∆ ABC je pravoúhlý.
c) Napište obecné rovnice střednı́ch přı́ček trojúhelnı́ku ∆ ABC.
d) Napište obecné rovnice výšek va , vb , vc trojúhelnı́ku ∆ ABC.
[ a) rovnice stran: a : x + 9y + 16 = 0, b : 5x + 4y − 2 = 0, c : 4x − 5y − 59 = 0;
]
b) pomocı́ vzorců pro délku úsečky: 82 = a2 = b2 + c2 = 41 + 41;
c) rovnice střednı́ch přı́ček: Sa Sb : 8x − 10y − 77 = 0; Sa Sc : 10x + 8y + 5 = 0; Sb Sc : 2x − 18y + 73 = 0;
d) rovnice výšek: strany b, c jsou kolmé, proto pouze va : y − 9x + 61 = 0.
Úloha 0.10 Analytická geometrie - rovnice přı́mky. V rovině jsou dány body A[−1, 3], B[3, 11], C[5, 15].
a) Dokažte, že tyto body ležı́ na jedné přı́mce (tj. jsou kolineárnı́).
b) Určete rovnici této přı́mky.
[ a) body A, B, A, C je určena stejná přı́mka; ]
b) y = 2x + 5.
Úloha 0.11 Analytická geometrie - rovnice přı́mky. V rovině je daná přı́mka p o rovnici y = 3x + 8. Napište
rovnici přı́mky souměrné s přı́mkou p podle
a) osy ox ;
b) osy oy ;
c) přı́mky y = x;
d) přı́mky y = −x;
e) přı́mky y = 2x.
[ a) y = −3x − 8;
d) y = (x + 8)/3;
b) y = −3x + 8;
e) y = x − 8.
c) y = (x − 8)/3; ]
Úloha 0.12 Analytická geometrie - vzdálenost bodů v rovině. V rovině jsou dány body A[5, −5], B[1, 1].
a) Na ose ox určete bod, který má stejnou vzdálenost od bodů A, B.
b) Určete rovnici osy úsečky AB.
c) Na přı́mce y = 2x určete bod, který se nacházı́ ve stejné vzdálenosti od bodů A, B.
[ a) [6, 0]; b) 2x − 3y = 12; c) [−3, −6]. ]
10
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha 0.13 Vrchol paraboly. Určete, pro které x nabývá funkce maxima a také hodnotu tohoto maxima:
a) f : y = −2x2 + x − 1;
b) f : y = −x2 − 3x + 2;
c) f : y = −2x2 +ax−a2 , a > 0;
2
2 2
d) f : y = a x − b x , b 6= 0 .
[ a) f (1/4) = −7/8;
c) f (a/4) = −7a2 /8;
b) f (−3/2) = 17/4;
]
d) f (a2 /(2b2 )) = a4 /(4b2 ).
Úloha 0.14 Vrchol paraboly. Určete, pro které x nabývá funkce minima a také hodnotu tohoto minima:
a) f : y = x2 + 4x − 2;
b) f : y = 1 − 3x + 6x2 ;
c) f : y = a2 x2 + a4 , a 6= 0.
[ a) f (−2) = 6;
c) f (0) = a4 .
b) f (1/4) = 15/24; ]
Schopnosti - aplikace
Úloha 0.15 Výroky - rozhodovánı́. v kraji se rozhoduje o řešenı́ dopravy, radnı́mi jsou podávány tyto
návrhy:
p) Postavı́ se nový úsek dálnice.
q) Rozšı́řı́ se úseky staršı́ch cest.
r) Postavı́ se rychlostnı́ komunikace po nových trasách.
V diskusi se objevily varianty, s nimiž by bylo možné souhlasit:
(1) Pokud se rozšı́řı́ úseky staršı́ch cest nebo se postavı́ rychlostnı́ komunikace po nových trasách, pak
se nový úsek dálnice nebude stavět.
(2) Bud’ se postavı́ nový úsek dálnice, nebo se rozšı́řı́ úseky staršı́ch cest, ale ne obojı́.
(3) Z variant p, q, r se uskutečnı́ pouze 2.
Je možné najı́t rozhodnutı́ vyhovujı́cı́ všem variantám 1, 2, 3? Jaké rozhodnutı́ to bude?
[ Všechny požadavky splňuje varianta (ne dálnice, ano rozšı́řenı́, ano rychlostnı́ komunikace). ]
Úloha 0.16 Vrchol paraboly - optimalizace zisku. Výrobce je schopen vyrábět lampy s celkovými náklady
120 korun na jeden kus. Lampy se prodávajı́ za cenu 150 korun za kus; při této ceně spotřebitelé nakoupı́
500 lamp za měsı́c. Výrobce chce zvýšit cenu; odhaduje, že za každých 10 korun zvýšenı́ ceny nad 150
korun budou spotřebitelé kupovat měsı́čně o 20 lamp méně. Určete zisk výrobce za měsı́c jako funkci
ceny výrobku a určete cenu, při které zisk výrobce bude maximálnı́.
[ 260 korun. ]
Úloha 0.17 Vrchol paraboly - optimalizace zisku. Hotel ”Blue Star”v Las Vegas, který má přesně 300 pokojů,
se plně obsadı́ každý den při ceně 80 dolarů za pokoj. Jestliže se cena za pokoj zvýšı́, pak se za každý
dolar přidaný k původnı́ ceně obsadı́ vždy o 3 pokoje méně. Každý obsazený pokoj znamená pro hotel
výdaje dohromady 10 dolarů na úklid a služby.
a) Vyjádřete zisk jako funkci hodnoty x, o kterou se cena za pokoj zvýšı́.
b) Vyjádřete zisk jako funkci ceny c za pokoj.
c) Jak má management hotelu stanovit cenu za pokoj, aby jeho zisk byl maximálnı́?
d) Jaký je maximálnı́ zisk?
e) Kolik pokojů zůstane přitom volných?
[ a) P (x) = (300 − 3x) · (80 + x) − (300 − 3x) · 10 = 3(100 − x)(70 + x); ]
b) c = 80 + x =⇒P (c) = 3(180 − x)(c − 10);
c) 95 dolarů za pokoj;
d) max. zisk je 21 675 dolarů;
e) neobsazených zůstane 45 pokojů.
Úloha 0.18 Analytická geometrie - vzdálenost bodů v rovině. Z křižovatky dvou na sebe kolmých cest se
začnou ve stejném okamžiku pohybovat ve směrech na sebe kolmých dvě vozidla V 1, V 2, prvnı́ stálou
rychlostı́ 8 m/s, druhé stálou rychlostı́ 15 m/s.
a) Jaká je jejich vzdálenost v čase 20 vteřin od začátku pohybu?
KAPITOLA 0. VYBRANÉ DOVEDNOSTI STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY
11
b) Kdy budou vozidla vzdálena od sebe přesně 850 m? Znázorněte.
[ a) 340 m; b) v čase 50 vteřin. ]
Úloha 0.19 Průměrný plat. Předpokládejme, že někdo pracoval v určitém podniku přesně 10 let. Z toho
v průběhu prvnı́ch 4 let vydělával přesně 12 500 Kč měsı́čně, v průběhu 5. a 6. roku dostával přesně
14 000 Kč měsı́čně, 7. a 8. rok 15 000 Kč měsı́čně a v devátém a desátém roce jeho plat činil 19 000 Kč
měsı́čně. Určete, jaký byl průměrný plat za obdobı́
a) prvnı́ch 5 let; b) prvnı́ch 8 let; c) za šestý až desátý rok; d) všech 10 let?
[ a) 12 800 Kč;
c) 16 400 Kč;
b) 13 500 Kč; ]
d) 14 600 Kč.
Úloha 0.20 Průměrná cena. Nakoupili jsme dohromady 18 kg broskvı́, z toho 8 kg za 42 Kč za jeden
kilogram a 10 kg za 35 Kč za jeden kilogram.
a) Jaká je průměrná cena, za kterou jsme koupili 1 kg broskvı́?
b) Na jakou hodnotu klesne průměrná cena za 1 kilogram, jestliže dokoupı́me ještě 10 kg broskvı́
po 32,50 Kč?
[ a) 38,10 Kč;
b) asi 36 Kč. ]
Úloha 0.21 Průměrná rychlost. Cyklista jede po rovině 15 minut rychlostı́ 24 km/h a do kopce pak 45 minut rychlostı́ 8 km/h. Vypočı́tejte jeho průměrnou rychlost
a) za celý čas jı́zdy, t.j. 60 minut;
b) za prvnı́ch 20 minut jı́zdy;
c) za prvnı́ch 30 minut jı́zdy.
d) Nalezněte vzorec pro průměrnou rychlost za celkový čas jı́zdy, pokud by cyklista jel t1 hodin rychlostı́ v1 km/h a t2 hodin rychlostı́ v2 km/h.
[ a) 12 km/h;
c) 16 km/h;
b) 20 km/h;
]
v1 t1 + v2 t2
d) v =
km/h.
t1 + t2
Úloha 0.22 Průměrná spotřeba. Automobil zaznamenal během prvnı́ch 400 kilometrů jı́zdy průměrnou
spotřebu 6,5 litrů benzı́nu na 100 km; následujı́cı́ch 500 km jel s průměrnou spotřebou 7,2 litrů na 100
km.
a) Jaká byla jeho průměrná spotřeba na prvnı́ch 500 km jı́zdy?
b) Jaká je průměrná spotřeba automobilu na 900 km jı́zdy?
[ a) 6,64 l/100 km; ]
b) 6,89 l/100 km.
Otestujte se
Úloha 0.23 Určete maximum funkce f : y = 1 − x − x2 .
[5/4.]
Úloha 0.24 V rovině jsou dány body A[−2, 9], B[4, 6], C[1, 0], D[−5, 3].
a) Dokažte, že čtyřúhelnı́k ABCD je čtverec.
b) Určete souřadnice středu S[x0 , y0 ] tohoto čtverce.
[ a) délky stran jsou stejné, strany kolmé; ]
b) S[−1/2, 9/2].
12
Úloha 0.25 Vyjádřete slovy ∀x ∈ R :
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
|x| < 1 =⇒ sin x > 0.
[ Pro všechna reálná čı́sla x platı́: jestliže |x| < 1, pak je sin x > 0. ]
Úloha 0.26 Vyjádřete symbolicky Pro všechna reálná čı́sla x platı́: jestliže x je menšı́ než -1, pak je
ex menšı́ než 1.
[ ∀x ∈ R :
x < −1 =⇒ ex < 1. ]
Úloha 0.27 Utvořte negaci výroků:
a) Pro každé x kladné existuje takové y záporné, že x + y = 5.
b) ∀x ∈ R : |x| < 1 =⇒ sin x > 0.
[ a) Existuje x > 0 takové, že pro všechny y < 0 platı́ x + y 6= 5; ]
b) ∃x ∈ R : (|x| < 1 ∧ sin x ≤ 0).
Úloha 0.28 Rozhodněte, které z následujı́cı́ch tvrzenı́ může být definice.
a) Čtyřúhelnı́k v rovině se nazývá obdélnı́k právě tehdy, když má obě úhlopřı́čky stejně dlouhé.
b) Jestliže je v bodě x0 funkce nespojitá, pak v tomto bodě nemá derivaci.
[ a) může, výrok je ve tvaru ekvivalence. ]
b) nemůže, výrok je ve tvaru implikace.
KAPITOLA 1
Množiny, relace
Výstupy ze studia, Learning Outcomes
Znalosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• definuje kartézský součin;
• zavede pojmy (binárnı́) relace, (binárnı́) relace na množině;
• vyjmenuje základnı́ čı́selné množiny resp. čı́selné obory N, Z, Q a jejich vlastnosti.
Dovednosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• uvede přı́klady množin a vhodně je zapı́še (výčtem jejı́ch prvků, intervalem, charakteristickou
vlastnostı́);
• nalezne prvky průniku, sjednocenı́, rozdı́lu, doplňku dvou množin, zejména intervalů;
• vypı́še (naznačı́ výpis) systému podmnožin dané n-prvkové množiny;
• využı́vá znázorněnı́ množinových operacı́ a vztahů pomocı́ Vennových diagramů;
• zapı́še prvky kartézského součinu a znázornı́ jej v pravoúhlé soustavě souřadnic;
• nalezne (některé) relace přı́slušné kartézskému součinu;
• určı́ vlastnosti konkrétnı́ch relacı́ na určité množině (např. relace uspořádánı́, relace být podmnožinou,
relace být dělitelem).
Schopnosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• použije Vennovy diagramy a množinové operace pro řešenı́ úloh reálné praxe (úlohy rekreačnı́
matematiky, částečně zadané výsledky průzkumu a.j.);
• bezpečně ovládá znázorňovánı́ v kartézské soustavě souřadnic.
13
14
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Znalosti - stručný přehled
• Množina M všech uspořádaných dvojic prvků z množin A a B se nazývá kartézský součin
množin A a B a značı́ se M = A × B,
A × B = {[a, b] | ∀a ∈ A, ∀b ∈ B}.
• Libovolná podmnožina R množiny A × B se nazývá binárnı́ relace mezi množinami A a B, nebo
stručněji jen relace,
R ⊂ A × B.
• Přı́klad: relace ”je menšı́ než”, |{z}
< ⊂ R × R, častěji zapisovaná ve tvaru x < y, kde x, y ∈ R.
R
Jiný přı́klad: relace ”rovná se”, |{z}
= ⊂ M × M, častěji zapisovaná ve tvaru A = B, kde A, B
R
jsou podmnožiny množiny M.
Dovednosti - řešené přı́klady
1.1. Čı́selné množiny
Přı́klad 1.1 Dané čı́selné množiny zapište pomocı́ intervalů nebo vyjmenovánı́m jejich prvků
a) A = {x ∈ R | x2 − 3x < 0};
b) B = {x ∈ N | |1 − 2x| = 7}; c) C = {x ∈ Z | x2 − 8 < 0}.
Řešenı́ Nejprve vyřešı́me přı́slušnou rovnici či nerovnici, poté výsledek porovnáme s množinou, na
které máme daný přı́klad řešit:
a) x2 −3x < 0 =⇒ x(x−3) < 0. Řešı́me na R např. metodou nulových bodů, A = (0, 3);
b) |1 − 2x| = 7 =⇒ x ∈ {−3,
√ 4}.√Protože -3 nepatřı́ do N, výsledkem je B = {4};
c) x2 − 8 < 0 =⇒ x ∈ (−2 2, 2 2). Protože množinu hledáme jako podmnožinu Z, je
řešenı́m množina C = {−2, −1, 0, 1, 2}.
1.2. Množiny, systém podmnožin dané množiny
Přı́klad 1.2 Daná je dvouprvková množina A = {0, 1}. Zapište systém všech jejı́ podmnožin.
Řešenı́ V množinách ani podmnožinách nezáležı́ na pořadı́ prvků, takže máme
a) dvouprvkovou podmnožinu {0, 1},
b) jednoprvkové podmnožiny {0} a {1},
c) prázdnou podmnožinu ∅.
Množina A má čtyři podmnožiny.
1.3. Relace, vlastnosti relace
Přı́klad 1.3 Určete graf relace R = {[x, y] ∈ R × R| x2 − y 2 = 0}.
Řešenı́ Řešı́me rovnici x2 − y 2 = 0.
x2 − y 2 = 0
(x − y)(x + y) = 0
alespoň jeden výraz musı́ být roven nule
x−y =0∨x+y =0
Grafem relace je tedy dvojice přı́mek, y = x a y = −x, viz obrázek 1.
KAPITOLA 1. MNOŽINY, RELACE
15
O BR ÁZEK 1. Graf relace R = {[x, y] ∈ R × R| x2 − y 2 = 0}
Dovednosti - úlohy
Úloha 1.1 Čı́selné množiny. Dané čı́selné množiny zapište pomocı́ intervalů nebo vyjmenovánı́m jejich
prvků:
a) {x ∈ R| 7x + 2 < 0} ;
d) {x ∈ Z| − 1 ≤ 2x + 1 < 5};
g) {x ∈ Q| x2 − 3 = 0} ;
b) {x ∈ Z| x ≥ 8 − 5x} ;
e) {x ∈ R| x2 − 8 = 0} ;
h) {x ∈ Z| (x − 1)2 = 25} ;
c) {x ∈ R| 0 ≤ 2x + 1 < 5};
f) {x ∈ Z+ | x2 − 10 = 0} ;
i) {x ∈ N| x2 + 49 < 0}.
[ a) (−∞, −2/7);
d) {−1, 0, 1};
g) ∅;
b) všechna
√ čı́sla x ≥ 2;
√ celá
e) {−2 2, 2 2};
h) {−4, 6};
c) h−1/2, 2); ]
f) ∅;
i) ∅.
Úloha 1.2 Čı́selné množiny. Dané čı́selné množiny zapište pomocı́ intervalů nebo vyjmenovánı́m jejich
prvků:
a) {x ∈ R| 2x2 + 9 = 0};
d) {x ∈ R| |2x − 4| = 7};
b) {x ∈ R| (x + 5)2 < 9};
e) {x ∈ R| 2 + x = |x|};
c) {x ∈ Z| |x − 2| = 3};
f) {x ∈ R| |x| = |x − 3|}.
[ a) ∅;
d) {−3/2, 11/2};
b) (−8, −2);
e) {−1};
c) {−1, 5}; ]
f) {3/2}.
Úloha 1.3 Čı́selné množiny. Dané čı́selné množiny zapište pomocı́ intervalů nebo vyjmenovánı́m jejich
prvků:
a) {x ∈ N| x2 ≤ 9};
d) {x ∈ R| x2 + x + 4 ≥ 0};
g) {x ∈ R| 2x2 + 5x − 12 < 0};
j) {x ∈ R| x(x2 − 4) ≥ 0};
[ a) {1, 2, 3};
d) R;
g) (−4, 3/2);
j) h−2, 0i ∪ h2, ∞);
b) {x ∈ Z| (x + 1)2 ≤ 4};
c) {x ∈ Z| 4 + x2 > 20};
2
e) {x ∈ Z| 4 − x ≥ 0};
f) {x ∈ Z| 6x − 10 − x2 > 0};
3
h) {x ∈ R| (x − 1) < 0};
i) {x ∈ R| x(x − 2)(x − 4) < 0};
k) {x ∈ R| (x2 −1)(x2 −4) > 0}; l) {x ∈ R| 2x + |1 − 5x| < 4}.
b) {−3, −2, −1, 0, 1};
e) {0, ±1, ±2};
h) (−∞, 1);
k) (−∞, −2) ∪ (−1, 1) ∪ (2, ∞);
c) všechna celá čı́sla x < −4 a všechna celá x > 4; ]
f) ∅;
i) (−∞, 0i ∪ h2, 4i;
l) (−1, 5/7).
16
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha 1.4 Množiny, systém jejich podmnožin. Daná je třı́prvková množina A = {0, 1, 2}. Zapište systém
všech jejı́ch podmnožin a znázorněte ho vhodným způsobem.
[ 8 podmnožin ]
Úloha 1.5 Množiny, operace s množinami. Mějme množinu M všech celých čı́sel od 1 po 30. Označme
jako A jejı́ podmnožinu obsahujı́cı́ právě všechna čı́sla dělitelná 2, B jejı́ podmnožinu obsahujı́cı́ právě
všechna čı́sla dělitelná 3 a C jejı́ podmnožinu obsahujı́cı́ právě všechna čı́sla dělitelná 5. Pomocı́ množinových
operacı́ s podmnožinami A, B, C popište množiny všech čı́sel patřı́cı́ch do množiny M s vlastnostmi:
a) jsou dělitelná 2 a současně 3;
b) jsou dělitelná 2 nebo 3;
c) jsou dělitelná 5 a nejsou dělitelná 3;
d) nejsou dělitelná ani 3 ani 5.
[ a) A ∩ B;
Úloha 1.6 Relace. Určete graf relace:
a) R = {[x, y] ∈ R × R| x2 + y 2 − 1 = 0};
b) A ∪ B;
c) C ⊂ B;
d) M ⊂ (B ∪ C). ]
b) R = {[x, y] ∈ R × R| x3 − xy 2 = 0}.
[ a) kružnice se středem v počátku a poloměrem 1; ]
b) tři přı́mky, y = x, y = −x a x = 0.
Schopnosti - aplikace
Úloha 1.7 Množiny, operace s množinami. Z 50 zaměstnanců firmy 30 ovládá jazyk anglický (A), 20 jazyk německý (N) a 5 zaměstnanců ovládá oba jazyky. Znázorněte vhodným diagramem a určete, kolik
zaměstnanců:
a) ovládá A, ale neovládá N;
c) ovládá pouze jeden cizı́ jazyk;
b) ovládá N, ale neovládá A;
d) neovládá ani jeden z uvedených jazyků.
[ a) 25;
b) 15;
c) 40;
d) 5. ]
Úloha 1.8 Množiny a podmnožiny. Management malé společnosti sestávajı́cı́ z prezidenta P a třı́ vı́ceprezidentů V 1, V 2, V 3 chce pro řešenı́ krizových situacı́ zvolit z těchto 4 lidı́ dvojčlenný podvýbor.
a) Kolika způsoby to lze udělat? Vypište možné podvýbory.
b) Kolika způsoby lze vybrat třı́členný podvýbor? Vypište je.
[ a) 6; b) 4. ]
Otestujte se
Úloha 1.9 Zapište dané čı́selné množiny pomocı́ intervalů nebo vyjmenovánı́m jejich prvků:
a) {x ∈ R| 0 ≤ 2x − 3 < 5};
b) {x ∈ Z| (x − 1)2 ≤ 16};
c) {x ∈ R| |x − 2| > 3}.
KAPITOLA 1. MNOŽINY, RELACE
17
]
[ a) h3/2, 4);
b) {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5};
c) (−∞, −1) ∪ (5, ∞).
Úloha 1.10 Kolik má třı́prvková množina A = {a, b, c} všech podmnožin? Zapište systém všech jejı́ch
podmnožin a znázorněte ho vhodným způsobem (diagramem). Kolik různých neprázdných podmnožin
bude mı́t 4-prvková množina B = {a, b, c d}?
[ 8 podmnožin; 15 podmnožin. ]
Úloha 1.11 Určete graf relace:
a) R = {[x, y] ∈ R × R| x − y < 0};
b) R = {[x, y] ∈ R × R| y(x2 + y 2 − 4) = 0}.
[
a) polorovina určená přı́mkou y=x a bodem [0, 1];
]
b) osa x a kružnice se středem v počátku a poloměrem r = 2.
KAPITOLA 2
Zobrazenı́, funkce
Výstupy ze studia, Learning Outcomes
Znalosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
•
•
•
•
•
•
definuje zobrazenı́, definičnı́ obor a obor hodnot zobrazenı́;
vysvětlı́ skládánı́ zobrazenı́;
zavede pojem funkce jako zobrazenı́ v R;
orientuje se v různých způsobech zadánı́ funkce - předpisem, tabulkou, grafem;
chápe definičnı́ obor funkce jako nedı́lnou součást zadánı́ funkce;
definuje součet, rozdı́l, součin a podı́l dvou funkcı́, absolutnı́ hodnotu funkce, mocninu funkce.
Dovednosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• pracuje s různými způsoby zadánı́ funkce, přecházı́ od jednoho způsobu zadánı́ funkce k jinému
způsobu zadánı́;
• určı́ na základě podmı́nek definičnı́ obor funkce - rozpozná, jaké rovnice, nerovnice, nebo odpovı́dajı́cı́ soustavy rovnic nebo nerovnic, je nutné vyřešit; správně zapı́še řešenı́ těchto soustav;
• rozpozná základnı́ vlastnosti funkcı́ z různých způsobů zadánı́ funkce;
• vyjádřı́ zápisem funkci složenou z daných funkcı́, určı́ jejı́ definičnı́ obor; naopak, je schopen
rozpoznat strukturu složené funkce a rozložit složenou funkci na jednotlivé složky.
Schopnosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• aplikuje zı́skané znalosti a dovednosti při řešenı́ úloh z praxe - ve funkcionálnı́ch modelech.
19
20
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Znalosti - stručný přehled
def
• Relace Z ⊂ A × B se nazývá zobrazenı́ množiny A do množiny B ⇐⇒
∀a ∈ A ∃b ∈ B : [a, b] ∈ Z.
Zobrazenı́ se značı́ Z : A → B a bývá někdy předpisem pro jednotlivé prvky a množiny A,
tedy Z : a 7→ Z(a) nebo Z : b = Z(a). Zobrazenı́ Z : R → R je napřı́klad kvadratická funkce
Z : x 7→ x2 , nebo jinak zapsané Z : y = x2 . Jiný přı́klad je zobrazenı́ Z : R3 → R2 definované
Z : [x, y, z] 7→ [x, y].
• Množina A z předchozı́ definice se nazývá definičnı́ obor zobrazenı́ Z : A → B a označuje se
D(Z).
def
• Množina H(Z) ⊂ B se nazývá obor hodnot zobrazenı́ Z : A → B ⇐⇒
∀b ∈ H(Z) ∃a ∈ D(Z) : [a, b] ∈ Z,
∀b ∈ B \ H(Z), ∀a ∈ D(Z) : [a, b] 6∈ Z.
Slovně vyjádřeno: množina H(Z) je množina obrazů všech prvků množiny A.
def
• Zobrazenı́ f : A → B se nazývá reálná funkce ⇐⇒ B = R, tedy právě tehdy, když
f : A → R.
def
Zobrazenı́ f : A → R se nazývá reálná funkce jedné reálné proměnné ⇐⇒ A ⊂ R. Reálná funkce
reálné proměnné bývá vyjádřena předpisem pro jednotlivé prvky x ∈ D(f ), tedy f : x 7→ f (x)
nebo f : y = f (x).
• V následujı́cı́m textu bude pod pojmem funkce mı́něna vždy reálná funkce jedné reálné proměnné.
• Mějme funkce f : x 7→ f (x) a g : x 7→ g(x). Aritmetické operace součet, rozdı́l, součin a podı́l
těchto dvou funkcı́ definujeme následovně:
f + g : x 7→ f (x) + g(x);
f − g : x 7→ f (x) − g(x);
f · g : x 7→ f (x) · g(x);
f /g : x 7→ f (x)/g(x) ∀x|g(x) 6= 0.
• Mějme funkci g : x 7→ g(x) a funkci f : x 7→ f (x), pro kterou H(g) ⊂ D(f ). Funkce h = g ◦ f se
def
nazývá funkce složená z funkcı́ g a f ⇐⇒
D(h) = {x ∈ R| x ∈ D(f ) ∧ f (x) ∈ D(g)};
g ◦ f : x 7→ g(f (x)).
• Funkce definovaná na konečné n-prvkové množině M se nazývá
def
permutace na množině M ⇐⇒ obor hodnot tvořı́ celá množina M .
2.1. Tabulka definičnı́ch oborů elementárnı́ch funkcı́, které nemajı́ D(f ) = R.
f
f
f
f
f
:
:
:
:
:
1
a 7→ √
D(f ) = R \ {0}
a
a 7→ a
D(f ) = h0, ∞)
a 7→ logb a
D(f ) = (0, ∞)
a 7→ arcsin a D(f ) = h−1, 1i
a 7→ arccos a D(f ) = h−1, 1i
KAPITOLA 2. ZOBRAZENÍ, FUNKCE
21
Dovednosti - řešené přı́klady
2.2. Definičnı́ obory funkcı́
Přı́klad 2.1 Určete definičnı́ obor D(f ) funkce f :
√
2x
a) f : y = 3
;
b) f : y = 3x2 − 1;
x −x
√
c) f : y = 1 − log x;
d) f : y = arcsin(4 − x2 ).
Řešenı́ a) Dle tabulky definičnı́ch oborů musı́ být x3 − x 6= 0. Levou stranu upravı́me na tvar
x(x − 1)(x + 1) a určı́me řešenı́ rovnice x(x − 1)(x + 1) = 0, takže
x ∈ {−1, 0, 1}. Prvky této množiny nepatřı́ do D(f ), proto
D(f ) = R\{−1, 0, 1}
b) dle tabulky definičnı́ch oborů musı́ být 3x2 − 1 ≥ 0, tedy
p
p
D(f ) = (−∞, − 1/3i ∪ h 1/3, ∞).
c) dle tabulky definičnı́ch oborů musı́ být 1 − log x ≥ 0 a současně musı́ být x > 0. Prvnı́ podmı́nka
vede na nerovnici 1 ≥ log x =⇒log 10 ≥ log x =⇒(10 ≥ x ∧ x > 0), jejı́mž řešenı́m je množina (0, 10i.
10 ≥ x ∧ x > 0
=⇒
D(f ) = (0, 10i.
d) dle tabulky definičnı́ch oborů musı́ platit: 4 − x2 ∈ h−1, 1i ⇐⇒ −1 ≤ 4 −√x2 √
≤ 1, což vede na dvě
2
2
nerovnice:√−1 ≤ √
4 − x a současně 4 − x ≤ 1. Jejı́m řešenı́m jsou intervaly h− 5, 5i
a (−∞, − 3i ∪ h 3, ∞). Hledaným definičnı́m oborem je průnik těchto intervalů, tedy
√
√
√ √
D(f ) = h− 5, − 3i ∪ h 3, 5i.
2.3. Složená funkce
Přı́klad 2.2 Určete předpis funkcı́ f ◦ g a g ◦ f , pokud f : y =
√
1 − x2 a g(x) = sin x.
Řešenı́
• máme určit f ◦ g, takže vložı́me předpis funkce g do předpisu funkce f :
p
p
f (g(x)) = 1 − g(x)2 = 1 − sin2 x.
D(f ◦ g): nejprve určı́me D(g) = R a D(f ) = h−1, 1i. Potřebujeme zjistit, pro která x je
g(x) ∈ D(f ). Protože g(x) = sin x ∈ h−1, 1i = D(f ), je zřejmě
D(f ◦ g) = R.
• máme určit g ◦ f , takže vložı́me předpis funkce g do předpisu funkce f :
p
g(f (x)) = sin(f (x)) = sin( 1 − x2 ).
D(g ◦ f ): nejprve určı́me D(g) = R a D(f ) = h−1, 1i. Měli bychom zjistit, pro která x ∈ D(f )
je f (x) ∈ D(g). Protože je D(g) = R, je zřejmě tato podmı́nka splněná pro všechna x ∈ D(f ).
Tedy
D(g ◦ f ) = h−1, 1i.
22
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
2.4. Funkce definované na konečné množině
Přı́klad 2.3 Funkce f je definovaná tabulkou:
x 0
f (x) 2
1
1
2
0
a) Vytvořte složenou funkci f ◦ f a zapište ji tabulkou;
b) určete definičnı́ obor a obor hodnot funkce f .
Řešenı́ a) Protože (f ◦ f )(x) = f (f (x)), platı́
x 0 1 2
f (x) 2 1 0
f (f (x)) 0 1 2
V tomto přı́padě je složená funkce f ◦ f totožná s funkcı́ identickou, id : x 7→ x
b) D(f ) = H(f ) = {0, 1, 2}.
2.5. Funkce definované rekurentně
Přı́klad 2.4 Jestliže f0 : y =
x
x+1
a fn+1 = f0 ◦ fn , kde n ∈ N, určete předpis pro funkci fn .
Řešenı́ Vytvořı́me prvnı́ch několik funkcı́, poté stanovı́me hypotézu a tu indukcı́ dokážeme:
1)
x
,
f0 : y =
x+1
x
x
f1 = f0 ◦ f0 : y = xx+1 =
,
+
1
2x
+1
x+1
f2 = f0 ◦ f1 : y =
takže uvažujeme, že fn : y =
1
=
x
,
3x + 1
x
(n+1)·x+1 .
2) nechtˇ tedy pro nějaké n platı́ vztah fn : y =
fn+1 : y =
x
2x+1
x
2x+1 +
x
(n+2)x+1 :
fn+1 = f0 ◦ fn : y =
x
, zkusme dokázat, že pak nutně musı́ být
(n + 1) · x + 1
x
(n+1)x+1
x
(n+1)x+1 +
1
=
x
(n + 2)x + 1
3) Vı́me, že vztah platı́ pro n = 0 a dále vı́me, že když platı́ pro n, pak platı́ i pro n + 1. Dokázali jsme,
že
x
∀n ∈ N : fn : y =
·
(n + 1) · x + 1
Dovednosti - úlohy
Úloha 2.1 Definičnı́ obor reálné funkce. Určete definičnı́ obor D(f ) funkce f :
1
1
+
;
x x2 − 1
√
d) f : y = 16x − x3 ;
a) f : y =
g) f : y = ln
x+1
;
2−x
b) f : y =
√
3
x − 2;
c) f : y =
√
4x2 + 1;
√
2+x
2 ;
9−
x2
x − 7x + 12
h) f : y = ln
.
x2 − 2x − 3
e) f : y =
[ a) R \ {−1, 0, 1};
d) (−∞, −4i ∪ h0, 4i;
g) (−1, 2);
f) f : y = ln(x2 − 5x + 6);
b) R;
e) h−2, 3) ∪ (3, ∞);
h) (−∞, −1) ∪ (4, ∞).
c) R;
]
f) −∞, 2) ∪ (3, ∞) ;
KAPITOLA 2. ZOBRAZENÍ, FUNKCE
23
Úloha 2.2 Definičnı́ obor reálné funkce. Určete definičnı́ obor D(f ) funkce f :
a) f : y =
q
cos x −
1
2;
d) f : y = log(log2 x − 5 log x);
g) f : y = p
1
;
6 − 2|x − 1| − x2
s
1
b) f : y =
;
log(9 − x)
1
;
e) f : y = p
2+x
5
− x2 · 5 x
c) f : y =
log
1 − 2x
;
x+3
f) f : y = log(|x − 1| + 2x − 4);
h) y = ln(2 cos2 x + 5 cos x + 2).
[ a) h− π3 + k · 2π, π3 + k · 2πi, k ∈ Z;
d) (0, 1)√∪ (105 , ∞); √
g) (1 − 5, 21 (−3 + 41));
b) (−∞, 8) ∪ (8, 9)
e) (−5, 5);
h) (−∞, −1) ∪ (4, ∞).
; c) (−∞, −2/3); ]
f) (5, ∞);
Úloha 2.3 Operace s funkcemi (aritmetika funkcı́), definičnı́ obor funkce. Mějme lineárnı́ funkce f : y = x + 1,
g : y = 2 − x. Utvořte funkce:
a) f + g;
b) f − g;
c) f · g;
d) f 2 ;
e) f /g;
f) g/f .
Určete jejich definičnı́ obory, přı́padně znázorněte grafy těchto funkcı́.
]
b) f − g : y = 2x − 1, D(f − g) = R ;
d) f 2 : y = (x + 1)2 , D(f 2 ) = R;
2−x
f) g/f : y =
, D(g/f ) = R \ {−1}.
x+1
[ a) f + g : y = 3, D(f + g) = R;
c) f · g : y = −x2 − x + 2, D(f · g) = R;
x+1
, D(f /g) = R \ {2};
e) f /g : y =
2−x
Úloha 2.4 Operace s √
funkcemi (aritmetika funkcı́), definičnı́ obor funkce. Mějme dvě funkce
√
f : y = x, g : y = 1 − x. Utvořte funkce:
2+f
a) f + g;
b) f · g;
c)
·
3 + g2
Určete jejich definičnı́ obory, přı́padně znázorněte grafy těchto funkcı́.
√
√
[ a) f + g : y =p x + 1 − x, D(f + g) = (0, 1);
]
b) f · g : y = x(1√− x), D(f · g) = (0, 1);
2+ x
2+f
2+f
, D( 3+g
c) 3+g
2 : y =
2 ) = h0, 4) ∪ (4, ∞).
4−x
Úloha 2.5 Složená funkce, definičnı́ obor funkce. Určete předpisy funkcı́ f ◦ g, g ◦ f, je-li:
a) f : y = 2x, g : y = x2 + 1;
b) f : y = 3x − 2, g : y = |x|;
√
x
1
c) f : y = x + 1, g : y = x − 2;
d) f : y = 2
, g:y= .
x
x +1
[ a) f ◦ g :
b) f ◦ g :
c) f ◦ g :
d) f ◦ g :
y = 2x2 + 2, D(f ◦ g) = R;
y =√
3|x| − 2, D(f ◦ g) = R;
y = x − 1, D(f ◦ g) = (1, ∞);
x
y = x+1
, D(f ◦ g) = (−∞, −1) ∪ (−1, ∞);
Úloha 2.6 Složená funkce. Je-li f : y =
a) f ◦ f ;
1
1−x ,
g◦f
g◦f
g◦f
g◦f
:
:
:
:
y
y
y
y
= 4x2 + 1, D(g ◦ f ) = R;
]
=√
|3x − 2|, D(g ◦ f ) = R;
= x + 1 − 2, D(g ◦ f ) = (−1, ∞);
= x + x1 , D(g ◦ f ) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞).
určete předpis a definičnı́ obor funkce:
b) f ◦ f ◦ f .
x−1
, D(f ◦ f ) = R \ {0, 1};
]
x
b) (f ◦ f ◦ f ) : y = x, D(f ◦ f ◦ f ) = R \ {0, 1}.
[ a) (f ◦ f ) : y =
Úloha 2.7 Složená funkce. Je-li f : y =
funkce f ◦ g ◦ h.
√
1 − x, g : y = 1 − x2 a h : 1 +
√
x. Určete předpis a definičnı́ obor
[y =1+
Úloha 2.8 Složená funkce. Vyjádřete funkci F ve tvaru f ◦ g, kde
√
a) F : y = (x2 + 1)3 ;
b) F : y = sin( x);
√
c) F : y = cos x;
d) F : y = ln2 x + 4 ln x + 100.
√
x, D(f ) = h0, 1i ]
24
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
[ a) f :
b) f :
c) f :
d) f :
y = x3
y = sin x
√
y= x
y = x2 + x + 100
g
g
g
g
:y
:y
:y
:y
= x2 + 1; ]
√
= x;
= cos x;
= ln x.
Úloha 2.9 Složená funkce. Nalezněte funkce f, g a h tak, že F =
f ◦ g ◦ h, kde:
1
1
p
a) F : y = q
;
b)
F
:
y
=
·
√
x2 − x2 + 7 1+ x
√
√
[ a) f : y = 1/x, g : y = 1 + x, h : y = √x;
]
2
b) f : y = |x|, g : y = 1/x, h : y = x − x2 + 7.
Úloha 2.10 Složená funkce. Vytvořte složené funkce pro h(x) = ln(x − 4) :
a) h(5x);
b) h(−x);
c) h(1 − x);
d) h(x + 4);
e) h(1/x);
f) h(x2 );
g) h(h(x)).
Vypočı́tejte hodnoty (pokud existujı́):
h) h(−1);
i) h(0);
j) h(5).
[ a) h(5x) = ln(5x − 4);
d) h(x + 4) = ln x;
g) h(h(x)) = ln(ln(x − 4) − 4);
h) h(−1) nedef.;
b) h(−x) = ln(−x − 4);
e) h(1/x) = ln(1/x − 4);
c) h(1 − x) = ln(−3 − x); ]
f) h(x2 ) = ln(x2 − 4);
i) h(0) nedef.;
j) h(5) = 0.
Úloha 2.11 Složená funkce, definičnı́ obor. Jsou dány funkce f , g. Vytvořte složené funkce f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f ,
g ◦ g; určete definičnı́ obory těchto složených funkcı́:
√
2
a) f : y = x + 5, g : y = x√
− 3;
b) f : y = x − 1, g : y = 3 − x;
c) f : y = 1 − x2 , g : y = x;
d) f : y = ln x, g : y = x2 − 4;
e) f : y = 1 − ln x, g : y = ln(1 − x).
[ a) f ◦ g : y = x2 + 2, def. obor je R;
g ◦ f : y = (x + 5)2 − 3, R;
f ◦ f : y = x + 10, R;
g ◦ g : y = (x2 − 3)2 − 3, R;
c) f ◦ g : y = 1
√− x, R;
g ◦ f : y = 1 − x2 , h−1, 1i;
f ◦ f : y = 2x2 − x4 , R;
√
g ◦ g : y = 4 x, h0, ∞);
e) f ◦ g : y = 1 − ln(ln(1 − x));
(−∞, 0);
g ◦ f : y = ln(ln x), (1, ∞);
f ◦ f : y = 1 − ln(1 − ln x), (0, e);
g ◦ g : y = ln(1 − ln(1 − x)), (1 − e, 1).
b) f ◦ g :
g◦f :
f ◦f :
g◦g :
d) f ◦ g :
g◦f :
f ◦f :
g◦g :
√
y = 2−
√x, (−∞, 2i;
y = 3p− x − 1, h1, ∞);
√
y=
x − 1 − 1, h2, ∞);
y = x, R;
y = ln(x2 − 4), (−∞, −2) ∪ (2, ∞);
y = ln2 x − 4, (0, ∞);
y = ln(ln x), (1, ∞);
y = x4 − 8x2 + 12, R;
]
Úloha 2.12 Složené funkce. Necht’ f : y = x − 7, g : y = |x − 1|. Vytvořte složené funkce f ◦ g, g ◦ f a
znázorněte grafy těchto složených funkcı́.
[ f ◦ g : y = |x − 1| − 7; g ◦ f : y = |x − 8|. ]
Úloha 2.13 Funkce definovaná na konečné množině. Dané jsou dvě konečné množiny A, B, přičemž
A = {a1 , a2 , a3 }, B = {0, 1}. Určete, kolik je všech různých funkcı́ f množiny A do množiny B.
[ 8. ]
Úloha 2.14 Funkce definovaná na konečné množině. Dané jsou dvě konečné množiny A, B,
A = {a1 , a2 , a3 , ..., an }, B = {0, 1}. Určete, kolik je všech různých funkcı́ f množiny A do množiny B;
jakým způsobem je lze zapsat?
KAPITOLA 2. ZOBRAZENÍ, FUNKCE
25
[ množina přiřazených 1 ∈ B v tabulce hodnot u každé ]
z funkcı́ jednoznačně koresponduje s výběrem podmnožiny
prvků množiny A zobrazených právě na 1, proto je počet těchto
funkcı́ 2n ; kromě tabulek lze výčet všech takových funkcı́ provést
vypsánı́m všech možných různých řetězců - slov délky právě
n sestávajı́cı́ch z 0 a 1.
Úloha 2.15 Funkce definovaná na konečné množině - složená funkce. Funkce f je definovaná tabulkou:
x −1 0 1 2
b)
x 0 1 2
f (x)
2 1 0 1
f (x) 1 2 3
Vytvořte složené funkce f ◦ f , f ◦ f ◦ f a zapište je tabulkou; určete jejich definičnı́ obor a obor hodnot.
a)
[ a)
x
f (f (x))
f (f (f (x)))
−1
1
0
b)
x
f (f (x))
f (f (f (x)))
0
2
3
0
0
1
1
3
-
1
1
0
]
2
0
1
2
-
Úloha 2.16 Funkce definovaná na konečné množině - složené funkce. Funkce f , g jsou dány následujı́cı́mi
tabulkami:
x
x
1
0 2 −2 3
1 −1 0 2 −2 3
f (x) 0 −1 2
5 3
g(x) 0
3 1 1 −2 2
a) Napište tabulku pro složené funkce f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g a určete definičnı́ obory a obory hodnot
těchto funkcı́.
b)) Jsou funkce f nebo g permutace? Pokud ano, jedná se o cyklické permutace?
[ a)
b)
x
f (g(x))
1
−1
x
g(f (x))
1
1
x
f (f (x))
1
−1
−1
3
0
0
2
1
3
2
0
3
2
2
2
0
−2
5
]
3
2
3
3
x 1 −1 0 2 −2 3
g(g(x)) 1
2 0 0 −2 1
ani funkce f ani funkce g nejsou permutace.
Úloha 2.17 Funkce definovaná na konečné množině - složené funkce. Funkce c je definovaná na třı́prvkové
množině {0, 1, 2}:
x
0 1 2
c(x) 1 2 0
a) Vytvořte složené funkce c ◦ c, c ◦ c ◦ c a zapište je pomocı́ tabulky.
b) Jedná se o permutaci? Pokud ano, jedná se o cyklickou permutaci?
[ a)
b)
x
c(x)
c(c(x))
c(c(c(x)))
0
1
2
0
1
2
0
1
]
2
0
1
2
jedná se o cyklickou permutaci.
Úloha 2.18 Funkce definované rekurentně. Jestliže f0 : y = x2 a fn+1 = f0 ◦ fn , kde n ∈ N, určete předpis
pro funkci fn .
n+1
[fn : y = x(2
).
]
26
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Otestujte se
Úloha 2.19 Určete
definičnı́ obory následujı́cı́ch funkcı́:
q
1+x
b) f : y = log (x12 −1) ;
a) f : y = 1−x ;
c) f : y =
1
3−log3 (x−3) .
[ a) D(f ) = h−1, 1); √
]
√
√
√
b) D(f ) = (−∞, − 2) ∪ (− 2, −1) ∪ (1, 2) ∪ ( 2, ∞);
c) D(f ) = (3, 30) ∪ (30, ∞).
Úloha 2.20 Řešte úlohu 2.10 pro funkci h(x) = 1 + 5/x.
[ a) h(5x) = 1 + 1/x;
d) h(x + 4) = x+9
;
x+4
g) h(h(x)) = 6x+5
;
x+5
j) h(5) = 2.
b) h(−x) = 1 − 5/x;
e) h(1/x) = 1 + 5x;
h) h(−1) = −4;
; ]
c) h(1 − x) = 6−x
1−x
f) h(x2 ) = 1 + 5/x2 ;
i) h(0) nedef.;
Úloha 2.21 Funkce f je definovaná tabulkou:
x 1
f (x) 2
2
3
3
4
4
1
Vytvořte složené funkce f ◦ f , f ◦ f ◦ f , zapište je tabulkou; určete jejich definičnı́ obor a obor hodnot.
[
Úloha 2.22 Jestliže f0 : y =
1
2−x
x
f (x)
f (f (x))
f (f (f (x)))
1
2
3
4
2
3
4
1
3
4
1
2
4 ]
1
2
3
a fn+1 = f0 ◦ fn , kde n ∈ N, určete předpis pro funkci fn .
[ fn : y =
(n + 1) − nx
]
(n + 2) − (n + 1)x
KAPITOLA 3
Elementárnı́ funkce reálné proměnné
Výstupy ze studia, Learning Outcomes
Znalosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• definuje základnı́ zkoumané vlastnosti reálných funkcı́;
• vyjmenuje a nakreslı́ graf elementárnı́ch funkcı́, konkrétně funkcı́;
– konstantnı́ funkce, identická funkce, lineárnı́ funkce;
– mocninná funkce s exponentem přirozeným, celočı́selným a racionálnı́m;
– polynomická funkce a některé vlastnosti polynomů;
– racionálnı́ funkce;
– exponenciálnı́ a logaritmické funkce;
– goniometrické a cyklometrické funkce;
– speciálnı́ funkce: funkce absolutnı́ hodnota, signum, celá část;
• vyjmenuje základnı́ vlastnosti jednotlivých elementárnı́ch funkcı́.
Dovednosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
•
•
•
•
•
•
rozhodne o tom, zda je zadaná funkce rostoucı́, klesajı́cı́;
rozhodne o tom, zda je zadaná funkce sudá, lichá;
rozhodne o tom, zda je zadaná funkce prostá;
nalezne předpis inverznı́ funkce pro funkci prostou;
objasnı́ vztah inverze mezi funkcı́ exponenciálnı́ a logaritmickou;
objasnı́ vztah inverze mezi funkcı́ goniometrickou a cyklometrickou.
Schopnosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• použı́vá zı́skané znalosti a dovednosti v dalšı́ch oblastech kalkulu, např. u limity a derivace
funkce, při stanovenı́ průběhu funkce, při určovánı́ primitivnı́ funkce k dané funkci;
• aplikuje zı́skané znalosti a dovednosti při řešenı́ úloh z praxe, např. ve funkcionálnı́ch modelech (modelovánı́ lineárnı́mi, kvadratickými, exponenciálnı́mi funkcemi), v analýze zlomového
bodu;
• využı́vá funkcionálnı́ modely v dalšı́ch oblastech kalkulu, např. v optimalizačnı́ch úlohách,
v aplikacı́ch určitého integrálu, v diferenciálnı́ch rovnicı́ch.
27
28
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Znalosti - stručný přehled
def
• Funkce f se nazývá rostoucı́ na množině M ⊂ D(f ) ⇐⇒
∀a, b ∈ M : a < b =⇒ f (a) < f (b).
Pokud je M = D(f ), budeme použı́vat termı́n funkce rostoucı́.
def
• Funkce f se nazývá klesajı́cı́ na množině M ⊂ D(f ) ⇐⇒
∀a, b ∈ M : a < b =⇒ f (a) > f (b).
Pokud je M = D(f ), budeme použı́vat termı́n funkce klesajı́cı́.
def
• Funkce f se nazývá sudá na množině M ⊂ D(f ) ⇐⇒
∀a ∈ D(f ) : − a ∈ D(f ),
∀a ∈ D(f ) : f (−a) = f (a).
Pokud je M = D(f ), budeme použı́vat termı́n funkce sudá.
def
• Funkce f se nazývá lichá na množině M ⊂ D(f ) ⇐⇒
∀a ∈ D(f ) : − a ∈ D(f ),
∀a ∈ D(f ) : f (−a) = −f (a).
Pokud je M = D(f ), budeme použı́vat termı́n funkce lichá.
def
• Funkce f se nazývá prostá na množině M ⊂ D(f ) ⇐⇒
∀b ∈ R existuje nejvýše jedno a ∈ D(f ) : f (a) = b.
Pokud je M = D(f ), budeme použı́vat termı́n funkce prostá.
• Pokud je funkce f rostoucı́, resp. klesajı́cı́ na M ⊂ D(f ), pak je také prostá na M ⊂ D(f ).
def
• Mějme funkci f , která je prostá. Funkce f −1 se nazývá inverznı́ k funkci f ⇐⇒
∀x ∈ D(f ) :
f −1 (y) = x
⇐⇒
f (x) = y.
• Na přı́slušných definičnı́ch oborech platı́: f ◦ f −1 = id, f −1 ◦ f = id, kde id : y = x je identická
funkce na přı́slušném definičnı́m oboru.
def
• Funkce se nazývá signum a značı́ se f : y = sign(x) ⇐⇒

