Prıklady na neurcitý integrál – primitivnı funkce ¯ Tabulka základnıch

Přı́klady na neurčitý integrál – primitivnı́ funkce
¯ na integračnı́ konstantu a definičnı́ obor):
Tabulka základnı́ch integrálů (až
Z
f (x)
podmı́nky
c
c∈R
α
x
1
xx
e
sin x
cos x
1
1 + x2
1
√
1 − x2
1
cos2 x
1
sin2 x
f (x)
0
xα+1
α+1
ln |x|
α ∈ R \ {−1}
ex
− cos x
sin x
arctg x
arcsin x
tg x
−cotg x
1. Základnı́ integrace (pouze použitı́ tabulky základnı́ch integralů a šikovných
triků):
Z
Z
Z
(3 − x2 )3 dx
x2
dx
2
Z 1+x
5
dx
1
+
(2x
− 2)2
Z
x+1
√ dx
x
Z
x
(2 + 3x )2 dx
Z √ 4
x + x−4 + 2
dx
x3
Z
tan2 xdx
Z
Z
sin 3xdx
Z √
1 + x2
√
dx
1 − x4
Z x+1
2
− 5x−1
dx
10x
Z
1
dx
2
4x + 4x + 8
2. Integrace
substitučnı́ metodou:
Z
Z
2x
lnx
dx
dx
2
Z 1 + 5x
Z x
3
sin x
dx
x2 (x + 1)100 dx
2x
1
+
cos
Z
Z √ 2
x x +1
tan xdx
dx
2
Z p
Z x +3
√
1 − cos2 x cos2 xdx
x2 3 1 − xdx
Z
dx
p
x(1 − x)
1
Z
Z
Z
x2 (5 − x)4 dx
√
√
( 2x − 3 3x)2
dx
x
e3x + 1
dx
ex + 1
1
dx
x2 + 6x + 10
√
1 − 2 sin xdx
cos2 x sin x
dx
2
Z 1 + cos x
2
xex dx
Z 3
x +x
dx
2
Z x + 3√
arctg x dx
√
1+x
x
Z
3. Dokažte, že pro všechny f ∈ C 1 ([a, b]), takové, že (∀x ∈ [a, b])(f 6= 0)
platı́:
Z 0
f
= ln|f |
f
pro x ∈ (a, b).
4. PřZı́klady na per partes:
xex dx
Z
(x2 + 3x − 2) sin xdx
Z
loga xdx, a ∈ (0, ∞) \ {1}
Z
Z
Z
5. Opakovánı́
elementárnı́ch metod:
Z √ 2
Z
x x +x−1
dx
cotg 2 xdx
2+x
x
Z
cos x sin2 x
dx
esin x
x2 ex dx
ex sin xdx
Z
sin2 xdx
Z
arctgxdx
cos2 xdx
Z
x2 ln(x3 )dx
6. Využitı́
rozkladu na parciálnı́ zlomky:
Z
Z
x3 − x2 + 4
x+1
dx
dx
2
2
Z x3 − 6x2 + 8
Z (x − 1)(x + 1)
x −x +1
3
dx
4+1
2 + 1)(x4 − 1)
x
(x
Z
Z
4
x5 − x3
dx
3
2
2
(3x + 2x + 1)(x − 3)
Z 5x + 2x + 2x
dx
5
4
3
x − x + x − x2 + x − 1
Z
4
dx
3 − x2 + 5x − 5
x
Z
x+2
dx
4 − 1)(x2 − 1)(x − 1)
(x
Z
dx
(1 + x)(1 + x2 )(1 + x3 )
7. Speciálnı́ substituce:
a) Goniometrické funkce - substituce sin x = t, cos x = t, tan x = t,
tan x2 = t
√
Z
Z
sin2 x + 2 cos2 x
sin x cos2 x − 1 − cos2 x cos x
dx
dx
cos x + sin x
3 − sin2 x
Z
Z
2
sin x − cos x
sin x
dx
dx
sin
x
+
cos
x
2
+
sin
x + cos x
Z
Z
dx
sin x cos x
dx
1 + sin4 x
Z cos x
2 sin x − cos x
dx
3 sin2 x + 4 cos2 x
b) Odmocniny - substituce za celou odmocninu
2
√
x3x+2
√
dx
3
2
√+ x + √
Z x
x−1+ 1+x
√
√
1+x− x−1
Z
dx
√
√
x (1 + 2 x + 3 x)
Z
√
√
1− x− 3x
√
√ dx
1+ x+ 3x
Z r
3 2x − 3
dx
x√+ 4
Z
1− x+1
√
1+ 3x+1
Z
c) Substituce
t = ex
Z x
e −1
dx
x
Z e3x+ 1 2x
e + 2e + 3ex
xdx
e−2x + 1
Z
dx
x/2
1+e
+ ex/3 + ex/6
e4x + e−4x
dx
2
Z e x+1
dx
√
1 + ex
Z
dx
√
√
x
1 + e + 1 − ex
Z
3