x > 0,
 1,
−1, x < 0,
sign(x) =

0,
x = 0.
def
• Funkce se nazývá celá část a značı́ se f : y = [x] ⇐⇒ současně platı́:
[x] ∈ Z,
[x] ≤ x < [x] + 1.
• Slovně vyjádřeno, pokud je x celé čı́slo, pak [x] = x, pokud x nenı́ celé čı́slo, pak [x] je největšı́
menšı́ celé čı́slo.
KAPITOLA 3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE REÁLNÉ PROMĚNNÉ
29
Dovednosti - řešené přı́klady
3.1. Vlastnosti funkcı́
Přı́klad 3.1 Rozhodněte a zdůvodněte, zda je funkce f ◦ g rostoucı́, klesajı́cı́ na D(f ◦ g), nebo žádnou
tuto vlastnost nemá, je-li f rostoucı́ na D(f ) a g klesajı́cı́ na D(g).
Řešenı́ (V řešenı́ dávejte pozor na znaménka!) f je rostoucı́ na D(f ), tedy dle definice
∀a, b ∈ D(f ) : a < b =⇒ f (a) < f (b).
g je klesajı́cı́ na D(f ),tedy dle definice
∀a, b ∈ D(g) : a < b =⇒ g(a) > g(b).
Pro složenou funkci platı́:
∀a, b ∈ D(f ◦ g) : a < b
g kles.
=⇒
g(a) > g(b)
f rost.
=⇒
f (g(a)) > f (g(b))
Složená funkce f ◦ g je tedy klesajı́cı́ na D(f ◦ g), protože
∀a, b ∈ D(f ◦ g) : a < b =⇒ f (g(a)) > f (g(b)).
3.2. Inverznı́ funkce
Přı́klad 3.2 Určete, zda existuje funkce inverznı́ k funkci f : y =
x+1
na D(f ), a pokud ano, určete
x−2
předpis inverznı́ funkce.
x+1
je prostá na D(f ) =⇒existuje funkce inverznı́ f −1 . Pro funkci f : y = f (x)
x−2
hledáme funkci inverznı́, tedy f −1 : x = f −1 (y). Z předpisu funkce f tedy vyjádřı́me x:
x+1
,
y=
x−2
y · (x − 2) =x + 1,
Řešenı́ Funkce f : y =
yx − x =2y + 1,
x(y − 1) =2y + 1,
x=
2y + 1
.
y−1
Inverznı́ funkcı́ k dané funkci f je tedy funkce f −1 : y =
2x + 1
, jejı́ definičnı́ obor je D(f −1 ) = R \ {1}.
x−1
Přı́klad 3.3 Určete zda existuje funkce inverznı́ k funkci f : y = e1−3x na D(f ) a pokud ano, určete jejı́
předpis.
Řešenı́ Funkce ex je prostá, 1 − 3x je také prostá, tedy i složená funkce f : y = e1−3x je také prostá
=⇒existuje funkce inverznı́ f −1 .
Určeme předpis inverznı́ funkce k funkci f :
y =e1−3x ,
ln(y) =1 − 3x,
1
x = (1 − ln y).
3
30
Inverznı́ funkcı́ je tedy funkce f −1 : y =
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
1
(1 − ln(x)), jejı́ definičnı́ obor je D(f −1 ) = (0, ∞) .
3
Přı́klad 3.4 Určete, zda existuje funkce inverznı́ k funkci f : y = sin 2x na D(f ), přı́padně na jeho
vhodné podmnožině, a pokud ano, určete jejı́ předpis.
Řešenı́ Funkce f : y = sin x nenı́ prostá (na D(f )), proto se omezı́me na množinu, na nı́ž je f prostá,
tedy např. h−π/2, π/2i. Funkce g : y = 2x je prostá. Složená funkce f ◦ g : y = sin 2x je prostá pro
2x ∈ h−π/2, π/2i, tedy x ∈ h−π/4, π/4i. Na intervalu h−π/4, π/4i tedy existuje funkce inverznı́ (f ◦g)−1 :
y = sin 2x
1
x = arcsin y
2
Inverznı́ funkcı́ je tedy funkce (f ◦ g)−1 : y =
1
2
arcsin x, jejı́ definičnı́ obor je D(f −1 ) = h−1, 1i.
Dovednosti - úlohy
Úloha 3.1 Vlastnosti funkcı́. Rozhodněte, zda je funkce f na D(f ) sudá, lichá nebo žádnou z uvedených
vlastnostı́ nemá:
√
√
1
2+x
a) f : y = (ex + e−x );
b) f : y = log
;
c) f : y = 1 + x2 − 1 − x2 ;
2
2−x
p
|x|
|x − 1|
e) f : y =
d) f : y = 3 (1 − 2x)2 ;
;
f) f : y =
;
x
x−1
sin x
g) f : y = x ln |x|;
h) f : y =
.
x
[ a) sudá;
c) sudá;
e) lichá;
g) lichá;
b) lichá;
]
d) ani sudá ani lichá;
f) ani sudá ani lichá;
h) sudá.
Úloha 3.2 Vlastnosti funkcı́. Rozhodněte a zdůvodněte, zda je funkce f ◦ g rostoucı́, klesajı́cı́ na D(f ◦ g),
nebo žádnou takovou vlastnost nemá, je-li:
a) f je rostoucı́ na D(f ), g je rostoucı́ na D(g);
b) f je rostoucı́ na D(f ), g je klesajı́cı́ na D(g);
c) f je klesajı́cı́ na D(f ), g je klesajı́cı́ na D(g);
d) f je klesajı́cı́ na D(f ), g je rostoucı́ na D(g).
[ a) rostoucı́;
c) rostoucı́;
b) klesajı́cı́; ]
d) klesajı́cı́.
Úloha 3.3 Vlastnosti funkcı́. Rozhodněte a zdůvodněte, zda je funkce f ◦ g sudá, lichá na D(f ◦ g) nebo
žádnou tuto vlastnost nemá, je-li:
a) f je sudá na D(f ), g je sudá na D(g);
b) f je sudá na D(f ), g je lichá na D(g);
c) f je lichá na D(f ), g je lichá na D(g);
d) f je lichá na D(f ), g je sudá na D(g);
[ a) sudá;
c) sudá;
b) sudá; ]
d) lichá.
Úloha 3.4 Vlastnosti funkcı́. Rozhodněte a zdůvodněte, zda je funkce f · g sudá, lichá na D(f · g) nebo
žádnou takovou vlastnost nemá, je-li:
a) f je sudá na D(f ), g je sudá na D(g);
b) f je sudá na D(f ), g je lichá na D(g);
c) f je lichá na D(f ), g je lichá na D(g);
d) f je lichá na D(f ), g je sudá na D(g).
KAPITOLA 3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE REÁLNÉ PROMĚNNÉ
31
[ a) sudá;
c) sudá;
b) lichá; ]
d) lichá.
Úloha 3.5 Inverznı́ funkce. Zjistěte, zda funkce f je prostá na svém definičnı́m oboru; pokud ano, určete
k nı́ inverznı́ funkci f −1 , najděte jejı́ definičnı́ obor D(f −1 ) a ověřte, zda složené funkce f ◦ f −1 , f −1 ◦ f
jsou identická přiřazenı́ (načrtněte grafy dvojice funkcı́ f , f −1 ve stejném souřadnicovém systému):
1+x
;
c) f : y = |1 − 2x|;
a) f : y = 2 − 3x;
b) f : y =
x−2
√
√
1
x+1
d) f : y = 1 + x − 4;
e) f : y = 2
;
f) f : y = √
·
x−1
4x − 9
[ a)
b)
c)
d)
e)
f)
f −1 : y = (2 − x)/3, D(f −1 ) = R;
]
1 + 2x
−1
−1
f
:y=
, D(f ) = R \ {1};
x−1
−1
f
neexistuje, f nenı́ prostá (např. f (0) = f (1) = 1);
inverznı́ funkce k f existuje např. na intervalu h1/2, ∞);
f −1 : y = 4 + (x − 1)2 , D(f −1 ) = H(f ) = h1, ∞);
f −1 neexistuje, f nenı́ prostá (např. f (1) = f (−1) = −1/5);
inverznı́ funkce k f existuje např. na intervalu h0, ∞);
2
x+1
f −1 : y = x−1
, D(f −1 ) = H(f ) = (∞, 1) ∪ (1, ∞).
Úloha 3.6 Inverznı́ funkce. Jsou některé z následujı́cı́ch funkcı́ vzájemně inverznı́? Ověřte, zda jejich
složenı́m vzniká identická funkce id:
f : y = 1 − 4x+2 ;
g : y = 2 − log(x + 1);
h : y = −2 + log4 (1 − x); k : y = 10x−2 − 2.
[ f a h. ]
Úloha 3.7 Obor hodnot reálné funkce. Určete, zda pro funkci:
x2
2x
a) f : y =
b) g : y =
je čı́slo 10 ∈ H(g).
2 je čı́slo 9 ∈ H(f );
1−x
5 − x2
[ a)ano; b) ano. ]
32
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha 3.8 Obor hodnot funkce. Určete obor hodnot H(f ) funkce f , kde a, b ∈ R, b > 0 jsou parametry
v předpisu funkce, přı́padně zakreslete graf funkce:
√
a) f : y = x + 1/x;
b) f : y = √
ax + b/x;
c) f : y = √
x − x + 1;
√
e) f : y = 1 − x2 ;
f) f : y = x2 − 4;
d) f : y = x + 1 − x;
g) f : y = 1 − ln x;
h) f : y = √
2 − sin x; √
i) f : y = | sin√
x|;
√
j) f : y = 1 + 2 · | sin x|;
k) f : y = x + 1 + 1 − x;
l) f : y = 2 − x + 4 − 4 − x.
[ a) (−∞, −2i ∪ h2, ∞);
d) h3/4, ∞);
g) (−∞, ∞);
j) h1, 3i;
b) (−∞, −2abi ∪ h2ab, ∞);
e) h0, 1i;
h) h1,
√ 3i;
k) h 2, 2i;
c) (−∞, −5/4i; ]
f) h0, ∞);
i) h1, 1i; √
l) h−2, 2 − 2i.
Úloha 3.9 Inverznı́ funkce. Určete definičnı́ obor funkce, předpis inverznı́ funkce k dané funkci a definičnı́
obor inverznı́ funkce:
√
2x
;
a) f : y = 3 x + 1;
b) f : y = 1 + ln(x + 2);
c) f : y =
1 + 2x
x
−x
10 − 10
x−2
d) f : y = x
.
e) f : y = 1 + arccos 2x ;
f) f : y = arcsin
−x + 1;
2x
10 + 10
[ a) f : y = x3 − 1;
y
d) f : y = 12 log( 2−y
);
b) f : y = ex−1 − 2;
e) f : y = log2 (cos(1 − x));
y
c) f : y = log2 ( 1−y
); ]
−2
f) f : y = −1+2
.
sin x
Schopnosti - aplikace
Úloha 3.10 Teplotnı́ stupnice. Mezi Fahrenheitovou (F) a Celsiovou (C) stupnicı́ na měřenı́ teploty je
lineárnı́ vztah, tudı́ž teplotu ve stupnı́ch F lze vypočı́tat z teploty určené ve stupnı́ch C pomocı́ lineárnı́
rovnice.
a) Najděte tento vztah, jestliže vı́te, že teplotě 0 st. Celsia odpovı́dá 32 st. Fahrenheita a teplotě 100 st.
Celsia odpovı́dá 212 st. Fahrenheita.
b) Kolika stupnı́m F odpovı́dá 30 st. Celsia?
c) Naměřeno bylo 100 st. Fahrenheita. Kolik je to ve stupnı́ch Celsia?
d) Najděte vztah pro výpočet teploty ve stupnı́ch Celsia, jestliže znáte teplotu ve stupnı́ch Fahrenheita.
e) Na pozorovacı́ stanici v Antarktidě teplota v průběhu 24 hodin kolı́sala mezi −49 st. a 14 st. Fahrenheita. Určete toto rozmezı́ kolı́sánı́ ve stupnı́ch Celsia.
[ a) y = 1, 8x + 32;
c) 340/9 st. C;
e) mezi −45 a −10 st. C.
b) 86 st. F;
]
d) x = 5/9y − 160/9;
Úloha 3.11 Funkcionálnı́ model. Tlak p pod vodou podle zkušenostı́ potápěčů závisı́ na hloubce v metrech, ve které je potápěč, lineárně podle závislosti p = kd + 1, kde k je nějaká konstanta. Na hladině
(d = 0 metrů) je tlak 1 atmosféra. Tlak v hloubce 100 metrů je přibližně 10,94 atmosfér. Určete tlak
v hloubce 50 metrů pod hladinou.
[ p = 0, 0994d + 1 atm.; pro d = 50 m je p = 5, 97 atm. ]
Úloha 3.12 Funkcionálnı́ model - lineárnı́ závislost. Vodnı́ nádrž ”Labutı́ jezero”se v řı́jnu a listopadu vypouštı́. V průběhu celého řı́jna při rovnoměrném ubývánı́ vody bylo 11. řı́jna v nádrži 200 milionů litrů
vody, 20. řı́jna obsahovala už jenom 164 milionů litrů vody. Vypočı́tejte:
a) kolik vody bylo v nádrži 7. řı́jna;
a) kolik vody bylo v nádrži 17. řı́jna.
V průběhu celého listopadu voda ubývala rovnoměrně mı́rou 2 miliony litrů za den. Znázorněte množstvı́
vody v nádrži od začátku řı́jna a vypočı́tejte:
c) kolik vody bylo v nádrži 17. listopadu;
d) kolik vody bylo v nádrži 30. listopadu.
KAPITOLA 3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE REÁLNÉ PROMĚNNÉ
33
[ a) 216 mil. litrů; ]
b) 176 mil. litrů;
c) 86 mil. l;
d) 60 mil. l.
Úloha 3.13 Vzdálenost bodů v rovině. Světelný bod se pohybuje v 1. kvadrantu po přı́mce 4x + 5y = 20.
Ve kterém bodě Q se bude nacházet nejblı́že k pozorovateli v bodě [0, 0]? Jaká je ta nejmenšı́ vzdálenost?
[ Q[80/41, 100/41], nejm. vzdálenost je
20 √
41. ]
41
Úloha 3.14 Vzdálenost bodů v rovině. Trajektoriı́, po které se pohybuje jiný světelný bod, je část přı́mky
x + 2y = 10 v 1. kvadrantu.
a) Ve kterých bodech trajektorie se světelný bod nacházı́ ve vzdálenosti 5 jednotek délky od pozorovatele v bodě [0, 0]?
b) Ve kterém bodě Q se bude nacházet nejblı́že k pozorovateli v bodě [1, 2]?
[ a) v bodech [0, 5] a [4, 3]; b) [65/41, 112/41]. ]
Úloha 3.15 Vzdálenost bodů v rovině - navigačnı́ úloha. Bod P je umı́stěný na ose ox ve vzdálenosti 52 cm
od začátku souřadnicového systému, bod Q se nacházı́ na ose oy v téže vzdálenosti 52 cm od začátku
souřadnicového systému [0, 0]. Bod P se bude pohybovat stálou rychlostı́ 4 cm/s směrem k začátku a
bod Q se ve stejném okamžiku pohybuje stálou rychlostı́ 8 cm/s také směrem k začátku.
a) Vypočı́tejte vzdálenosti bodů P , Q v čase t = 0, po uplynutı́ 1 vteřiny, resp. 13 vteřin a znázorněte
graficky.
b) Kdy při tomto pohybu bude vzdálenost bodů P , Q rovna přesně 26 cm? Jaká je tehdy poloha bodů
P , Q?
c) Dostanou se někdy body P , Q do nejmenšı́ možné vzdálenosti? Kdy to nastane a jaká bude ta
nejmenšı́ vzdálenost?
[ a)
b)
c)
√
V čase t = 0 vzdálenost√
d(P Q) = 52 2 cm, ]
v čase t = 1 d(P Q) = 4 265 cm,
v čase t = 13 d(P Q) = 52 cm;
t1 = 6, 5 vteřin a také t2 = 9, 1 vteřin;
nejmenšı́ vzdálenost 23,255 cm v čase 7,8 vt.
Úloha 3.16 Vzdálenost bodů v rovině - navigačnı́ úloha. Bod A umı́stěný na kladné poloose ox se začne
přibližovat k začátku souřadnicového systému stálou rychlostı́ 4 cm za vteřinu, bod B umı́stěný na
kladné poloose oy se začne ve stejném okamžiku vzdalovat od začátku souřadnicového systému [0, 0]
stálou rychlostı́ 7,5 cm za vteřinu. Po uplynutı́ 2 vteřin je vzdálenost bodů A, B právě 17 cm.
a) Jaká byla poloha bodů A, B na souřadnicových osách na začátku pohybu?
b) Jaká byla vzdálenost bodů A, B na začátku (v čase t = 0)?
[ a) A[16, 0], B[0, 0]; b) vzdálenost d(AB) = 16 cm. ]
Úloha 3.17 Analýza zlomového bodu. Výrobce prodává svůj výrobek za cenu 110 dolarů za kus. Celkové náklady výrobce na výrobu tohoto výrobku sestávajı́ z pevných nákladů 7 500 dolarů a výrobnı́ch
nákladů 60 dolarů na 1 kus výrobku.
a) Zjistěte, jak závisı́ přı́jem R(x) a celkové náklady C(x) výrobce na počtu vyráběných výrobků x a
znázorněte přı́jem a náklady graficky.
b) Kolik výrobků musı́ výrobce prodat, aby se jeho přı́jem vyrovnal nákladům? Interpretujte.
c) Jaký je zisk nebo ztráta výrobce při prodeji 100 kusů výrobku? (K tomu sestavte funkci zisku P (x)
v závislosti na počtu vyráběných výrobků x.)
d) Kolik výrobků musı́ výrobce prodat, aby jeho zisk byl právě 1 250 dolarů? Kolik výrobků x musı́
výrobce prodat, aby jeho zisk byl právě z dolarů?
[ a) R(x) = 110x, C(x) = 7500 + 60x;
]
b) 150 výrobků;
c) P (x) = 50x − 7500; P (100) = −2 500 dolarů (ztráta);
d) 175 výrobků; x = 150 + z/50.
34
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha 3.18 Analýza zlomového bodu. Firma produkujı́cı́ CD hudebnı́ch skupin má při jejich přı́pravě
fixnı́, konstantnı́ náklady ve výši 9 000 dolarů a variabilnı́ náklady 3,5 dolarů na jeden kus (marketing,
reklama atd.). Z prodeje má firma přı́jem 5 dolarů za 1 CD.
a) Zjistěte, jak závisı́ přı́jem R, náklady C a zisk P výrobce na počtu vyráběných CD a znázorněte tyto
závislosti graficky.
b) Kolik kusů musı́ firma prodat, aby dosáhla zisk nejméně 18 000 dolarů?
c) Pro jaký počet CD bude přı́jem firmy většı́ než náklady nebo se jim bude rovnat?
[ a) R(x) = 5x, C(x) = 9000 + 3, 5x, P (x) = R(x) − C(x); ]
b) x ≥ 18 000 dolarů;
c) 6 000 kusů.
Úloha 3.19 Analýza zlomového bodu. Studenti si v létě pronajali garáž a montujı́ v nı́ laminátové kajaky.
Nájem za garáž je 800 dolarů za celé léto, náklady na postavenı́ 1 kajaku jsou 60 dolarů. Kajaky prodávajı́
po 220 dolarech za kus.
a) Kolik kajaků musı́ vyrobit, aby se jejich přı́jem z prodeje přesně vyrovnal nákladům? Znázorněte
graficky.
b) Kolik kajaků musı́ vyrobit, aby jejich zisk byl alespoň 1600 dolarů?
[ a) 5 kusů; b) 15 kajaků. ]
Úloha 3.20 Analýza zlomového bodu. Členstvı́ v soukromém tenisovém klubu stojı́ 3 000 korun ročně a
poplatek za každou hodinu hry je 50 korun. Ve druhém tenisovém klubu je ročnı́ poplatek 1 500 korun a
za hodinu hry se platı́ 60 korun. Jestliže uvažuje tenisový hráč jenom o finančnı́ výhodnosti, podle čeho
se rozhodne při výběru jednoho z klubů? Udělejte analýzu úlohy a znázorněte graficky.
[ pro x < 150 hodin hry ročně vybrát druhý klub, v opačném přı́padě prvnı́ klub. ]
Úloha 3.21 Analýza zlomového bodu. Určité zbožı́ má funkci nabı́dky S(p) = p − 10 tisı́c kusů (za určité
časové obdobı́)a přı́slušná funkce poptávky je D(p) = 5 600/p tisı́c kusů, kde p je cena tohoto zbožı́
v korunách.
a) Znázorněte ve stejném souřadnicovém systému obě funkce poptávky a nabı́dky.
b) Vypočı́tejte rovnovážnou cenu p0 . Vypočı́tejte, jaká je poptávka, resp. nabı́dka při této rovnovážné
ceně.
[ b) p0 = 80 korun; S(80) = D(80) = 70 tisı́c kusů. ]
Úloha 3.22 Analýza zlomového bodu. Půjčovna automobilů účtuje základnı́ poplatek 420 korun a pak
4,50 korun za každý kilometr jı́zdy. Jiná agentura má základnı́ poplatek 540 korun a za kilometr jı́zdy
požaduje 3,50 korun. Kterou agenturu si zákaznı́k vybere?
[ jestli si půjčuje na vı́ce než 120 km, zvolı́ druhou agenturu;
]
jestli na méně než 120 km, výběr prvnı́ agentury bude výhodnějšı́.
Úloha 3.23 Analýza zlomového bodu. Jestliže se určitá elektrosoučástka prodává za cenu p korun za kus,
výrobci ji budou dodávat na trh v množstvı́ p2 /4 kusů, zatı́mco poptávka po součástkách je určena jako
(140 − 2p) kusů. Určete takovou cenu p0 , pro kterou je poptávka po součástkách rovna jejich nabı́dce na
trhu; určete velikosti nabı́dky a poptávky při této ceně.
[ p = 20 korun; poptávka a nabı́dka jsou tehdy stejné D(p) = S(p) = 100 kusů ]
’
Úloha 3.24 Inverznı́ funkce. Předpokládejme, že automobil má spotřebu 6,4 litrů benzı́nu na 100 km.
a) Jaká je spotřeba na 250 km? Na x km?
b) Kolik km ujede auto na 1 litr, resp. na 20 litrů benzı́nu? Kolik km ujede na x litrů?
[ a) 16 litrů, 0, 064x litrů; b) 15,625 km, 312,5 km; 15, 625x km. ]
Úloha 3.25 Inverznı́ funkce. Auto má spotřebu 5,5 l/100 km; jiné auto na 1 litr benzı́nu téhož druhu najede
18 km. Jestliže vezmeme v úvahu pouze spotřebu benzı́nu, jı́zda kterým autem je dražšı́? Znázorněte
grafy spotřeby v l/100 km pro obě auta.
[ spotřeba druhého je 5,56 l/100 km. ]
KAPITOLA 3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE REÁLNÉ PROMĚNNÉ
35
Otestujte se
Úloha 3.26 Rozhodněte, zda je funkce f : y =
cos x
sudá, lichá nebo žádnou z uvedených vlastnostı́
x
nemá.
[ f je lichá. ]
Úloha 3.27 Je-li f je rostoucı́ na D(f ) a g je klesajı́cı́ na D(g) rozhodněte a zdůvodněte, zda je funkce
f ◦ g rostoucı́, klesajı́cı́ na D(f ◦ g) nebo žádnou tuto vlastnost nemá.
[ f ◦ g je klesajı́cı́. ]
Úloha 3.28 Určete definičnı́ obor funkce, předpis inverznı́ funkce a definičnı́ obor inverznı́ funkce
pro funkci f : y = e2x−3 .
[ f −1 : y =
1
(3
2
+ lnx), D(f ) = (0, ∞). ]
KAPITOLA 4
Limita funkce
Výstupy ze studia, Learning Outcomes
Znalosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
•
•
•
•
•
definuje pojem limita funkce v bodě, resp. pojem jednostranné limity funkce v bodě;
formuluje větu o aritmetice limit (o limitě součtu, součinu a podı́lu funkcı́);
vysvětlı́ větu o limitě složené funkce;
vysvětlı́ geometrický význam definice limity funkce;
zná základnı́ typové limity.
Dovednosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• použije definici limity funkce pro ověřenı́, že funkce má v daném bodě danou hodnotu limity;
• použije větu o aritmetice limit pro výpočet limit;
• použije větu o limitě složené funkce pro výpočet limit.
Schopnosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• rozumı́ definici pojmu limita funkce v bodě;
• na základě znalosti limity funkce v daném bodě je schopen charakterizovat chovánı́ funkce v
okolı́ tohoto bodu;
• upřesnı́, jak pojem limita funkce v bodě charakterizuje lokálnı́ vlastnost funkce;
• dokáže lokálnı́ chovánı́ funkce zakreslit do kartézské soustavy souřadnic;
• dovede použı́t typové limity pro výpočet zadané limity.
37
38
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Znalosti - stručný přehled
¨
def
• Funkce f má v bodě a limitu A, ⇐⇒
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R :
x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) =⇒ f (x) ∈ (A − ε, A + ε).
Symbolicky zapisujeme:
lim f (x) = A.
x→a
Slovně vyjádřeno funkce f (x) má v bodě a limitu A právě tehdy, když pro jakékoliv dané
kladné reálné čı́slo ε platı́: jestliže je vzdálenost x a a menšı́ než nějaké kladné reálné čı́slo δ,
které závisı́ na volbě ε , pak je vzdálenost f (x) a A menšı́ než toto ε. Pro takto definovanou
limitu se někdy použı́vá označenı́ vlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě.
def
• Funkce f má v bodě a limitu A zprava, resp. zleva ⇐⇒
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R :x ∈ (a, a + δ) =⇒ f (x) ∈ (A − ε, A + ε);
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R :x ∈ (a − δ, a) =⇒ f (x) ∈ (A − ε, A + ε).
Symbolicky zapisujeme:
lim f (x) = A,
x→a+
resp. lim− f (x) = A.
x→a
• Funkce f má v bodě a limitu A ⇐⇒ lim+ f (x) = lim− f (x) = A. Pokud lim+ f (x) 6= lim− f (x),
x→a
x→a
x→a
x→a
pak limita funkce v bodě a neexistuje a funkce má v bodě a pouze jednostranné limity.
def
• Funkce f má v +∞ limitu A ∈ R ⇐⇒
∀ε > 0 ∃K > 0 : ∀x ∈ R :
x ∈ (K, ∞) =⇒ f (x) ∈ (A − ε, A + ε).
Slovně vyjádřeno funkce f má v bodě +∞ limitu A ∈ R právě tehdy, když k libovolnému ε > 0
existuje K > 0 tak, že |f (x) − A| < ε, jestliže x > K.
Analogicky lze definovat konečnou limitu funkce f v bodě −∞. Pro takto definovanou limitu
se použı́vá označenı́ vlastnı́ limita v nevlastnı́m bodě.
def
• Funkce f má v bodě a ∈ R limitu +∞ ⇐⇒
∀L > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R :
x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) =⇒ f (x) ∈ (L, ∞).
Slovně vyjádřeno funkce f má v bodě a ∈ R limitu +∞ právě tehdy, když k libovolnému
reálnému čı́slu L, L > 0 existuje δ > 0 tak, že f (x) > L, jestliže 0 < |x − a| < δ. Pro takto
definovanou limitu se použı́vá označenı́ nevlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě.
def
• Funkce f má v bodě +∞ limitu +∞ ⇐⇒
∀L > 0 ∃K > 0 ∀x ∈ R :
x ∈ (K, ∞) =⇒ f (x) ∈ (L, ∞).
Slovně vyjádřeno funkce f má v +∞ limitu +∞ právě tehdy, když k libovolnému reálnému
čı́slu L, L > 0 existuje čı́slo K > 0 tak, že f (x) > L, jestliže x > K. Pro takto definovanou
limitu se někdy použı́vá označenı́ nevlastnı́ limita v nevlastnı́m bodě.
• Množinu R ∪ {±∞} označujeme symbolem R∗ .
• Pro ∞, a ∈ R+ platı́:
– ∞ + a = ∞, ∞ − a = ∞,
– a + ∞ = ∞, a − ∞ = −∞,
– a · ∞ = ∞, −a · ∞ = −∞,
– ∞ · ∞ = ∞, −∞ · ∞ = −∞,
a
∞
–
= 0,
= ∞.
∞
a
∞ 0 ∞ 0
• Výrazy ∞ − ∞, 0 · ∞,
, , 1 , 0 a ∞0 označujeme je jako neurčité, mohou nabývat libo∞ 0
volných hodnot a výraz v tomto tvaru je třeba upravit.
KAPITOLA 4. LIMITA FUNKCE
39
• Mějme f, g : R → R, a ∈ R∗ , lim f (x) = A, lim g(x) = B a A, B ∈ R∗ . Potom
x→a
x→a
a) je-li součet A + B definován, je lim (f (x) + g(x)) = A + B,
x→a
b) je-li součin A · B definován, je lim (f (x) · g(x)) = A · B
x→a
f (x)
A
A
c) je-li podı́l
definován, je lim
= ·
x→a g(x)
B
B
• Limita složené funkce: mějme f, g : R → R a dále lim f (x) = A ∈ R, g je spojitá v A. Pak
x→a
lim g(f (x)) = g(A).
x→a
4.1. Tabulka typových limit
1
=∞
x→0+ x
1
=0
lim
x→±∞ x
ex − 1
lim
=1
x→0
x
xk
lim x = 0
x→∞ e
lim
lim xk ln x = 0, k > 0
x→0+
1
, neex. pro k liché
(x − a)k
1
=∞
lim
x→a+ x − a
lim
1
= −∞
x→0− x
sin x
=1
lim
x→0
x
ln x
lim
=1
x→1 x − 1
ln x
lim
= 0, k > 0
x→∞ xk
!x
1
=e
lim 1 +
x→∞
x
1
lim
= ∞, pro k sudé
x→a (x − a)k
1
= −∞
lim
x→a− x − a
lim
x→a
Dovednosti - řešené přı́klady
4.2. Definice limity, aritmetika limit
Přı́klad 4.1 Dle definice ukažte, že lim
x→1
2x + 3
5
= .
2
2
Řešenı́ Zvolme libovolné ε > 0 a hledejme δ > 0 tak, že pro x ∈ R platı́
2x + 3 5 |x − 1| < δ ⇒ − < ε.
2
2
Platı́
2x + 3 − 5 < ε ⇔ |x − 1| < ε.
2
Pokud za δ zvolı́me ε, bude požadovaná nerovnost splněna, takže jsme dokázali, že lim
x→1
Přı́klad 4.2 Dle definice ukažte, že lim e−x = 0.
x→+∞
Řešenı́ Zvolme libovolné ε > 0 a hledejme k > 0 tak, že pro x ∈ R platı́
x > k ⇒ |e−x − 0| < ε.
Platı́
|e−x | < ε ⇔ e−x < ε ⇔ −x < ln ε ⇔ x > − ln ε.
2x + 3
5
= .
2
2
40
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Necht’ k ∗ je libovolné kladné čı́slo. Nynı́ stačı́ položit k = max{k ∗ , − ln ε}. Pak jistě k ≥ − ln ε a pro x > k
platı́ e−x < ε·
Přı́klad 4.3 Dle věty o aritmetice limit s využitı́m tabulky typových limit určete limitu
lim
x→5
x3 − x
x3 − 4x
·
Řešenı́ Upravujeme dle věty o aritmetice limit:
lim
x→5
x3 − x
x3 − 4x
lim (x3 − x)
=
x→5
lim (x3 − 4x)
lim x3 − lim x
x→5
=
x→5
lim x3 − 4 lim x
x→5
x→5
x→5
3
lim x3 − lim x
lim x − lim x
x→5
x→5
= x→5 3
= x→5 3
lim x − 4 lim x
lim x − 4 lim x
x→5
x→5
x→5
x→5
53 − 5
8
= ·
= 3
7
5 −4·5
Výsledek:
lim
x→5
x3 − x
3
x − 4x
2
=
8
·
7
Přı́klad 4.4 Dle věty o aritmetice limit s využitı́m tabulky typových limit určete limitu
lim
x→2
x3 − x
x3 − 4x
·
Řešenı́ Upravujeme dle věty o aritmetice limit:
lim
x→2
x3 − x
x3 − 4x
= lim
x(x2 − 1)
x→2
x2 − 1
x→2 (x − 2)(x + 2)
= lim
x(x2 − 4)
x2 − 1
x2 − 1
1
1
·
= lim
· lim
.
x→2 x + 2
x→2
x→2
x−2
x+2
x−2
= lim
1
existujı́ pouze jednostranné limity (viz tabulka typových limit), proto pokračujeme
x−2
nejprve pro x → 2− :
Pro limitu lim
x→0
lim−
x→2
x2 − 1
1
3
· lim−
= · (−∞) = −∞.
x + 2 x→2 x − 2
4
Dále určı́me limitu pro x → 2+ :
lim
x→2+
x2 − 1
1
3
· lim
= · ∞ = ∞.
x + 2 x→2+ x − 2
4
Závěr:
lim
x→2
x3 − x
x3 − 4x
neexistuje
Přı́klad 4.5 Dle věty o aritmetice limit s využitı́m tabulky typových limit určete limitu
lim
x→+∞
Řešenı́ Upravujeme výraz v limitě:
x3 − x
x3 − 4x
·
KAPITOLA 4. LIMITA FUNKCE
41
1
3
x
1
−
x3 − x
x2
= lim
lim 3
2
x→+∞ 3
x→+∞ x − 4x
1
x 1−1
x
1 1
·
x x =
1
1−4
x
1−
= lim
x→+∞
x → ∞, tedy x nenı́ rovno nule, lze krátit
1
1
lim
x→+∞
x→+∞ x x→+∞ x
1−0
=
= 1.
1
1−4·0
lim 1 − 4 lim
x→+∞
x→+∞ x
lim 1 − lim
Výsledek:
lim
x→+∞
x3 − x
x3 − 4x2
= 1.
4.3. Limita složené funkce, typové limity
Přı́klad 4.6 Určete limitu
lim
x→0
sin 100x
·
x
Řešenı́ lim sin 100x = 0 a lim x = 0, jejich dosazenı́m bychom dostali zlomek 0/0. Tento zlomek však
x→0
x→0
nenı́ definovaný a nelze použı́t pravidlo podı́lu. Uvažujme vnitřnı́ funkci f : y = 100x, pro kterou platı́
lim f (x) = 0 a vnějšı́ funkci g : z = sin y/y, pro kterou platı́ lim sin y/y = 1. Protože pro x blı́zká 0
x→0
y→0
taková, že x 6= 0, je 100x 6= 0, můžeme použı́t větu o limitě složené funkce a psát
lim
x→0
sin 100x
sin 100x
= lim 100 ·
x→0
x
100x
sin y
y→0
y
= 100 · 1 = 100.
= lim 100
Přı́klad 4.7 Určete limitu
lim
x→π/6
2 sin2 x + sin x − 1
2 sin2 x − 3 sin x + 1
·
Řešenı́ Je lim sin x = 1/2, takže lim sin2 x = 1/4 a lim (2 sin2 x + sin x − 1) = 0. Podobně zjistı́me,
x→π/6
x→π/6
x→π/6
že lim (2 sin2 x − 3 sin x + 1) = 0. Zlomek 0/0 nenı́ definován, takže pro výpočet limity zadané funkce
x→π/6
nelze použı́t pravidlo podı́lu. Uvažujme však vnitřnı́ funkci f : y = sin x, pro kterou platı́
lim f (x) = 1/2 a vnějšı́ funkci g : z = (2y 2 + y − 1)/(2y 2 − 3y + 1), pro kterou podle předchozı́ úvahy
x→π/6
platı́
lim g(y) = lim
y→1/2
y→1/2
2y 2 + y − 1
2y 2 − 3y + 1
1
2 y−
2
!
1
2 y−
2
!
= lim
y→1/2
(y + 1)
(y − 1)
3
y+1
2
y→1/2
= lim
=
=
= −3.
y→1/2 y − 1
lim (y − 1)
1
y→1/2
−
2
lim (y + 1)
42
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Protože pro x blı́zká k čı́slu π/6 a x 6= π/6 je f (x) = sin x 6= 1/2, můžeme použı́t větu o limitě složené
funkce a zı́skáme
2y 2 + y − 1
2 sin2 x + sin x − 1
=
lim
= −3.
lim
2
2
x→π/6 2 sin x − 3 sin x + 1
y→1/2 2y − 3y + 1
√
1− x
·
x→0 1 − x
Přı́klad 4.8 Vypočtěte limitu lim
Řešenı́ Upravujeme
√
√
√
1− x 1+ x
1−x
1− x
√ = lim
√
= lim
·
x→1 1 − x
x→1 1 − x
1 + x x→1 (1 − x)(1 + x)
lim
1
√ = 2.
x→1 (1 +
x)
= lim
Přı́klad 4.9 Vypočtěte limitu lim
x→∞
2x + 5
2x + 1
2x
·
Řešenı́ Upravujeme
!2x
!2x
4
2x + 5
= lim 1 +
lim
x→∞
x→∞
2x + 1
2x + 1
1
4
=
t
2x + 1 2x + 1 , pro x → ∞ je t → ∞
substituce t=
4
x = 2t − 1 2
!2(2t− 12 )
1
= lim 1 +
t→∞
t
!4t
!−1
1
1
= lim 1 +
· 1+
t→∞
t
t


!t 4
!−1
1
1


= lim 1 +
· lim 1 +
t→∞
t→∞
t
t
= e4 · 1 = e4
Závěr:
lim
x→∞
2x + 5
2x + 1
!2x
= e4 .
dle tabulky typ. limit
KAPITOLA 4. LIMITA FUNKCE
43
Dovednosti - úlohy
Úloha 4.1 Limita funkce v bodě. Určete následujı́cı́ limity, v přı́padě že neexistujı́ uved’te důvod:
5x2 − 8x − 13
3x2 − x − 10
x4 − 81
a) lim
;
b) lim
;
c) lim 2
;
2
2
x→2
x→3 2x − 5x − 3
x→3
x −5
x√ − 4
3
3
2
x − 7x
x − 2x − 4x + 8
3− x+5
;
f) lim
d) lim
;
e) lim
;
4
2
x→0
x→2
x→4
x−4
x − 8x + 16
x3
x4 + 5x − 3
x3 − 1
p
g) lim
;
h) lim
2.
x→0 2 −
x→1 (x − 1)
x2 + 4
[ a) 2;
e) 11;
g) −∞;
b) 11/4;
f) −1/6;
h) +∞.
c) 108/7; ]
Úloha 4.2 Limita funkce v bodě. Určete následujı́cı́ limity, v přı́padě že neexistujı́ uved’te důvod:
x2 − 3x − 4
x2 − 1
;
c) lim
;
a) lim (2 + x4 (5x2 − 12));
b) lim 2
x→1 1 − x
x→4
x→4 x − 5x + 4
2x + 3
x2 + x − 6
3x − 4
d) lim
;
e) lim
;
f) lim
2
3;
x→3 x − 3
x→2
x−2
x→4/3 4x − 3x
√
2
2
x−2
x −x−6
x + 4x − 5
.
g) lim 2
;
h) lim
;
i) lim
2
x→1
x→4 x − 4
x→−2 x + 3x + 2
x −1
[ a) 17 410;
d) neexistuje;
g) 5;
b) 5/3;
e) 5;
h) 3;
c) -2;
]
f) -9/16;
i) 1/4.
Úloha 4.3√ Limita funkce v bodě. Určete následujı́cı́ limity, v přı́padě že neexistujı́ uved’te důvod:
x3 − 5x2 + 3x + 9
x3 + 8
x−3
a) lim
;
b) lim
;
c) lim 2
;
2
x→9 x − 9
x→3
x→−2 x − 4
+9
p x − 6x p
p
4 + x2 − 4 − x2
x2 + 9 − 3
x3 + 2x2 − 16
;
d) lim 3
;
e) lim
;
f) lim
2
2
x→2 x − 3x + x + 2
x→0
x→0
4x
3x
x3 + x2 + x + 1
x3 + x2 + x + 1
16 − x2
√
g) lim
;
h) lim
;
i) lim
.
2
2
x→−1 2(x + 3x + 2)
x→1 2(x + x − 2)
x→4 1 −
5−x
[ a) 1/6;
d) 20;
g) 1;
b) 4;
e) 1/6;
h) neexistuje;
c) -3; ]
f) 0;
i) -16.
Úloha 4.4 Limita funkce v bodě. Určete následujı́cı́ limity, v přı́padě že neexistujı́ uved’te důvod:
1
1
x3 + 9x
a) lim 2
;
b) lim 2
;
c) lim 4
;
x→−3 x − 81
x→1− x − 1
x→1+ x − 1
x3 − 9x
3x2 − x − 10
3x2 − x − 10
d) lim 4
;
e) lim
;
f) lim
;
2
x→−3 x − 81
x→2
x→0
x − 2x
x2 − 2x
3
2
3
8
2x + 2x + 3x + 3
x − 2x − 1
x − 3x + 2
g) lim
;
h) lim 5
;
i) lim 6
.
3
2
x→−1 x + x + x + 1
x→−1 x − 2x − 1
x→1 x − 2x + 1
[ a) −∞;
d) −1/6;
g) 5/2;
b) ∞;
e) 11/2;
h) 1/3;
c) neexistuje; ]
f) neexistuje;
i) 5/4.
’
Úloha 4.5 Limita funkce v bodě. Určete následujı́cı́ limity, v přı́padě že neexistujı́
p uved te důvod:
2
2
1
x + 16 − 5
x + 5x + 6
b) lim 2
c) lim
;
a) lim
2
2 ;
11 ;
x→−3 x (x + 3)
x→−3 x (x + 3)
x→3
x−3
√
√
(x − 4)2
1+x− 1−x
36 − x2
d) lim √
;
e) lim
;
f) lim √
;
x→4
x→0
x→6
x
x + 12 − 4
3+x−3
44
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
[ a) neexistuje;
d) 0;
b) neexistuje;
e) 1;
c) 3/5; ]
f) −72;
Úloha 4.6 Limita funkce v bodě. Určete následujı́cı́ limity, v přı́padě že neexistujı́ uved’te důvod:
tg2 x
sin2 x
tgx
√
√
√
a) lim
;
b) lim √
;
c) lim √
;
x→0 1 −
x→0
x→0
1 − sin x − 1 + sin x
cos 2x
3−
√ 2 + cos x
1 − cos x + 2
cos 2x
1
;
e) lim
;
d) lim √
;
f) lim
√
2
x→π
x→0
cos x − 1
sin 2x
x→π/4
sin x − cos x
x
sin 2x
sin2 x
;
h) lim
;
i) lim
g) lim
2 .
x→0
x→0 4x
x
x→π/2 1 − sin x
√
b) 4 3;
1
e) − 16
;
h) 2;
[ a) 1; √
d) −2 4 2;
g) +∞;
c) −1; ]
f) −∞;
i) 41 .
Úloha 4.7 Limita funkce v bodě. Určete následujı́cı́ limity, v přı́padě že neexistujı́ uved’te důvod:
sin x + sin 3x
4x + sin 8x
sin2 x + x
a) lim
;
b) lim
;
c) lim
;
x→0
x→0
x→0
x
4x
10x
2
1 − cos 2x
tgx − sin 2x
cos x − 1 + sin 2x
;
e) lim
;
f) lim
;
d) lim
x→0
x→0
x→0
x
x sin x
√x
1 − cos x
sin 4x
1 − cos 2x
g) lim
;
h) lim √
;
i) lim
;
x→0
x→0
x→0
x2
x2
x
+
1
−
1
√
3
1 − cos x
1 − cos x
√ ;
j) lim+
k) lim
.
x→0 x sin 2x
x→0 1 − cos x
b) 3;
e) 2;
h) 8;
k) 3/4.
1
c) 10
; ]
f) −1;
i) 1;
b) 3/10;
e) ∞;
h) 1;
c) −1; ]
f) 2;
i) −1.
[ a) 4;
d) 2;
g) 21 ;
j) 0;
Úloha 4.8 Limita funkce v nevlastnı́m bodě. Vypočtěte limity v nevlastnı́ch bodech:
x
3x2 + 2x + 1
50 − x3
a) lim
;
b) lim
;
c) lim
;
2
2
x→∞ (x + 1)
x→∞
x→−∞ 2 + x3
10x − 3
s
3
4x + 1
1 − 2x
1 − 2x3
d) lim
;
e) lim
;
f) lim
;
x→∞
x→−∞ 1 + 2x
x→−∞ (3x + 1)2
x−3
s
p
p
4x + 1
x2 + 1
x2 + 1
;
h) lim
;
i) lim
.
g) lim
x→−∞
x→∞
x→−∞
x−3
x
x
[ a) 0;
d) −1;
g) 2;
Úloha 4.9 Limita
funkce v nevlastnı́m bodě. Vypočtěte limity v nevlastnı́ch bodech:
√
4
1+ x
3x2 − 4
3x2 − 4
√
a) lim
;
b) lim p
;
c) lim p
;
4
x→∞ 1 −
x→∞
x→−∞
x
x5 − 7x2
x5 − 7x2
√
√
√
√
(3x − 2)2
d) lim
;
e) lim ( x + 1 − x);
f) lim ( x + 1 − x);
3
x→∞ (2x − 1)
x→∞
x→−∞
√
√
log(x2 − 20x + 2)
g) lim ( x2 + 1 − x);
h) lim ( x2 + 2x + 2 − x);
i) lim
.
x→∞
x→∞
x→∞ log(x10 + 2x + 3)
[ a) −1;
d) 0;
g) 0;
b) 0;
e) 0;
h) 1;
c) neexistuje; ]
f) neexistuje;
i) 1/5.
KAPITOLA 4. LIMITA FUNKCE
45
Úloha 4.10 Limita funkce v bodě. Určete následujı́cı́ limity, v přı́padě že neexistujı́ uved’te důvod:
1
x
x
2
x+1
1
2x
a) lim 1 +
;
b) lim
;
c) lim 1 + 2x2
;
x→∞
x→∞ x − 1
x→0
x
x2
3x
x+1
2
2x
2x + 3
x +2
;
d) lim
;
e) lim
;
f) lim
x→∞ 2x − 3
x→∞ 2x + 1
x→∞ x2 + 1
2
2
x
x
x +2
ln(1 + ex )
1
g) lim
;
h)
lim
;
i)
lim
cos
.
x→∞ x2 + 1
x→∞
x→∞
x
x
[ a) e;
d) e3/2 ;
g) e;
b) e2 ;
e) e;
h) 1;
c) e; ]
f) e;
i) 1.
Otestujte se
Úloha 4.11 Vypočı́tejte následujı́cı́ limity:
1/x + 1/2
2x2 + 7x − 2
a) lim
;
b)
lim
;
x→+∞ 6x3 − 4x + 3
x→−2
x3 + 8
x+1
√
√
2x + 3
d) lim
;
e) lim ( x + 1 − x);
x→∞ 2x + 1
x→∞
e2x − 1
e4x − 1
g) lim
;
h) lim
;
x→0
x→0 sin 2x
3x
2 sin2 x − cos 2x
√
;
c) lim
x→π/6
2 sin x − 1
p
√
1 + tg x − 1 + sin x
f) lim
;
x→0
x3
ex − 1
i) lim
.
x→0 tg 2x
[ a) −1/48;
d) e;
g) 2/3;
b) 0;
e) 0;
h) 2;
c) 4;
]
f) 1/4;
i) 1/2.
KAPITOLA 5
Spojitost funkce
Výstupy ze studia, Learning Outcomes
Znalosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• formuluje definici pojmu spojitost funkce v bodě;
• vysvětlı́ pojem funkce spojitá na intervalu;
• vyjmenuje vlastnosti funkce spojité na intervalu (omezenost, nabývánı́ mezihodnot, existence
maxima a minima);
• vysvětlı́, jak nalézt nulový bod funkce spojité na uzavřeném intervalu.
Dovednosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
•
•
•
•
určı́, zda je funkce v daném bodě (přı́padně na celém intervalu) spojitá nebo nespojitá;
zdůvodnı́, že pro danou rovnici existuje na daném intervalu jejı́ řešenı́;
analyzuje, zda funkce spojitá na daném intervalu nabývá kladné nebo záporné hodnoty;
řešı́ rovnice v podı́lovém nebo v součinovém tvaru.
Schopnosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• je schopen graficky charakterizovat spojité a nespojité funkce;
• rozlišuje pojmy funkčnı́ hodnota funkce, limita funkce v bodě a spojitost funkce v bodě.
47
48
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Znalosti - stručný přehled
• Funkce f se nazývá spojitá v bodě a ∈ R, právě když a ∈ D(f ) a existuje limita lim f (x) a platı́
x→a
lim f (x) = f (a).
x→a
Analogicky f je spojitá zprava resp. zleva v bodě a, a ∈ D(f ) právě když lim f (x) = f (a), resp.
x→a+
lim− f (x) = f (a) a obě strany rovnic jsou definovány.
x→a
• Necht’ je funkce f definována na intervalu (a, b), resp. na ha, bi. Pak
a) f je spojitá na (a, b), je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu.
b) f je spojitá na ha, bi, je-li spojitá na (a, b), v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá
zleva.
• O nabývánı́ mezihodnot. Necht’ je funkce f spojitá na uzavřeném omezeném intervalu ha, bi a
necht’ x1 , x2 ∈ ha, bi, x1 6= x2 . Pak ke každému čı́slu d, které ležı́ mezi f (x1 ) a f (x2 ), existuje
alespoň jedno c ∈ ha, bi, které ležı́ mezi x1 a x2 a platı́ f (c) = d.
• Elementárnı́ funkce jsou spojité na svém definičnı́m oboru. Pokud existujı́ body nespojitosti
těchto funkcı́, pak jsou mimo definičnı́ obor funkce (např. pro funkci f : y = 1/x). Funkce
f : y = signx má bod nespojitosti 0. Funkce celá část nenı́ spojitá v každém celém čı́sle, x ∈ Z.
Funkce f : y = |x| je spojitá na R.
Dovednosti - řešené přı́klady
5.1. Body nespojitosti funkce
Přı́klad 5.1 Rozhodněte, zda je funkce f spojitá na (−∞, ∞).
f: y=
1
2
x −4
·
Řešenı́ D(f ) = R \ {−2, 2}. Funkce nenı́ spojitá v bodech −2 a 2.
Přı́klad 5.2 Rozhodněte, zda je funkce f spojitá na (−∞, ∞).
3
x − x, x < 1
f: y=
x2 − 1, x ≥ 1
Řešenı́ Ve všech bodech x ∈ R \ {1} je funkce definována jako funkce polynomická, proto jako elementárnı́ funkce je v nich spojitá. V bodě x = 1 určı́me f (x) a lim− f (x). Můžeme určit i lim+ f (x), ale
x→1
ta v tomto přı́padě nenı́ nutná, protože z definice funkce je lim+ f (x) = f (1).
x→1
f (1) = (12 ) − 1 = 0
lim f (x) = lim (x3 − x) = 0
x→1−
x→1−
lim f (x) = lim (x2 − 1) = 0.
x→1+
x→1+
Protože platı́
lim f (x) = lim f (x) = f (1),
x→1+
x→1−
je funkce f v bodě x = 1 spojitá. Můžeme tedy tvrdit: funkce f je spojitá na R.
x→1
KAPITOLA 5. SPOJITOST FUNKCE
49
Přı́klad 5.3 Určete body nespojitosti funkce f : y = sign(x3 − x).
Řešenı́ Dle definice funkce signum platı́:

 1,
−1,
sign(x3 − x) =

0,
x3 − x > 0
x3 − x < 0
x3 − x = 0
Pro nalezenı́ bodů nespojitosti tedy stačı́ řešit výše uvedenou rovnici a nerovnice.
x3 − x >0
x(x − 1)(x + 1) >0
metodou nulových bodů
x ∈(−1, 0) ∪ (1, ∞)
x3 − x <0
x(x − 1)(x + 1) <0
metodou nulových bodů
x ∈(−∞, −1) ∪ (0, 1)
x3 − x =0
x(x − 1)(x + 1) =0
x ∈{−1, 0, 1}
Předpis funkce f jsme upravili do tvaru

 1,
−1,
sign(x3 − x) =

0,
x ∈ (−1, 0) ∪ (1, ∞)
x ∈ (−∞, −1) ∪ (0, 1)
x ∈ {−1, 0, 1}
Pro bod −1 platı́:
f (−1) = 0
lim f (x) = −1
x→−1−
lim f (x) = 1,
x→1+
takže v bodě -1 je funkce nespojitá, analogicky v bodech 0 a 1. Funkce sign(x3 − x) má tedy tři body
nespojitosti, −1, 0 a 1.
Přı́klad 5.4 Spojitost funkce v bodě. Funkce f je definována následujı́cı́m způsobem, kde a ∈ R:
( 2 2
x −a
x−a , x 6= a
f: y=
0,
x=a
a) Existuje hodnota f (a)?
b) Existuje lim f (x)?
x→a
c) Pro jaké hodnoty parametru a je tato funkce spojitá?
Řešenı́ a) f (a) = 0 podle definice funkce;
2
−a2
b) limita existuje: lim xx−a
= lim
x→a
x→a
(x−a)(x+a)
x−a
= 2a;
c) hledáme a tak, aby lim f (x) = f (a), tedy 2a = 0. Funkce je tedy spojitá pouze pro hodnotu
x→a
parametru a = 0.
Přı́klad 5.5 Najděte všechny body nespojitosti funkce f : y =
existujı́, resp. vypočtěte jednostranné limity.
1
x3
a vypočtěte v nich limity, pokud
50
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Řešenı́ Určı́me definičnı́ obor funkce, D(f ) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞). V bodech definičnı́ho oboru je funkce
spojitá, má tedy jediný bod nespojitosti, x = 0. Určı́me jednostranné limity v tomto bodě:
1
= −∞,
x3
1
lim
= ∞.
x→0+ x3
lim
x→0−
5.2. Existence řešenı́ rovnic
Přı́klad 5.6 Určete, zda má rovnice 3x2 (4 + x2 ) = 1 alespoň jedno řešenı́ na intervalu:
a) h-2, 2 i;
b) h-1, 1 i;
c) h0, 1 i.
Řešenı́ Upravı́me rovnici do tvaru f (x) = 0: 3x2 (4+x2 )−1 = 0 a vyjádřı́me levou stranu rovnice jako
funkci f : y = 3x2 (4 + x2 ) − 1. Pro interval ha, bi zjišt’ujeme, zda majı́ hodnoty v krajnı́ch bodech f (a)
a f (b) opačná znaménka. Pokud ano, pak (dı́ky větě o nabývánı́ mezihodnot) musı́ na ha, bi existovat
(alespoň jeden) bod x0 takový, že f (x) = 0, tedy 3x2 (4 + x2 ) − 1 = 0. Pokud majı́ f (a) a f (b) shodná
znaménka, pak o existenci řešenı́ rovnice na daném intervalu nelze rozhodnout, řešenı́ tam být může,
ale nemusı́.
a)h−2, 2i :
f (−2) = 95,f (2) = 95,
nelze rozhodnout, zda má rovnice na h−2, 2i nějaké řešenı́;
b)h−1, 1i :
f (−1) = 14,f (1) = 14,
nelze rozhodnout, zda má rovnice na h−1, 1i nějaké řešenı́;
f (0) = −1,f (1) = 14,
rovnice má na intervalu h0, 1i alespoň jedno řešenı́.
c)h0, 1i :
Můžeme řı́ci, že funkce má alespoň jeden nulový bod na otevřeném intervalu (0, 1) (vı́me, že v bodech
0 ani -1 nulový bod nemá). Rovnice tedy má na intervalu (0, 1) alespoň jedno řešenı́, kořen rovnice.
Přı́klad 5.7 Zjistěte, zda rovnice
8x3 − 12x2 − 2x + 3 = 0
má alespoň jeden kořen, určete počet reálných kořenů rovnice a disjunktnı́ intervaly délky nejvı́c 1
obsahujı́cı́ právě jeden kořen této rovnice.
Řešenı́ Na levé straně rovnice máme polynom třetı́ho stupně, kořenů tedy nemůže být vı́ce než 3. Metoda postupného vytýkánı́ nevede ke zjednodušenı́, nezbývá nám tedy než experimentovat. Vypočteme
hodnotu f (x) pro celá čı́sla např. mezi -3 a 3:
x
f(x)
-3
-2
-1
-315 -105 -15
0
3
1 2
-3 15
3
105
Z nich zjistı́me, že rovnice má určitě alespoň jeden kořen na intervalu h−1, 0i (protože f (−1) = −15 a
f (0) = 3), alespoň jeden kořen v intervalu h0, 1i (protože f (0) = 3 a f (1) = −3) a alespoň jeden kořen v
intervalu h1, 2i (protože f (1) = −3 a f (2) = 15). Protože rovnice nemůže mı́t vı́ce než tři kořeny, našli
jsme disjunktnı́ intervaly o délce jedna, ve kterých tyto tři kořeny ležı́.
Přı́klad 5.8 Spojitost funkce na uzavřeném intervalu a kořeny rovnic. Zjistěte, zda rovnice
x4 − 2x3 − 3x2 − 4x − 1 = 0
má alespoň jeden kořen, určete počet reálných kořenů rovnice a disjunktnı́ intervaly délky nejvı́c 1
obsahujı́cı́ právě jeden kořen této rovnice.
Řešenı́ Na levé straně rovnice máme polynom čtvrtého stupně, kořenů tedy nemůže být vı́ce než 4. Metoda postupného vytýkánı́ nevede ke zjednodušenı́, nezbývá nám tedy než experimentovat. Vypočteme
hodnotu f (x) např. pro celá čı́sla mezi -6 a 6:
x
f(x)
-6
1643
-5
819
-4
-3
351 119
-2 -1
27 3
0 1
-1 -9
2
3
-21 -13
4
63
5
6
279 731
KAPITOLA 5. SPOJITOST FUNKCE
51
Z nich zjistı́me, že rovnice má určitě alespoň jeden kořen v intervalu h−1, 0i (protože f (−1) = 3 a
f (0) = −1) a alespoň jeden kořen v intervalu h3, 4i (protože f (3) = −13 a f (4) = 63). Jestli jich tam je
vı́ce nebo jestli existujı́ i v jiných intervalech bez dalšı́ analýzy nezjistı́me.
Přı́klad 5.9 Spojitost funkce na uzavřeném intervalu a kořeny rovnic. Zjistěte, zda rovnice
x · ln x = 1
má alespoň jeden kořen na intervalu h1, ei.
Řešenı́ Upravı́me rovnici do tvaru x · ln x − 1 = 0, levou stranu rovnice definujeme jako předpis funkce
f : y = x · ln x − 1, určı́me hodnoty funkce v bodech 1 a e: f (1) = −1, f (e) = e − 1 > 0. Rovnice má na
intervalu h1, ei alespoň jeden kořen.
Dovednosti - úlohy
Úloha 5.1 Spojitost
2 funkce. Rozhodněte, zda je funkce f
x , x<1
√
;
a) f : y =
x, x ≥ 1
4
x sin(1/x), x 6= 0
c)f : y =
;
0,
x=0
1
(1+x)2 , x 6= −1 ;
e) f : y =
x = −1
A ∈ R,
x ln x2 , x 6= 0
g) f : y =
.
A ∈ R, x = 0
spojitá na R:
sin x, x < π/4
;
cos x, x ≥ π/4
x2 −4
x 6= 2
x−2 ,
d) f : y =
;
A ∈ R, x = 2
−1
e x2 , x 6= 0
;
f) f : y =
0,
x=0
b) f : y =
[ a) f je na R spojitá;
c) f je na R spojitá;
e) f nenı́ na R spojitá ;
g) f je na R spojitá pouze pro A = 0.
b) f je na R spojitá;
]
d) f je na R spojitá pouze pro A = 4;
g) f je na R spojitá pouze pro A = 0;
Úloha 5.2 Spojitost funkce. Rozhodněte, zda jsou následujı́cı́ funkce spojité na R, přı́padně sestrojte jejich
grafy:
a) y = sign (sin x);
b) y = x
− [x];
c) y = x[x];
d) y = x1 .
[ funkce nejsou na R spojité. ]
Úloha 5.3 Spojitost funkce v bodě. Funkci f dodefinujte tak, aby byla spojitá v bodě
pa:
x2 − x
x2 − 9
1 − 1 − x2
f: y=
, a = 1;
f: y= 2
, a = −3;
f: y=
, a = 0.
x−1
x
x + 2x − 3
[ a) f (1) = 1;
b) f (−3) = 3/2;
c) f (0) = 0. ]
Úloha 5.4 Spojitost funkce v bodě. Pro které hodnoty parametru c ∈ R je funkce f spojitá na (−∞, ∞)?
cx2 + 2x, x < 2
f :y=
x3 − cx, x ≥ 2
.
[ c = 2/3. ]
Úloha 5.5 Spojitost funkce v bodě. Pro které hodnoty parametrů a, b ∈ R je funkce f spojitá na (−∞, ∞)?

x ≤ −1
 0,
ax + b, x ∈ (−1, 1)
f :y=

1,
x≥1
.
[ a = 1/2, b = 1/2. ]
52
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha 5.6 Spojitost funkce v bodě. Najděte takové hodnoty parametrů a, b, pro které je daná funkce spojitá
na celém definičnı́m
oboru (znázorněte):
(
(
ax − 3,
x<2
2x + 4, x < 1
;
;
b) f : y =
a) f : y =
2
3 − x + 2x , x ≥ 2
ax − 1, x ≥ 1

(
3x2 − 1, x < 0

ax,
x<4
c) f : y =
;
d) f : y = ax + b, 0 ≤ x ≤ 1 .

2 − x/a, x ≥ 4
√
x + 8, x > 1
[ a) a = 7;
c) neex.;
b) a = 6;
]
d) a = 4,b = −1.
Úloha 5.7 Spojitost funkce v bodě. Najděte všechny body nespojitosti následujı́cı́ch funkcı́ a vypočtěte
v nich limity (pokud existujı́), resp. jednostranné limity. Znázorněte grafy funkcı́ v okolı́ bodů nespojitosti:
1
1
1
x
a) f : y = 2 ;
b) f : y =
+
;
c) f : y = 2
;
x+2 x−2
x
x −1
1
1
x−1
d) f : y =
;
e) f : y =
;
f) f : y =
;
ln x
2−x
x+3
9
3x + 7
|x + 3|
g) f : y =
h) f : y = 2
;
i) f : y =
.
2;
x+3
9−x
x − 3x + 2
[ a) ∞ pro x → 0+ , ∞ pro x → 0− ;
]
b) ∞ pro x → 2+ ; −∞ pro x → 2− ; ∞ pro x → −2+ ; −∞ pro x → −2− ;
c) ∞ pro x → 1+ ; −∞ pro x → 1− ; ∞ pro x → −1+ ; −∞ pro x → −1− ;
d) ∞ pro x → 1+ , −∞ pro x → ∞− ;
e) ∞ pro x → 2− ; −∞ pro x → 2+ ;
f) ∞ pro x → −3− ; −∞ pro x → −3+ ;
g) −∞ pro x → −3− ; ∞ pro x → −3+ ; ∞ pro x → 3− ; −∞ pro x → 3+ ;
h) ∞ pro x → 1− ; −∞ pro x → 1+ ; −∞ pro x → 2− ; ∞ pro x → 2+ ;
i) −1 pro x → −3− ; 1 pro x → −3+ .
Úloha 5.8 Spojitost funkce v bodě. Najděte všechny body nespojitosti následujı́cı́ch funkcı́ a vypočtěte
v nich limity (pokud existujı́), resp. jednostranné limity. Znázorněte grafy funkcı́ v okolı́ bodů nespojitosti:
x2 −5x+6
a) f : y = x3 −2x
b) f : y = x(x21−1) ;
c) f : y = 2−1/x ;
2 +4x−8 ;
(
(
2,
x=2
x2 + 1, x ≤ 3
;
f) f : y = tg x;
;
e) f : y =
d) f : y = x2 −4
2x + 4, x > 3
x−2 , x 6= 2
g) f : y = sign x;
h) f : y = min {1, x2 };
i) f : y = max {0, sin x}.
]
[ a) −1/8 pro x → 2;
b) ∞ pro x → −1+ , pro x → 0− , pro x → 1+ ; −∞ pro x → −1− , pro x → 0+ , pro x → 1− ;
c) ∞ pro x → 0− , 0 pro x → 0+ ;
d) 4 pro x → 2;
e) nemá body nespojitosti;
f) body nespojitosti jsou kπ
, k lib. liché celé čı́slo; pro jedno pevné k je +∞ pro x → ( kπ
)− , −∞ pro x → ( kπ
)+ ;
2
2
2
g) −1 pro x → 0− ; 1 pro x → 0+ ;
h) nemá body nespojitosti;
i) nemá body nespojitosti.
Úloha 5.9 Spojitost funkce v bodě. Najděte všechny body nespojitosti následujı́cı́ch funkcı́ a vypočtěte
v nich limity, pokud existujı́, resp. vypočtěte jednostranné limity. Znázorněte grafy funkcı́ v okolı́ bodů
nespojitosti: (
(
x,
|x| ≤ 1
|x|,
|x| < 1
a) f : y =
;
b) f : y =
;
2x − 1, |x| > 1
2 − x2 , |x| ≥ 1
(
(
1 − cos x, |x| ≤ π/2
sin x, |x| ≤ π
c) f : y =
;
d) f : y =
.
0,
|x| > π/2
0,
|x| > π
KAPITOLA 5. SPOJITOST FUNKCE
53
]
[ a) −3 pro x → −1− ; −1 pro x → −1+ ;
b) nemá body nespojitosti;
c) 1 pro x → (π/2)− , x → (−π/2)+ , 0 pro x → (π/2)+ , x → (−π/2)− +;
d) nemá body nespojitosti.
Úloha 5.10 Spojitost funkce v bodě. Najděte všechny body nespojitosti následujı́cı́ch funkcı́ a vypočtěte
v nich limity (pokud existujı́), resp. jednostranné limity. Znázorněte grafy funkcı́ v okolı́ bodů nespojitosti:
x − 3
x3 + 2x2 + x
x2 + 5x + 6
;
;
b) f : y = 3
;
c) f : y = ln a) f : y =
x + 3
x2 + 2x
x − 2x2 − 3x
d) f : y = 2x + 2−x ;
e) f : y = ex−3 ;
f) f : y = e1/x ;
1
2
g) f : y = 21/x ;
h) f : y = xe1/x ;
i) f : y = 1/x
·
e
+1
]
[ a) −∞ pro x → 0− ; ∞ pro x → 0+ ; −1/2 pro x → −2;
b) −∞ pro x → 3− ; ∞ pro x → 3+ ; −1/3 pro x → 0; 0 pro x → −1;
c) ∞ pro x → −3; −∞ pro x → 3;
d) spojit na celém definičnı́m oboru R;
e) spojit na celém definičnı́m oboru R;
f) 0 pro x → 0− ; ∞ pro x → 0+ ;
g) ∞ pro x → 0;
h) 0 pro x → 0− ; ∞ pro x → 0+ ;
i) 1 pro x → 0− ; 0 pro x → 0+ .
Úloha 5.11 Spojitost funkce v bodě. Najděte všechny body nespojitosti následujı́cı́ch funkcı́ a vypočtěte
v nich limity (pokud existujı́), resp. jednostranné limity. Znázorněte grafy funkcı́ v okolı́ bodů nespojitosti.
2
2
|x|
a) f : y =
;
b) f : y =
;
c) f : y =
;
log(x − 1)
ln x − 1
x
(
( 2
8 − x 3 , x ≤ 0

x
x −1
,
x < −1
|x|−x , x < 0
x+1
d) f : y =
;
e) f : y =
;
f) f : y = x5 − 1, 0 < x ≤ 2 ;

x2 − 3, x ≥ −1
x,
x≥0

8x − 1, x > 2
2
g) f : y = sign(sin x);
h) f : y = sign (x − 4);
i) f : y = x − [x].
[ a) −∞ pro x → 2− ; ∞ pro x → 2+ ;
]
b) −∞ pro x → e− ; ∞ pro x → e+ ;
c) −1 pro x → 0− ; 1 pro x → 0+ ;
d) −1/2 pro x → 0− ; 0 pro x → 0+ ;
e) nemá body nespojitosti;
f) 8 pro x → 0− ; −1 pro x → 0+ ; 31;
pro x → 2− ; 15 pro x → 2+ ;
g) body nespojitosti jsou kπ, k lib. celé čı́slo;
pro jedno pevné k je 1 pro x → (kπ)− ,
’
−1 pro x → (kπ)+ ;
h) ±2 jsou body nespojitosti; −1 pro x → (−2)+
a pro x → 2− ; 1 pro x → (−2)−
a pro x → 2+ ;
i) body nespojitosti jsou všechna celá čı́sla.
Úloha 5.12 Spojitost funkce na uzavřeném intervalu a kořeny rovnic. Dokažte, že rovnice
a) x3 − 10x − 5 = 0 má v intervalu h2, 4i alespoň jeden kořen;
b) x3 − 3x + 1 = 0 má v intervalu h−2, −1i alespoň jeden kořen;
c) x3 − 3x + 1 = 0 má v intervalu h0, −1i alespoň jeden kořen;
d) x3 − 3x + 1 = 0 má v intervalu h1, 2i alespoň jeden kořen.
[ a) f (2) = −13, f (4) = 9, rovnice má alespoň jeden kořen;
]
b) f (−2) = −1, f (−1) = 3, rovnice má alespoň jeden kořen;
c) f (0) = 1, f (1) = −3, rovnice má alespoň jeden kořen;
d) f (1) = −3, f (2) = 3, rovnice má alespoň jeden kořen.
Úloha 5.13 Spojitost funkce na uzavřeném intervalu a kořeny rovnic. Dokažte, že rovnice
54
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
a) x3 − 4x − 5 = 0 má v intervalu h2, 3i alespoň jeden kořen;
b) 2x3 + 5x2 − 7x − 3 = 0 má v intervalu h−1, 0i alespoň jeden kořen;
c) x4 + 2x3 − 2x2 + 2x + 7 = 0 má v intervalu h−2, −1i alespoň jeden kořen.
[ a) f (2) = −5, f (3) = 10, rovnice má alespoň jeden kořen;
]
b) f (−1) = 7, f (0) = −3, rovnice má alespoň jeden kořen;
c) f (−2) = −5, f (−1) = 2, rovnice má alespoň jeden kořen.
Úloha 5.14 Spojitost funkce na uzavřeném intervalu a kořeny rovnic. Zjistěte, zda rovnice majı́ alespoň jeden
kořen, určete počet reálných kořenů rovnice a disjunktnı́ intervaly délky nejvı́c 1 obsahujı́cı́ právě jeden
kořen této rovnice:
a) x3 − 6x2 + 12x + 1 = 0;
b) 2x3 − 3x2 − 36x + 50 = 0;
2
c) x ln x = 1;
d) x3 − 5x + 3 = 0;
3
2
e) x − 9x + 27x − 3 = 0;
f) x3 + 4x2 − 4 = 0.
]
[ a) jediný kořen, interval (−1, 0);
b) tři kořeny, intervaly (1, 2), (4, 5), (−5 − 4);
c) jediný kořen, interval (1, 2);
d) tři kořeny, intervaly (−3, −2), (0, 1), (1, 2);
e) jediný kořen, interval (0, 1);
f) tři kořeny, intervaly (−4, −3), (−2, −1), (0, 1).
Úloha 5.15 Spojitost funkce na uzavřeném intervalu a kořeny rovnic. Zjistěte, zda rovnice majı́ alespoň jeden
kořen, určete počet reálných kořenů rovnice a disjunktnı́ intervaly délky nejvı́c 1 obsahujı́cı́ právě jeden
kořen této rovnice:
a) 2x3 − x2 + 4x − 7 = 0;
c) x2 + ln x = 0;
e) x4 − 2x3 − 3x2 − 4x − 1 = 0;
b) x3 + x2 − 4x + 1 = 0;
2
d) 3x(4
√ + x ) = 1;
f) x · x + 1 = 2.
[ a) jediný kořen, interval (1, 2);
]
b) tři kořeny, intervaly (−3, −2), (0, 1), (1, 2);
c) jediný kořen, interval (0, 1);
d) jediný, interval (0, 1);
e) dva kořeny, intervaly (−1, 0), (3, 4);
f) jediný kořen, interval (1, 2).
Otestujte se
Úloha 5.16 Spojitost funkce v bodě. Najděte takové hodnoty parametru a pro které je daná funkce
(
eax ,
x<0
f: y=
2a − x, x ≥ 0
spojitá na celém definičnı́m oboru (znázorněte).
[a = 1/2.]
2
Úloha 5.17 Spojitost funkce v bodě. Najděte všechny body nespojitosti funkce f : y = xe1/x a vypočtěte
v nich limity (pokud existujı́), resp. jednostranné limity. Znázorněte graf funkce v okolı́ bodů nespojitosti.
[ −∞ pro x → 0− , ∞ pro x → 0+ . ]
Úloha 5.18 Spojitost funkce na uzavřeném intervalu a kořeny rovnic. Zjistěte, zda rovnice majı́ na daném
intervalu alespoň jeden kořen:
a) x
= cos x, x ∈ h0, π/2i;
b) x4 + x − 3 = 0, x ∈ h1, 2i;
√
3
c) x = 1 − x, x ∈ h0, 1i;
d) tgx = 2x, x ∈ h0, π/2).
KAPITOLA 5. SPOJITOST FUNKCE
55
[ a) f : y = x − cos x, f (0) = 1, f (π/2) = −π/2, rovnice má alespoň jeden kořen; ]
b) f : y = x4 + x − 3, f (1) = −1, f (2) = 63, rovnice má alespoň jeden kořen;
√
c) f : y = 3 x − (1 − x), f (0) = −1, f (1) = 1, rovnice má alespoň jeden kořen;
d) f : y = tgx − 2x, f (0) = 0, lim f (x) = ∞, rovnice má kořen x = 0.
x→π/2−
KAPITOLA 6
Derivace funkce
Výstupy ze studia, Learning Outcomes
Znalosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• formuluje definici derivace v bodě, resp. pojem jednostranné derivace funkce v bodě;
• vyjmenuje možné významy derivace funkce v bodě: hodnota směrnice tečny ke grafu funkce
v daném bodě, okamžitá rychlost, meznı́ veličiny v ekonomii, elasticita funkce, atp.;
• zná důsledek existence derivace funkce v bodě pro spojitost funkce v tomto bodě;
• uvede pojem derivace funkce na množině;
• zná derivace elementárnı́ch funkcı́.
Dovednosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
•
•
•
•
•
určı́ derivaci jednoduchých funkcı́ pomocı́ definice derivace funkce v bodě;
vypočı́tá derivace zadaných funkcı́ pomocı́ vět o derivaci součtu, součinu nebo podı́lu funkcı́;
vypočı́tá derivaci zadané funkce pomocı́ věty o derivaci složené funkce;
aplikuje větu o derivaci inverznı́ funkce a vypočı́tá derivaci vybraných funkcı́;
nalezne rovnici tečny nebo normály funkce v daném bodě.
Schopnosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• specifikuje a odůvodnı́ jednotlivé kroky při hledánı́ derivace dané funkce;
• interpretuje nalezené hodnoty derivace v daném bodě v závislosti na významu úlohy.
57
58
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Znalosti - stručný přehled
• Mějme funkci f definovanou na okolı́ bodu x0 ∈ R. Derivacı́ funkce f v bodě x0 , x0 ∈ D(f )
nazýváme limitu
f (x) − f (x0 )
,
x − x0
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
pokud tato limita existuje a je vlastnı́. Podobně jako limitu zleva, resp. zprava zavádı́me i derivaci funkce f v bodě x0 ∈ D(f ) zleva, resp. zprava, vztahem
0
f−
(x0 ) = lim
x→x−
0
f (x) − f (x0 )
,
x − x0
0
resp. f+
(x0 ) = lim
x→x+
0
f (x) − f (x0 )
,
x − x0
pokud tyto limity existujı́ a jsou vlastnı́.
• Přeznačenı́m x0 → x, x − x0 → h zı́skáme alternativnı́ vyjádřenı́ derivace funkce f v bodě
x ∈ D(f )
f (x + h) − f (x)
.
h→0
h
f 0 (x) = lim
• Mějme funkci f definovanou na D(f ), která má derivaci v každém bodě D(f ). Funkce f 0 , pro
kterou platı́
f 0 : y = f 0 (x),
∀x ∈ D(f )
se nazývá derivace funkce f .
0
• Pokud existuje funkce f 00 : y = (f 0 (x)) , pak ji nazýváme druhá derivace funkce f , analogicky
0
jsou definované derivace funkce f vyššı́ch řádů, obecně f (n) = f (n−1) . Značı́me je f 00 , f 000 ,
. . . , resp. f (2) , f (3) ,. . .
• Mějme funkce f, g : R → R, které majı́ v x0 ∈ R derivace f 0 (x0 ) a g 0 (x0 ), dále mějme konstantu
c ∈ R. Pak platı́:
(c · f )0 (x0 ) = c · f 0 (x0 );
(f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 );
(f − g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) − g 0 (x0 );
(f.g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 );
a je-li navı́c g(x0 ) 6= 0, platı́
0
f
f 0 (x0 ) · g(x0 ) − f (x0 ) · g 0 (x0 )
(x0 ) =
.
g
g 2 (x0 )
• Věta o derivaci složené funkce. Necht’ f : R → R má vlastnı́ derivaci v bodě x0 ∈ R a g : R → R
vlastnı́ derivaci v bodě f (x0 ). Pak existuje vlastnı́ derivace složené funkce g ◦ f v bodě x0 a je
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 ).
• Věta o derivaci inverznı́ funkce. Mějme f : R → R spojitou a ryze monotónnı́ na intervalu I,
dále necht’ f −1 je funkce inverznı́ k f na R a dále mějme vnitřnı́ bod x0 intervalu I. Jestliže
f 0 (x0 ) ∈ R∗ \ {0}, pak
(f −1 )0 (f (x0 )) =
1
.
f 0 (x0 )
KAPITOLA 6. DERIVACE FUNKCE
59
6.1. Tabulka derivacı́ elementárnı́ch funkcı́
(c)
0
0
=0
(xn )
0
= ex
(ln x)
0
= ax ln a
(loga x)
0
= cos x
(arcsin x)
0
= − sin x
(arccos x)
(ex )
(ax )
(sin x)
(cos x)
0
(tgx)
1
cos2 x
1
=− 2
sin x
=
(cotgx)
0
0
0
0
0
0
(arctgx)
(arccotgx)
0
= nxn−1
1
=
x
1 1
=
x ln a
1
=p
1 − x2
1
= −p
1 − x2
1
=
1 + x2
1
=−
1 + x2
Dovednosti - řešené přı́klady
6.2. Výpočty derivacı́ dle definice
Přı́klad 6.1 Dle definice určete derivaci funkce f : y =
√
x v bodě a = 1.
f (x) − f (x0 )
. Dosadı́me za f a za x0 a upravujeme
x − x0
√
√
x− 1
f 0 (1) = lim
x→1
x−1
√
√
x−1
x+1
·√
= lim
x→1 x − 1
x+1
x−1
1
√
= lim
= ·
x→1 (x − 1) · ( x + 1)
2
Řešenı́ Podle definice je f 0 (x0 ) = lim
x→x0
Derivace funkce f : y =
√
x v bodě a = 1 je rovna jedné polovině.
6.3. Výpočty derivacı́ součtu, rozdı́lu, součinu a podı́lu funkcı́
Přı́klad 6.2 Určete derivaci funkce f : y = x4 + 1/x2 −
√
x.
Řešenı́ Dle věty o derivaci součtu a rozdı́lu upravı́me
√
√
f 0 : y = (x4 + 1/x2 − x)0 = (x4 )0 + (1/x2 )0 − ( x)0 .
Upravı́me výrazy na mocniny s racionálnı́m exponentem f 0 : y = (x4 )0 + (x−2 )0 − (x1/2 )0 a funkce
zderivujeme podle tabulky derivacı́ elementárnı́ch funkcı́. Výsledek upravı́me do tvaru:
2
1
f 0 : y = 4x3 − 3 + √
x
2 x
Pro korektnost výsledku musı́me určit definičnı́ obor: D(f ) = h0, ∞), D(f 0 ) = (0, ∞).
60
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Přı́klad 6.3 Určete derivaci funkce f : y = 3x ·
√
1
+
x
.
x2
Řešenı́ Ukážeme dvě možnosti postupu.
Postup nejprve dle věty o derivaci součinu.
√
1
+ x))0
2
x
√
√ 0
1
1
0
+
+
=(3x) ·
x
+
3x
·
x
x2
x2
√
1
2
1
√
=3
+
x
+
3x
·
−
+
x2
x3
2 x
√
3√
3
6
= 2 +3 x− 2 +
x
x
x
2
9√
3
=
x − 2·
2
x
f 0 : y =(3x · (
Postup, ve kterém výraz nejprve upravı́me.
0
√
1
f : y = 3x ·
+ x
x2
√ 0
3x
=
x
+
3x
·
x2
0
= 3x−1 + 3x3/2
0
3
+ 3 · 3/2 · x1/2
x2
9√
3
=
x − 2·
2
x
=−
Definičnı́ obor: D(f ) = (0, ∞) D(f 0 ) = (0, ∞).
Přı́klad 6.4 Určete derivaci funkce f : y =
ex + 1
.
ex − 1
Řešenı́ Použijeme větu o derivaci podı́lu a dále upravujeme.
0
ex + 1
ex − 1
(ex + 1)0 · (ex − 1) − (ex + 1) · (ex − 1)0
=
(ex − 1)2
x
x
e · (e − 1) − (ex + 1) · ex
=
(ex − 1)2
2x
x
e − e − (e2x + ex )
=
(ex − 1)2
x
−2e
= x
·
(e − 1)2
f0 : y =
Definičnı́ obor: D(f ) = D(f 0 ) = R \ {0}.
6.4. Výpočty derivacı́ dle věty o derivaci složené funkce
Přı́klad 6.5 Určete derivaci funkce f : y = sin2 x.
KAPITOLA 6. DERIVACE FUNKCE
61
Řešenı́ Použijeme větu o složené funkcı́ a dále upravujeme.
0
f 0 : y = sin2 x
0
= (sin x)2
=2 · (sin x) · (sin x)0
=2 · sin x · cos x
= sin 2x.
Přı́klad 6.6 Určete derivaci funkce f : y =
√
x3 − x.
Řešenı́ Použijeme větu o derivaci složené funkce a dále upravujeme.
p
0
f0 : y =
x3 − x
0
1
· x3 − x
= √
3
2 x −x
3x2 − 1
= √
·
2 x3 − x
Definičnı́ obor: nerovnice x3 − x ≥ 0 (resp. x3 − x > 0) řešı́me např. metodou nulových bodů, proto
D(f ) = h−1, 0i ∪ h1, ∞), D(f 0 ) = (−1, 0) ∪ (1, ∞).
x
Přı́klad 6.7 Určete derivaci funkce f : y = e x+1 .
Řešenı́ Použijeme větu o derivaci složené funkce, větu o derivaci podı́lu a dále upravujeme.
x 0
f 0 : y = e x+1
0
x
x
=e x+1 ·
x+1
x
1
=e x+1 ·
·
(x + 1)2
Definičnı́ obor: D(f ) = D(f 0 ) = R \ {−1}.
Přı́klad 6.8 Určete derivaci funkce f : y = arcsin √xx2 +1 ·
Řešenı́ Použijeme větu o derivaci složené funkce, větu o derivaci podı́lu a tabulku derivacı́ elementárnı́ch
funkcı́.
0
x
f 0 : y = arcsin √
x2 + 1
0
1
x
r
√
=
2 ·
x2 + 1
1 − √xx2 +1
√
1 · x2 + 1 + x · 2√x12 +1 · 2x
1
=q
·
2
x2 + 1
1 − x2x+1
√
x2 + 1
x2 + 1 − x2
√
=
·
2
1
(x + 1) · x2 + 1
1
= 2
·
x +1
Definičnı́ obor: řešı́me nerovnice −1 ≤
√ x
x2 +1
≤ 1, proto D(f 0 ) = D(f ) = R.
Přı́klad 6.9 Určete derivaci funkce f : y = ln2 x + ln(ln x).
62
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Řešenı́ Použijeme větu o derivaci složené funkce a tabulku derivacı́ elementárnı́ch funkcı́.
0
f 0 : y = ln2 x + ln(ln x)
1
0
0
=2 ln x · (ln x) +
· (ln x)
ln x
2
1
= ln x +
·
x
x ln x
Definičnı́ obor: řešı́me nerovnice x > 0 a ln x > 0 =⇒D(f 0 ) = D(f ) = (1; ∞).
Přı́klad 6.10 Určete derivaci funkce f : y = max{x2 − 1, x3 − x}. Rozhodněte, zda má funkce na D(f )
spojitou derivaci.
Řešenı́ Je vhodné rozepsat vyjádřenı́ funkce f do intervalů, proto nejprve vyřešı́me následujı́cı́ nerovnici např. metodou nulových bodů:
x2 − 1 <x3 − x
(x − 1)(x + 1) <x(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x + 1) − x(x − 1)(x + 1) <0
(x − 1)(x + 1)(1 − x) <0.
Nulové body jsou {0, 1}, řešenı́m nerovnice je (−1, 1) ∪ (1, ∞), což je množina takových x, pro které je
hodnota x3 − x většı́ než hodnota x2 − 1. Vyjádřenı́ funkce f tedy můžeme přepsat do tvaru

2

x − 1, x ∈ (−∞, −1)
f : y = x3 − x, x ∈ (−1, 1) ∪ (1, ∞)


0,
x = ±1.
Analyzujeme chovánı́ funkce f v okolı́ bodů ±1. Nejprve spojitost funkce f v bodě −1:
f (−1) = 0
lim f (x) =
x→−1−
lim f (x) =
x→−1+
lim (x2 − 1) = 0
x→−1−
lim (x3 − x) = 0.
x→−1+
Protože jednostranné limity jsou shodné a jsou rovné funkčnı́ hodnotě, je funkce f v bodě −1 spojitá.
Spojitost funkce f v bodě 1:
f (1) =0
3
lim f (x) = lim (x − x) =0
x→1−
x→1−
lim f (x) = lim (x3 − x) =0.
x→1+
x→1+
Také v bodě 1 je funkce f spojitá, je tedy spojitá na celém definičnı́m oboru. Určı́me derivaci funkce:
(
2x − 1 x ∈ (−∞, −1)
f0 : y =
3x2 − 1 x ∈ (−1, 1) ∪ (1, ∞).
Dále určı́me hodnoty jednostranných derivacı́ nejprve v bodě −1
0
f+
(−1) = 2(−1) − 1 = −3
0
f−
(−1) = 3(−1)2 − 1 = 2.
Hodnoty jednostranných derivacı́ se lišı́. Určı́me hodnoty jednostranných derivacı́ v bodě 1:
0
f+
(1) = 3(1)2 − 1 = 2
0
f−
(1) = 3(1)2 − 1 = 2.
Funkce je v bodě x = 1 je spojitá a má obě jednostranné derivace stejné.
KAPITOLA 6. DERIVACE FUNKCE
63
6.5. Výpočty derivacı́ dle věty o derivaci inverznı́ funkce
Přı́klad 6.11 Dle věty o derivaci inverznı́ funkce určete derivaci funkce g : y =
−1 0
√
5
x.
1
Řešenı́ Dle věty o derivaci inverznı́ funkce je (f ) (x) = f 0 (f −1 (x) , pokud je f spojitá a ryze monotónnı́
a má vlastnı́ derivaci ve všech bodech. Funkce g je rostoucı́ a ryze monotónnı́, vlastnı́ derivaci má na
R \ {0}. Označme tedy funkci g na R \ {0} jako f − 1, takže funkce f je dána předpisem f : y = x5 , je
spojitá a ryze monotónnı́ na R \ {0} a f −1 = g. Proto platı́
1
(f −1 )0 (x) = 0 −1
dosadı́me za f −1
f (f (x)
√
1
( 5 x)0 = 0 √
použijeme derivacif 0 : y = 5x4
f ( 5 x)
1
= √
5( 5 x)4
1
= x−4/5 ·
5
√
5
Derivace funkce g : y = x je rovna 15 x−4/5 na množině R \ {0}.
Dovednosti - úlohy
Úloha 6.1 Derivace funkce. Podle definice vypočı́tejte derivaci funkce f v bodě a:
√
1
a) f : y = x, a = 4;
b) f : y = x3 + 1, a = 0;
c) f : y = , a = −1;
x
1
π
d) f : y = ln x, a = 1;
e) f : y = √
, a = 2;
f) f : y = sin 2x, a = ;
4
x+2
√
3
2
g) f : y =sign(x), a = 0;
h) f : y = x , a = 0.
[ a) 1/4;
d) 1;
g) nenı́ def.;
b) 0;
e) −1/16;
h) 0.
c) −1; ]
f) 0;
Úloha 6.2 Derivace funkce. Vypočı́tejte derivace funkce na D(f 0 ).
x2
x3
+
− 2x;
3
2
√
√
√
d) f : y = 2 x + 3 3 x − 4 6 x.
a) f : y = 2 + x + x2 ;
c) f : y =
b) f : y =
3
2
1
+ 2+ ;
x
x3
x
[ a) f 0 : y = 1 + 2x;
c) f 0 : y = −9x−4 − 4x−3 − x−2 ;
b) f 0 : y = x2 + x − 2;
]
d) f 0 : y = x−1/2 + x−2/3 − 2/3x−5/6 .
Úloha 6.3 Derivace funkce. Vypočı́tejte derivace funkce na D(f 0 ).
a) f : y = (x2 + 3x − 1)(2x + 3); b) f : y = x ln x;
c) f : y = ln2 x;
x 2
x 3
2
e) f : y = e (x − 3x + 6x − 6); f) f : y = x(sin x + ln x);
d) f : y = e (x − 2x + 2);
g) f : y = (x2 + 1) sin x;
h) f : y = sin x cos x;
i) f : y = ex ln x;
x − sin x cos x
j) f : y =
;
k) f : y = x sin x + cos x;
l) f : y = x ln x − x;
2
2
x 1+x
m) f : y = ex (sin x − cos x);
n) f : y = − +
arctgx.
2
2
[ a) f 0 : y = 6x2 + 18x + 7;
d) f 0 : y = x2 ex ;
g) f 0 : y = 2x · sin x + (x2 + 1) · cos x;
f0
sin2
j)
:y=
x;
m) f 0 : y = 2ex sin x;
b) f 0 : y = ln x + 1;
e) f 0 : y = x3 ex ;
h) f 0 : y = cos 2x;
k) f 0 : y = x cos x;
n) f 0 : y = x arctg x.
c) f 0 : y = 2 ln x/x;
]
f) f 0 : y = sin x + x cos x + ln x + 1;
ex
i) f 0 : y = ex · ln x +
;
x
0
l) f : y = ln x;
64
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha 6.4 Derivace funkce. Vypočı́tejte derivace funkce na D(f 0 ).
x2 − 1
2x
b) f : y = 2
;
a) f : y =
2;
1−x
x +1
2
1+x−x
sin x
;
d) f : y =
e) f : y =
2;
1 − cos x
1−x+x
ex − 1
2 sin x
g) f : y = x
;
h) f : y =
;
e +1
sin x − cos x
[ a) f 0 : y = 2(1 + x2 )/(1 − x2 )2 ;
d) f 0 : y = 2(1 − 2x)/(1 − x + x2 )2 ;
g) f 0 : y = 2 · ex / (ex + 1)2 ;
b) f 0 : y = 4x/(x2 + 1)2 ;
e) f 0 : y = 1/(cos x − 1);
h) f 0 : y = 2/(sin 2x − 1);
x2
;
x+1
1 − cos x
f) f : y =
;
sin x + cos x
x ln x
i) f : y =
.
1 + ln x
c) f : y =
c) f 0 : y = (x2 + 2x)/(x + 1)2 ;
]
f) f 0 : y = (1 + sin x − cos x)/(1 + sin 2x);
i) f 0 : y = (ln2 x + ln x + 1)/(1 + ln x)2 .
Úloha 6.5 Derivace
funkce. Vypočı́tejte derivace funkce na D(f 0 ).
√
2
b) f : y = (x2 + 5x + 7)8 ;
a) f : y = px + 3x + 1;
√
d) f : y = 1 + ln2 x;
e) f : y = e x+1 ;
2−x
;
g) f : y = ln cos x;
h) f : y = ln
2+x
√
[ a) f 0 : y = (2x + 3)/(2
x2 + 3x + 1);
p
0
d) f : y = ln x/(x 1 + ln2 x);
g) f 0 : y = −tg x;
√
c) f : y = ln x;
f) f : y = ln(x3 + 7x + 2);
i) f : y = ln(tg x).
b) f 0 : y = 8(x2 + 5x + 7)7 (2x + 5);
√
√
e) f 0 : y = (e x+1 )/(2 x + 1);
0
2
h) f : y = 4/(x − 4);
Úloha 6.6 Derivace funkce. Vypočı́tejte derivace funkce na D(f 0 ).
√
√
a) f : y = ln(x + x2 + 1);
b) f : y = ln(x − x2 − 1);
s
√
1 + sin x
;
d) f : y = ln(2x+1+2 x2 + x); e) f : y = ln
1 − sin x
√
[ a) f 0 : y = 1/ √x2 + 1;
0
d) f : y = 1/ x2 + x;
√
b) f 0 : y = −1/ x2 − 1;
0
e) f : y = 1/ cos x;
√
c) f 0 : y = 1/(2x ln x);
]
f) f 0 : y = (3x2 + 7)/(x3 + 7x + 2);
i) f 0 : y = 2/ sin 2x.
1+x
;
1−x
p
x + x2 − 1
f) f : y = ln
.
x
c) f : y = arctg
]
c) f 0 : y = 1/(1 √
+ x2 );
√
f) f 0 : y = (x − x2 − 1)/(x x2 − 1).
Úloha 6.7 Derivace funkce. Vypočı́tejte derivaci funkce f a upravte ji na co nejjednoduššı́ tvar, jestliže
funkce f je daná předpisem:
a) f : y = |x − 3| + |x + 1|;
b) f : y = (x2 − 1)ex ;
c) f : y = 4 + (x − x3 ) ln x;
ln x
x
d) f : y = 5e3x+2 ;
e) f : y =
;
f) f : y =
.
x
ln x
[ a) f 0 : y = −2 na (−∞, −1), 0 na (−1, 3), 2 na (3, ∞); v bodech −1, 3 neexistuje;
]
b) f 0 : y = (x2 + 2x − 1)ex ; c) f 0 : y = ln x − 3x2 ln x − x2 + 1; d) f 0 : y = 15e3x+2 ;
1 − ln x
ln x − 1
;
f) f 0 : y =
.
e) f 0 : y =
x2
ln2 x
Úloha 6.8 Derivace funkce. Vypočı́tejte derivaci funkce f a upravte ji na co nejjednoduššı́ tvar, jestliže
funkce f je daná předpisem (a, b ∈ R jsou konstanty):
a) f : y = e3x − e−3x ;
b) f : y = eax cos bx;
c) f : y = (x2 + 2x − 2)e3x ;
x
e −1
d) f : y = x
;
e) f : y = x2 e−x ;
f) f : y = ln(2x + 3);
e +1
1 − sin x
1 + ln x
g) f : y = ln4 x;
h) f : y = ln
;
i) f : y =
.
1 + sin x
1 − ln x
[ a) 3(e3x + e−3x );
d) 2ex /(ex + 1)2 ;
g) 4 ln3 x/x;
b) eax (a cos bx − b sin bx);
e) −e−x (x2 − 2x);
h) −2 cos x/ cos(2x);
c) e3x (3x2 + 8x − 4); ]
f) 2/(2x + 3);
i) 2/(x(1 − ln x)2 ).
Úloha 6.9 Derivace funkce. Vypočı́tejte derivaci funkce f a upravte ji na co nejjednoduššı́ tvar, jestliže
funkce f je daná předpisem (a, b, c ∈ R jsou reálné parametry):
KAPITOLA 6. DERIVACE FUNKCE
a) f : y = x2 (3x + 5)8 ;
√
d) f : y = a3 − x3 ;
g) f : y = cos(5x + 3);
65
√
2 + bx + c;
ax√
1+ x
√ ;
e) f : y =
1− x
h) f : y = 2 sin x + sin 2x;
b) f : y =
[ a) (3x +√
5)7 (3x + 1)10x;
d) −x2 / a3 − x3 ;
g) −5 sin(5x + 3);
√
3
x2 + 1;
√
1
f) f : y = ( x + √ )100 ;
x
i) f : y = cos x2 + cos2 x.
c) f : y =
p
b) (2a + b)/(2 (ax2 + bx + c));
√ 2√
e) 1/((1 − x) x);
h) 2(cos x + cos 2x);
p
c) 2x/(3 (x + 1)3 );
]
√
√
√
f) 50( x + 1/ x)99 · (1 − 1/x)/ x;
i) −2x sin x2 − sin 2x.
Úloha 6.10 Derivace 2. řádu. Vypočı́tejte f 00 , jestliže f je funkce daná předpisem:
√
2
a) f : y = 3x2 − 5x + 6;
b) f : y = x;
c) f : y = xe−x ;
1+x
d) f : y =
;
e) f : y = x ln x;
f) f : y = ln(1 + x2 );
1√
−x
g) f : y = x x + 1;
h) f : y = cos 5x;
i) f : y = tg x.
[ a) f 00 : y = 6;
4
;
(1 − x)3
4 + 3x
:y=
;
4(1 + x)3/2
b) f 00 : y = −1/4x−3/2 ;
d) f 00 : y =
e) f 00 : y = 1/x;
g) f 00
h) f 00 : y = −25 cos 5x;
2
c) f 00 : y = e−x (4x3 − 6x); ]
2(1 − x2 )
;
f) f 00 : y =
(1 + x2 )2
2 sin x
i) f 00 : y =
.
cos3 x
Úloha 6.11 Derivace funkce v bodě. Najděte derivaci funkce v daném bodě:
√
a) f : y = ln (4 − x) pro x = 1; x = 4; x = 5;
b) f : y = x pro√x = 0; x = 1; x = 16;
c) f : y = (x2 − 1)2/3 pro x = 0; x = 1; x = −1;
d) f : y = ln(x + 1 + x2 ) pro x = 0.
[ a) f 0 (1) = −1/3, f 0 (4), f 0 (5) neexistujı́ (4, resp. 5 nepatřı́ do definičnı́ho oboru funkce); ]
1
b) f 0 (0) neexistuje, f 0 (1) = , f 0 (16) = 1/8;
2
c) f 0 (0) = 0, f 0 (1), f 0 (−1) neexistujı́;
d) f 0 (x) = (1 + x2 )−1/2 , f 0 (0) = 1.
Úloha 6.12 Derivace funkce. Podle věty o derivaci inverznı́ funkce určete derivaci funkce f :
√
√
a) f : y = 3 x;
b) f : y = 4 x;
c) f : y = log x;
d) f : y =arctgx.
[ a)
c)
1
3
1
x
· x−2/3 ;
· ln110 ;
b)
d)
1
4
· x−3/4 ; ]
1
·
1+x2
Schopnosti - aplikace
Úloha 6.13 Derivace funkce, aplikace. Cena určitého zbožı́ v současnosti je 120 korun. Předpokládá se, že
cena tohoto zbožı́ roste tak, že t měsı́ců později bude určena funkcı́ P (t) = 120 + 0, 1t + 0, 05t2 .
a) Jakou rychlostı́ se měnı́ cena zbožı́ na konci 2. měsı́ce?
b) Jakou rychlostı́ se měnı́ cena zbožı́ na konci 9. týdne?
[ a) P 0 (2) = 0, 3 korun/měsı́c;
]
b) P 0 (2, 25) = 0, 325 korun/měsı́c.
Úloha 6.14 Určitý objekt se pohybuje po přı́mce tak, že po t minutách jeho vzdálenost od výchozı́ho
5
bodu je D(t) = 10t +
metrů.
t+1
a) Jakou rychlostı́ se pohybuje objekt na konci 4. minuty?
b) Jakou vzdálenost ujel objekt v průběhu 5. minuty?
[ a) D0 (4) = 9, 8 m/min;
]
b) D(5) − D(4) = 9, 83 m.
66
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Otestujte se
Úloha 6.15 Podle definice vypočı́tejte derivaci funkce f v bodě a:
a) f : y = ln(1/x2 ), a = e;
b) f : y = x1/3 , a = 0.
[ a) −2/e;
]
b) derivace neexistuje, limita je rovna ∞.
Úloha 6.16 Určete derivace následujı́cı́ch funkcı́
√
a) f : y = ln x2 + 1;
b) f : y =
ex + e−x
·
ex − e−x
x
]
;
x2 + 1
−4
·
b) f 0 : y = x
(e − e−x )2
[ a) f 0 : y =
KAPITOLA 7
Aplikace derivacı́
Výstupy ze studia, Learning Outcomes
Znalosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
•
•
•
•
•
•
•
popı́še význam tečny grafu funkce v daném pro studium chovánı́ funkce v okolı́ tohoto bodu;
definuje stacionárnı́ body funkce;
popı́še vztah mezi prvnı́ derivacı́ funkce a intervaly monotónnosti funkce;
popı́še kriteria pro existenci a druh lokálnı́ch extrémů funkce;
popı́še postup pro určenı́ extrémů funkce na uzavřeném intervalu;
definuje konvexnost a konkávnost funkce na množině;
popı́še vztah mezi druhou derivacı́ funkce a konvexnostı́ a konkávnostı́ funkce v bodě, na
množině;
• definuje inflexnı́ body funkce;
• popı́še kriteria pro určenı́ inflexnı́ch bodů funkce;
• reprodukuje Rolleovu, Lagrangeovu a Cauchyovu větu o střednı́ hodnotě a deklaruje podmı́nky,
za kterých uvedené věty platı́.
Dovednosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• určı́ rovnici tečny grafu funkce v daném bodě, přı́padně rozhodne o jejı́ neexistenci v některých
bodech;
• určı́ intervaly monotonie funkce;
• určı́ stacionárnı́ body funkce;
• určı́ body, v nichž neexistuje derivace funkce;
• určı́ intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce;
• určı́ inflexnı́ body funkce;
• rozhodne pomocı́ kritériı́ o existenci lokálnı́ch extrémů funkce, určı́ jejich druh a určı́ extremálnı́
hodnoty funkce;
• určı́ extrémy funkce na uzavřeném intervalu.
Schopnosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• aplikuje zı́skané znalosti a dovednosti v problematice jednorozměrných optimalizačnı́ch úloh
a vhodně interpretuje zı́skané výsledky.
67
68
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Znalosti - stručný přehled
• Vztah derivace a monotónosti. Mějme funkci f , která má derivaci na D(f ) a dále mějme interval I ⊂ D(f ). Pak platı́
(∀x ∈ I : f 0 (x) > 0) =⇒ f je na I rostoucı́, symbolicky f %
(∀x ∈ I : f 0 (x) < 0) =⇒ f je na I klesajı́cı́, symbolicky f & .
Slovně vyjádřeno: jestliže je na I derivace f 0 kladná, pak je funkce f na I rostoucı́. Jestliže je na
I derivace f 0 záporná, pak je funkce f na I klesajı́cı́.
• Tvrzenı́ předchozı́ věty jsou ve tvaru implikace (jestliže f 0 (x) > 0, pak f %, . . . ). Funkce tedy
může být rostoucı́ na množině M, i když na M nemá derivaci! Přı́kladem takové funkce je
posloupnost, f : y = n2 , n ∈ N. Analogicky pro funkci klesajı́cı́.
• O tečně a normále. Má-li f : R → R v bodě x0 ∈ D(f ) derivaci f 0 (x0 ) ∈ R∗ , potom tečna
t : y = kt · x + qt ke grafu funkce f s dotykovým bodem [x0 , f (x0 )] má rovnici
t : y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ), je-li f 0 (x0 ) ∈ R
t : x = x0 , je-li lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
= ±∞·
x − x0
Směrnice kt tečny t je tedy rovna kt = f 0 (x0 ). Normála n ke grafu funkce f přı́slušná k tečně t
s dotykovým bodem [x0 , f (x0 )] má rovnici
n : y − f (x0 ) = −
1
(x − x0 ), je-li f 0 (x0 ) 6= 0
f 0 (x0 )
n : x = x0 , je-li f 0 (x0 ) = 0·
1
Směrnice kn normály n je tedy pro f 0 (x0 ) 6= 0 rovna kn = − f 0 (x
.
0)
0
• Bod x0 ∈ D(f ), ve kterém je derivace funkce rovna nule, f (x0 ) = 0, se nazývá stacionárnı́ bod
funkce f .
• Mějme funkci f . V bodě x0 ∈ D(f ) má funkce lokálnı́ minimum f (x0 ), pokud existuje interval
(a, b) ⊂ D(f ) takový, že x0 ∈ (a, b) a
∀x ∈ (a, b) : f (x) ≥ f (x0 ).
Vyjádřeno slovně pokud existuje interval (a, b) obsahujı́cı́ bod x0 takový, že pro všechny hodnoty x z tohoto intervalu platı́ f (x) ≥ f (x0 ), pak bod x0 nazýváme lokálnı́ minimum.
• V bodě x0 ∈ D(f ) má funkce lokálnı́ maximum f (x0 ), pokud existuje interval (a, b) ⊂ D(f ) takový,
že x0 ∈ (a, b) a
∀x ∈ (a, b) : f (x) ≤ f (x0 ).
Vyjádřeno slovně pokud existuje interval (a, b) obsahujı́cı́ bod x0 takový, že pro všechny hodnoty x z tohoto intervalu platı́ f (x) ≥ f (x0 ), pak bod x0 nazýváme lokálnı́ maximum.
• Lokálnı́ minima a lokálnı́ maxima funkce nazýváme souhrnně lokálnı́ extrém funkce.
• O lokálnı́m extrému. Mějme funkci f , která má v bodě x0 ∈ D(f ) lokálnı́ maximum nebo
lokálnı́ minimum. Pak f 0 (x0 ) neexistuje, nebo je f 0 (x0 ) = 0.
• O globálnı́m extrému. Necht’ a, b ∈ R a f : R → R je spojitá na ha, bi. Označme
M = {x ∈ (a, b)|f 0 (x) = 0} ∪ {x ∈ (a, b)|f 0 (x) neexistuje} ∪ {a, b}.
Pak
max f (x) = max f (x),
x∈ha,bi
x∈M
min f (x) = min f (x).
x∈ha,bi
x∈M
Slovně vyjádřeno maximum na uzavřeném intervalu ha, bi nabývá funkce f bud’ v krajnı́ch
bodech intervalu, v bodech, kde je derivace nulová, nebo v bodech, kde derivace neexistuje.
KAPITOLA 7. APLIKACE DERIVACÍ
69
def
• Mějme funkci f definovanou na intervalu I. Řı́káme, že funkce f je (ryze) konvexnı́ na I ⇐⇒
∀a, b, c ∈ I, a < b < c :
f (b) − f (a)
f (c) − f (a)
<
.
b−a
c−a
Slovně vyjádřeno: funkce je konvexnı́ na I, když pro libovolnou uspořádanou trojici a, b, c takovou, že a < b < c, je směrnice sečny grafu funkce f určené body a, b menšı́ než směrnice
def
sečny grafu funkce f určené body a, c. Řı́káme, že funkce f je (ryze) konkávnı́ na I ⇐⇒
∀a, b, c ∈ I, a < b < c :
f (b) − f (a)
f (c) − f (a)
>
.
b−a
c−a
Slovně vyjádřeno: funkce je konkávnı́ na I, když pro libovolnou uspořádanou trojici a, b, c takovou, že a < b < c, je směrnice sečny grafu funkce f určené body a, b většı́ než směrnice sečny
grafu funkce f určené body a, c.
• Vztah druhé derivace, konvexnosti a konkávnosti. Mějme funkci f , která má druhou derivaci
na D(f ) a dále mějme interval I ⊂ D(f ). Pak platı́
(∀x ∈ I : f 00 (x) > 0) =⇒ f je na I konvexnı́, symbolicky f ^,
(∀x ∈ I : f 00 (x) < 0) =⇒ f je na I konkávnı́, symbolicky f _ .
Slovně vyjádřeno: jestliže je na I druhá derivace f 00 kladná, pak je funkce f na I konvexnı́.
Jestliže je na I druhá derivace f 00 záporná, pak je funkce f na I konkávnı́.
• Bod, v jehož levém (resp. pravém) okolı́ je funkce konvexnı́ a v pravém (resp. levém) okolı́ je
funkce konkávnı́, se nazývá inflexnı́ bod.
• l’Hospitalovo pravidlo. Mějme funkce f, g : R → R a bod a ∈ R∗ . Necht’ existuje limita
f 0 (x)
=A
x→a g 0 (x)
lim
a dále je splněna jedna z podmı́nek:
bud’ lim f (x) = lim g(x) = 0,
x→a
x→a
nebo lim |g(x)| = ∞.
x→a
f (x)
x→a g(x)
Pak exituje také limita lim
a platı́
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
= A.
x→a g(x)
x→a g (x)
lim
Dovednosti - řešené přı́klady
7.1. Tečna a normála grafu funkce
Přı́klad 7.1 Určete rovnici tečny t a normály n funkce f : y =
x+1
x−1
v bodě x = 0.
−2
Řešenı́ Nejprve určı́me funkčnı́ hodnotu, f (0) = −1. Dále určı́me derivaci f 0 : y = (x−1)
2 a jejı́ hodnotu
0
v bodě x = 0: f (0) = −2. Vyjádřı́me rovnici tečny a rovnici normály dané funkce v daném bodě:
tečna t :
normála n :
y − (−1) = − 2 · (x − 0)
y = − 2x − 1,
1
y − (−1) = −
· (x − 0)
−2
x
y = − 1.
2
70
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
7.2. Extrémy funkce na uzavřeném intervalu
Přı́klad 7.2 Určete extrémy funkce f : y = x6 − 3x2 na intervalu h−1, 5, 2i.
Řešenı́ Funkce je spojitá na h−1, 5, 2i, můžeme tedy použı́t větu o extrému funkce na uzavřeném intervalu. Nejprve určı́me derivaci funkce, f 0 : y = 6x5 − 6x. Dále určı́me body, v nichž je derivace rovna
nule, a body, v nichž derivace neexistuje. Řešı́me proto rovnici 6x5 − 6x = 0, jejı́mž řešenı́m jsou body
−1; 0; 1. Body, v nichž neexistuje derivace, tato funkce nemá. Nynı́ vypočteme funkčnı́ hodnoty :
297
f (−1, 5) =
64
f (−1) = − 2
f (0) =0
f (1) = − 2
f (2) =52.
Minimum je −2 a funkce jej dosahuje ve dvou bodech, x = ±1. Maximum je 52 a funkce jej dosahuje
v krajnı́m bodě intervalu pro x = 2.
7.3. Intervaly monotonie funkce, stacionárnı́ body, lokálnı́ extrémy funkce
2
Přı́klad 7.3 Určete intervaly, na kterých je funkce f : y = x2 · e−x ryze monotónnı́ a určete jejı́ lokálnı́
extrémy.
2
Řešenı́ Funkce f je spojitá na R, určı́me jejı́ derivaci: f 0 : y = −2e−x x(x2 − 1) a budeme řešit nerovnici
f 0 (x) >0
2
−2e−x x(x2 − 1) >0
−x2
2
e|{z} x(x − 1) <0
vydělı́me -2
řešı́me metodou nulových bodů
>0
x ∈(−∞, −1) ∪ (0, 1)
Platı́ tedy

0

(−∞, −1) ∪ (0, 1) f (x) > 0 funkce je rostoucı́,f %
x ∈ (−1, 0) ∪ (1, ∞)
f 0 (x) < 0 funkce je klesajı́cı́,f &


{−1, 0, 1}
f 0 (x) = 0 funkce má stacionárnı́ body
V levém okolı́ bodu x = −1 je f %, v pravém je f &, tedy v x = −1 je lokálnı́ maximum. V levém okolı́
bodu x = 0 je f %, v pravém je f &, tedy v x = 0 je lokálnı́ minimum. V levém okolı́ bodu x = 1 je f %,
v pravém je f &, tedy v x = 1 je lokálnı́ maximum.
Vše lze přehledněji znázornit následujı́cı́ tabulkou. Kladnou hodnotu budeme značit symbolem +,
zápornou symbolem −, nulovou symbolem •. Ve stacionárnı́ch bodech jsou tečny vodorovné, v tabulce
symbolicky znázorněné vodorovnou šipkou.
x
(−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, ∞)
f 0 (x)
+
•
−
•
+
•
−
f (x)
%
→
&
→
%
→
&
Zı́skané informace lze porovnat s grafem funkce na obrázku 2:
KAPITOLA 7. APLIKACE DERIVACÍ
71
2
O BR ÁZEK 2. Graf funkce x2 · e−x .
7.4. l’Hospitalovo pravidlo
Přı́klad 7.4 Určete limitu
x3
x→∞ e3x
Řešenı́ Ověřı́me předpoklady pro užitı́ l’Hospitalova pravidla podle druhého předpokladu:
lim
lim e3x = ∞. Použitı́ l’Hospitalova pravidla budeme zdůrazňovat symbolem
x→∞
x3
x→∞ e3x
lim
l0 Hosp.
= . Platı́
(x3 )0
3x2
= lim
l’Hospitalovo pravidlo podruhé
3x
0
x→∞ (e )
x→∞ 3e3x
2x
(x2 )0
l0 Hosp.
l’Hospitalovo pravidlo potřetı́
=
lim 3x 0 = lim
x→∞ 3e3x
x→∞ (e )
(x)0
2
1
l0 Hosp. 2
=
lim 3x 0 =
lim
3 x→∞ (e )
3 x→∞ 3e3x
= 0.
l0 Hosp.
=
lim
Přı́klad 7.5 Určete limitu
√
x− 3
lim
x→3
x−3
Řešenı́ Ověřı́me předpoklady pro užitı́ l’Hospitalova pravidla podle prvnı́ho předpokladu:
√
√
lim ( x − 3) = 0, lim (x − 3) = 0. Platı́
x→3
√
x→3
√
lim
x→3
√
x− 3
x−3
√
√
( x − 3)0
= lim
x→3
(x − 3)0
1
= lim √
x→3 2 x
1
= √ ·
2 3
l0 Hosp.
Dovednosti - úlohy
Úloha 7.1 Derivace funkce, geometrický význam. Určete rovnici tečny t ke grafu funkce f v bodě [x0 , y0 ],
jestliže funkce f a bod x0 jsou:
√
a) f : y = 4 x, x0 = 9;
b) f : y = ln x, x0 = 1;
c) f : y = cos x, x0 = 0; x0 = π/2.
[ a) t : y = 2/3x + 6;
b) t : y = x − 1;
c) t : y = 1; t : y = −x + π/2. ]
72
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha 7.2 Derivace funkce, geometrický význam. Pro danou funkci f najděte v uvedených bodech směrnici
kt tečny t ke grafu funkce f a rovnici této tečny, pokud existuje (znázorněte graficky):
3x
, x = 0;
c) f : y = xex , x = 0.
a) f : y = −x2 + 4x + 7, x = 1;
b) f : y = 2
x +1
[ a) kt = 2, t : y = 2x + 8; ]
b) kt = 3, t : 3x − y = 0;
c) kt = 1, t : y = x.
Úloha 7.3 Derivace funkce, geometrický význam. Najděte rovnice tečny t a směrnici normály n ke grafu
funkce f v bodě x0 , jestliže předpis pro funkci f je:
√
√
3x − 4
, x = 1.
a) f : y = x + 1/ x, x0 = 2;
b) f : y =
2x − 5 0
√
√
1
[ a) t : y − 3/2 2 = √ (x − 2); kn = −4 2; ]
4 2
b) t : y − 1/3 = −7/9(x − 1), kn = 9/7.
Úloha 7.4 Derivace funkce, geometrický význam. Napište rovnice tečen ke grafu funkce f v nulových
bodech této funkce:
4x − 5
a) f : y = 4 − x2 ;
b) f : y =
;
c) f : y = x3 − 5x2 + 6x.
x−1
[ a) t : y = −4(x − 2), t : y = 4(x + 2);
]
b) t : y = 16(x − 5/4);
c) t : y = 6x, y = −2(x − 2), t : y = 3(x − 3).
Úloha 7.5 Derivace funkce v bodě, geometrický význam. Napište rovnici té tečny ke grafu funkce f : y =
arccos(1 − 2x), která je rovnoběžná s přı́mkou zadanou rovnicı́ 2x − y = 4.
[ t : 4x − 2y + π = 2. ]
Úloha 7.6 Derivace funkce v bodě, geometrický význam. Necht’ f : y = x2 − 4x − 7.
a) Napište rovnici tečny t ke grafu této funkce v bodě,v němž x = −2.
b) Na grafu funkce najděte všechny body, v nichž je tečna t ke grafu rovnoběžná s osou ox .
c) Na grafu funkce najděte všechny body, v nichž má tečna t ke grafu směrnici rovnou 3.
d) Na grafu funkce najděte všechny body, v nichž je tečna t rovnoběžná s přı́mkou y = 7 − 2x.
[ a) 8x + y + 11 = 0;
c) [7/2, −35/4];
b) [2, −11]; ]
d) [1, −10].
Úloha 7.7 Derivace funkce v bodě. Určete, ve kterých bodech definičnı́ho oboru funkce je derivace funkce
rovna nule a ve kterých bodech derivace neexistuje. Jakou vlastnost má graf funkce v uvedených bodech?
a) f : y = x2 − 3x;
c) f : y = |x
√ − 3|;
e) f : y = x + 4;
b) f : y = x3√− x2 ;
d) f : y = x x;
f) f : y = |x2 − 4|.
KAPITOLA 7. APLIKACE DERIVACÍ
73
3
]
[ a) f 0 ( ) = 0, lokálnı́ minimum;
2
2
b) f 0 ( ) = 0, lokálnı́ minimum; f 0 (0) = 0, lokálnı́ maximum;
3
c) f 0 (0) neexistuje, lokálnı́ minimum;
d) f 0 (0) neexistuje, lokálnı́ minimum;
e) f 0 (−4) neexistuje, lokálnı́ minimum;
f) f 0 (±2) neexistujı́, lokálnı́ minimum.
Úloha 7.8 Určete globálnı́ extrémy daných funkcı́ definovaných na daných intervalech:
x
a) f : y = 2
, x ∈ h−1, 4i;
b) f : y = x2/3 (x − 20), x ∈ h−1, 20i;
x +2
√
x+1
c) f : y = 2
, x ∈ h−7, 0i;
d) f : y = x 4 − x2 , x ∈ h−1, 2i;
x + 2x + 2
1
ln x
2
,e ;
f) f : y = x2 e−x , x ∈ h−2, 2i.
e) f : y = 3 , x ∈
e
x
√
√
[ a) f (−1) = −1/3, f ( 2) = 2/4;
c) f (−2) = −1/2, f (0) = 1/2;
e) f (1/e) = −e3 , f (e1/3 ) = 1/(3e);
b) f (0)
= −48; ]
√ = f (20) = 0, f (8) √
d) f ( 2) = 2, f (−1) = − 3;
f) f (0) = 0, f (−1) = f (1) = 1/e.
Úloha 7.9 Určete intervaly, na kterých je funkce f rostoucı́, na kterých je klesajı́cı́ a určete lokálnı́
extrémy funkce:
x2 − 2x + 1
a) f : y = 2x3 − 6x2 − 18x + 7; b) f : y = 2x2 − ln x;
c) f : y =
;
x2 + 1
2
d) f : y = x2 ex ;
e) f : y = x2 e−x ;
f) f : y = xe−x ;
ln x
x
;
h) f : y = √ ;
g) f : y =
i) f : y = x2 ln x.
ln x
x
[ a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
(−∞, −1) %, v (−1, 3) &, v (3, ∞) %, v −1 lok. maximum, v 3 lok. minimum;
]
(0, 1/2) &, v (1/2, ∞) %, v 1/2 lok. minimum;
(−∞, −1) %, v (−1, 1) &, v (1, ∞) %, v −1 lok. maximum, v 1 lok. minimum;
(−∞, −2) %, v (−2, 0) &, v (0, ∞) %, v −2 lok. maximum, v 0 lok. minimum;
(−∞, 0) &, v (0, 2) %, v (2, ∞) &, v 2 lok. maximum, v 0 lok. minimum;
(−∞, − √1 ) &, v (− √1 , √1 ) %, ( √1 , ∞) &, v − √1 lok. minimum, v √1 lok. maxi2
2
2
2
2
2
mum;
(0, 1) &, v (1, e) &, v (e, ∞) %, v e lok. minimum;
v (0, e2 ) %, v (e2 , ∞) &, v e2 lok. maximum;
√
√
√
v (0, 1/ e) &, v (1/ e, ∞) %, v 1/ e lok. minimum.
Úloha 7.10 Určete intervaly, na kterých je funkce f rostoucı́ a klesajı́cı́ a určete lokálnı́ extrémy funkce:
1
a) f : y = xe x ;
b) f : y = x2 ex+2 ;
c) f : y = x − arctgx;
√
x
2
d) f : y = (x − 4) 3 x;
e) f : y = (x − 2) 3 (2x + 1) ;
f) f : y = 2 ;
ln x
g) f : y = x(1 − ln x)2 ;
h) f : y = x3 e−x ;
i) f : y = (x + 2)2/3 + (x − 2)2/3 .
[ a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
(−∞, 0) %, (0, 1) &, (1, ∞) %, v 1 lok. minimum;
]
(−∞, −2) %, (−2, 0) &, (0, ∞) %, v −2 lok. maximum, v 0
lok. minimum;
R %;
(−∞, 1) &, (1, ∞) %, v 1 lok. minimum;
(−∞, 1) %, (1, 2) &, (2, ∞) %, v 1 lok. maximum, v 2 lok. minimum;
(0, 1) %, (1, ∞) &;
(0, 1/e) %, (1/e, e) &, (e, ∞) %, v 1/e lok. maximum, v e
lok. minimum;
(−∞, 3) %, (3, ∞) &, v 3 lok. maximum;
(−∞, −2) &, (−2, 0) %, (2, ∞) %, v −2 a 2 lok. minimum,
v 0 lok. maximum.
Úloha 7.11 Určete intervaly, na kterých je funkce f rostoucı́ nebo klesajı́cı́ a určete lokálnı́ extrémy
funkce:
74
a) f : y = xe2−x
d) f : y = x ln x2
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
6
1 + e−x
e) f : y = |x + 1| + |x − 1|
c) f : y = ln(x2 + 1)
b) f : y =
[ a)
b)
c)
d)
e)
f)
f) f : y = max {5, 9 − x2 }
]
% na (−∞, 1), & na (1, ∞); [1, e] lok. maximum;
% na (−∞, ∞); nemá lok. extrémy;
& na (−∞, 0),% na (0, ∞); [0, 0] lok. minimum;
% na (−∞, −1/e) a (1/e, ∞), & na (−1/e, 0) a (0, 1/e);
[−1/e, 2/e] lok. maximum, [1/e, −2/e] lok. minimum;
& na (−∞, −1), % na (1, ∞) (jinde konstantnı́); nemá lokálnı́
extrémy;
% na (−2, 0), & na (0, 2) (jinde konstantnı́); nemá lokálnı́
extrémy.
Úloha 7.12 Určete intervaly, na kterých je funkce f konvexnı́ nebo konkávnı́ a určete inflexnı́ body
funkce:
15
a) f : y = x6 − 6x5 + x4 + 3x; b) f : y = x4 − 2x2 + 3 ;
c) f : y = x2 ln x ;
2
4
ln(x + 2)
1+x
−x2
√
;
d) f : y = e
+ 2x;
e) f : y =
;
f) f : y =
1−x
x+2
3 ln x
g) f : y = 3xex ;
h) f : y = √ ;
i) f : y = x4 e−3x .
x
[ a)
b)
na (−∞, 0), (0, 1), (3, ∞) ^, na (1, 3) _, v 1, 3 inf. ;
na (−∞, − √1 ), ( √1 , ∞) ^, na (− √1 , √1 ) _, v − √1 ,
3
3
3
3
e−3/2
3
]
1
√
3
inf.;
c)
d)
na (0, e−3/2 ) _, na (e−3/2 , ∞) ^, v
inf. ;
na (−∞, − √1 ) ^, na (− √1 , √1 ) _, na ( √1 , ∞) ^, v ± √12 inf.
e)
f)
g)
h)
i)
na (−2, −1 + e8/3 ) _, na (−2 + e8/3 , ∞) ^, v −2 + e8/3 inf.;
na (−∞, −4) _, na (−4, 1), (1, ∞) ^, v −4 inf.;
na (−∞, −2) _, na (−2, ∞) ^, v −2 inf.;
na (0, e8/3 ) _, na (e8/3 , ∞) ^, v e8/3 inf.;
na ( 32 , 2) _, na (−∞, 32 ), ( 23 , 2) ^, v 2, 32 inf.
2
2
2
2
Úloha 7.13 Výpočet limity funkce l’Hospitalovým pravidlem. Přesvědčte se, že následujı́cı́ limity lze vypočı́tat
l’Hospitalovým pravidlem, a určete je:
√
2x − 4
xm − 1
x−3
;
c) lim 2
a) lim 2
;
b) lim n
;
x→9 x − 9x
x→2 x − 5x + 6
x→1 x − 1
3
n
x + 2x + 5
x
ln x
d) lim
;
e) lim x ;
f) lim
;
x→∞
x→∞ e
x→1 x − 1
ln x
sin 4x
;
i) lim+ x · ln x.
g) lim+ x · e1/x ;
h) lim
x→0
x
x→0
x→0
[ a) −2;
d) ∞;
g) ∞;
b) m/n;
e) 0;
h) 4;
c) 1/54; ]
f) 1;
i) 0.
Úloha 7.14 Výpočet limity funkce l’Hospitalovým pravidlem. Presvědčte se, že následujı́cı́ limity lze vypočı́tat
l’Hospitalovým pravidlem, a určete je:
√
(x − 1)3
2x − 1
1+ x
a) lim 3
;
b) lim
;
c) lim
;
x→∞
x→1 x − 4x + 3
x→0
x
ln x
2x
ln x
e
tg kx
d) lim
e) lim 4
;
f) lim
·
x;
x→∞ 1 + 3
x→∞ x − 2x + 3
x→0
x
[ a) 0;
d) 0;
Schopnosti - aplikace
b) ln 2;
e) ∞;
c) ∞; ]
f) k.
KAPITOLA 7. APLIKACE DERIVACÍ
75
Úloha 7.15 Aplikace derivacı́ - optimalizace. Roh v 1. kvadrantu potřebujeme uzavřı́t závorou délky
20 metrů přes body [a, 0], [0, b] tak, aby uzavřený segment tvaru trojúhelnı́ku měl maximálnı́ plošný
obsah. Pro jaké hodnoty a, b to nastane? Znázorněte graficky.
√
[ a = b = 10 2. ]
Úloha 7.16 Aplikace derivacı́ - optimalizace. Náklady výrobce na výrobu jednoho rádiopřijı́mače jsou 5
dolarů; jestliže se rádia budou prodávat za cenu x dolarů, pak se jich prodá 20 − x kusů denně. Jak
stanovit cenu za 1 rádio, aby se dosáhl maximálnı́ dennı́ zisk? Znázorněte graficky.
[ x = 12, 5 dolarů. ]
Úloha 7.17 Aplikace derivacı́ - optimalizace. Knihkupectvı́ zı́skalo určitou knihu od vydavatele jako dar za
3 dolary za kus a prodává ji za cenu 15 dolarů za kus. Při této ceně se prodalo 200 kusů za měsı́c. Aby
se stimuloval prodej, knihkupectvı́ chce snı́žit cenu a odhaduje, že za každý 1 dolar snı́ženı́ ceny z 15
dolarů se prodá měsı́čně o 20 dalšı́ch knih vı́c. Určete, při jaké ceně knihy dosáhne knihkupectvı́ největšı́
zisk z jejı́ho prodeje.
[ p = 14 dolarů. ]
Úloha 7.18 Aplikace derivacı́ - optimalizace (celočı́selná proměnná). Na malé drůbežı́ farmě chová majitel
120 slepic; každá z nich snese za rok 250 vajec. Jestliže se do ohrady pro slepice umı́stı́ vı́c než 120 slepic,
dojde k přı́lišnému zaplněnı́ ohrady a následkem toho nosnost slepic se snı́žı́: při každé slepici navı́c se
produkce vajec snı́žı́ vždy o jedno vejce na každou slepici za rok.
a) Najděte maximálnı́ možnou produkci vajec a počet slepic, který zaručı́ tuto maximálnı́ produkci.
b) Řešte stejnou úlohu, ale předpokládejte snı́ženı́ produkce o 2 vejce na každou slepici za rok.
c) Řešte pro předpokládané snı́ženı́ produkce o 3 vejce na každou slepici za rok.
[ a) 185 slepic, max. produkce bude 34 225 vajec za rok;
]
b) 122 nebo 123 slepic, stejná produkce 30 012 vajec;
c) přibl. 102 slepice (méně než byl původnı́ stav), ale max. produkce 31 008 vajec za rok (tedy vyššı́ než původnı́ produkce).
Úloha 7.19 Aplikace derivacı́ - optimalizace (celočı́selná proměnná). Dopravnı́ společnost pronajı́má na určitou
trasu autokary skupinám nejméně 35 osob za těchto podmı́nek: jestliže je skupina přesne 35-členná, pak
každý zaplatı́ 60 dolarů; pro většı́ skupinu se poplatek každého cestujı́cı́ho snižuje tolikrát o půl dolaru,
o kolik počet osob v skupině přesahuje 35. Určete přı́jem dopravnı́ společnosti v závislosti na velikosti
skupiny a vypočı́tejte, pro jak velkou skupinu bude přı́jem společnosti největšı́.
[ funkce přı́jmu je P (x) = (60 − 0, 5x) · (35 + x); skupina 77 anebo 78 osob; P(77)=P(78)=2 886 dolarů. ]
Úloha 7.20 Aplikace derivacı́ - optimalizace nákladů. Město Bory (B) ležı́ 10 km východně od města Akáty
(A) a město Cedry (C) ležı́ 3 km jižně od Borů. Z A do C se m postavit spojenı́ silnicı́, a to tak, že se
využije stavba dálnice z A do B, přičemž se do C odbočı́ obyčejnou silnicı́ v nějakém mı́stě P na trase
A − B. Náklady na dálnici jsou 4 miliony Kč na 1 km, zatı́mco cena na stavbu silnice je 5 milionů Kč na
1 km. Kam se má umı́stit bod P , aby se minimalizovaly náklady?
[ 4 km od B. ]
Úloha 7.21 Aplikace derivacı́ - optimalizace nákladů. Z elektrárny na jedné straně řeky široké 1 200 metrů
je třeba vést kabel do továrny 2 400 metrů nı́ž po proudu řeky. Náklady na položenı́ kabelu pod vodou
jsou 25 dolarů na jeden metr a po zemi 20 dolarů na jeden metr. Jakou trasu zvolit pro položenı́ kabelu,
aby náklady na jeho vedenı́ byly minimálnı́? Jaké budou tyto (minimálnı́) náklady? Předchozı́ úlohu
řešte také pro přı́pad, že továrna se nacházı́
a) 2 000 metrů,
b) 1 200 metrů nı́ž po proudu řeky od továrny.
[ Nejprve 2 000 m pod vodou, a pak 800 m po zemi; náklady 66 000 dolarů;
a) nejprve pod vodou, pak 400 m po zemi; náklady 58 000 dolarů;
√
b) jen křı́žem přes řeku, náklady 30 000 2 dolarů. ]
76
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha 7.22 Hustým lesem vede přı́má cesta. Jižně od cesty ve vzdálenosti 3 km se nacházı́ hájovna.
U cesty 5 km východně od bodu, který je nejblı́že hájovně, se nacházı́ restaurace. Hajný do restaurace
rád chodı́. Lesem může jı́t rychlostı́ 2 km/h a po cestě rychlostı́ 4 km/h. Určete minimálnı́ dobu, za
kterou se hajný může dostat pěšky z hájovny do restaurace i mı́sto, kde by měl z lesa vyjı́t na cestu.
[ tmin = 2h 32 min. ]
Úloha 7.23 Aplikace derivacı́ - optimalizace. Chodba šı́řky 2,4 metrů se lomı́ do pravého úhlu a pokračuje
jako chodba šı́řky 1,6 metrů. Zjistěte, jaký nejdelšı́ žebřı́k je možné nést ve vodorovné poloze přes tuto
lomenou chodbu. Úlohu řešte také obecně pro šı́řky chodby a a b metrů.
[ 2, 4 ·
q
1+
p
3
4/9 + 1, 6 ·
q
q
q
p
p
p
1 + 3 9/4; a · 1 + 3 a2 /b2 + b · 1 + 3 b2 /a2 . ]
Úloha 7.24 Aplikace derivacı́ - optimalizace. Z válcovitého kmene s kruhovým průřezem o poloměru r se
má vytesat trám co největšı́ nosnosti; nosnost trámu je určena vztahem y = k · s · v 2 , kde k je materiálová
konstanta, s je šı́řka a v je výška trámu. Jaké rozměry s, v má mı́t (obdélnı́kový) průřez trámu, aby jeho
nosnost byla největšı́?
[ s = 2/3 ·
√
3r, v = 2/3 ·
√
6r ]
Úloha 7.25 Aplikace derivacı́ - optimalizace. Bod P se souřadnicemi [x0 , 0] se začne pohybovat po ose ox
smeřem k počátku souřadnicového systému rychlostı́ v1 , bod Q se souřadnicemi [0, y0 ] se ve stejném
okamžiku začne pohybovat smeřem k počátku souřadnicového systému po ose oy rychlostı́ v2 .
a) Zjistěte, ve kterém čase bude vzdálenost bodů d(P, Q) nejmenšı́. Jaká bude ta nejmenšı́ vzdálenost?
b) Řešte úlohu pro x0 = y0 = 52, v1 = 4, v2 = 8.
x0 v2 − y0 v1
x0 v1 + y0 v2
[ a) minimálnı́ vzdálenost q
;
v čase t =
v12 + v22
2
2
v1 + v2
52 √
b) minimálnı́ vzdálenost
5 v čase 7,8. ]
5
Úloha 7.26 Aplikace derivacı́ - optimalizace. Je daná parabola y = 12 − x2 . Který do nı́ vepsaný obdélnı́k
s jednou stranou na ose ox a hornı́mi vrcholy na grafu paraboly má největšı́ plošný obsah? Jaký je ten
největšı́ plošný obsah?
[ strany obdélnı́ku o rozměrech 4, 8; maximálnı́ plošný obsah 32 j. p. o. ]
Úloha 7.27 Aplikace derivacı́ - optimalizace. Určete obdélnı́k největšı́ho plošného obsahu se stranami rovnoběžnými se souřadnicovými osami, který je možné vepsat:
a) do kruhu určeného kružnicı́ x2 + y 2 = R2 ;
b) do polokruhu určeného kružnicı́ x2 + y 2 = R2 pro y ≥ 0;
c) do elipsy x2 /a2 + y 2 /b2 = 1. Znázorněte.
[ a) 2 · R2 ; b) R2 ; c) 2 · ab. ]
Úloha 7.28 Aplikace derivacı́ - optimalizace. Z kartonu šı́řky 0,8 m a délky 1,5 m se má vyrobit otevřená
pravoúhlá krabice tak, že v rozı́ch kartonu se odřı́znou malé čtverce a okraje pak ohneme nahoru. Jak
máme odřezat čtverce v rozı́ch, aby objem vzniklé krabice byl největšı́? Jaký je ten největšı́ možný objem?
[ strana čtverce 1/6 m; maximálnı́ objem
49
m3 . ]
540
Úloha 7.29 Aplikace derivacı́ - optimalizace. Z kartonu tvaru čtverce se stranou délky a cm se má vyrobit
otevřená pravoúhlá krabice tak, že v rozı́ch kartonu se odřı́znou malé čtverce a okraje pak ohneme
nahoru. Jaké čtverce v rozı́ch odřezat, aby objem vzniklé krabice byl největšı́? Jaký je ten největšı́ možný
objem?
[ strana čtverce a/6 m; maximálnı́ objem
2a3 3
m .]
27
Úloha 7.30 Aplikace derivacı́ - optimalizace. Dané kladné čı́slo A rozložte na dva kladné sčı́tance x, y tak,
aby
KAPITOLA 7. APLIKACE DERIVACÍ
77
a) součin těchto sčı́tanců byl největšı́; určete také hodnotu toho největšı́ho součinu;
b) součin mocnin xm , y n byl největšı́; určete také hodnotu toho největšı́ho součinu.
A2
;
4
mA
nA
b) x =
,y =
,
m+n
m+n
m+n
m
n
A
·m ·n
maximálnı́ hodnota součinu je
.]
(m + n)m+n
[ a) x = y = A/2, maximálnı́ hodnota součinu je
Úloha 7.31 Aplikace derivacı́ - optimalizace. Do zdi potřebujeme vysekat otvor pro okno tvaru obdélnı́ku,
na který je nahoru nasazen polokruh (tzv. normanské okno). Obvod celého okna dohromady s polokruhovou částı́ má být 8 m. Jaké majı́ být rozměry okna, aby propouštělo co nejvı́c světla?
[
8
16
,
]
4+π 4+π
Úloha 7.32 Aplikace derivacı́ - optimalizace. Okno má tvar obdélnı́ku, nad kterým je polokruh. Obdélnı́k
je z průhledného skla, polokruhová část je vyplněna barevným sklem, které propouštı́ jen polovičnı́
množstvı́ světla na plošnou jednotku než průhledné sklo. Obvod okna je daný. Určete jeho rozměry tak,
aby okno uvedeného tvaru propouštělo maximálnı́ množstvı́ světla.
[
32
16 + 4π
,
]
8 + 3π 8 + 3π
Úloha 7.33 Aplikace derivacı́ - optimalizace. Na přı́mce x + y = 2 určete takový bod Q[x0 , y0 ], jehož
vzdálenost od bodu P [1, 4] je nejmenšı́. Jaká je ta nejmenšı́ vzdálenost? Znázorněte graficky.
[ Q[−1/2, 5/2], minimálnı́ vzdálenost 3/2 ·
√
2]
Úloha 7.34 Aplikace derivacı́. Jakou rychlostı́ se měnı́ poloměr bubliny tvaru koule, jestliže se do nı́ vhánı́
vzduch rychlostı́ 10 cm3 /s?
[
5
cm/s. ]
2πr2
Otestujte se
Úloha 7.35 Určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce f : y =
x−1
x+1
v bodě x = 0.
[ t : y = 2x − 1; n : y = −x/2 − 1. ]
Úloha 7.36 Určete extrémy funkce f : y = ln2 x na intervalu he−1 , ei.
[ [1, 0] lok. minimum; [e−1 , 1], [e, 1] lok. maximum. ]
2
Úloha 7.37 Určete intervaly, na kterých je funkce f : y = x2 · e−x rostoucı́, na kterých je klesajı́cı́, a
určete jejı́ lokálnı́ extrémy.
[ & na (−∞, 0), % na (0, 2), & na (2, ∞), [0, 0] lok. minimum, [2, 4/e2 ] lok. maximum. ]
ln 3x
Úloha 7.38 Určete intervaly, na kterých je funkce f : y = √ ryze konvexnı́ nebo ryze konkávnı́ a
x
určete inflexnı́ body funkce.
√
[ _ na (0, e8/3 /3), ^ na (e8/3 /3, ∞), [e8/3 /3, 8e−4/3 / 3] inf. ]
Úloha 7.39
pravidla určete
Pomocı́ l’Hospitalova
1
1
a) lim
−
;
x→0 ln(x + 1)
x
b) lim
x→0
sin x − x cos x
·
sin3 x
[ a) 1/2;
b) 1/3. ]
KAPITOLA 8
Aproximace funkcı́
Výstupy ze studia, Learning Outcomes
Znalosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
•
•
•
•
definuje diferenciál funkce v daném bodě
pro danou funkci definuje Maclaurinův polynom;
pro danou funkci a daný bod definuje Taylorův polynom;
definuje asymptotu grafu funkce.
Dovednosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
•
•
•
•
určı́ diferenciál funkce v daném bodě;
určı́ Maclaurinův polynom funkce;
určı́ Taylorův polynom funkce v daném bodě;
určı́ asymptotu grafu funkce, přı́padně rozhodne o jejı́ neexistenci.
Schopnosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• aplikuje zı́skané znalosti a dovednosti pro odhady hodnot funkce pomocı́ diferenciálu;
• aplikuje zı́skané znalosti a dovednosti pro aproximaci funkcı́ polynomem daného stupně.
79
80
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Znalosti - stručný přehled
• Hledáme lineárnı́ funkci dfx : h → A · h, která bude aproximovat přı́růstek funkce f mezi body
x a x + h, tedy
f (x + h) − f (x) ≈ A · h.
• Mějme funkci f , bod x ∈ D(f ) takový, že existuje okolı́ P (x) ⊂ D(f ). Funkce dfx : h → A · h
def
se nazývá diferenciál funkce f v bodě x a značı́ se dfx ⇐⇒ jestliže existuje A ∈ R, pro které platı́
dfx (h)
z }| {
f (x + h) − f (x) − A · h
= 0.
lim
h→0
h
Funkce f s touto vlastnostı́ se nazývá diferencovatelná v bodě a.
• Funkce f je diferencovatelná v bodě x ⇐⇒ má v bodě x vlastnı́ derivaci a platı́, že hodnota A
z předchozı́ definice je rovna f 0 (x). Pro funkci dfx proměnné h tedy platı́:
dfx : h → f 0 (x) · h.
• Pro diferencovatelnou funkci f můžeme přı́růstek f (x + h) − f (x) aproximovat diferenciálem
f (x + h) − f (x) ≈ f 0 (x) · h,
| {z }
dfx (h)
neboli funkčnı́ hodnotu funkce f v bodě x + h můžeme aproximovat hodnotou
f (x + h) ≈ f (x) + f 0 (x) · h.
• Značenı́: čı́slo h se někdy označuje symbolem ∆x (přı́růstek proměnné x), čı́slo f (x + h) − f (x)
symbolem ∆y (přı́růstek proměnné y). V tomto značenı́ tedy:
∆y ≈ f 0 (x) · ∆x
neboli f 0 (x) ≈
∆y
.
∆x
Z této přibližné rovnosti pocházı́ Lagrangeovo značenı́ derivace funkce v bodě
dy
dx ,
totiž:
∆y
∆x→0 ∆x
f 0 (x) = lim
dy
·
dx
• Mějme funkci f , bod a ∈ D(f ) a necht’ má funkce f vlastnı́ derivace v bodě a do řádu n.
Polynom
a tuto limitu značı́me symbolem
f 0 (a)
f 00 (a)
f (n) (a)
(x − a) +
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n
1!
2!
n!
se nazývá Taylorův polynom n−tého stupně pro funkci f v bodě a. Taylorův polynom n-tého stupně
pro funkci f v bodě a = 0 se nazývá Maclaurinův polynom n−tého stupně pro funkci f .
• Pro určenı́ Taylorova polynomu potřebujeme znát f, a, n, pro určenı́ Maclaurinova polynomu
potřebujeme znát f, n.
• Mějme funkci f : R → R. Přı́mka p s rovnicı́ p : y = x0 se nazývá asymptota bez směrnice grafu
Tn (x) = f (a) +
def
funkce f v x0 ) ⇐⇒ alespoň jedna jednostranná limita funkce f pro x → x0 je rovna ∞ nebo
−∞.
• Mějme funkci f : R → R. Přı́mka p s rovnicı́ p : y = k · x + q se nazývá asymptota se směrnicı́
def
grafu funkce f v ∞ (resp. −∞) ⇐⇒
p(x)
z }| {
lim (f (x) − (kx + q)) = 0.
x→±∞
KAPITOLA 8. APROXIMACE FUNKCÍ
81
• Přı́mka p : y = k · x + q je asymptotou se směrnicı́ grafu funkce f v ∞ ⇐⇒ existujı́ konečné
limity
f (x)
= k,
x
lim (f (x) − k · x) = q,
lim
x→∞
x→∞
analogicky pro asymptotu v −∞.
• Pokud má graf funkce f asymptotu y = kx + q v ∞, resp. v −∞ pak je lineárnı́ funkce
g : y = kx + q lineárnı́ aproximacı́ funkce f v okolı́ bodu ∞, resp. −∞.
Dovednosti - řešené přı́klady
8.1. Diferenciál funkce
Přı́klad 8.1 Pomocı́ diferenciálu určete přibližně hodnotu ln 3 a rozdı́l odhadu od přesné hodnoty.
Řešenı́ Ze zadánı́ vı́me, že f : y = ln x. Stanovı́me x = e, h = 3 − e, derivaci f 0 : y =
hodnoty f (x) = ln e = 1 a f 0 (x) = 1e . Platı́:
1
x.
Určı́me
f (x + h) ≈ f (x) + f 0 (x) · h
1
= 1 + (3 − e)
e
3
=1+ −1
e
3
= ·
e
Rozdı́l mezi hodnotami ln 3 ≈ 1, 098 a
3
e
≈ 1, 103 je v absolutnı́ hodnotě ≈ 0, 005.
Přı́klad 8.2 Rotunda má vnitřnı́ prostor ve tvaru válce, jehož průměr je shodný s výškou. Pomocı́ diferenciálu odhadněte relativnı́ chybu při výpočtu objemu vnitřnı́ho prostoru rotundy, jestliže je jejı́ průměr
změřen s přesnostı́ ± 2%.
Řešenı́ Objem válce vypočteme dle vzorce V = πr2 v. Ze zadánı́ vı́me, že je změřen průměr, tedy
r = d/2 a že výška je shodná s průměrem, tedy v = d, což dosadı́me do vzorce: V = π(d/2)2 d = 41 πd3 .
Stanovı́me x = d, h = ±0, 02d, derivaci V 0 : y = 43 πd2 . Platı́:
f (x + h) ≈ f (x) + f 0 (x) · h
V (d ± 0, 02d) ≈ V (d) + V 0 (d) · (±0, 02d)
1
3
= πd3 ± πd2 · 0, 02d
4
4
1
= πd3 (1 ± 3 · 0, 02).
4
Relativnı́ chybu určı́me pomocı́ poměru
odhad V (d ± 0, 02d)
V (d)
=
1
3
4 πd (1 ± 0, 06)
1
3
4 πd
= 1 ± 0, 06.
Při přesnosti měřenı́ průměru rotundy ± 2% je objem vypočten s přesnostı́ ± 6%.
82
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
8.2. Taylorův a Maclaurinův aproximačnı́ polynom
Přı́klad 8.3 Určete Maclaurinův polynom řádu 4 funkce f : y = e2x .
Řešenı́ Určı́me derivace funkce f do stupně 4, jejich hodnoty v bodě x = 0 a dosadı́me.
f : y = e2x
f
(1)
f
(2)
f (0) = 1
: y =2·e
2x
: y =4·e
2x
f
(1)
(0) = 2
f
(2)
(0) = 4
f (3) : y = 8 · e2x
f (3) (0) = 8
f (4) : y = 16 · e2x
f (4) (0) = 16.
Maclaurinův polynom má tedy tvar
2
4
8
16
x + x2 + x3 + x4
1!
2!
3!
4!
4 3 2 4
2
= 1 + 2x + 2x + x + x .
3
3
T4 (x) = 1 +
Přı́klad 8.4 Určete Taylorův polynom řádu 4 funkce f : y = sin(x) v bodě π/2.
Řešenı́ Určı́me derivace funkce f do řádu 4, jejich hodnoty v bodě x = π/2 a dosadı́me.
f : y = sin(x)
f
(1)
f (π/2) = 1
: y = cos(x)
f
(1)
(π/2) = 0
f (2) : y = − sin(x)
f (2) (π/2) = −1
f (3) : y = − cos(x)
f (3) (π/2) = 0
f (4) : y = sin(x)
f (4) (π/2) = 1.
Taylorův polynom má tedy tvar
0
−1
0
1
(x − π/2) +
(x − π/2)2 + (x − π/2)3 + (x − π/2)4
1!
2!
3!
4!
1
1
= 1 − (x − π/2)2 + (x − π/2)4 .
2
24
T4 (x) = 1 +
8.3. Asymptoty grafu funkce
Přı́klad 8.5 Napište rovnice všech asymptot ke grafu funkce
f :y=
x3 − 1
·
3x2 − 1
Řešenı́ Nejprve určı́me definičnı́ obor: D(f ) = R \ {± √13 }. Protože jednostranné limity pro x → − √13
i pro x → √13 jsou bud’ ∞ nebo −∞ (ověřte!), má funkce dvě asymptoty bez směrnice (svislé), které majı́
rovnice x = √13 a x = − √13 . Pro asymptotu se směrnicı́ v bodě ∞ nejprve určı́me:
f (x)
lim
= lim
x→∞ x
x→∞
x3 −1
3x2 −1
x
x3 − 1
1
= lim
= ·
3
x→∞ 3x − x
3
KAPITOLA 8. APROXIMACE FUNKCÍ
83
Protože limita vyšla vlastnı́ (konečná), funkce může mı́t v ∞ asymptotu. Jejı́ existenci určı́me dopočı́tánı́m
druhé limity:
3
x −1
1
lim (f (x) − k · x) = lim
−
·
x
x→∞
x→∞ 3x2 − 1
3
3
3(x − 1) − x(3x2 − 1)
= lim
x→∞
3(3x2 − 1)
−3 + x
= lim
=0
x→∞ 9x2 − 3
Limita je opět vlastnı́ (konečná), graf funkce tedy má asymptotu v ∞ a ta má rovnici y = x3 . Analogickým
postupem bychom zjistili, že asymptota v −∞ je totožná přı́mka, tedy y = x3 .
Dovednosti - úlohy
Úloha 8.1 Přı́růstek a relativnı́ přı́růstek funkce. Najděte přı́růstek ∆y funkce a relativnı́ přı́růstek - poměr
∆y
pro danou funkci f v daném bodě x0 :
∆x
3
2
a) f : y = x2 + x − 6 pro x0 = 1, ∆x = 1;
b) f : y = 7x
√ − x + 1 pro x0 = 4, ∆x = 2;
2
c) f : y = 1/x pro x0 = −4, ∆x = 0, 5;
d) f : y = x − 2 pro x0 = 2, ∆x = 0, 2.
∆y
= 4;
∆x
∆y
c)∆y = 0, 02,
= 0, 038;
∆x
[ a)∆y = 4,
∆y
= 522;
∆x
∆y
d)∆y = 0, 45,
= 2, 25.
∆x
b)∆y = 1044,
]
Úloha
√ 8.2 Přı́růstek a relativnı́ přı́růstek funkce. Pomocı́ diferenciálu určete přibližně:
a) 3 26, 19;
b) ln 0, 9.
[ a) 2, 91;
b) −0, 9. ]
Úloha 8.3 Přı́růstek a relativnı́ přı́růstek funkce. Ukažte, že pro h → 0 platı́:
a) (1 + h)α ≈ 1 + αh, kde α ∈ R;
√
√
h
b) a + h ≈ a + √ , kde a > 0;
2 a
√
√
h
c) 3 a + h ≈ 3 a + √
, kde a ∈ R.
3
3 a2
[Přibližnou rovnost lze dokázat pomocı́ diferenciálu funkce v bodě 1, resp. a.]
Úloha 8.4 Aproximačnı́ polynomy. Určete Maclaurinův polynom stupně n funkce f :
2
a) f : y = (1 − x)−2 , n = 3;
b) f : y = e−x , n = 2;
c) f : y = tg x, n = 3;
1
d) f : y =
, n = 3;
e) f : y = arctg x, n = 3;
f) f : y = ln(1 + x), n = 4.
x+2
[ a)1 + 2x + 3x2 + 4x3 ;
c) x + 31 x3 ;
e)x − 13 x3 ;
b)1 − x2 ;
]
1 3
d) 21 − 14 x + 18 x2 − 16
x ;
f)x − 21 x2 + 13 x3 − 14 x4 .
Úloha 8.5 Aproximačnı́ polynomy. Určete Taylorův polynom stupně n funkce f v bodě a:
√
1
a) f : y = , a = 1, n = 3;
b) f : y = ln x, a = 1, n = 3;
c) f : y = x, a = 1, n = 3.
x
[ a)
b)
c)
1 − (x − 1) + (x − 1)2 − (x − 1)3 = 4 − 6x + 4x2 − x3 ;
]
(x − 1) − 52 (x − 1)2 + 13 (x − 1)3 = − 26
+ 14
x − 75 x2 + 13 x3 ;
15
5
1
1
(x − 1)3 = 16
(5 + 15x − 5x2 + x3 ).
1 + 12 (x − 1) − 18 (x − 1)2 + 16
Úloha 8.6 Asymptoty grafu funkce. Napište rovnice všech asymptot grafů následujı́cı́ch funkcı́:
84
a) f : y =
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
x3 + 3
;
x2 − 9
ln x
− x;
x
x2
e) f : y =
.
x−2
b) f : y =
2
d) f : y = 2 − e−x ;
c) f : y =
[ a) x = 3, x = −3, y = x;
d) y = 2;
x2 + 3x + 7
;
x+1
b) y = −x, x = 0;
e) x = 2, y = x + 2.
c) x = −1, y = x + 2; ]
Úloha 8.7 Asymptoty grafu funkce. Napište rovnice všech asymptot grafů následujı́cı́ch funkcı́:
2x2 − 1
x2 − 4
3
a) f : y = 2
;
b) f : y =
;
c) f : y =
;
x+4
2 + 5e−x
x +1
x3
1
2
;
e) f : y = 2
;
f) f : y = 4
.
d) f : y = x
e −1
x +1
x + x2
[ a) y = 2;
d) x = 0, y = 0, y = −2;
b) x = −4, y = x − 4;
e) y = x;
c) y = 0, y = 3/2; ]
f) x = 0, y = 0.
Schopnosti - aplikace
Úloha 8.8 Měřenı́m bylo zjištěno, že strana čtverce má délku 21 cm s možnou chybou 0, 05 cm. Pomocı́
diferenciálu vhodné funkce odhadněte, jaké největšı́ možné chyby se dopustı́me při výpočtu obsahu S
čtverce.
[ S = x2 , dS(21; 0, 05) = 2, 1, tj. chyba obsahu je 2, 1 cm2 . ]
Úloha 8.9 Měřenı́m bylo zjištěno, že poloměr koule má hodnotu 10 cm s možnou chybou 0, 05 cm. Pomocı́ diferenciálu vhodné funkce odhadněte, jaké maximálnı́ relativnı́ chyby se dopustı́me při výpočtu
objemu V koule.
[ V = 4/3πr3 , dV (r, h)/V = 3h/r = 0, 015, tj. relativnı́ chyba výpočtu objemu je 1, 5 % ]
Úloha 8.10 Měřenı́m bylo zjištěno, že hrana krychle má délku 30 cm s možnou chybou 0, 1 cm. Pomocı́
diferenciálu vhodné funkce odhadněte, jaké maximálnı́ chyby a jaké relativnı́ chyby se dopustı́me při
výpočtu objemu V krychle.
[ V = x3 , dV (30; 0, 1) = 270, tj. hornı́ odhad chyby při výpočtu objemu je 270 cm3 ,
dV /V = 0, 001, tj. relativnı́ chyba je 1 %. ]
Úloha 8.11 Zaměstnavatel vám nabı́zı́ plat 18 000 korun za měsı́c a dává přı́slib, že vám ho bude
pravidelně zvyšovat o 2 400 korun po každém odpracovaném roce. Jaký bude procentnı́ nárůst platu
po prvém odpracovaném roce, resp. po pátém zvýšenı́? Nakreslete graf funkce ročnı́ho procentnı́ho
zvýšenı́ platu. Co se děje s hodnotami této funkce s rostoucı́ hodnotou t?
[
100
procent (asi 1,01 %);
91
100
procent (asi 1,05 %);
95
funkce klesá k 0. ]
Úloha 8.12 Předpokládá se, že za x let po 1. lednu 1996 bude počet obyvatel určité oblasti určen jako
P (x) = 2x + 4x2/3 + 50 tisı́c osob.
a) Odhadněte pomocı́ derivace přı́růstek počtu obyvatelstva v průběhu roku 2004.
b) Odhadněte procentnı́ přı́růstek počtu obyvatelstva v průběhu roku 2004.
[ a)
10
tisı́c; b) 4,065 %. ]
3
Úloha 8.13 Hrubé ročnı́ výnosy určité společnosti v čase t let od jejı́ho založenı́ na začátku roku 1995
byly A(t) = 20t2 + 1000t + 20000 korun.
a) Jakým ročnı́m tempem rostly hrubé ročnı́ výnosy společnosti na začátku roku 1996, resp. 1999?
b) Jaké bylo procentnı́ ročnı́ tempo růstu hrubých ročnı́ch výnosů společnosti na začátku roku 1999?
KAPITOLA 8. APROXIMACE FUNKCÍ
85
[ a) 1 040 korun ročně, 1 160 korun ročně; b) 4,77 %. ]
Úloha 8.14 Odhaduje se, že o t let odted’ bude počet obyvatel určité oblasti P (t) = 30 −
6
tisı́c osob.
t+1
O kolik vzroste přibližně počet obyvatel během:
a) následujı́cı́ho čtvrtroku, b) následujı́cı́ poloviny roku, c) následujı́cı́ho roku?
[ a) 1,5 tisı́ce osob; b) 3 tisı́ce osob; c) 6 tisı́c osob. ]
Úloha 8.15 Předpokládejme, že dennı́ produkce určitého podniku je Q(K) = 500K 1/2 jednotek, kde
K je velikost kapitálové investice v tisı́cı́ch korun; v současnosti je kapitálová investice 900 000 korun.
Odhadněte, jak se změnı́ dennı́ produkce, jestliže se kapitálová investice
a) zvýšı́ o 12 000 korun;
b) snı́žı́ o 6 000 korun.
[ a) nárůst o 100 jednotek; b) pokles o 50 jednotek. ]
Úloha 8.16 Odhad pomocı́ diferenciálu. Předpokládejme, že dennı́ produkce podniku je Q(K) = 800K 1/2
jednotek, kde K je velikost kapitálové investice v tisı́cı́ch korun.
a) Odhadněte, o kolik procent vzroste dennı́ produkce, jestliže se kapitálová investice zvýšı́ o 4 procenta,
resp. snı́žı́ o 5 procent.
b) Odhadněte, o kolik procent je nutno zvýšit kapitálovou investici, jestliže chce podnik zvýšit dennı́
produkci o 8 procent.
[ a) růst o 2 %, resp. pokles o 2,5 %;
b) nárůst investicı́ o 16 %. ]
Úloha 8.17 Odhad pomocı́ diferenciálu. Dennı́ produkce podniku je Q(L) = 400L2/3 jednotek, kde L
je velikost pracovnı́ sı́ly v pracovnı́ch hodinách; v současnosti je denně využı́vaných 512 pracovnı́ch
hodin. Odhadněte, kolik pracovnı́ch hodin navı́c je potřebných k tomu, aby se dennı́ produkce zvýšila
o 25 jednotek.
[ 0,75 hod. ]
Úloha 8.18 Odhad pomocı́ diferenciálu. Odhadněte, jak se zmenšı́ (zvětšı́) velikost objemu krychle, jestliže
se délka každé hrany zmenšı́ o 2 procenta (zvětšı́ o 3 procenta).
[ zmenšı́ se o 6 %, zvětšı́ se o 9 %. ]
Úloha 8.19 Odhad pomocı́ diferenciálu. Hrana krychle byla změřena jako 10 cm s možnou chybou ±1 %.
S jakou přesnostı́ je možné určit velikost objemu této krychle?
[ ±3 %. ]
Úloha 8.20 Odhad pomocı́ diferenciálu. S jakou přesnostı́ potřebujeme změřit poloměr r koule, aby bylo
možné vypočı́tat velikost jejı́ho povrchu s přesnostı́ ±1 %?
[ ±0, 5 %. ]
Otestujte se
Úloha 8.21 Pomocı́ diferenciálu určete přibližně:
√
3
70.
[4, 125.]
Úloha 8.22 Určete Maclaurinův polynom stupně 5 funkce f : y = ln
1+x
, n = 4.
1−x
[2x + 23 x3 .]
86
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha 8.23 Napište rovnice všech asymptot grafu funkce f : y =
ln x
+ 2x.
x2
[y = 2x, x = 0.]
Úloha 8.24 Délka strany čtverce se změnı́ z 12 cm na 12,5 cm.
a) Pomocı́ diferenciálu odhadněte, o kolik se přitom změnı́ délka úhlopřı́čky tohoto čtverce.
b) Vypočı́tejte změnu v délce úhlopřı́čky přesně.
√
[ a)= b) 0, 5 2 cm. ]
KAPITOLA 9
Průběh funkce
Výstupy ze studia, Learning Outcomes
Znalosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• vyjmenuje souhrn vlastnostı́ funkce, které se u funkce, resp. jejı́ho grafu zkoumajı́ použitı́m
kalkulu, zejména derivacı́;
• popı́še význam těchto vlastnostı́ pro charakterizaci funkce a jejı́ho grafu.
Dovednosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• určı́ definičnı́ obor funkce;
• určı́ limity v krajnı́ch bodech definičnı́ho oboru funkce, v jiných specifických bodech (i mimo
definičnı́ obor funkce);
• určı́ nulové body funkce, přı́padně rozhodne o jejich počtu nebo neexistenci;
• určı́ intervaly, na kterých je funkce nabývá kladných/záporných hodnot;
• rozhodne, zda má funkce některou ze specifických vlastnostı́ - sudost, lichost, periodicitu, omezenost;
• určı́ intervaly, na kterých je funkce spojitá, přı́padně charakter bodů nespojitosti;
• určı́ derivaci funkce a definičnı́ obor derivace funkce;
• určı́ intervaly, na kterých je funkce rostoucı́ / klesajı́cı́;
• určı́ stacionárnı́ body funkce;
• určı́ druhou derivaci funkce a definičnı́ obor druhé derivace funkce;
• rozhodne o existenci lokálnı́ch extrémů funkce a o jejich druhu;
• určı́ intervaly, na kterých je funkce konvexnı́ / konkávnı́;
• určı́ inflexnı́ body funkce;
• určı́ asymptoty grafu funkce, přı́padně rozhodne o jejich neexistenci.
Schopnosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• aplikuje znalosti a dovednosti při sestrojenı́ grafu funkce a popisu jejı́ch významných vlastnostı́;
• aplikuje znalosti a dovednosti v aplikačnı́ch úlohách, zvláště v úlohách využı́vajı́cı́ch exponenciálnı́ modely.
87
88
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Znalosti - stručný přehled
V této kapitole shrneme postup analýzy vlastnostı́ reálné funkce jedné reálné proměnné, označovaný
stručně průběh funkce. Budeme potřebovat znalosti z předcházejı́cı́ch kapitol, které shrneme do následujı́cı́ho
postupu. Určı́me:
(1) definičnı́ obor funkce D(f ), body nespojitosti funkce,
(2) zda je funkce sudá, lichá (přı́padně periodická, omezená, . . . ),
(3) limity v krajnı́ch bodech definičnı́ho oboru, přı́padně v bodech nespojitosti,
(4) nulové body (průsečı́ky grafu s osou ox ), intervaly ve kterých je f (x) > 0 a f (x) < 0,
(5) prvnı́ derivaci funkce a jejı́ definičnı́ obor, zvláště body z D(f ) v nichž f 0 neexistuje,
(6) intervaly monotónnosti, stacionárnı́ body funkce, lokálnı́ extrémy funkce,
(7) druhou derivaci funkce,
(8) intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce, inflexnı́ body funkce,
(9) asymptoty grafu funkce.
Na závěr úlohy zakreslı́me graf funkce, ve kterém budou vyznačeny všechny dostupné informace. Ne
vždy je možné (a nutné) provádět všechny kroky, ale vždy je vhodné provést těchto kroků co nejvı́ce. Je
vhodné všı́mat si i dalšı́ch vlastnostı́ funkce.
• Veličina P závislá na čase t roste (resp. klesá) exponenciálně, jestliže pro jejı́ hodnotu v čase t platı́
P (t) = P0 · ekt ,
kde P0 , k ∈ R jsou konstanty, P0 > 0, k > 0 pro exponenciálnı́ růst, P0 > 0, k < 0 pro
exponenciálnı́ klesánı́. Symbolem P0 označujeme počátečnı́ velikost, hodnotu veličiny P v čase
t = 0, tedy P0 = P (0).
• Z uvedeného plyne, že k určenı́ každé z těchto exponenciálnı́ch závislostı́ potřebujeme dva
údaje vážı́cı́ se na dva časové okamžiky, pomocı́ kterých stanovı́me P0 a k.
• Veličina P (t) závislá na čase t představuje křivku učenı́ se, jestliže pro jejı́ hodnotu v tomto čase t
platı́
P (t) = B − A · e−kt ,
přičemž B, A, k ∈ R jsou kladné konstanty (parametry) a platı́ B > A.
• Křivka učenı́ se modeluje růst schopnosti zvládat určitou činnost (fyzickou, manuálnı́, duševnı́)
až po určitou asymptotickou úroveň - hladinu reprezentovanou horizontálnı́ přı́mkou y = B.
Tato hranice odpovı́dá zkušenosti o tom, že schopnosti zvládat činnost nejsou neomezené.
• Z uvedeného plyne, že k určenı́ křivky učenı́ se potřebujeme tři údaje pro hodnoty veličiny
P (t) ve třech různých časových okamžicı́ch, pomocı́ kterých stanovı́me tři parametry B, A, k.
• Veličina P (t) závislá na čase t představuje logistickou křivku modelujı́cı́ omezený růst, jestliže pro jejı́
hodnotu v tomto čase t platı́
P (t) =
B
1 + Ae−kt
,
přičemž B, A, k ∈ R jsou kladné konstanty (parametry).
• Logistická křivka modeluje růst populacı́ existujı́cı́ch za určitých omezenı́ (územı́m, energetickými zdroji, zdroji potravy a pod.), nebo šı́řenı́ informace v určitém ohraničeném společenstvı́
majı́cı́ hornı́ mez B jedinců (lidı́).
• Grafem logistické křivky je spojitá křivka majı́cı́ tvar ležatého pı́smene S, nacházejı́cı́ se mezi
grafy dvou vodorovných přı́mek y = 0, y = B, dı́ky čemuž je někdy také nazývána sigmoida. K přı́mce y = B se hodnoty P (t) pro neomezeně rostoucı́ hodnoty času t asymptoticky
přibližujı́, ale nedosáhnou ji.
• Z uvedeného plyne, že k určenı́ logistické křivky (neboli ke stanovenı́ modelu omezeného
růstu) potřebujeme 3 údaje, pomocı́ kterých určı́me 3 parametry B, A, k.
KAPITOLA 9. PRŮBĚH FUNKCE
89
Dovednosti - řešené přı́klady
9.1. Průběh funkce
Zjištěné vlastnosti budeme zapisovat do tabulek, ve kterých budeme použı́vat následujı́cı́ symboly:
• • pro body, ve kterých je analyzovaný výraz rovný nule,
• ◦ pro body, ve kterých nenı́ definován.
• +, resp. − pro intervaly, na kterých analyzovaný výraz nabývá kladných, resp. záporných hodnot,
• & resp. % pro intervaly, na kterých je funkce klesajı́cı́, resp. rostoucı́,
• _, resp. ^ pro intervaly, na kterých je funkce konkávnı́, resp. konvexnı́,
• zkratky lok. min, lok. max, inf. pro body ve kterých má funkce lokálnı́ minimum, lokálnı́ maximum
a body inflexnı́.
Přı́klad 9.1 Určete průběh funkce
f: y=
x
.
4 + x2
Řešenı́
Definičnı́ obor: D(f ) = R.
Vlastnosti: funkce je lichá (D(f ) je symetrický podle počátku a f (−x) = −f (x)).
Limity v krajnı́ch bodech definičnı́ho oboru:
lim f (x) = 0.
x→±∞
Kladné a záporné hodnoty funkce: určı́me, na kterých intervalech funkce f nabývá kladných a záporných
hodnot metodou nulových bodů. Určı́me nulové body čitatele (x = 0) a jmenovatele (nulové body
nemá). Sestavı́me tabulku:
x
4 + x2
f (x)
−
+
−
0
• +
+
• +
Funkce je záporná na intervalu (−∞, 0), kladná na intervalu (0, ∞).
Intervaly, na kterých je funkce rostoucı́ nebo klesajı́cı́, lokálnı́ extrémy: určı́me prvnı́ derivaci funkce:
0
x
0
f : y=
4 + x2
(x)0 (4 + x2 ) − x(4 + x2 )0
=
(4 + x2 )2
2
4−x
=
·
(4 + x2 )2
Výraz 4 − x2 lze rozložit na (2 − x) · (2 + x) s nulovými body 2, −2, můžeme tedy sestavit tabulku:
2−x
2+x
(4 + x2 )2
f 0 (x)
f (x)
−2
+
+
−
•
+
+
+
−
•
+
& lok. min %
2
•
−
+
+
•
+
lok. max &
V bodě −2 má funkce lokálnı́ minimum f (−2) = −1/4, v bodě 2 lokálnı́ maximum f (2) = 1/4.
90
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Intervaly konvexnosti a konkávnosti: určı́me druhou derivaci funkce:
0
4 − x2
f : y=
(4 + x2 )2
(4 − x2 )0 (4 + x2 )2 − (4 − x2 )((4 + x2 )2 )0
=
(4 + x2 )4
2
2x(x − 12)
=
·
(4 + x2 )3
00
√ √ Výraz x2 − 12 lze rozložit na x − 2 3 x + 2 3 , můžeme tedy sestavit tabulku:
√
−2 3
x√
x − 2√3
x+2 3
(4 + x2 )3
f 00 (x)
f (x)
−
−
−
+
−
_
•
•
inf.
0
•
−
+
−
−
+
+
+
+
+ • −
^ inf. _
√
2 3
•
•
inf.
+
+
+
+
+
^
√
√
√
√
Funkce má v bodech x = −2 3, x = 0 a x = 2 3 inflexnı́ body f (−2 3) = − 83 , f (0) = 0,
√
√
f (2 3) = 83 .
Asymptoty: funkce f nemá body nespojitosti, takže jejı́ graf nemá asymptoty bez směrnice. Ověřı́me
existenci asymptot se směrnicı́:
f (x)
= lim
x→±∞ x
x→±∞
k = lim
x
4+x2
=0
x
x
q = lim (f (x) − k · x) = lim (
− 0 · x) = 0.
x→±∞
x→±∞ 4 + x2
Pro x → ±∞ má graf funkce asymptotu y = 0, což je zřejmé již z limity v −∞.
Závěr: máme již všechny potřebné informace, můžeme tedy načrtnout graf funkce(3).
O BR ÁZEK 3. Graf funkce y =
x
4+x2
KAPITOLA 9. PRŮBĚH FUNKCE
91
Přı́klad 9.2 Určete průběh funkce
f : y =x·
p
4 − x2 .
Řešenı́ Definičnı́ obor: musı́ platit 4 − x2 ≥ 0, tedy D(f ) = h−2, 2i.
Vlastnosti: funkce je lichá (D(f ) je symetrický podle počátku a f (−x) = −f (x)).
Limity v krajnı́ch bodech definičnı́ho oboru:
lim f (x) = f (−2) = 0
x→−2
lim f (x) = f (2) = 0.
x→2
Kladné a záporné hodnoty funkce: určı́me, na
√ kterých intervalech funkce f nabývá kladných a záporných
hodnot metodou nulových bodů. Výraz 4 − x2 má na D(f ) nulové body ±2, můžeme tedy sestavit
tabulku:
−2
√ x
4 − x2
f (x)
•
•
0
− • +
+
+
− • +
2
•
•
Funkce nabývá záporných hodnot na intervalu (−2, 0), kladných na intervalu (0, 2).
Intervaly, na kterých je funkce rostoucı́ nebo klesajı́cı́, lokálnı́ extrémy: určı́me prvnı́ derivaci funkce:
p
0
f 0 : y = x · 4 − x2
p
0
p
= (x)0 4 − x2 + x ·
4 − x2
= 2 · (2 − x2 ) · p
1
4 − x2
.
√
√
√
Výraz 2 − x2 lze rozložit na ( 2 − x) · ( 2 + x) s nulovými body ± 2, výraz (4 − x2 )−1/2 je na (−2, 2)
kladný, v bodech ±2 nenı́ definovaný. Můžeme tedy sestavit tabulku:
√
x − √2
x+ 2
(4 − x2 )−1/2
f 0 (x)
f (x)
−2
√
− 2
√
2
•
2
−
−
+
−
•
+
+
◦ +
+
+ ◦
◦
−
•
+
•
+ ◦
& lok. min % lok. max &
√
√
Funkce má v bodě x = −2 lokálnı́ minimum f (−2) = 2, v bodě 2 lokálnı́ maximum f (2) = 2.
Intervaly konvexnosti a konkávnosti: určı́me druhou derivaci funkce:
0
f 00 : y = 2 · (2 − x2 ) · (4 − x2 )−1/2
0
0
= 2 · (2 − x2 ) · (4 − x2 )−1/2 + 2 · (2 − x2 ) · (4 − x2 )−1/2
= 2x · (x2 − 6) · (4 − x2 )−3/2 .
√
√
√
Výraz x2 − 6 lze rozložit na (x − 6) · (x + 6) s nulovými body ± 6 ovšem tyto body nepatřı́ do
D(f ), proto je v tabulce nebudeme uvádět. Výraz (4 − x2 )−3/2 je na (−2, 2) kladný, v bodech ±2 nenı́
definovaný. Můžeme tedy sestavit tabulku:
−2
√
−
−
+
x√
x − √6
x+ 6
−2/3
4 − x2
f 00 (x)
f (x)
◦
◦
+
−
^
0
•
2
+
−
+
+ ◦
+ ◦
inf. _
•
92
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Funkce má v bodě x = 0 inflexnı́ bod f (0) = 0.
Asymptoty: funkce f nemá body nespojitosti, takže jejı́ graf nemá asymptoty bez směrnice. Funkce nenı́
definovaná v okolı́ bodů ±∞, jejı́ graf tedy nemá ani asymptoty se směrnicemi.
Závěr: máme již všechny potřebné informace, můžeme tedy načrtnout graf funkce(4).
O BR ÁZEK 4. Graf funkce y = x ·
√
4 − x2
Přı́klad 9.3 Určete průběh funkce
f : y = ln(1 + x2 ).
Řešenı́ Definičnı́ obor: D(f ) = R.
Vlastnosti: funkce je sudá (D(f ) je symetrický podle počátku a f (−x) = f (x)).
Limity v krajnı́ch bodech definičnı́ho oboru:
lim f (x) = ∞.
x→±∞
Kladné a záporné hodnoty funkce: určı́me, na kterých intervalech funkce f nabývá kladných a záporných
hodnot metodou nulových bodů. Výraz ln(1 + x2 ) má nulový bod x = 0, jinak je kladný. Sestavı́me
tabulku:
0
ln(1 + x2 ) + •
f (x)
+ •
+
+
Intervaly, na kterých je funkce rostoucı́ nebo klesajı́cı́, lokálnı́ extrémy: Určı́me prvnı́ derivaci funkce:
0
f 0 : y = ln(1 + x2 )
=
=
1
1+x
2
2x
1 + x2
· 1 + x2
0
·
Jmenovatel je vždy kladný, sestavı́me tabulku:
2x
1 + x2
f 0 (x)
f (x)
0
−
•
+
−
•
& lok. min
Funkce má v bodě x = 0 lokálnı́ minimum f (0) = 0.
+
+
+
%
KAPITOLA 9. PRŮBĚH FUNKCE
93
Intervaly konvexnosti a konkávnosti: Určı́me druhou derivaci funkce:
!0
2x
00
f : y=
1 + x2
=
2(1 − x2 )
(1 + x2 )2
·
Výraz (1 + x2 )2 je vždy kladný, výraz (1 − x2 ) rozložı́me na (1 − x)(1 + x) a můžeme sestavit tabulku:
−1
1−x
1+x
(1 + x2 )2
f 00 (x)
f (x)
+
−
+
−
_
•
•
inf.
+
+
+
+
^
1
•
−
+
+
• −
inf. _
Funkce má v bodech x = −1, x = 1 inflexnı́ body f (−1) = ln 2, f (1) = ln 2.
Asymptoty: funkce f nemá body nespojitosti, takže jejı́ graf nemá asymptoty bez směrnice. Ověřı́me
existenci asymptot se směrnicı́:
f (x)
ln(1 + x2 )
= lim
=0
x→±∞ x
x→±∞
x
q = lim (f (x) − k · x) = lim ln(1 + x2 ) − 0 · x = ∞.
k = lim
x→±∞
x→±∞
Graf funkce nemá asymptoty pro x → ±∞.
Závěr: máme již všechny potřebné informace, můžeme tedy načrtnout graf funkce (5).
O BR ÁZEK 5. Graf funkce y = ln(1 + x2 )
Přı́klad 9.4 Určete průběh funkce
f: y=
Řešenı́ Upravı́me:
x3 − 4x
·
x2 − 1
x(x − 2)(x + 2)
x3 − 4x
=
·
x2 − 1
(x − 1)(x + 1)
Definičnı́ obor: D(f ) = R \ {±1}
Vlastnosti: funkce je lichá (D(f ) je symetrický podle počátku a f (−x) = −f (x)).
94
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Limity v krajnı́ch bodech definičnı́ho oboru:
x3 − 4x
= −∞
x→−∞ x2 − 1
x3 − 4x
lim − 2
=∞
x −1
x→−1
x3 − 4x
lim− 2
=∞
x −1
x→1
x3 − 4x
=∞
x→∞ x2 − 1
x3 − 4x
lim + 2
= −∞
x −1
x→−1
x3 − 4x
lim+ 2
= −∞.
x −1
x→1
lim
lim
Kladné a záporné hodnoty funkce: určı́me, na kterých intervalech funkce f nabývá kladných a záporných
x(x − 2)(x + 2)
hodnot metodou nulových bodů. Určı́me nulové body výrazu:
a sestavı́me tabulku:
(x − 1)(x + 1)
−2
x
x+2
x−2
x+1
x−1
f (x)
−
−
−
−
−
−
−1
−
+
−
−
−
+
•
•
◦
◦
0
− •
+
−
+
−
− •
1
+
+
−
+
− ◦
+ ◦
2
+
+
− •
+
+
− •
+
+
+
+
+
+
Funkce má nulové body pro x = ±2 a x = 0, nenı́ definovaná v bodech ±1.
Intervaly, na kterých je funkce rostoucı́ nebo klesajı́cı́, lokálnı́ extrémy: Určı́me prvnı́ derivaci funkce:
f0 : y =
=
(x3 − 4x)0 (x2 − 1) − (x3 − 4x)(x2 − 1)0
(x2 − 1)2
x4 + x2 + 4
(x2 − 1)2
·
Čitatel upravı́me pomocı́ substituce a = x2 na kvadratický výraz a2 + a + 4, který je vždy kladný,
jmenovatel pro každé x ∈ D(f ) také kladný:
−1
x4 + x2 + 4
(x2 − 1)2
f 0 (x)
f (x)
+
+
+
%
◦
◦
◦
1
+
+ ◦
+ ◦
% ◦
+
+
+
%
Funkce f nemá lokálnı́ extrémy.
Intervaly konvexnosti a konkávnosti: Určı́me druhou derivaci funkce:
f 00 : y =
=
(x4 + x2 + 4)0 (x2 − 1)2 − (x4 + x2 + 4)((x2 − 1)2 )0
(x2 − 1)4
− 6x(3 + x2 )
(x2 − 1)3
·
Výraz 3 + x2 je vždy kladný, výraz (x2 − 1)3 rozložı́me na (x − 1)3 · (x + 1)3 a můžeme sestavit tabulku:
−1
3 + x2
−6x
(x − 1)3
(x + 1)3
f 00 (x)
f (x)
+
+
−
−
+
^
Funkce má v bodě x = 0 inflexnı́ bod f (0) = 0.
◦
◦
0
1
+
+
+
+ • −
−
−
− ◦ +
+
+
+
−
+ ◦ −
_ inf. ^ ◦ _
KAPITOLA 9. PRŮBĚH FUNKCE
95
Asymptoty: funkce f má body nespojitosti, takže jejı́ graf má asymptoty bez směrnice, x = −1 a x = 1.
Ověřı́me existenci asymptot se směrnicı́:
x3 −4x
x2 −1
x3 − 4x
=1
x→∞ x3 − x
x
3
x − 4x
(x3 − x) − x(x2 − 1)
q = lim (f (x) − k · x) = lim
− 1 · x = lim
= 0.
2
x→∞
x→∞
x→∞
x −1
x2 − 1
f (x)
k = lim
= lim
x→∞ x
x→∞
= lim
Pro x → ∞ má graf funkce asymptotu y = x. Pro x → −∞ jsou výpočty totožné, takže přı́mka y = x je
asymptotou grafu i pro x → −∞.
Závěr: máme již všechny potřebné informace, můžeme tedy načrtnout graf funkce (6).
O BR ÁZEK 6. Graf funkce y =
x3 −4x
x2 −1
Přı́klad 9.5 Určete průběh funkce
f : y = (2 − ex )(ex − 3).
Řešenı́ Definičnı́ obor: D(f ) = R.
Vlastnosti: funkce nenı́ ani sudá, ani lichá.
Limity v krajnı́ch bodech definičnı́ho oboru:
lim (2 − ex )(ex − 3) = (2 − 0)(0 − 3) = −6
x→−∞
lim (2 − ex )(ex − 3) = (2 − ∞)(∞ − 3) = −∞.
x→∞
Kladné a záporné hodnoty funkce: určı́me, na kterých intervalech funkce f nabývá kladných a záporných
hodnot metodou nulových bodů. Řešı́me rovnici (2 − ex )(ex − 3) = 0 určı́me nulové body výrazu:
2 − ex = 0 =⇒ x = ln 2, ex − 3 = 0 =⇒ x = ln 3. Sestavı́me tabulku:
ln 2
ln 3
2 − ex +
• −
−
ex − 3 −
− • +
f (x) − • +
• −
Intervaly, na kterých je funkce rostoucı́ nebo klesajı́cı́, lokálnı́ extrémy: určı́me prvnı́ derivaci funkce:
f 0 : y = ((2 − ex )(ex − 3))0
= −ex (ex − 3) + (2 − ex )ex
= ex (5 − 2ex ).
96
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Výraz ex je vždy kladný, nulový bod výrazu (5 − 2ex ) je ln(5/2), můžeme tedy sestavit tabulku:
ex
5 − 2ex
f 0 (x)
f (x)
+
+
+
%
ln(5/2)
+
•
•
lok. max
+
−
−
&
V bodě x = ln(5/2) má funkce lokálnı́ maximum f (ln(5/2)) = 1/4.
Intervaly konvexnosti a konkávnosti: určı́me druhou derivaci funkce:
f 00 : y = (ex (5 − 2ex ))0
= ex (5 − 2ex ) + ex (−2ex )
= ex (5 − 4ex ).
Výraz ex je vždy kladný, nulový bod výrazu (5 − 4ex ) je ln(5/4), můžeme tedy sestavit tabulku:
ex
5 − 4ex
f 00 (x)
f (x)
+
+
+
^
ln(5/4)
+
•
•
inf.
+
−
−
_
V bodě x = ln(5/4) má funkce inflexnı́ bod f (ln(5/4)) = −21/16.
Asymptoty: funkce f nemá body nespojitosti, takže jejı́ graf nemá asymptoty bez směrnice. Ověřı́me
existenci asymptot se směrnicı́, výpočet limit pomocı́ L’Hospitalova pravidla:
(2 − ex )(ex − 3)
f (x)
= lim
= −∞.
x→∞
x→∞ x
x
lim
Funkce tedy nemá asymptotu se směrnicı́ pro x → ∞.
(2 − ex )(ex − 3)
f (x)
= lim
=0
x→−∞
x→−∞ x
x
q = lim (f (x) − k · x) = lim ((2 − ex )(ex − 3) − 0 · x) = −6.
k = lim
x→−∞
x→−∞
Pro x → −∞ má funkce asymptotu y = −6.
Závěr: máme již všechny potřebné informace, můžeme tedy načrtnout graf funkce(7).
O BR ÁZEK 7. Graf funkce y = (2 − ex )(ex − 3)
KAPITOLA 9. PRŮBĚH FUNKCE
97
Přı́klad 9.6 Určete průběh funkce
f: y=


4
3,
1 3
3x

0,
x≤1
1<x<3
x ≥ 3.
− 2x2 + 3x,
Řešenı́ Pro některé výpočty je vhodné použı́t výraz 13 x3 − 2x2 + 3x upravený na součinový tvar
− 6x + 9) = 13 x(x − 3)2 .
Definičnı́ obor: D(f ) = R.
Vlastnosti: funkce nenı́ ani sudá, ani lichá.
Limity v krajnı́ch bodech definičnı́ho oboru: využı́váme předpisu, kterým je funkce na okolı́ ∞, resp. −∞
definovaná
1
2
3 x(x
lim 0 = 0,
x→+∞
lim
x→−∞
4
4
= ·
3
3
Spojitost: protože funkce je definovaná na různých intervalech odlišnými předpisy, je třeba zjistit spojitost v okolı́ bodů x = 1 a x = 3:
4
4
1
4
4
lim
= ,
lim (x3 − 2x2 + 3x) = ,
f (1) = ,
3
3
3
x→1− 3
x→1+ 3
1
lim ( x3 − 2x2 + 3x) = 0,
3
x→3−
lim 0 = 0,
f (3) = 0,
x→3+
proto je funkce spojitá v bodě x = 1 i v bodě x = 3.
Kladné a záporné hodnoty funkce: určı́me, na kterých intervalech funkce f nabývá kladných a záporných
hodnot, a to metodou nulových bodů. Symbolem 0 značı́me interval, ve kterém je daná funkce identicky
rovna nule, symbolem · značı́me interval, na kterém je funkce definovaná jiným předpisem, než který je
uveden v záhlavı́ řádku. Sestavı́me tabulku:
4
3
1
3 x(x
− 3)2
0
f (x)
+
.
.
+
1
+ .
. +
. .
+ +
3
. .
. .
• 0
• 0
V této chvı́li bychom měli mı́t poměrně přesnou představu o chovánı́ funkce. Měl by být proveden prvnı́
obrázek, který budou dalšı́ údaje pouze zpřesňovat.
Intervaly, na kterých je funkce rostoucı́ nebo klesajı́cı́, lokálnı́ extrémy: určı́me prvnı́ derivaci funkce. Protože
funkce je definovaná na různých intervalech odlišnými předpisy, musı́me derivovat na jednotlivých
intervalech:

x≤1
 0,
x2 − 4x + 3, 1 < x < 3
f0 : y =

0,
x ≥ 3.
Výraz x2 −4x+3 ještě rozložı́me na (x−3)(x−1). Dále bude nutné zjistit hodnoty jednostranné derivace
v okolı́ bodů 1 a 3 dosazenı́m těchto hodnot: f 0 (1)− = 0, f 0 (1)+ = 1 − 4 + 3 = 0, f 0 (3)− = 9 − 12 + 3 = 0,
f 0 (3)+ = 0. Vidı́me, že derivace je v bodech 1 a 3 spojitá. Metodou nulových bodů zı́skáme:
0
(x − 3)(x − 1)
0
f 0 (x)
f (x)
0
.
.
0
→
1
•
.
.
•
→
.
−
.
−
&
3
.
.
•
•
→
.
.
0
0
→
Funkce je konstantnı́ na (−∞, 1i a na h3, ∞) a klesajı́cı́ na (1, 3). Funkce nemá ostrá lokálnı́ maxima ani
minima.
98
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Intervaly konvexnosti a konkávnosti: při výpočtu druhé derivace derivujeme na jednotlivých intervalech:

x≤1
 0,
2x − 4, 1 < x < 3
f 00 : y =

0
x ≥ 3.
Metodou nulových bodů zı́skáme tabulku:
0
2x − 4
0
f 00 (x)
f (x)
1
•
.
.
0
0
.
.
0
konstantnı́
2
3
.
.
. .
.
− • + .
.
.
.
. •
0
− • + 0
0
_ inf. ^
konstantnı́
V bodě x = 2 má funkce inflexnı́ bod f (2) = 2/3.
Asymptoty: funkce nemá body nespojitosti, proto jejı́ graf nemá asymptoty bez směrnice. Ověřı́me existenci asymptot se směrnicı́:
0
f (x)
= lim
=0
x→∞ x
x
q = lim (f (x) − k · x) = lim (0 − 0 · x) = 0.
k = lim
x→∞
x→∞
x→∞
Graf funkce má asymptotu y = 0 pro x → ∞. To je zřejmé i z toho, že funkce je v okolı́ ∞ definovaná
jako konstantnı́, y = 0.
f (x)
4/3
= lim
= 0.
x→−∞ x
x
q = lim (f (x) − k · x) = lim (4/3 − 0 · x) = 4/3.
k = lim
x→−∞
x→−∞
x→−∞
Graf funkce má asymptotu y = 4/3 pro x → −∞. To je zřejmé i z toho, že funkce je v okolı́ −∞
definovaná jako konstantnı́, y = 4/3.
Závěr: máme již všechny potřebné informace, můžeme tedy načrtnout graf funkce (8).
O BR ÁZEK 8. Graf funkce f : y =
4
3,
x ≤ 1;
1 3
3x
− 2x2 + 3x, 1 < x < 3;
0, x ≥ 3 .
KAPITOLA 9. PRŮBĚH FUNKCE
99
9.2. Aplikace - exponenciálnı́ model
Přı́klad 9.7 Do rybnı́ku, v němž se uživı́ nejvı́c 3000 kaprů, bylo nasazených 500 kusů; po 3 letech byl
jejich počet čtyřnásobný. Určete:
a) kolik kaprů bude žı́t v rybnı́ce v 6. roku od nasazenı́?
b) jaká je rychlost množenı́ na konci pátého roku?
c) kdy je rychlost množenı́ kaprů nejvyššı́?
d) sestavte lineárnı́ funkci, která bude aproximovat populaci kaprů na přelomu druhého a
třetı́ho roku.
Řešenı́ Nejprve je třeba si uvědomit, jakou funkci pro modelovánı́ užijeme. V našem přı́padě se jedná
o exponenciálnı́ model omezeného růstu (známe maximálnı́ kapacitu), který je dán funkcı́
P (t) =
B
1 + Ae−kt
·
Dále je třeba stanovit hodnoty konstant A, B, k ∈ R. Údaje za zadánı́ přepı́šeme do matematické podoby:
Pmax = limt→∞ P (t) = 3000, P (0) = 500, P (3) = 2000. Sestavı́me rovnice
t→∞:
3000 = lim
t→∞
t=0:
t=3:
500 =
2000 =
B
1 + Ae−k·t
B
=
−k·0
1 + Ae
B
1 + Ae−k·3
= B,
B
,
1+A
·
Z prvnı́ rovnice zı́skáme B = 3000, dosazenı́m do druhé rovnice 500 =
3000
zı́skáme A = 5 a obě
1+A
hodnoty dosadı́me do třetı́ rovnice
2000 =
1 + 5e−3k
e−3k
e−k
3000
1 + 5e−k·3
3000
=
2000
1
=
10
= 10−1/3
ln 10
3
= 10−t/3 . Máme tedy sestaven model, který je daný funkcı́
k=
Protože e−k = 10−1/3 , je e−kt
P (t) =
3000
1 + 5 · 10−t/3
100
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
3000
20000
=
≈ 2857, 14.
7
1 + 5 · 10−6/3
b) máme zjistit rychlost množenı́, tedy rychlost růstu populace, proto musı́me určit derivaci této funkce,
která rychlost růstu vyjadřuje.
a) t = 6, P (6) =
P 0 (t) =
!0
B
1 + Ae−k·t
= ABk
e−kt
1 + Ae−kt
= 5 · 3000 ·
2
ln 10
·
3
10−t/3
1 + 5 · 10−t/3
2 ·
Uvědomme si, že čitatel je vždy kladný a jmenovatel je také vždy kladný, derivace je tedy vždy kladná
a funkce P (t) je tedy na R rostoucı́.
c) hledáme největšı́ rychlost růstu, tedy maximum z funkce P 0 (t). potřebujeme jejı́ derivaci, tedy
[P 0 (t)]0 = P 00 (t) a poté určit, kdy je P 00 (t) > 0, P 00 (t) < 0 a tı́m zjistit maximum pro P 0 (t):
P 00 (t) =
ABk
e−kt
!0
e−kt
!0
= ABk
2
2
1 + Ae−kt
1 + Ae−kt
0
2
2 0
e−kt 1 + Ae−kt − e−kt 1 + Ae−kt
= ABk ·
4
1 + Ae−kt
2
− ke−kt 1 + Ae−kt − e−kt · 2 · 1 + Ae−kt · A · (−k) · e−kt
= ABk ·
4
1 + Ae−kt
− 1 + Ae−kt + 2 · A · e−kt
2 −kt
= ABk e
·
3
1 + Ae−kt
= ABk 2 e−kt ·
=
Ae−kt − 1
3
1 + Ae−kt
ABk 2 e−kt
· Ae−kt − 1 .
3
1 + Ae−kt
Vı́me, že A, B, k > 0, proto je zlomek v levé části většı́ než nula a pro určenı́ znamének je určujı́cı́ výraz
Ae−kt − 1, řešme tedy nerovnici Ae−kt − 1 > 0 (resp. Ae−kt − 1 < 0):
Ae−kt − 1 > 0
1
e−kt >
A
1
= − ln A
A
ln A
t<
k
−kt > ln
t<
3 ln 5
≈ 2, 1.
ln 10
KAPITOLA 9. PRŮBĚH FUNKCE
101
Rychlost růstu populace (tedy funkce P 0 ) roste pro t ∈ (0, lnkA ) a klesá pro t ∈ ( lnkA , ∞). Protože
ln A
e−k· k = A1 , je největšı́ rychlosti dosaženo v bodě t = lnkA a jejı́ velikost je P 0 ( lnkA ):
B
B
ln A
P
=
=
−k lnkA
k
2
1 + Ae
ln A
e−k k
Bk
ln A
P0
= ABk
=
·
ln A
k
4
(1 + Ae−k k )2
Maximálnı́ rychlost růstu je tedy P 0 ( lnkA ) ≈ 575 kaprů za rok.
d) použijeme odhad hodnoty pomocı́ diferenciálu. Přelom roku je v okolı́ časového bodu t0 = 2, pak
podle odhadu pomocı́ diferenciálu platı́, že
f (x + h) ≈ f (x) + f 0 (x) · h
P (t + t0 ) ≈ P (t0 ) + P 0 (t0 ) · t
≈
3000
1 + 5 · 10−2/3
+ 5 · 3000 ·
ln 10
·
3
10−2/3
1 + 5 · 10−2/3
2 · t
≈ 1444 + 574t.
Vývoj populace P (t) lze aproximovat funkcı́ P (t) ≈ 1444 + 574t.
Závěr
3000
a) Populace na začátku šestého roku: P (6) =
≈ 2856 kaprů,
1 + 5 · 10−6/3
b) rychlost na konci pátého roku: P 0 (6) ≈ 202 kaprů za rok,
c) nejvyššı́ rychlost růstu populace kaprů bude na začátku třetı́ho roku,
P 0 (2, 1) ≈ 575 kaprů za rok,
d) od na přelomu druhého a třetı́ho roku se populace vyvı́jı́ přibližně podle vztahu
P (t) ≈ 574t + 1444 kaprů.
Dovednosti - úlohy
Ve výsledcı́ch úloh budeme použı́vat následujı́cı́ zkratky: L - funkce lichá, S - funkce sudá, LMIN
f (x0 ) = y0 - funkce f má v bodě x0 lokálnı́ minimum f (x0 ) = y0 , LMAX f (x0 ) = y0 - funkce f má
v bodě x0 lokálnı́ maximum f (x0 ) = y0 , INF f (x0 ) = y0 - funkce f má v bodě x0 inflexnı́ bod, ABS asymptota bez směrnice, ASS - asymptota se směrnicı́.
102
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha 9.1 Určete průběh funkce f a zakreslete jejı́ graf:
a) f : y = x3 − 3x2 ;
b) f : y = 16x(x − 1)3 ;
[ a)
D(f ) = R, ani S ani L
lim f (x) = ±∞
x→±∞
(−∞, 0)−, (0, 4)−, (4, ∞)+
(−∞, 0) %, (0, 8/3) &, (8/3, ∞) %
LMAX f (0) = 0, LMIN f (8/3) = −64/27
(−∞, 4/3) _, (4/3, ∞) ^
INF x = 4/3
ABS, ASS nemá;
b)
D(f ) = R, ani S ani L
lim f (x) = ∞
x→±∞
(−∞, 0)+, (0, 1)−, (1, ∞)+
(−∞, 1/4) &, (1/4, 1) %, (1, ∞) %
LMIN f (1/4) = −27/16
(−∞, 1/2) ^, (1/2, 1) _, (1, ∞) ^
Inf x = 1, x = 1/2
ABS, ASS nemá;
c)
D(f ) = R, S
lim f (x) = ∞
x→±∞ √
√ √
√
(−∞, −√3)+, (− √
3, 3) + ( 3,
√∞)+ √
(−∞, − 3)
√&, (− √3, 0) %, (0, 3) &, ( 3, ∞) %
LMIN f (− 3) = f ( 3) = 0, LMAX f (0) = 9
(−∞, −1) ^, (−1, 1) _, (1, ∞) ^
INF x = ±1
ABS, ASS nemá.
h) f : y = (x2 − 3)2 .
]
KAPITOLA 9. PRŮBĚH FUNKCE
103
Úloha 9.2 Určete průběh funkce f a zakreslete jejı́ graf:
1
x
a) f : y = x + ;
b) f : y =
;
x
1 + x2
[ a)
D(f ) = R \ {0}, L
lim f (x) = ±∞, lim f (x) = −∞, lim f (x) = ∞
x→±∞
x→0−
x→0+
(−∞, 0)−, (0, ∞)+
(−∞, −1) %, (−1, 0) &, (0, 1) &, (1, ∞) %
LMAX f (−1) = −2, LMIN f (1) = 2,
(−∞, 0) _, (0, ∞) ^, INF nemá
ABS x = 0, ASS pro x → ±∞ : y = x;
b)
D(f ) = R, L
lim f (x) = 0
x→±∞
(−∞, 0)−, (0, ∞)+
LMIN f (−1) = −1/2, LMAX f (1) = 1/2
(−∞, −1)
1) %, (1, ∞) √
&
√ &, (−1, √
√
(−∞, − 3)
√_, (− 3, 0) ^, (0, 3) _, 3, ∞) ^
INF x = ± 3, x = 0
ASS pro x → ±∞: y = 0;
c)
D(f ) = R \ {−2}, ani S ani L
lim f (x) = 0, lim f (x) =
x→±∞
x→−2−
lim
x→−2+
(−∞, −2)−, (−2, 0) − (0, ∞)+
(−∞, −2) &, (−2, 2) %, (2, ∞) &
LMAX f (2) = 5/4
(−∞, −2) _, (−2, 4) _, (4, ∞) ^
INF x = 4
ABS x = −2, ASS pro x → ±∞ : y = 0.
f (x) = −∞
c) f : y =
10x
·
(x + 2)2
]
104
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha 9.3 Určete průběh funkce f a zakreslete jejı́ graf:
p
√
a) f : y = |x − 1|;
b) f : y = x + 4 − x;
[ a)
D(f ) = R, ani S ani L
lim f (x) = ∞
x→±∞
(−∞, 1)+, (1, ∞)+
(−∞, 1) &, (1, ∞) %
LMIN f (1) = 0
(−∞, 1) _, (1, ∞) _
INF nemá
ASS,ABS nemá;
b)
D(f ) = (−∞, 4i, ani S ani L
lim f (x) = −∞, lim f (x) = f (4) = 4
x→−∞
√ x→4−
√
(−∞, − 21 (−1 − 17))−, (− 12 (−1 − 17), 4i+
(−∞, 15/4) %, (15/4, 4) &
LMAX f (15/4) = 17/4
(−∞, 4) _
INF nemá
ABS ani ASS nemá;
c)
D(f ) = (0, ∞), ani S ani L
lim f (x) = lim f (x) = ∞
x→0+
x→∞
(0, ∞)+
(0, 2−2/3 ) &, (2−2/3 , ∞) %
LMIN f (2−2/3 ) = 2−2/3 + 23
(0, ∞) ^, INF nemá
ABS x = 0, ASS pr x → ∞ y = x.
1
c) f : y = x + √ ·
x
]
KAPITOLA 9. PRŮBĚH FUNKCE
Úloha 9.4 Určete průběh funkce f a zakreslete jejı́ graf:
2
a) f : y = x2 e−x ;
b) f : y = x
;
e −1
[ a)
D(f ) = R, ani S ani L
lim f (x) = 0, lim f (x) = ∞
x→∞
x→−∞
(−∞, 0)+, (0, ∞)+
(−∞, 0) &, (0, 2) %, (2, ∞) &
−2
LMIN f (0)√= 0, LMAX f√(2) = 4e
√
√
(−∞, 2 − 2)
^,
(2
−
2,
2
+
2) _, (2 + 2, ∞) ^
√
INF x = 2 ± 2
ASS pro x → ∞ : y = 0;
b)
D(f ) = R \ {0}, ani S ani L
lim f (x) = −2, lim f (x) = 0
x→−∞
x→∞
(−∞, 0)−, (0, ∞)+
(−∞, 0) &, (0, ∞) &
LMAX ani LMIN nemá
(−∞, 0) _, (0, ∞) ^,
INF nemá
ABS x = 0, ASS pro x → ∞ : y = 0, pro x → −∞ : y = −2;
c)
D(f ) = R, ani S ani L
lim f (x) = 0
x→∞
(−∞, 1)−, (1, ∞)+
(−∞, 3/2) %, (3/2, ∞) &
LMAX f (3/2) = e−3 /2
(−∞, 2) _, (2, ∞) ^
INF x = 2
ABS pro x → ∞ : y = 0.
105
c) f : y = (x − 1)e−2x .
]
106
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha 9.5 Určete průběh funkce f a zakreslete jejı́ graf:
ex
e−x
a) f : y =
;
b) f : y =
;
x+1
x
[ a)
D(f ) = R \ {1}, ani S ani L
lim f (x) = 0, lim f (x) = −∞,
x→−∞
x→−1−
]
lim
x→−1+
f (x) = ∞, lim f (x) = ∞
x→∞
(−∞, −1)−, (−1, ∞)+
(−∞, −1) &, (−1, 0) &, (0, ∞) %
LMIN f (0) = 1
(−∞, −1) _, (−1, ∞) ^
INF nemá
ABS x = −1, ASS pro x → −∞ : y = 0;
b)
D(f ) = R \ {0}, ani S ani L
lim f (x) = 0, lim f (x) = −∞, lim f (x) = ∞,
x→∞
x→0−
x→0+
lim f (x) = −∞
x→−∞
(−∞, 0)−, (0, ∞)+
(−∞, −1) %, (−1, 0) &, (0, ∞) &
LMAX f (−1) = −e
(−∞, 0) _, (0, ∞) ^
INF nemá
ABS x = 0, ASS pro x → ∞ : y = 0;
c)
2
c) f : y = e−x .
D(f ) = R, sudá
lim f (x) = 0
x→±∞
(−∞, ∞)+
(−∞, 0) %, (0, ∞) &
LMAX f√
(0) = 1
√
√
√
(−∞, − 2/2)
√ ^, (− 2/2, 2/2) _, ( 2/2, ∞) ^
INF x = ± 2/2
ASS pro x → ±∞ : y = 0.
KAPITOLA 9. PRŮBĚH FUNKCE
107
Úloha 9.6 Určete průběh funkce f a zakreslete jejı́ graf:
2
2
a) f : y = (1 − x2 )e−x ;
b) f : y = xe−x /2 ;
[ a)
]
D(f ) = R, S
lim f (x) = 0
x→±∞
(−∞, −1)−,
(−1, 1)+,
√
√ (1, ∞)− √
√
(−∞, − 2)
2) &, ( 2, ∞) %
√&, (− √2, 0) %, (0,
−2
LMIN f (−p 2) = f ( 2) = −ep , LMAX f (0)p= 1
√
√
√
1
(−∞,
33) _, (− 21 7 + p
33, − 12 7 − 33) ^,
p − 2√ 7 + p
√
√
1
1
( 12 7 − 33,
p− 2 √7 + 33) _,p(− 2 √7 + 33, ∞) ^
1
1
INF x = ± 2 7 + 33, x = ± 2 7 − 33
ASS pro x → ±∞ : y = 0;
b)
D(f ) = R, L
lim f (x) = 0
x→±∞
(−∞, 0)−, (0, ∞)+
(−∞, −1) &, (−1, 1) %, (1, ∞) &
−1/2
LMIN f (−1)
= −e−1/2
√ , LMAX f√(1) = e
√
_,
(−
3,
0)
^,
(0,
3)
_,
(0,
∞) ^
(−∞, − 3)
√
INF x = ± 3, x = 0
ASS pro x → ±∞ : y = 0;
c)
D(f ) = R \ {0}, ani S ani L
lim f (x) = 0, lim f (x) = ∞,
x→0−
c) f : y = x2 e1/x .
x→0+
lim f (x) = ∞
x→±∞
(−∞, 0)+, (0, ∞)+
(−∞, 0) &, (0, 1/2) &, (1/2, ∞) %
LMIN f (1/2) = e2 /4
(−∞, 0) ^, (0, ∞) ^
INF nemá
ASS x = 0.
108
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha 9.7 Určete průběh funkce f a zakreslete jejı́ graf:
a) f : y = x + e−x ;
b) f : y = e1/x ;
[ a)
D(f ) = R, ani S ani L
lim f (x) = ∞
]
x→±∞
(−∞, ∞)+
(−∞, 0) &, (0, ∞) %
LMIN f (0) = 1
(−∞, ∞) ^
INF nemá
ASS pro x → ∞ : y = x;
b)
D(f ) = R \ {0}, ani S ani L
lim f (x) = 1, lim f (x) = 0, lim f (x) = ∞
x→±∞
x→0−
x→0+
(−∞, 0)+, (0, ∞)+
(−∞, 0) &, (0, ∞) &
LMIN ani LMAX nemá
(−∞, −1/2) _, (−1/2, 0) ^, (0, ∞) ^
INF x = −1/2
ABS x = 0, ASS pro x → ±∞ : y = 1;
c)
D(f ) = R \ {0}, ani S ani L
lim f (x) = 0, lim f (x) = ∞, lim f (x) = ∞,
x→0−
x→0+
c) f : y = xe1/x .
x→∞
(−∞, 0)−, (0, ∞)+
(−∞, 0) %, (0, 1) &, (1, ∞) %
LMIN f (1) = e
(−∞, 0) _, (0, ∞) ^
INF nemá
ABS x = 0, ASS pro x → ±∞ : y = x + 1.
lim f (x) = −∞
x→−∞
KAPITOLA 9. PRŮBĚH FUNKCE
Úloha 9.8 Určete průběh funkce f a zakreslete jejı́ graf:
√
a) f : y = x2 ex+3 ;
b) f : y = 1 − e−x2 ;
[ a)
D(f ) = R, ani S ani L
lim f (x) = 0, lim f (x) = ∞
x→−∞
x→∞
(−∞, 0)+, (0, ∞)+
(−∞, −2) %, (−2, 0) &, (0, ∞) %
LMAX f (−2)
(0) = 0 √
√ = 4e, LMIN f√
√
(−∞, −2 − 2)
√^, (−2 − 2, −2 + 2) _, (−2 + 2, ∞) ^
INF x = −2 ± 2
ASS pro x → −∞ : y = 0;
b)
D(f ) = R, S
lim f (x) = 1
x→±∞
(−∞, 0)+, (0, ∞)+
(−∞, 0) &, (0, ∞) %
LMIN f (0) = 0
(−∞, 0) _, (0, ∞) _
INF nemá
ASS pro x → ±∞ : y = 1;
c)
D(f ) = R, S
lim f (x) = 4
x→±∞
(−∞, ∞)+
(−∞, 0) &, (0, ∞) %
LMIN f (0)
√ =3
√
√
√
(−∞, − 2/2)
√ _, (− 2/2, 2/2) ^, ( 2/2, ∞) _
INF x = ± 2/2
ASS pro x → ±∞ : y = 4.
109
2
c) f : y = 4 − e−x .
]
110
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha 9.9 Určete průběh funkce f a zakreslete jejı́ graf:
a) f : y = x − ln(x + 1);
b) f : y = x ln x;
[ a)
D(f ) = (−1, ∞), ani S ani L
lim f (x) = ∞, lim f (x) = ∞
x→−1+
x→∞
(−1, 0)+, (0, ∞)+
(−1, 0) &, (0, ∞) %
LMIN f (0) = 0
(−1, ∞) ^
INF nemá
ABS x = −1;
b)
D(f ) = (0, ∞), ani S ani L
lim f (x) = 0, lim f (x) = ∞
x→0+
x→∞
(0, 1)−, (1, ∞)+
(0, e−1 ) &, (e−1 , ∞) %
LMIN f (e−1 ) = −e−1
(0, ∞) ^
INF nemá
ABS ani ASS nemá;
c)
D(f ) = (0, ∞), ani S ani L
lim f (x) = −∞, lim f (x) = 0
x→0+
(0, e−1 )−,
x→∞
(e−1 , ∞)+
(0, 1) %, (1, ∞) &
LMAX f (1) = 1
√
√
(0, e) _, ( e, ∞) ^
√
INF x = e
ABS x = 0, ASSpro x → ∞ : y = 0.
c) f : y =
1 + ln x
·
x
]
KAPITOLA 9. PRŮBĚH FUNKCE
111
Schopnosti - aplikace
Úloha 9.10 Exponenciálnı́ modely - exponenciálnı́ růst. Podle předpokladů bude počet obyvatel P (t) určitého
státu o t let odted’ určen funkcı́ P (t) = 40e0,025t milionů osob.
a) Jaký je počet obyvatel toho státu v současnosti?
b) Jaký bude počet obyvatel o 10 let, resp. o 20 let?
[ a) P (0) = 40 mil. obyvatel;
]
b) P (10) = 51, 361 mil. obyvatel, P (20) = 65, 949 mil. obyvatel.
Úloha 9.11 Exponenciálnı́ modely - exponenciálnı́ růst. Podle předpokladů bude počet obyvatel P (t) určitého
státu za t let odted’ určen jako P (t) = 30e0,03t milionů osob.
a) Jaký je počet obyvatel toho státu v současnosti?
b) Jaký bude počet obyvatel o 5 let, resp. o 12 let?
c) Pokud se trend růstu nezměnı́, ve kterém čase bude počet obyvatel krajiny dvojnásobkem současného
počtu obyvatel?
d) Jaká je procentnı́ mı́ra růstu počtu obyvatel v současnosti, resp. v čase o 1 rok odted’, resp. v čase t
let odted’?
e) Zakreslete graf funkce P (t).
[ a) P (0) = 30 mil. obyvatel;
]
b) P (5) = 34, 855 mil. obyvatel, P (12) = 42, 9999 mil. obyvatel;
c) 23,1 let;
d) stále stejná 3 %.
Úloha 9.12 Exponenciálnı́ modely. Počet obyvatel určitého státu v roce 1975 byl 50 milionů a v roce 1995
dosáhl 66 milionů.
a) Kolik obyvatel bude mı́t tento stát v roce 2005, jestliže počet obyvatel roste lineárně? Jaká bude
rychlost jeho růstu?
b) Kolik obyvatel bude mı́t tento stát v roce 2005, jestliže počet obyvatel roste exponenciálně?
c) Zakreslete grafy obou zı́skaných funkcı́ ve stejném souřadnicovém systému.
[ a) 74 mil. obyvatel;
]
b) 75,83 mil. obyvatel.
Úloha 9.13 Exponenciálnı́ modely. Hrubý domácı́ produkt (HDP) určitého státu byl v roce 1985 100 miliard dolarů a v roce 1995 120 miliard dolarů.
a) Jaký bude HDP státu v roce 2005, pokud předpokládáme lineárnı́ růst HDP?
b) Jaký bude HDP státu v roce 2005, pokud předpokládáme exponenciálnı́ růst HDP?
c) Zakreslete grafy obou zı́skaných funkcı́ ve stejném souřadnicovém systému.
[ a) 140 miliard dolarů; ]
b) 144 miliard dolarů.
Úloha 9.14 Exponenciálnı́ modely - exponenciálnı́ růst. V průběhu prvnı́ch 15 minut experimentu ve zkumavce byl zaznamenán růst počtu bakteriı́ určitého druhu takto: na začátku bylo ve zkumavce 2000
bakteriı́, po 15 minutách 4500 bakteriı́.
a) Jestli předpokládáme exponenciálnı́ růst počtu bakteriı́, kolik bakteriı́ bude ve zkumavce po 30 minutách?
b) Jakou procentnı́ mı́rou roste počet bakteriı́?
c) Za jaký čas se počet bakteriı́ zdvojnásobı́?
[ a) 10 125 bakteriı́;
]
b) 5,4 %;
c) přibl. za 12,817 minut.
112
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha 9.15 Exponenciálnı́ modely - exponenciálnı́ růst. Stát má v současnosti A obyvatel a ročně v něm
přibývá h obyvatel na 1000 obyvatel. Jestliže předpokládáme, že počet obyvatel narůstá exponenciálně,
kolik obyvatel bude mı́t ten stát na konci n-tého roku?
[ A(1 + h/1000)n obyvatel. ]
Úloha 9.16 Exponenciálnı́ modely - exponenciálnı́ klesánı́. Hodnota výrobnı́ho zařı́zenı́ po t letech od jeho
výroby je určena jako V (t) = 5000e−t/5 + 450 dolarů.
a) Jaká byla hodnota zařı́zenı́, když bylo nové?
b) Jaká je hodnota zařı́zenı́ po 10 letech od jeho výroby?
c) Načrtněte graf funkce V (t). Jaká bude hodnota zařı́zenı́ po dlouhém čase?
[ a) 5450 dolarů;
]
b) 1126,676 dolarů;
c) 450 dolarů.
Úloha 9.17 Exponenciálnı́ modely - exponenciálnı́ klesánı́. Mokrý ručnı́k zavěšený na šňůře ztrácı́ vlhkost
rychlostı́, která je přı́mo úměrná obsahu jeho vlhkosti. Pokud ručnı́k ztratı́ 50 % obsahu vlhkosti za 2
hodiny, jak dlouho potrvá, než bude suchý na 95 %?
[ 8,644 hodin. ]
Úloha 9.18 Exponenciálnı́ modely - exponenciálnı́ klesánı́. Rozpad radioaktivnı́ látky je určen klesajı́cı́ exponenciálnı́ funkcı́: množstvı́ určité radioaktivnı́ látky v gramech, které zůstane po t letech z počátečnı́ho
množstvı́ Q0 , je určeno funkcı́ Q(t) = Q0 e−0,02t .
a) Zakreslete graf této funkce.
b) Za jaký čas zůstane z této radioaktivnı́ látky právě polovina původnı́ho množstvı́ Q0 ?
(Uvedený čas se nazývá poločas rozpadu radioaktivnı́ látky; poločas rozpadu charakterizuje danou látku.)
[ b) přibl. 35 let. ]
Úloha 9.19 Exponenciálnı́ modely - exponenciálnı́ klesánı́. Určitá radioaktivnı́ látka se po t letech rozpadá
tak, jak to určuje funkce Q(t) = Q0 e−0,0001t . Po 5000 letech bylo nalezeno 2000 gramů této látky. Jaké
bylo jejı́ původnı́ množstvı́?
[ 3297,44 gramů. ]
Úloha 9.20 Exponenciálnı́ modely - exponenciálnı́ klesánı́. Poločas rozpadu prvku radium je 1690 let. Jak
dlouho potrvá, než se vzorek 50 gramů radia rozpadne na 5 gramů, resp. na 1 gram?
[ Q(t) = Q0 · 2−t/1690 ;
]
přibližně 5614,1 let, resp. 9538,1 let.
Úloha 9.21 Exponenciálnı́ modely - exponenciálnı́ klesánı́. Jestliže v současnosti má nějaká radioaktivnı́
látka hmotnost 500 gramů a po 50 letech 400 gramů, kolik gramů z nı́ zůstane po 200 letech, resp. po 500
letech? Jaký je poločas rozpadu této látky?
[ 204,8 gramů, resp. 53,687 gramů; ]
poločas rozpadu je 155,314 let.
Úloha 9.22 Exponenciálnı́ modely - křivka učenı́. Podle experta firmy je hodinová výkonnost Q(t) pracovnı́ka firmy v závislosti od počtu t měsı́ců jeho zapracovánı́ ve firmě určena jako
Q(t) = 500 − Ae−kt . Průměrný nový pracovnı́k má na začátku (tedy při 0 měsı́cı́ch praxe) hodinovou
výkonnost 300 výrobků, po 2 měsı́cı́ch praxe 450 výrobků.
a) Určete funkci Q(t) a znázorněte ji graficky.
b) Jakou hodinovou výkonnost bude mı́t průměrný pracovnı́k po 4, resp. 6 měsı́cı́ch praxe ve firmě?
c) Jakou rychlostı́ se zvyšuje jeho hodinová výkonnost po 2, resp. po 4, resp. po 6 měsı́cı́ch praxe ve
firmě? Znázorněte graficky.
[ a) Q(t) = 500 − 200 · 0, 25t/2 ;
]
b) 487,5 výrobků, resp. 496,875 výrobků;
c) 34,66 výrobků za měsı́c, resp. 8,66 výrobků za měsı́c;
resp. 2,166 výrobků za měsı́c.
KAPITOLA 9. PRŮBĚH FUNKCE
113
Úloha 9.23 Exponenciálnı́ modely - křivka učenı́. Nový, ještě nezaškolený pracovnı́k dı́lny, kde se montujı́ určité části mikrovlnných zařı́zenı́, je schopen sestavit za týden asi 200 kusů; pracovnı́k s 5-týdennı́
zkušenostı́ montuje 233 kusů za týden. Analytikům tohoto odvětvı́ je známo, že i nejzkušenějšı́ pracovnı́k se přibližuje výkonnosti nejvı́ce 300 dı́lů za týden.
a) Sestavte křivku učenı́ odpovı́dajı́cı́ uvedeným datům.
b) V dı́lně je podmı́nkou k zı́skánı́ mzdy v určité výši výkonnost nejméně 250 dı́lů za týden. Kdy může
pracovnı́k očekávat takovou mzdu?
[ a) P (t) = 300 − 100e−0,08t ;
]
.
.
b) P (8) = 247 a P (9) = 251,
proto teprve na konci 9. týdne.
Úloha 9.24 Exponenciálnı́ modely - křivka učenı́. Dennı́ výstup (tj. dennı́ produkce) dělnı́ka, který pracuje
v továrně t týdnů, je určen jako Q(t) = 120 − Ae−kt výrobků. Při nástupu do továrny je dělnı́k schopen
vyrábět 30 výrobků za den, po 8 týdnech 80 výrobků za den. Kolik výrobků denně je dělnı́k schopen
vyrábět po 4 týdnech, resp. po 4 měsı́cı́ch práce v továrně? Znázorněte graficky.
[ 60 výrobků, resp. 102,22 výrobků. ]
Úloha 9.25 Exponenciálnı́ modely - křivka učenı́. Dennı́ výstup (t.j. dennı́ produkce) dělnı́ka, který pracuje
v továrně t týdnů, je určen jako Q(t) = 120 − Ae−kt výrobků. Při nástupu do továrny je dělnı́k schopen
vyrábět 30 výrobků za den, po 10 týdnech 90 výrobků za den. Vypočı́tejte, za jaký čas je možné zařadit
dělnı́ka mezi špičkové pracovnı́ky, pokud za špičkového považujeme dělnı́ka, jehož dennı́ výstup je
nejméně 90 % z hornı́ hranice 120 výrobků za den.
]
[ v čase t > 18, 34 týdnů,
čili v průběhu 19. týdne po nástupu.
Úloha 9.26 Exponenciálnı́ modely - křivka učenı́. Když se začı́ná vyrábět určitý druh letadla, potřebuje
firma na výrobu prvnı́ho z nich spolu 5000 pracovnı́ch hodin; počet pracovnı́ch hodin potřebných na
montáž druhého letadla je už jenom 4600 hodin, při třetı́m letadle stačı́ na dokonalou montáž jenom
2800 hodin. Stanovte křivku učenı́, která určuje počet hodin y(x) nutných na montáž v pořadı́ x-tého
letadla.
[ y(x) = 35800/7 − 1600/63 · (9/2)t hodin. ]
Úloha 9.27 Exponenciálnı́ modely - křivka učenı́. Při prvém pokusu potřebuje myš 350 vteřin na to, aby
úspěšně zvládla přechod labyrintem, na druhý pokus se jı́ to podařı́ za 335 vteřin, při třetı́m pokusu to
zvládne již za 325 vteřin.
a) Najděte, jak závisı́ čas potřebný na úspěšný přechod labyrintem na počtu pokusů.
b) Jaký je přitom teoreticky nejkratšı́ možný čas?
[ a) y(x) = 305 + 67, 5 · e−0,405x
]
(koeficient k zaokrouhlen na 3 desetinná mı́sta);
b) 305 vteřin.
Úloha 9.28 Exponenciálnı́ modely - křivka učenı́. Zoologové sledovali v určité severské oblasti stáda sobů
karibu; v roce 1985 napočı́tali 10 000 kusů, v roce 1987 jich bylo vı́c, a to 11 000. Odbornı́ci předpokládajı́,
že se růst zpomalı́, protože podle odhadů zdroje uživı́ v oblasti nejvı́ce 15 000 kusů. Určete počet kusů
sobů karibu P (t) v závislosti na čase t v letech za předpokladu omezeného růstu.
[ P (t) = 15000 − 5000 · (4/5)t/2 . ]
Úloha 9.29 Exponenciálnı́ modely - Newtonův zákon ochlazovánı́ (z křivky učenı́). Horké těleso umı́stı́me na
ochlazenı́ do prostředı́ s nižšı́ teplotou Ts , o nı́ž předpokládáme, že se neměnı́. Na základě měřěnı́ bylo
odvozeno, že pro teplotu T (t) ochlazovaného tělesa závislou na čase t platı́ T (t) = Ts + (T0 − Ts )ekt ,
kde T0 je teplota tělesa na začátku děje (v čase t = 0); tento vztah se nazývá Newtonův zákon ochlazovánı́.
(K určenı́ velikosti teploty T (t) podle této závislosti kvůli určenı́ 3 parametrů T0 , Ts , k potřebujeme 3
údaje.)
Vyřešte úlohu: Natvrdo uvařené vajı́čko je při 98 st. C ponořeno na ochlazenı́ do nádoby s vodou 18 st.
C teplou; po 5 min. se teplota vajı́čka snı́žı́ na 38 st. C. Za jaký čas se vajı́čko ochladı́ na 20 st. C?
114
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
]
[ T (t) = 18 + 80 · 4−t/5 ;
čas potřebný na pokles teploty
.
na T = 20: 5 ln 40/ ln 4 = 13 minut.
Úloha 9.30 Exponenciálnı́ modely - Newtonův zákon ochlazovánı́. Jestliže se nějaký malý odlitek ochladı́
ze 100 st. C na 80 st. C za 20 minut v prostředı́ se stálou teplotou 20 st. C, za kolik minut se v tomto
prostředı́ ochladı́ ze 100 st. C na 60 st. C?
[ T (t) = 20 + 80(4/3)−t/20 ,
]
ln 2 .
t = 20
= 48, 19 minut.
ln 4/3
Úloha 9.31 Exponenciálnı́ modely - Newtonův zákon ochlazovánı́. Šálek kakaa se ochladı́ z 90 st. C na 60 st.
C za 10 minut v mı́stnosti, v nı́ž je stálá teplota 20 st. C. Za kolik minut se kakao ochladı́ až na 35 st. C?
[ T (t) = 20 + 70(4/7)t/10 ,
]
ln 3/14 .
t = 10 ·
= 27, 5 minut.
ln 4/7
Úloha 9.32 Exponenciálnı́ modely - Newtonův zákon ochlazovánı́. Těleso s teplotou 25 st. C bylo umı́stěno
do termostatu, v němž se udržuje stálá teplota 0 st. C. Za jaký čas se těleso ochladı́ na 10 st. C, jestliže za
20 min. se ochladilo na 20 st. C? Ve kterém čase mělo těleso teplotu 24 st. C?
[ T (t) = 25 · (4/5)t/20 , 82,13 min.; ]
v čase 3,66 min.
Úloha 9.33 Exponenciálnı́ modely - Newtonův zákon ochlazovánı́ (oteplovánı́). V horkém letnı́m dnu vyjmete
z ledničky chlazený nápoj a postavı́te ho do mı́stnosti, kde je stálá teplota 38 st. Vyjádřete teplotu nápoje
jako funkci času, jestliže nápoj v ledničce měl 10 st. a po 20 minutách měl 18 st. C.
[ T (t) = 38 − 28 · (5/7)t/20 . ]
Úloha 9.34 Exponenciálnı́ modely - Newtonův zákon ochlazovánı́ (oteplovánı́). Těleso neznámé teploty bylo
uloženo do mı́stnosti, v nı́ž se udržovala stálá teplota 30 st. C. Po 10 minutách mělo těleso teplotu 0 st. C
a po 20 minutách od uloženı́ do mı́stnosti byla teplota tělesa 15 st. C. Jaká byla teplota tělesa na začátku?
[ T (t) = 30 −
30t/10
, T0 = −30 st. C. ]
(30 − T0 )t/10−1
Úloha 9.35 Exponenciálnı́ modely - logistická křivka. Podle zdravotnı́ dokumentace t týdnů po vypuknutı́
4
chřipky byl počet onemocněnı́ určen jako f (t) =
tisı́c osob.
1 + 3e−0,8t
a) Načrtněte graf funkce f (t).
b) Kolik onemocněnı́ bylo zaznamenáno na začátku vypuknutı́ chřipky, resp. na konci třetı́ho týdne?
c) Pokud by trend pokračoval podle uvedené funkce, k jaké hranici by se přiblı́žil celkový počet onemocněnı́ po dlouhém čase?
[ b) 1 tisı́c osob, resp. 3,1442 tisı́c osob; ]
c) 4 tisı́ce osob.
Úloha 9.36 Exponenciálnı́ modely - logistická křivka. Podle zdravotnı́ dokumentace t týdnů po vypuknutı́
180
infekčnı́ žloutenky byl počet onemocněnı́ určen jako f (t) =
osob.
1 + 9e−0,4t
a) Načrtněte graf funkce f (t).
b) Kolik onemocněnı́ infekčnı́ žloutenkou bylo zaznamenáno na začátku, resp. na konci třetı́ho, pátého,
sedmého týdne?
c) Pokud by trend pokračoval podle uvedené funkce, k jaké hranici by se přiblı́žil celkový počet onemocněnı́ infekčnı́ žloutenkou po dlouhém čase?
[ b) 18, resp. 48,5, resp. 81,15, resp. 116,33 osob; ]
c) 180 osob.
KAPITOLA 9. PRŮBĚH FUNKCE
115
Úloha 9.37 Exponenciálnı́ modely - logistická křivka. Určete, kolik osob bude nakažených v čase t (v týdnech)
od vypuknutı́ epidemie, jestliže společenstvı́ sestává z 2000 osob, na začátku se nakazilo 500 osob a na
konci prvnı́ho týdne bylo zaznamenaných 855 onemocněnı́.
[ y(t) =
2000
· ]
1 + 3 · 0, 4464t
Úloha 9.38 Exponenciálnı́ modely - logistická křivka. Epidemie v určité oblasti se šı́řı́ tak, že na začátku
onemocněla 1/5 počtu jejı́ho obyvatelstva a na konci 4. týdne byla nemocná 1/2 počtu obyvatel. O jaké
části obyvatelstva té oblasti se dá předpokládat, že bude postižena na konci 8. týdne od vypuknutı́
epidemie?
[ prakticky všichni budou postiženi. ]
Úloha 9.39 Exponenciálnı́ modely - logistická křivka. Na lodi s 800 cestujı́cı́mi onemocnı́ 1 pasažér závažnou
infekčnı́ nemocı́, která se šı́řı́ tak, že po 12 hod. onemocnı́ dalšı́ 3 lidé. Vakcı́nu je možné dodat na
lod’ letecky, ale je známo, že v čase od 60 do 72 hodin plavby letadlo se zásilkou kvůli povětrnostnı́m
podmı́nkám nepřiletı́. Kolik přı́padů onemocněnı́ je možné očekávat, dokud přijde vakcı́na?
800
]
, t v hodinách;
1 + 799e−0,01796t
.
.
y(60) = 188, y(72) = 3858 pasažérů - podle modelu
téměř 5krát vı́ce než je počet všech cestujı́cı́ch - nakaženi budou všichni.
[ y(t) =
Úloha 9.40 Exponenciálnı́ modely - logistická křivka. O určité pomluvě vědělo v čase jejı́ho vypuknutı́ 1 %
osob v určité komunitě a po 1 dnu 10 % osob. Kolik procent osob už bude o pomluvě informováno po 3
dnech?
[ Počet osob y(t) v procentech:
]
1
y(t) =
, t ve dnech;
1 + Ae−kt
−k
A = 99, e
= 1/11, proto
121 .
= 93 %.
y(3) =
130
Úloha 9.41 Exponenciálnı́ modely - logistická křivka. Jiná pomluva se šı́řı́ v ještě vı́ce pomlouvačné společnosti:
v čase jejı́ho vypuknutı́ vı́ o nı́ 0,1 % osob z této společnosti a po 1 dnu 10 % osob. Kolik procent
osob bude o pomluvě informováno za 3 dny? (Proč je tato společnost vı́c pomlouvačná než společnost
z předchozı́ úlohy?)
1
, t ve dnech, y(t) v procentech; ]
1 + Ae−kt
−k
A = 999, e
= 1/111, proto
12321 .
y(3) =
= 100 %.
12330
[ y(t) =
Úloha 9.42 Exponenciálnı́ modely - logistická křivka. Přı́mými svědky dopravnı́ nehody v malém městečku
byla 1/10 jeho obyvatel. Po 2 hodinách se o nehodě dozvěděla 1/4 obyvatel. Po jakém čase bude o nehodě informovaná přesně polovina jeho obyvatel?
[ 4 hod. ]
Úloha 9.43 Exponenciálnı́ modely - logistická křivka. V omezené uzavřené oblasti bylo vysazeno 100
stepnı́ch slepic; po 2 letech v této oblasti napočı́tali 150 kusů slepic. Ekologové předpokládajı́, že v té
oblasti může žı́t nejvı́ce 1000 kusů.
a) Za jaký čas počet slepic vzrostl na dvojnásobek původnı́ho počtu?
b) Kolik slepic tam bude žı́t po 5 letech?
1 000
, t v rocı́ch;
]
1 + 9e−0,2313t
a) počet se zdvojnásobı́ přibl. za 3,5 roku;
.
b) y(5) = 261 slepic.
[ y(t) =
116
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha 9.44 Do rybnı́ku, v němž se uživı́ nejvı́c 3000 kaprů, bylo nasazených 1000 kusů; po 3 letech se
jejich počet zdvojnásobil. Určete
a) kolik kaprů bude žı́t v rybnı́ce v 6. roku od nasazenı́?
b) jaká je rychlost množenı́ na konci pátého roku?
c) kdy je rychlost množenı́ nejvyššı́?
3000
, t v rocı́ch,
]
1 + 2e−kt
−3k
e
= 1/4;
.
y(6) = 8000/3 = 2666, 6 kusů.
[ y(t) =
Úloha 9.45 Exponenciálnı́ modely - logistická křivka. Na základě odhadu odbornı́ků Země nemůže uživit
40
vı́c než 40 miliard lidı́. Počet obyvatel Země t let po roku 1960 je přibližně P (t) =
miliard.
1 + 12e−0,08t
a) Pokud je tento model správný, jaká byla ročnı́ mı́ra růstu počtu obyvatel Země v roce 1995?
b) Jaká byla procentnı́ ročnı́ mı́ra růstu počtu obyvatel Země v roce 1995?
c) Zakreslete graf funkce P (t).
[ a) 0,39023 miliard ročně; ]
b) 1,687 %.
Úloha 9.46 Exponenciálnı́ růst - úročenı́. Vložili jsme na účet 5 000 dolarů při 5procentnı́ ročnı́ úrokové
mı́ře. Vypočı́tejte, kolik dolarů bude na účtu po 20 letech, jestliže úročenı́ je
a) jednoduché, jednou ročně;
b) složené, jednou ročně;
c) spojité.
[ a) 10 000;
]
b) 13 266,45;
c) 13 591,41 dol.
Úloha 9.47 Exponenciálnı́ růst - úročenı́. Vložili jsme na účet 15 000 korun při 8procentnı́ ročnı́ úrokové
mı́ře. Vypočı́tejte, kolik korun bude na účtu po 10 letech, jestliže úročenı́ je
a) složené, dvakrát ročně;
b) složené čtyřikrát, šestkrát ročně;
’
c) spojité.
[ a) 32 866,85;
]
b) 33 120,60 resp. 33 207,10;
c) 33 383,11 korun
Úloha 9.48 Exponenciálnı́ růst - úročenı́. Vložili jsme na účet 12 000 dolarů při 10procentnı́ ročnı́ úrokové
mı́ře. Vypočı́tejte, kolik dolarů bude na účtu po 4 letech při složeném úročenı́, jestliže se úrok připisuje:
a) jednou za půl roku;
b) jednou za měsı́c;
c) spojitě.
]
[ a) 17 729,46;
b) 17 872,25;
c) 17 901,90 dol.
Úloha 9.49 Exponenciálnı́ růst - úročenı́. Jak rychle se na účtu zdvojnásobı́ 2 000 dolarů, jestliže je tato
suma vložena při 12procentnı́ ročnı́ úrokové mı́ře a úrok se při složeném úročenı́ připisuje:
a) čtvrtletně;
b) dvakrát za rok;
c) jednou ročně;
d) spojitě?
[ a) 5,86 roku; ]
b) 5,95 roku;
c) 6,12 roku;
d) 5,78 roku.
KAPITOLA 9. PRŮBĚH FUNKCE
117
Úloha 9.50 Exponenciálnı́ růst - úročenı́. Za jaký čas se na účtu zdvojnásobı́ vložená suma dolarů, jestliže
ročnı́ úroková mı́ra je 8 procent a úrok se při složeném úročenı́ připisuje:
a) dvakrát za rok;
b) jednou ročně;
c) spojitě?
[ a) 8,84 let; ]
b) 9,0 let;
c) 8,66 let.
Úloha 9.51 Exponenciálnı́ růst - úročenı́. Jak rychle na účtu vzroste vložená suma 2 000 dolarů na 5 000
dolarů, jestliže ročnı́ úroková mı́ra je 8 procent a úrok se při složeném úročenı́ připisuje:
a) 4–krát za rok;
b) dvakrát za rok;
c) jednou za rok;
d) spojitě?
[ a) 11,57 let; ]
b) 11,68 let;
c) 11,91 let;
d) 11,45 let.
Úloha 9.52 Exponenciálnı́ modely - úročenı́. Kolik dolarů potřebujeme vložit na účet v tomto okamžiku
aby přesně po 10 letech bylo na účtu 5 000 dolarů, jestliže ročnı́ úroková mı́ra je 10 procent a úrok se při
složeném úročenı́ připisuje:
a) 4–krát za rok;
b) dvakrát za rok;
c) jednou za rok;
d) spojitě?
[ a) 1862,15;
]
b) 1884,45;
c) 1927,72;
d) 1839,40 dolarů.
Úloha 9.53 Exponenciálnı́ modely - exponenciálnı́ růst. Počet obyvatel dvou sousednı́ch států je dnes A tisı́c,
resp. B tisı́c osob, přičemž A < B. Počet obyvatel prvnı́ho státu roste ročně o p osob na 1000 obyvatel,
počet obyvatel druhého státu klesá ročně o r osob na 1000 obyvatel. Pokud předpokládáme stejný trend
i v dalšı́ch obdobı́ch, za jaký čas budou mı́t oba státy stejný počet obyvatel?
[ t = ln
B
1
·
. ]
A ln(1000 + p) − ln(1000 − r)
Úloha 9.54 Exponenciálnı́ růst - úročenı́. O koupi chaty v zahrádkářské kolonii majı́ zájem tři kupci. Prvnı́
nabı́zı́ 81 000 korun, z nichž by 64 000 zaplatil ihned a zbývajı́cı́ch 17 000 by zaplatil po třech letech.
Druhý nabı́zı́ 80 000 korun a zaplatı́ jich okamžitě. Třetı́ kupec dává 86 000 korun tak, že okamžitě
zaplatı́ 60 000 a zbytek 26 000 dá po 6 letech. Předpokládejme, že banka poskytuje neměnnou ročnı́
úrokovou mı́ru 7 % při složeném úročenı́ jednou za půl roku; který z kupců nabı́zı́ nejvyššı́ cenu?
[ druhý (při porovnánı́ budoucı́ hodnoty každé z nabı́dek po 6 letech). ]
Úloha 9.55 Exponenciálnı́ modely - logistická křivka. Počet osob zúčastněných na určitém korupčnı́m
skandálu se zvyšuje rychlostı́, která je přı́mo úměrná počtu osob do skandálu už zapletených a současně
počtu osob, které se ještě nezapletli. Novináři zjistili, že do skandálu na začátku se zapletlo 7 osob;
9 dalšı́ch osob se zapletlo v průběhu 3 měsı́ců a dalšı́ch 12 po následujı́cı́ch 3 měsı́cı́ch. Přibližně kolik
osob se v delšı́m obdobı́ zapletlo do skandálu?
[ k = 1/3 ln 3, tedy současně e−kt = 3−t/3 , A = 27/5, B = 224/5;
]
počet zapletených osob nepřesáhne hranici určenou čı́slem B, čili nejvı́ce45 osob.
Otestujte se
118
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha 9.56 Určete průběh funkce f a zakreslete jejı́ graf:
2
a) f : y = (1 + x2 )e−x ;
[ a)
b) f : y = (x − 1)4/3 ;
D(f ) = R, S
lim f (x) = 0
c) f : y =
x
.
ln x
]
x→±∞
(−∞, ∞)+
(−∞, 0) %, (0, ∞) &
LMAX fp
(0) = 1
p
p
p
(−∞, − 3/2)
√ ^, (− 3/2, 3/2) _, ( 3/2, ∞) ^
INF x = ± 3/2
ASS pro x → ±∞ : y = 0;
b)
D(f ) = R, ani S ani L
lim f (x) = ∞
x→±∞
(−∞, 1)+, (1, ∞)+
(−∞, 1) &, (1, ∞) %
LMIN f (1) = 0
(−∞, 1) ^, (1, ∞) ^
INF nemá
ASS ani ABS nemá;
c)
D(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞), nenı́ S ani L
lim f (x) = 0, lim f (x) = −∞, lim f (x) = ∞, lim f (x) = ∞
x→0+
x→1−
x→1+
x→∞
(0, 1)−, (1, ∞)+
(0, 1) &, (1, e) &, (e, ∞) %
LMIN f (e) = e
(0, 1) _, (1, e2 ) ^, (e2 , ∞) _
INF x = e2
ABS x = 1.
Úloha 9.57 Exponenciálnı́ růst - úročenı́. Jak rychle se na účtu ztrojnásobı́ vložená suma dolarů, jestliže
ročnı́ úroková mı́ra je 10 procent a úrok se při složeném úročenı́ připisuje:
a) dvakrát za rok;
b) jednou za měsı́c;
c) spojitě?
[ a) 11,26 let; ]
b) 11,03 let;
c) 10,99 let
KAPITOLA 10
Primitivnı́ funkce a neurčitý integrál
Výstupy ze studia, Learning Outcomes
Znalosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
•
•
•
•
definuje pojem funkce primitivnı́ k funkci dané na množině;
popı́še princip existence a počtu funkcı́ primitivnı́ch k funkci dané na nějaké množině;
sestavı́ tabulku neurčitých integrálů elementárnı́ch funkcı́;
popı́še princip linearity neurčitého integrálu.
Dovednosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• nalezne funkce primitivnı́ k funkci dané na určité množině na základě definice;
• verifikuje, zda nalezená funkce je primitivnı́ funkcı́ k funkci zadané;
• uplatňuje princip linearity k určovánı́ primitivnı́ch funkcı́.
Schopnosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• identifikuje v jednoduchém problému nutnost použitı́ integrovánı́.
119
120
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Znalosti - stručný přehled
• Mějme funkci f definovanou na intervalu I. Funkce F se nazývá primitivnı́ funkce k funkci f na
def
intervalu I ⇐⇒
∀x ∈ I : F 0 (x) = f (x).
• Pro každé dvě primitivnı́ funkce F, G k funkci f na Iplatı́, že funkce F − G je funkce konstantnı́
a lze tedy psát G = F + c, c ∈ R.
• Mějme funkci f ke která existuje alespoň jedna primitivnı́ funkce na intervalu I. Množina všech
primitivnı́ch funkcı́ se nazývá neurčitý integrál funkce f na I a značı́ se
Z
f (x) dx = {F (x) + c| c ∈ R}.
• Přestože je neurčitý integrál množina, jejı́ž prvky jsou funkce, zapisuje jej často bez množinových
závorek, tedy
Z
f (x) dx = F (x) + c.
• Princip linearity. Mějme funkce f, g pro které existujı́ primitivnı́ funkce F, G na intervalu I,
mějme dále konstanty c1 , c2 ∈ R. Pak existuje primitivnı́ funkce i k funkci c1 · f + c2 · g a platı́
Z
(c1 · f + c2 · g)(x) dx = c1 · F (x) + c2 · G(x) + c.
10.1. Tabulka neurčitých integrálů elementárnı́ch funkcı́
V celé tabulce jsou a, c ∈ R reálné konstanty.
Z
adx
=x+c
Z
ex dx
= ex + c
Z
ax
ax dx
=
+c
ln a
Z
cos xdx
= sin x + c
Z
Z
Z
=
1
dx
x
= ln |x| + c
1
Z
p
Z
sin xdx
= − cos x + c
xn+1
+c
n+1
xn dx
1 − x2
1
dx
dx
1 − x2
Z
Z
1
1
dx
=
tgx
+
c
dx
2
cos x
1 + x2
Z
Z
1
1
= −cotgx + c
dx
2 dx
1 + x2
sin x
p
= arcsin x + c
= − arccos x + c
= arctgx + c
= −arccotgx + c
Dovednosti - řešené přı́klady
10.2. Určenı́ primitivnı́ funkce a neurčitého integrálu
sin2 x
cos 2x
a funkce G : y = −
jsou primitivnı́ funkce k funkci
2
4
f : y = sin x cos x a najděte konstantu, o kterou se lišı́.
Přı́klad 10.1 Ověřte, že funkce F : y =
KAPITOLA 10. PRIMITIVNÍ FUNKCE A NEURČITÝ INTEGRÁL
121
Řešenı́ Určı́me derivace:
2 0
sin x
1
0
= · 2 · sin x (sin x) = sin x cos x,
2
2
0
cos 2x
1
1
0
−
= − sin 2x (2x) = − 2 sin x cos x = sin x cos x.
4
4
2
Obě funkce jsou primitivnı́ funkcı́ k téže funkci f , tedy (F )0 = (G)0 = f . Určı́me ještě konstantu, o kterou
se lišı́:
cos 2x
1
sin2 x
− −
=
2 sin2 x + cos 2x
použijeme vztah cos 2x = cos2 − sin2 x
2
4
4
1
=
2 sin2 x + cos2 x − sin2 x
4
1
=
sin2 x + cos2 x
použijeme vztah sin2 x + cos2 x = 1
4
1
= ·
4
1
Platı́ tedy: F − G = 4 .
√
x−2 x+2
√
·
Přı́klad 10.2 Určete primitivnı́ funkci a neurčitý integrál f : y =
x2 3 x
Řešenı́
Z
√
√
Z
x−2 x+2
x−2 x+2
√
dx =
dx
x2 3 x
x7/3
Z
= (x − 2x1/2 + 2) · x−7/3 dx
Z =
x−4/3 − 2x−11/6 + 2x−7/3 dx
x−5/6
x−4/3
x−1/3
−2
+2
+c
−1/3
−5/6
−4/3
12
6
3
+ √
− √
+ c.
= −√
6
3
3
5
x 5 x
4 x4
=
Primitivnı́ funkce je napřı́klad funkce
3
12
3
F : y = −√
+ √ − √
,
3
3
x 5 6 x5
2 x4
neurčitý integrál je množina všech primitivnı́ch funkcı́, tedy
√
Z
x−2 x+2
3
12
3
√
√
√
√
−
dx
=
+
−
+
c,
c
∈
R
.
3
3
x 5 6 x5
x2 3 x
2 x4
Přı́klad 10.3 Určete primitivnı́ funkci k funkci f : y =
cos 2x
.
sin2 x
Řešenı́
Z
cos 2x
sin2 x
Z
dx =
sin2 x
Z
=
dx
(1 − sin2 x) − sin2 x
sin2 x
Z
=
cos2 x − sin2 x
1
sin2 x
−
2 sin2 x
sin2 x
= −cotgx − 2x + c.
dx
!
dx
122
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Primitivnı́ funkce je napřı́klad funkce F : y = −cotgx − 2x.
Dovednosti - úlohy
Úloha 10.1 Primitivnı́ funkce. Určete primitivnı́ funkce k dané funkci:
√
x2
a) f : y = 2x − 3;
b) f : y = x4 − 3x3 +
− 4;
c) f : y = 2 x + 6 cos x;
2
(x − 2)2
x2 − 1
1
;
f) f : y = (2 − xex ).
d) f : y =
;
e) f : y = 2
x
x3
x +1
[ a) F : y = x2 − 3x;
d) F : y = ln x + x2 −
2
;
x3
b) F : y = 51 x5 − 34 x4 + 61 x3 − 4x;
e) F : y = x − 2arctgx;
c) F : y = 34 x3/2 + 6 sin x; ]
f) F : y = 2 ln |x| − ex .
Úloha 10.2 Neurčitý integrál. Vypočı́tejte neurčitý integrál
a zkontrolujte pomocı́ derivovánı́:
!
!
Z
Z √
R
1
1
1
−
x3 − √
a) (3x2 + 2x − 4) dx;
b)
dx;
c)
dx;
5x
x
3x2
R
R
R
d) x2 (x2 − 2x + 2) dx;
e) (x2 − 3x + 1)2 dx;
f) x(x − 2)(x − 3) dx;
!
2
Z
Z 3
1
x −1
dx.
dx;
h)
1−
g)
x−1
x
[ a) x3 + x2 − 4x + c, c ∈ R;
√
√
2x2 x
c)
−2 x + c;
5
1
3
11 3
e) x5 − x4 +
x − 3x2 + x + c;
5
2
3
1
1
g) x3 + x2 + x + c;
3
2
1
1
− ln |x| + c;
]
3x
5
1
1
2
d) x5 − x4 + x3 + c;
5
2
3
1
5
f) x4 − x3 + 3x2 + c;
4
3
b) −
h) x − 2 ln |x| − 1/x + c.
Úloha 10.3√Neurčitý integrál. Vypočı́tejte neurčitý integrál a zkontrolujte pomocı́ derivovánı́:
Z
Z
Z
1+ x
1
1−2x
x/5
−x
√
dx.
a)
dx;
b)
(e
+
e
−
2
)
dx;
c)
3
x(2 + ln x)
x
[ a) 3/2x2/3 + 6/7x7/6 + c;
]
2−x
1−2x
x/5
b) −1/2e
+ 5e
+
+ c;
ln 2
c) ln |2 + ln |x|| + c.
Otestujte se
Úloha 10.4 Vypočı́tejte a zkontrolujte pomocı́ derivovánı́:
Z
Z
(x − 1)(x2 + 3)
sin 2x
a)
dx;
b)
dx;
2 cos x
2x2
Z
c)
(3x − 2x )2
dx.
6x
3
[ a) 14 x4 − 12 x + 2x
+ 32 ln x + c;
]
b) − cos x + c;
−1
c) ln(3/2)
((3/2)x + (2/3)x − 2x ln(3/2)) + c.
KAPITOLA 11
Metody výpočtu neurčitého integrálu
Výstupy ze studia, Learning Outcomes
Znalosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• popı́še metodu per partes a demonstruje ji na vhodném přı́kladu;
• popı́še dvě věty o substituci při výpočtu neurčitého integrálu a demonstruje je na vhodném
přı́kladu.
Dovednosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• vypočı́tá neurčitý integrál metodou per partes;
• vypočı́tá neurčitý integrál metodou substituce podle některého ze dvou pravidel o substituci.
Schopnosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• identifikuje v jednoduchém problému nutnost použitı́ integrovánı́.
123
124
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Znalosti - stručný přehled
• Metoda per partes. Mějme funkce f, g definované
R na intervalu I = (a, b), pro které
R existujı́ primitivnı́ funkce F, G na I a dále necht’ existuje f (x)G(x)dx na I. Potom existuje F (x)g(x)dx
na I a platı́:
Z
Z
F (x)g(x)dx = F (x)G(x) − f (x)G(x)dx.
• Prvnı́ věta o substituci. Předpoklady:
(1) mějme funkci t = ϕ(x), která zobrazı́ interval (a, b) na interval (α, β),
tedy ϕ : (a, b) → (α, β), pro kterou existuje vlastnı́ ϕ0 (x) ve všech bodech intervalu (a, b) a
ϕ(x) je prostá,
(2) mějme funkci f , pro kterou existuje primitivnı́ funkce F na intervalu (α, β).
Pak na (a, b) existuje primitivnı́ funkce k složené funkci (f ◦ ϕ) · ϕ0 a platı́
Z
(f ◦ ϕ)(x) · ϕ0 (x)dx = F (ϕ(x)) + c.
• Postupy symbolicky zapisujeme následovně:
Z
t = ϕ(x)
0
f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = dt = ϕ0 (x)dx
| {z } | {z }
t
dt
Z
= f (t)dt
= F (t) + c
= F (ϕ(x)) + c.
• Lineárnı́ substituce. Mějme funkci y = f (a · x + b), pro kterou existuje primitivnı́ funkce F .
Protože ϕ(x) = a · x + b má vlastnı́ derivaci ve všech bodech x ∈ R, jsou splněny předpoklady
prvnı́ věty o substituci, takže platı́:
t =a·x+b Z
f (a · x + b)dx = dt = a dx
dx = dt
a
1
= F (a · x + b) + c.
a
Stejný vztah lze odvodit i z věty o derivaci složené funkce, totiž jestliže platı́, že
0
(F (a · x + b)) = a · f (a · x + b), pak platı́ i vztah
Z
1
f (a · x + b)dx = · F (a · x + b) + c.
a
Lineárnı́ substituce se většinou aplikuje zpaměti.
0
(x)
• Mějme funkci f : y = ϕϕ(x)
takovou, že f i ϕ splňujı́ předpoklady prvnı́ věty o substituci a
ϕ(x) 6= 0. Pak platı́:
Z 0
t = ϕ(x)
ϕ (x)
dx = 0
dt = ϕ (x) dx ϕ(x)
Z
1
=
dt
t
= ln |ϕ(x)| + c.
Pro ϕ(x) 6= 0 platı́ tedy vztah
Z
ϕ0 (x)
dx = ln |ϕ(x)| + c.
ϕ(x)
KAPITOLA 11. METODY VÝPOČTU NEURČITÉHO INTEGRÁLU
125
• Druhá věta o substituci. Předpoklady:
(1) mějme funkci x = ϕ(t), ϕ : (α, β) → (a, b), pro kterou existuje vlastnı́ derivace ϕ0 , pro
kterou platı́ ϕ0 (x) > 0 (nebo ϕ0 (x) < 0) ve všech bodech intervalu (α, β),
(2) mějme funkci G, která je primitivnı́ funkcı́ k funkci (f ◦ ϕ) · ϕ0 na intervalu (α, β).
Pak na (a, b) existuje primitivnı́ funkce k funkci f a platı́
Z
f (x)dx = G(ϕ−1 (x)) +c.
| {z }
F (x)
• Výpočty symbolicky zapisujeme následovně:
Z
x = ϕ(t)
f (|{z}
x ) · |{z}
dx = 0
dx = ϕ (t)dt 0
ϕ(t)
ϕ (t)dt
Z
= f (ϕ(t)) · ϕ0 (t)dt
= F (ϕ(t)) + c
= F (x) + c.
Dovednosti - řešené přı́klady
11.1. Lineárnı́ substituce
x
Přı́klad 11.1 Určete neurčitý integrál funkcı́: f : y = sin(3x − 1); f : y = e 2 +3 ; f : y =
1
f :y=
·
2x − 5
Řešenı́ S využitı́m lineárnı́ch substitucı́ řešı́me zpaměti:
Z
1
sin(3x − 1)dx = − cos(3x − 1) + c;
3
Z
x
x
1 x +3
e 2 +3 dx =
e 2 + c = 2e 2 +3 + c;
1/2
Z
1
1
dx = ln |2x − 5| + c;
2
2x − 5
Z
Z
√
1 (3 − x)3/2
2p
3 − xdx = (3 − x)1/2 dx =
·
+c=−
(3 − x)3 + c.
−1
3/2
3
11.2. Metoda per partes
Přı́klad 11.2 Určete neurčitý integrál k funkci f : y = 2x · sin 3x.
√
3 − x;
126
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Řešenı́ Použijeme metodu per partes:
Z
F (x) = 2x
f (x) = 2
2x · sin 3xdx = g(x) = sin 3x G(x) = − cos33x
Z
2
cos 3x
= − x · cos 3x − 2 · (−
)dx
3
3
Z
2
2
= − x · cos 3x +
cos 3xdx
3
3
2
2 sin 3x
= − x · cos 3x +
+c
3
3 3
2
= (−3x · cos 3x + sin 3x) + c.
9
Neurčitý integrál je tedy množina funkcı́ y =
2
9
(−3x · cos 3x + sin 3x) + c.
Přı́klad 11.3 Určete primitivnı́ funkci k funkci f : y = x2 · e−x . Proved’te zkoušku správnosti.
Řešenı́ Použijeme dvakrát metodu per partes:
Z
F (x) = x2
f (x) = 2x
2
−x
x · e dx = g(x) = e−x G(x) = −e−x Z
2
−x
= −x · e − 2x · (−e−x )dx
Z
= −x2 · e−x + 2 x · e−x dx
F (x) = x
f (x) = 1
=
g(x) = e−x G(x) = −e−x Z
2
−x
−x
= −x · e + 2(−x · e − (−e−x )dx)
Z
= −x2 · e−x − 2x · e−x + 2 e−x dx
= −x2 · e−x − 2x · e−x + 2(−e−x + c)
= −e−x (x2 + 2x + 2) + c.
Primitivnı́ funkce je tedy napřı́klad F : y = −e−x (x2 + 2x + 2).
Správnost výsledku ověřı́me zpětným derivovánı́m, protože musı́ platit F 0 (x) = f (x):
0
F 0 (x) = −e−x (x2 + 2x + 2)
= e−x (x2 + 2x + 2) + (−e−x )(2x + 2)
= e−x x2 = f (x).
Přı́klad 11.4 Určete neurčitý integrál funkce f : y = ln x2 .
Řešenı́ Použijeme metodu per partes, výraz ln x2 si upravı́me do podoby 1 · ln x2 , často použı́vané při
integraci logaritmických funkcı́:
Z
F (x) = ln x2 f (x) = 2x2 2
x
1 · ln x dx = g(x) = 1
G(x) = x Z
2x
= x · ln x2 − x · 2 dx
x
Z
= x · ln x2 − 2dx
= x · (ln x2 − 2) + c.
Přı́klad 11.5 Vypočtěte
R
sin2 x dx.
KAPITOLA 11. METODY VÝPOČTU NEURČITÉHO INTEGRÁLU
127
Řešenı́ Použijeme metodu per partes a upravı́me:
Z
F (x)
sin x dx = g(x)
2
= sin x f (x) = cos x = sin x G(x) = − cos x Z
= − sin x cos x − (− cos2 x)dx
Z
= − sin x cos x + (1 − sin2 x)dx
Z
Z
= − sin x cos x + 1 dx − sin2 xdx
Z
= − sin x cos x + x − sin2 xdx.
vyjádřı́me cos2 x
Zı́skali jsme rovnici, jejı́mž řešenı́m najdeme hledaný neurčitý integrál:
Z
sin2 xdx = − sin x cos x + x −
Z
sin2 xdx = − sin x cos x + x
Z
sin2 xdx =
2·
Z
sin2 xdx
1
(x − sin x cos x) + c.
2
11.3. Prvnı́ věta o substituci
Z
Přı́klad 11.6 Vypočtěte
sin x
dx.
cos x
Řešenı́ Protože čitatel je přı́mo derivacı́ jmenovatele, řešı́me zpaměti s využitı́m výše uvedeného
vztahu, kde ϕ(x) = cos x, ϕ(x)0 dx = sin x dx.
Z
Z
Přı́klad 11.7 Vypočtěte
sin x
cos4 x
sin x
dx = ln | cos x| + c.
cos x
dx.
Řešenı́ Řešı́me stejnou substitucı́ jako předchozı́ přı́klad
Z
t = cos x
sin x
dx
=
dt = sin xdx
4
cos x
Z
t−3
dt
=
+c
=
4
t
−3
1
=−
+ c.
3 cos3 x
Přı́klad 11.8 Určete primitivnı́ funkci k funkci h : y = arcsin x.
128
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Řešenı́ Použijeme metodu per partes a prvnı́ větu o substituci, výraz arcsin x si upravı́me do podoby
1 · arcsin x:
Z
F (x) = arcsin x f (x) = √ 1 2 1−x 1 · arcsin xdx = g(x) = 1
G(x) = x
Z
x
√
= x · arcsin x −
dx =
1 − x2
Z
t = 1 − x2 1
−2x
√
= x · arcsin x −
dx = dt = −2xdx −2
1 − x2
Z
1
1
√ dt
= x · arcsin x +
2
t
√
= x · arcsin x + t + c
p
= x · arcsin x + 1 − x2 + c.
√
Primitivnı́ funkce je tedy napřı́klad funkce F : y = x · arcsin x + 1 − x2 .
11.4. Druhá věta o substituci
Z
Přı́klad 11.9 Vypočtěte
x
√ dx.
1− x
Řešenı́ Využijeme druhou větu o substituci:
Z
t = 1 − √x =⇒ x = (1 − t)2
x
= ϕ(t)
√ dx = 0
dx
=
−2(1
−
t)dt
=
ϕ
(t)dt
1− x
Z
2
(1 − t)
=
(−2)(1 − t) dt
t
Z
1 − 3t + 3t2 − t3
= −2
dt
t
Z 1
= −2
− 3 + 3t − t2 dt
t
2
= −2 ln |t| + 6t − 3t2 + t3 + c
3
√
√
√
√
2
= −2 ln |1 − x| + 6(1 − x) − 3(1 − x)2 − (1 − x)3 + c
3
√
√
2 3/2
= −2 ln |1 − x| − x − 2 x − x + c.
3
Dovednosti - úlohy
Úloha
Z 11.1 Vypočı́tejte metodou per partes:
Z
a) (3x − 4)ex dx;
b) (x2 + 1)e−x dx;
Z
Z
d) ln x dx;
e) ln2 x dx;
Z
Z
g) xn ex dx;
h) ln(x2 − 1) dx;
[ a) (3x − 7)ex + c;
c) x sin x + cos x + c;
e) x ln2 x − 2x ln x + 2x + c;
R
g) xn ex − n xn−1 ex dx (rekurentnı́ vztah);
i)
x2
x2
ln x −
+ c.
2
4
Z
c)
x cos x dx;
Z
f)
lnn x dx;
Z
i)
x ln x dx.
b) (−x2 − 2x − 3)e−x + c;
]
d) x ln x − x +R c;
f) x lnn x − n lnn−1 x dx (rekurentnı́
vztah);
x − 1
2
h) x ln |x − 1| − 2x − ln + c;
x + 1
KAPITOLA 11. METODY VÝPOČTU NEURČITÉHO INTEGRÁLU
Úloha
Z 11.2 Vypočı́tejte metodou per partes:
Z
p
a) cos2 x dx;
b) ln(x + 1 + x2 ) dx;
Z
Z
2
d) x sin x dx;
e) x2 ln(x + 1) dx;
Z
Z √
ln x
h)
dx;
g) e x dx;
x5
[ a)
129
Z
Z
f)
Z
i)
1
(x + sin x cos x) + c;
2
1 3
x3
x2
x
(x + 1) ln(x + 1) −
−
− + c;
3
9
6
3
√
√
x
g) 2e
· ( x − 1) + c;
x
(x2
3
(x2 − 2) ln x dx.
√
1 + x2 ) −
√
1 + x2 + c; ]
x2
x
cos 2x
− sin 2x −
+ c;
4
4
8
−x
−x
2
− 2 + c;
f) −x·2
ln 2
ln 2
1
1
h) − 4 ln |x| −
+ c;
x
16x4
d)
e)
3
x · 2−x dx;
b) x ln(x +
c) −x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + c;
i) − x9 +
x2 sin x dx;
c)
− 6) ln |x| + 2x + c.
Úloha 11.3 Pomocı́ vět o substituci určete primitivnı́ funkce k dané funkci:
a) f : y = sin7 x cos x;
√
d) f : y = x 1 − x2 ;
ln2 x
;
g) f : y =
x
ex
;
e +1
f) f : y = tg x;√
cos x
i) f : y = √
.
x
b) f : y = sin x cos x;
c) f : y =
e) f : y = x sin(x2 );
cos ln x
h) f : y =
;
x
[ a) F : y = sin8 x/8;
d) F : y = − 13 (1 − x2 )3/2 ;
g) F : y = (ln3 x)/x;
x
b) F : y = − 12 cos2 x;
e) F : y = −1/2 · cos x2 ;
h) F : y = sin ln x;
c) F : y = ln(ex + 1); ]
f) F : y = − ln(cos x);
√
i) F : y = 2 sin( x).
Úloha
Z 11.4 Neurčitý integrál. Vypočı́tejte
Z pomocı́ vhodných substitucı́: Z
√
√
a) (x − 14)5 dx;
b)
x − 4 dx;
c) 2x x + 5 dx;
√
Z
Z
Z
p
2+ x
4
2
√ ;
d) 2x 2x + 6 dx;
e)
dx.
f)
3− x
(x − 6)2
1
(x − 14)6 + c;
6
4
20
c) (x + 5)5/2 −
(x + 5)3/2 + c;
5
3
[ a)
e) 2 ln |x − 3| − 3 ln |4 − x| + c;
2p
(x − 4)3 + c;
]
3
1
d) (2x2 + 6)3/2 + c;
3
4
+ c.
f)
6−x
b)
Úloha 11.5 Neurčitý integrál. Vypočı́tejte pomocı́ vhodných substitucı́:
Z
Z
Z
4
x
5x
a) √
dx ;
dx ;
b) √
dx;
c)
2
3x + 5
x+2
6x + 7
Z
Z
Z
2x + 5
4x
2
p
d)
dx;
e)
dx
;
f)
4xex dx.
2
x + 5x − 6
x2 + 1
√
[ a) 8 x + 2 + c;
5
ln(3x2 + 5) + c;
6
√
e) 4 x2 + 1 + c;
c)
b)
1 p
7 √
(6x + 7)3 −
6x + 7 + c; ]
54
18
d) ln |x2 + 5x − 6| + c;
2
f) 2ex + c.
130
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Úloha
pomocı́ vhodných substitucı́: Z
Z 11.6 Neurčitý integrál. Vypočı́tejte
Z p
13
a) x(4x + 3) dx;
b)
(3 − 4x)3 dx;
c)
Z
Z
Z
p
1
d) (x − 2) 4x − x2 dx;
e)
dx;
f)
3 − 5x
Z
Z
Z
1
−x2
2 x3
g)
dx ;
h) (2xe
+ 6x e ) dx;
i)
x ln3 x
√
(x − 3) 3 − x dx;
1
(4x
− 1)5
√
e x
√ dx .
x
1
3
(4x + 3)15 −
(4x + 3)14 + c;
240
224
2
c) (3 − x)5/2 + c;
5
1
e) − ln |3 − 5x| + c;
5
1
g) −
+ c;
2
2
ln
|x|
√
x
+ c.
i) 2e
dx;
1
(3 − 4x)5/2 + c; ]
10
1
d) − (4x − x2 )3/2 + c;
3
1
+ c;
f) −
16(4x − 1)4
b) −
[ a)
3
2
h) 2ex − e−x + c;
Úloha 11.7 Neurčitý integrál. Vypočı́tejte pomocı́ vhodných substitucı́:
Z
Z
Z
tg x
x
b) cos(1 − 2x) dx;
c)
dx;
a) cos dx;
4
cos2 x
Z
Z
Z
1
sin x
cos x
dx;
f)
d)
dx;
e)
dx;
2
a + b cos x
cos x
sin x
Z
Z
Z
x
1
dx;
h) sin3 x cos x dx;
i) tg dx.
g)
sin x
2
[ a) 4 sin(x/4) + c;
1
c) tg 2 x + c;
2
1
e) −
+ c;
sin x
1 − cos x
g) ln |
| + c;
1 + cos x
i) 2 ln | cos x/2| + c.
b) −1/2 sin(1 − 2x) + c; ]
1
d) − ln |a + b cos x| + c;
b
1 + sin x
f) ln |
| + c;
1 − sin x
1
h) sin4 x + c;
4
Otestujte se
Úloha 11.8 Určete primitivnı́ funkce k dané funkci:
2
√
ln x
a) f : y = x x + 3;
b) f : y =
;
x
ln x
d) f : y =
;
e) f : y = ex sin x;
x
[ a) F : y = 25 (x − 2)(x + 3)3/2 ;
c) F : y = 31 sin3 x;
e) F : y = ex /2 · (sin x − cos x);
c) f : y = sin2 x cos x;
f) f : y = cos(ln x).
b) F : y = − x1 (ln2 x + 2 ln x + 2);
]
d) F : y = 1/2 ln2 x;
f) F : y = 1/2 · (x cos(ln x) + x sin(ln x)).
Úloha 11.9 Určete primitivnı́ funkce k dané funkci:
a) f : y = (2x + 5)(x2 + 5x)7 ;
3
;
x ln x
1
g) f : y = p
, a 6= 0;
2
a − x2
d) f : y =
b) f : y = ex (1 + 2ex )4 ;
√
3
1 + ln x
e) f : y =
;
x
h) f : y = (x + 3)(x − 1)5 ;
3x + 6
;
x + 4x − 3
1
f) f : y = 2
, a 6= 0;
a + x2
x+1
i) f : y = √
.
x x−2
c) f : y =
2
KAPITOLA 11. METODY VÝPOČTU NEURČITÉHO INTEGRÁLU
[ a) F : y = 1/8 · (x2 + 5x)8 ;
d) F : y = 3 ln | ln x|;
g) F : y = arcsin(x/a);
Úloha 11.10 Vypočı́tejte:
Z
2x − 1
a)
dx;
(x + 3)1/3
Z
d) e−2x+3 dx;
131
b) F : y = 1/10 ·p
(1 + 2ex )5 ;
3
e) F : y = 3/4 · (1 + ln x)4 ;
h) F : y = 1/7 · (x − 1)7 + 2/3 · (x − 1)6 ;
Z
b)
e)
2
Z
c)
tg x dx;
Z
c) F : y = 3/2 · ln |x2 + 4x − 3|;
]
f) F : y = 1/a arctg(x/a);
√
√
√
x−2
i) F : y = 2 x − 2 + 2arctg √
.
ex
dx;
4 + ex
Z
f)
3x2
dx;
1 − 3x3
1
dx.
x
3 +1
21
(x + 3)2/3 + c;
2
c) − 31 ln |1 − 3x3 | + c;
e) ln(4 + ex ) + c;
[ a)
6
(x
5
+ 3)5/3 −
b) ln | cos x| + c;
d) − 21 e−2x+3 + c;
ln(1+3x )
f) x −
+ c.
ln 3
]
KAPITOLA 12
Neurčitý integrál racionálnı́ch funkcı́
Výstupy ze studia, Learning Outcomes
Znalosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• identifikuje funkce ryze/ne ryze racionálnı́;
• popı́še čtyři typy parciálnı́ch (elementárnı́ch) zlomků a k funkcı́m z těchto parciálnı́ch zlomků
určı́ k nim primitivnı́ funkce;
• formuluje větu o rozkladu ryze racionálnı́ funkce na součet parciálnı́ch zlomků a interpretuje
jejı́ význam.
Dovednosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• pomocı́ algoritmu dělenı́ polynomů upravı́ racionálnı́ funkci na součet celé funkce a ryze racionálnı́ funkce;
• určı́ primitivnı́ funkce ke každé racionálnı́ funkci, jenž patřı́ mezi čtyři typy parciálnı́ch (elementárnı́ch) zlomků;
• nalezne rozklad ryze racionálnı́ funkce na součet parciálnı́ch zlomků;
• určı́ primitivnı́ funkci k racionálnı́ funkci pomocı́ jednotlivých kroků popsaného algoritmu integrovánı́m součtu parciálnı́ch zlomků;
• určı́ primitivnı́ funkci k funkcı́m, které po aplikaci jedné z vět o substituci vedou na určenı́
primitivnı́ funkce z funkce racionálnı́.
Schopnosti
Po prostudovánı́ této kapitoly studujı́cı́
• identifikuje v jednoduchém problému nutnost použitı́ integrovánı́.
133
134
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Znalosti - stručný přehled
P (x)
, kde čitatel P (x) je polynomická
Q(x)
funkce (polynom) stupně n, n ≥ 0, jmenovatel Q(x) je rovněž polynomická funkce (polynom)
stupně m, m ≥ 1; předpokládáme, že P (x), Q(x) jsou nesoudělné polynomy. Racionálnı́ funkce
R(x) pro n < m se nazývá ryze racionálnı́ funkcı́; racionálnı́ funkce R(x), pro kterou je n ≥ m, se
nazývá ne ryze racionálnı́ funkcı́.
• Jestliže funkce R(x) nenı́ ryze racionálnı́, tedy jestliže n ≥ m, pak můžeme R(x) použitı́m
Z(x)
, kde T (x) je polynom, Z(x) je polynom
algoritmu dělenı́ napsat jako R(x) = T (x) +
Q(x)
Z(x)
(z algoritmu dělenı́ plyne, že oba jsou určeny jednoznačně) a funkce
je ryze racionálnı́;
Q(x)
Z(x) je zbytek při dělenı́ polynomu P (x) polynomemZQ(x). Jestliže označı́me stupeň polynomu
• Racionálnı́ funkce R(x) jsou reálné funkce tvaru R(x) =
T (x) jako t, pak platı́ t + m = n. Neurčitý integrál
R(x) dx se pak rovná součtu neurčitého
integrálu z polynomu T (x) (přitom lze použı́t tabulkové integrály) a neurčitého integrálu ryze
Z(x)
racionálnı́ funkce
:
Q(x)
Z
Z
R(x) dx =
Z
T (x) dx +
Z(x)
dx.
Q(x)
Z toho plyne, že se stačı́ zabývat pouze integrovánı́m ryze racionálnı́ch funkcı́.
• Rozklad racionálnı́ funkce na součet parciálnı́ch zlomků. V dalšı́m textu bude označena jako
P (x)
R(x) =
už ryze racionálnı́ funkce, čili pro stupně polynomů P (x), Q(x) ted’ předpokládejme
Q(x)
Z
vztah n < m. Neurčitý integrál této funkce
R(x) dx najdeme metodou rozkladu funkce R(x)
na součet parciálnı́ch zlomků a integrovánı́m těchto parciálnı́ch zlomků. Parciálnı́ zlomky jsou nejP (x)
jsou
jednoduššı́ možné ryze racionálnı́ funkce: Parciálnı́ zlomky patřı́cı́ k funkci R(x) =
Q(x)
racionálnı́ funkce některého z následujı́cı́ch tvarů (1), (2) nebo (3):
(1)
As
, kde 1 ≤ s ≤ k (celkově k zlomků tohoto typu),
(x − a)s
jestliže a je reálný kořen (nulový bod) funkce Q(x) násobnosti k, kde k je přirozené čı́slo určujı́cı́
jeho násobnost; koeficienty As , 1 ≤ s ≤ k, jsou reálná čı́sla neboli konstanty (celkově k konstant);
(2)
Ax + B
,
x + px + q
2
jestliže polynomická funkce Q(x) má jako své jednoduché nulové body takovou dvojici komplexně sdružených čı́sel, které jsou nulovými body jmenovatele - kvadratického polynomu
x2 + px + q; tedy pro diskriminant D = p2 − 4q platı́ D < 0 a všechny koeficienty A, B, p, q jsou
reálná čı́sla;
(3)
Ar x + B r
, kde 1 ≤ r ≤ l (celkově l zlomků tohoto typu),
(x + px + q)r
2
jestliže polynomická funkce Q(x) má jako své nulové body takovou dvojici komplexně sdružených
čı́sel násobnosti l (každé čı́slo té dvojice je kořen násobnosti l), které jsou nulovými body kvadratického polynomu x2 + px + q; opět pro diskriminant D = p2 − 4q platı́ D < 0 a všechny
koeficienty Ar , Br (spolu 2l konstant), p, q jsou reálná čı́sla.
KAPITOLA 12. NEURČITÝ INTEGRÁL RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
135
• Poznamenejme, že v bodech (1), (2), (3) jsme uplatnili tvrzenı́ nazývané základnı́ věta algebry o existenci a počtu nulových bodů polynomické funkce stupně m. Tato věta umožňuje
rozložit polynom Q(x) stupně m nad množinou všech reálných čı́sel na součin polynomů
nižšı́ch stupňů; v rozkladu budou vystupovat jako součinitelé
- lineárnı́ polynomy s reálnými nulovými body, nebo
- polynomy kvadratické majı́cı́ pouze komplexnı́ čı́sla jako nulové body.
• Rozklad na parciálnı́ zlomky je tedy určen rozkladem jmenovatele Q(x) racionálnı́ funkce. Metodami algebry lze navı́c dokázat, že tento rozklad každé racionálnı́ na parciálnı́ zlomky je
určen jednoznačně, a to až na pořadı́ členů v součtu. To znamená, že koeficienty vystupujı́cı́
v čitatelı́ch parciálnı́ch zlomků jsou určeny jednoznačně. Nebudeme uvádět přı́slušný důkaz,
ale při integrovánı́ konkrétnı́ch racionálnı́ch funkcı́ se o tom můžeme přesvědčit. Uved’me ještě
jednou v tabulce, jak si odpovı́dajı́ kořenové činitele jmenovatele Q(x) a k nim patřı́cı́ součty
parciálnı́ch zlomků:
odpovı́dajı́cı́ členy v součtu parciálnı́ch zlomků
součinitel jmenovatele
A
x−a
x−a
A1
Ak
A2
+ ... +
+
x − a (x − a)2
(x − a)k
Ax + B
(x2 + px + q)
Al x + Bl
A1 x + B 1
A2 x + B 2
+ 2
2
2 + ... +
2
(x + px + q) (x + px + q)
(x + px + q)l
(x − a)k
(x2 + px + q)
(x2 + px + q)l
• Postup výpočtu neurčitého integrálu ryze racionálnı́ funkce je následujı́cı́:
(1) Provedeme rozklad ryze racionálnı́ funkce R(x) na součet parciálnı́ch zlomků. Parciálnı́ zlomky,
tedy jejich typ a počet, jsou až na pořadı́ určeny kořeny jmenovatele včetně násobnosti těchto kořenů.
(2) Určı́me reálné konstanty vystupujı́cı́ v rozkladu, a to algebraickými metodami; počet těchto konstant je m, tedy jejich počet se rovná stupni polynomu Q(x).
(3) Integrujeme jednotlivé parciálnı́ zlomky, využijeme tabulkové integrály.
Jinými slovy:
P (x)
je roven neurčitému integrálu součtu
Q(x)
parciálnı́ch zlomků, na který se rozkládá - a přitom jednoznačně - daná racionálnı́ funkce.
neurčitý integrál ryze racionálnı́ funkce R(x) =
• Nebudeme se zabývat přı́pady, kdy polynom Q(x) má vı́cenásobné komplexnı́ kořeny (tj. jejich
násobnosti jsou vyššı́ než 1) - tudı́ž z našich dalšı́ch úvah vylučujeme takové racionálnı́ funkce,
kde existujı́ kořeny jejich jmenovatelů určujı́cı́ parciálnı́ zlomky typu (3) pro 1 < r.
• Počı́tejme integrály z parciálnı́ch zlomků (a, A, B, p, q jsou reálná čı́sla, D = p2 − 4q < 0):
Z
1
(1)
dx: použijeme substituci x − a = t, dx = dt, poté máme
x−a
Z
Z
(2)
1
dx =
x−a
Z
1
dt = ln |t| = ln |x − a| + c.
t
1
dx: použijeme substituci x − a = t, dx = dt, poté máme
(x − a)n
Z
1
dx =
(x − a)n
Z
1
1
1
1
1
· n−1 =
·
+ c, n 6= 1.
n dt =
t
1−n t
1 − n (x − a)n−1
136
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Ax + B
dx: nejprve napišme integrál jako součet dvou integrálů a po dalšı́ch algex2 + px + q
braických úpravách každý z integrálů budeme počı́tat zvlášt’:
Z
(3)
Z
Ax + B
2
Ax
Z
x + px + q
dx =
B
Z
dx +
dx
x + px + q
x + px + q
Z
Z
A 2x + p − p
1
=
dx + B
dx
2 x2 + px + q
x2 + px + q
!
Z
Z
2x + p
1
A
Ap
=
dx + B −
dx
2
2
2 x + px + q
2
x + px + q
!Z
Ap
1
A
2
dx.
= ln |x + px + q| + B −
2
2
2
x + px + q
2
2
Ve druhém integrálu doplňme kvadratický trojčlen x2 +px+q na čtverec a zavedeme substituci:
Ap
B−
2
!Z
1
x2 + px + q
dx =
Ap
B−
2
!Z
1
(x + p/2)2 + (q − p2 /4)
dx;
klademe substituci x + p/2 = t, dx = dt; protože je q − p2 /4 > 0, můžeme integrál považovat
Z
p
1
1
t
za tabulkový integrál tvaru
arctg , kde je a = q − p2 /4:
2
2 dt =
a
a
t +a
!Z
!
Ap
1
1
Ap
x + p/2
p
B−
dx = B −
arctg p
·
2
2
2
2
2
(x + p/2) + (q − p /4)
q − p /4
q − p2 /4
Tedy celkově a po úpravách ve druhém integrálu:
Z
A
dx = ln |x2 + px + q| +
2
2
x + px + q
Ax + B
Ap
B−
2
!
2
2x + p
p
arctg p
+ c.
2
4q − p
4q − p2
• Ve výpočtech lze samozřejmě uvedený vzorec neprodleně aplikovat; obvykle se to ale nedělá
a výpočet se provádı́ uplatněnı́m kroků v uvedeném postupu. Mnohem důležitějšı́ je však
všimnout si, že vzorec uvádı́, jaké jsou očekávané typy primitivnı́ch funkcı́ pro tento přı́pad
integrace parciálnı́ho zlomku: jsou to logaritmická funkce a funkce arctg z vhodného argumentu z. Na tomto pozorovánı́ může být založeno provedenı́ zkoušky správnosti pro konkrétnı́
neurčitý integrál.
Dovednosti - řešené přı́klady
12.1. Neurčitý integrál ryze racionálnı́ch funkcı́
Přı́klad 12.1 Vypočtěte
Z
Řešenı́ Výraz
3x − 1
dx.
x2 − 6x + 5
3x − 1
lze podle věty o rozkladu na součet parciálnı́ch zlomků rozepsat do tvaru
x − 6x + 5
2
3x − 1
3x − 1
A
B
=
=
+
,
x2 − 6x + 5
(x − 5)(x − 1)
x−5 x−1
kde A, B jsou neznámé koeficienty. Pomocı́ věty o linearitě neurčitého integrálu pak upravı́me integrál
z ryze racionálnı́ funkce na součet integrálů parciálnı́ch zlomků, které již umı́me určit:
KAPITOLA 12. NEURČITÝ INTEGRÁL RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
Z
137
Z 3x − 1
A
B
dx
=
+
dx
x2 − 6x + 5
x−5 x−1
= A ln |x − 5| + B ln |x − 1| + c.
Konstanty A, B jsou určeny rovnicı́ určenou z rozkladu na součet parciálnı́ch zlomků
3x − 1
A
B
=
+
(x − 5)(x − 1)
x−5 x−1
vynásobı́me výrazem Q(x) = (x − 5)(x − 1)
3x − 1 = A(x − 1) + B(x − 5)
3x − 1 = (A + B)x + (−A − 5B).
Aby se polynom na levé straně rovnal polynomu na pravé straně, musejı́ být tyto polynomy stejných
stupňů a musejı́ se rovnat koeficienty u jednotlivých mocnin x. Pro koeficienty A, B zı́skáme následujı́cı́
rovnice:
x:
3 =A+B
x0 : −1 = −A − 5B.
Jedná se o soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, jejı́ž řešenı́ jsou A = 21 , B = − 12 , proto
Z
3x − 1
1
1
dx = ln |x − 5| − ln |x − 1| + c.
2
x − 6x + 5
2
2
Přı́klad 12.2 Určete
Řešenı́ Zlomek
Z
3x − 1
dx.
x4 + x2
3x − 1
lze podle věty o rozkladu na součet parciálnı́ch zlomků rozepsat do tvaru
x4 + x2
3x − 1
3x − 1
A
B
Cx + D
= 2 2
= + 2+ 2
,
x4 + x2
x (x + 1)
x
x
x +1
kde A, B, C, D jsou neznámé koeficienty. Převedeme tedy integrál z ryze racionálnı́ funkce na součet
integrálů, které již umı́me řešit:
Z
B
A
Cx + D
+ 2+ 2
dx
x
x
x +1
Z 1
1
C 2x
1
=
A +B 2 +
+
D
dx
x
x
2 x2 + 1
x2 + 1
Z
Z
Z
Z
1
1
C
2x
1
dx + B
dx
+D
dx
=A
dx
+
2
2
2
x
x
2
x +1
x +1
|
{z
}
t = x2 + 1 dt = 2xdx 3x − 1
=
x4 + x2
Z x−1
C
+ ln |x2 + 1| + D arctgx + c.
−1
2
Konstanty A, B, C, D jsou určeny rovnicı́:
= A ln |x| + B
3x − 1
A
B
Cx + D
= + 2+ 2
x4 + x2
x
x
x +1
vynásobı́me výrazem Q(x) = x4 + x2
3x − 1 = A(x3 + x) + B(x2 + 1) + (Cx + D)x2
pro porovnánı́ koeficientů upravı́me do tvaru
3
2
0 · x + 0 · x + 3x − 1 = (A + C)x3 + (B + D)x2 + Ax + B.
138
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Aby se polynom na levé straně rovnal polynomu na pravé straně, musejı́ se rovnat koeficienty u jednotlivých mocnin x, tedy
x3
x2
x1
x0
:
0 =A+C
:
0 =B+D
:
3 =A
: −1 = B.
Zı́skali jsme soustavu čtyř lineárnı́ch rovnic o čtyřech neznámých, jejı́ž řešenı́ jsou A = 3, B = −1,
C = −3 a D = 1, proto
Z
1 3
3x − 1
= 3 ln |x| + − ln |x2 + 1| + arctgx + c.
4
2
x +x
x 2
12.2. Dělenı́ polynomu polynomem
Pro integraci racionálnı́ch funkcı́
Z(x)
Q(x)
Y (x) +
přı́kladu.
P (x)
Q(x) ,
které nejsou ryze racionálnı́, se výraz
P (x)
Q(x)
rozkládá na součet
pomocı́ algoritmu dělenı́ polynomu polynomem, který demonstrujeme na následujı́cı́m
Přı́klad 12.3 Upravte výraz
2x2 − 3
pomocı́ dělenı́ se zbytkem.
x2 + 1
Řešenı́ Nejprve vydělı́me nejvyššı́ mocninu čitatele nejvyššı́ mocninou jmenovatele: 2x2 /x2 = 2. Na
pravé straně jsme zı́skali prvnı́ člen 2. Zpětně vynásobı́me 2(x2 + 1) a odečteme od čitatele (2x2 − 3) −
2(x2 + 1). Pro přehlednost zápisu udržujeme jednotlivé mocniny x pod sebou:
(2x2
−(2x2
+0x
−3) : (x2 + 1)
+2)
= 2 + ...
: (x2 + 1)
= 2 + ...
−5
odečteme 2(x2 + 1)
Čitatel (−5) má nižšı́ mocninu než jmenovatel (x2 + 1), takže zbytek po dělenı́ je nenulový. Zapı́šeme
výsledek:
2x3 − 3
−5
=2+ 2
·
2
x +1
x +1
Přı́klad 12.4 Upravte výraz
x4 + x3 − 3
pomocı́ dělenı́ se zbytkem.
x2 + 2x + 1
Řešenı́
Postup z minulého přı́kladu budeme několikrát opakovat:
(x4
−(x4
+x3
+2x3
+0x2
+x2 )
(−x3
−(−x3
+x2
−2x2
−x)
(3x2
−(3x2
−x
+6x
+0x
(−7x)
−3)
: (x2 + 2x + 1)
= x2 + . . .
odečteme x2 (x2 + 2x + 1)
−3)
: (x2 + 2x + 1)
= x2 − x + . . .
odečteme −x(x2 + 2x + 1)
−3)
−3)
: (x2 + 2x + 1)
= x2 − x + 3 . . .
odečteme 3(x2 + 2x + 1)
: (x2 + 2x + 1)
= x2 − x + 3 + . . .
Čitatel má nižšı́ mocninu než jmenovatel, takže zbytek po dělenı́ je nenulový. Zapı́šeme výsledek:
x4 + x3 − 3
−7x
= x2 − x + 3 + 2
·
x2 + 2x + 1
x + 2x + 1
KAPITOLA 12. NEURČITÝ INTEGRÁL RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
139
12.3. Neurčitý integrál funkcı́ ne ryze racionálnı́ch
Přı́klad 12.5 Určete
Z
4x2 − 16x
dx.
5 − 2x + x2
4x2 − 16x
nenı́ ryze racionálnı́ (čitatel má stupeň většı́ nebo rovnajı́cı́ se stupni jmex2 − 2x + 5
novatele), je tedy nutné upravit tento výraz na součet polynomu a ryze racionálnı́ho výrazu pomocı́
algoritmu dělenı́ polynomu polynomem:
Řešenı́ Výraz
(4x2 − 16x) : (x2 − 2x + 5) = 4 · 1 −
2x + 5
x2 − 2x + 5
.
Protože výraz ve jmenovateli nelze rozložit (D = 4 − 4 · 1 · 5 < 0), jedná se o třetı́ typ parciálnı́ho zlomku
z výše uvedené tabulky. K nalezenı́ primitivnı́ funkce k tomuto typu parciálnı́ho zlomku užı́váme taR ϕ0 (x)
R 1
bulkového integrálu 1+x
2 dx = arctgx + c a integrálu
ϕ(x) dx = ln |ϕ(x)| + c z předchozı́ kapitoly:
Z
4x2 − 16x
dx = 4
5 − 2x + x2
Z 2x + 5
1− 2
dx
x − 2x + 5
Z
2x + 5
dx
jmenovatel doplnı́me na čtverec
= 4x − 4
2
x − 2x + 5
Z
2x + 5
= 4x − 4
dx
ze jmenovatele vytkneme 4
(x − 1)2 + 4
Z
t = x−1
4
2x + 5
x = 2t + 1 2
= 4x −
dx
dt = 1 dx dx = 2dt x−1 2
4
2
+1
2
Z
2(2t + 1) + 5
= 4x −
2 dt
zlomek rozdělı́me
t2 + 1
Z
Z
4t
7
= 4x − 2
dt − 2
dt
t2 + 1
t2 + 1
Z
Z
2t
1
= 4x − 4
dt − 14
dt
dle výše uvedených vztahů
2
2
t +1
t +1
= 4x − 4 · ln |t2 + 1| − 14 · arctg t + c
x − 1 2
x−1
= 4x − 4 · ln + 1 − 14 · arctg
+ c.
2
2
12.4. Substituce v integrálu vedoucı́ na integraci funkce racionálnı́
Přı́klad 12.6 Vypočı́tejte
Z √
1−x
dx.
x
Řešenı́ Integrovaná funkce nenı́ racionálnı́, proto je vhodné provést substituci:
140
Z √
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
√
t = 1 − x x = 1 − t2 1−x
dx = dx = −2t dt x
Z
t
=
(−2t) dt
funkce ne ryze racionálnı́
1 − t2
Z
t2
dt
nejprve vydělı́me
= −2
1 − t2
Z 1
= −2
−1 +
dt
rozklad na parc. zlomky
(1 − t)(1 + t)
Z A
B
= −2
−1 +
+
dt
integrace
1−t 1+t
= −2 (−t + A ln |1 − t| + B ln |1 + t|) + c
√
√
√
= −2 1 − x − 2A ln |1 − 1 − x| − 2B ln |1 + 1 − x| + c
Konstanty A, B určı́me z rovnice
1
A
B
=
+
(1 − t)(1 + t)
1−t 1+t
vynásobı́me výrazem Q(t) = (1 − t)(1 + t)
1 = A(1 + t) + B(1 − t)
1 = (A − B)t + (A + B).
Aby se polynom na levé straně rovnal polynomu na pravé straně, musejı́ se rovnat koeficienty u jednotlivých mocnin t, tedy
t:
t0 :
0
1
=A−B
= A + B.
Zı́skali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, jejı́ž řešenı́ jsou A = 21 , B = 21 , proto
Z √
√
√
√
1−x
dx = 2 1 − x − ln |1 − 1 − x| − ln |1 + 1 − x| + c.
x
Dovednosti - úlohy
Úloha 12.1 Rozložte výraz na parciálnı́ zlomky:
3x
2x − 1
a)
;
b)
;
(x − 2)(x + 1)
(x + 2)3
x2 + x − 1
1
d)
;
e) 3
;
x3 + x
x +x
3x − 1
;
x2 − x3
x2 + 2
f) 2
.
(x + 1)(x2 + x + 1)
c)
1
2
+
;
x+1
x−2
1
2
2
c) − 2 + − x−1
;
x
x
1
x
e) − 2
;
x
x +1
[ a)
Úloha
Z 12.2 Určete:
5
a)
dx;
(x + 3)4
Z
x−2
d)
dx;
2
x − 7x + 12
4
b)
dx;
(x + 3)(x − 1)
Z
x−1
e)
dx;
2
x +x−6
Z
Z
c)
2
5
−
; ]
(x + 2)2
(x + 2)3
2x + 1
1
d) 2
− ;
x
x +1
x+2
x
f) 2
− 2
.
x +x+1
x +1
b)
3
x2 − 5x + 6
Z
2x
f)
dx.
2
9x − 1
dx;
KAPITOLA 12. NEURČITÝ INTEGRÁL RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
141
5
+ c;
3(x + 3)3
x − 3
+ c;
c) 3 ln x − 2
[ a) −
e)
Úloha
Určete:
Z 12.3
x2 − 5x + 9
dx;
a)
x2 − 5x + 6
Z
8x
d)
dx;
x4 + 6x2 + 5
Z
b)
Z
e)
x2 − 4
x3 − x2
4
4
1
ln |x + 3| + ln |x − 2| + c;
5
5
x4 + 4x2
Z
x3
Z
(3x − 1)(2x − 2)2
x+1
dx.
x2 + x + 1
c)
dx;
dx ;
f)
b) −
x
1
1
3
+
ln |3x − 1| −
+
ln |x − 1| + c;
12
144
8(x − 1)
16
1
x
1
+ c;
e) − − arctg
x
2
2
c)
Z
b)
2
Z
e)
x3 + x − 1
x(x + 1)
x4
1
Z
dx;
x4 + 5x2 + 4
dx;
4
]
+ 4 ln |x| − 3 ln |x − 1| + c;
x
2
x +1
d) ln 2
+ c;
x +5
√
√
3
2x + 1
f) ln x2 + x + 1 +
arctg √ .
3
3
[ a) x − 3 ln |x − 2| + 3 ln |x − 3| + c;
Úloha
Určete:
Z 12.4
x2 + 3x + 2
a)
dx;
x2 + x + 2
Z
4x2 + 5
d)
dx;
(x − 2)2 (x + 1)2
x − 1
+ c;
b) ln ]
x + 3
2
(x − 4)
+ c;
d) ln
|x − 3|
1
f) ln |9x2 − 1| + c.
9
c)
4
Z
dx;
2
2x + 1
[ a) x + ln |x2 + x + 2| − √ arctg √
+ c;
7
7
1
1
a + x
x
+
c) 3 ln + c;
arctg
a − x 2a3
a
4a
1
8
x
e) x + arctgx − arctg + c;
3
3
2
Úloha 12.5 S využitı́m vhodné substituce
určete:
√
Z
Z √
1− x
1−x
√ dx;
a)
dx;
b)
x
1+ x
Z
R
1
1
√ dx;
d)
e)
dx ;
1+ x
1 + ex
Z
Z
x
2e
1
g)
dx;
h)
dx;
x
e −9
(1 + ex )2
f)
a − x4
4
dx, a > 0;
(x + 1)(x2 + 1)
dx.
p
x2 + 1
b) x + ln
+ c;
]
|x|
x − 2 7 1
2
1
−
d) ln −
+ c;
9
x + 1 3 x − 2
x+1
f) ln
(x+1)2
x2 +1
Z
√
c)
+ 2arctgx + c.
1
dx ;
x x+1
4
f)
dx;
3 − 2e−x
Z
6
i)
dx .
2x
e + ex − 2
Z
√
√
[ a) 4 x − x − 4 ln( x + 1) + c;
√
x+1−1
c) ln | √
| + c;
x+1+1
ex
e) ln
+ c;
1 + ex
g) 2 ln |ex − 9| + c;
i) −3x + 2 ln |ex − 1| + ln(ex + 2) + c.
√
√
1− 1−x
√
b) 2 1 − x + ln |
| + c; ]
1+ 1−x
√
√
d) 2 x − 2 ln(1 + x) + c;
4
ln |3ex − 2| + c;
3
1
h) x +
− ln(1 + ex ) + c;
1 + ex
f)
142
SB ÍRKA ÚLOH ZE Z ÁKLAD Ů MATEMATIKY 1
Otestujte se
Úloha
Z 12.6 Určete:
4
a)
dx;
(2 − 5x)3
Z 5
x + x4 − 8
dx;
d)
x3 − 4x
Z
5
p
dx;
g)
x x2 + 5
Z
b)
1
dx ;
2x2 − x
!2
Z
1 x+2
e)
dx;
x x−1
Z
6x3
h) p
dx;
x2 + 2
2
+ c;
5(2 − 5x)2
1
1
c) ln |x − 1| + ln |x + 1| − ln |x| + c;
2
2
9
+ c;
e) 4 ln |x| − 3 ln |x − 1| −
x
−
1
√ p
2
√
5 · x + 5
g) − 5 ln + c;
x
√
√
√
i) 4 x − 8 4 x + 8 ln(1 + 4 x).
[ a)
Z
c)
Z
f)
1
x3 − x
dx;
x3 + 1
dx;
x3 − x2
Z
2
√ dx.
i) √
x+ 4x
2x − 1 + c;
b) ln ]
x x2 (x − 2)5 x3
x2
d)
+
+ 4x + ln + c;
(x + 2)3 3
2
2
1
(x − 1)
f) x + + ln
+ c;
x
|x|
√
h) (3x − 8) x2 + 2 + c;