x - stránky ICT physics

Proseminář z matematiky pro fyziky
Mgr. Jan Říha, Ph.D.
e-mail: [email protected]
http://www.ictphysics.upol.cz/Proseminar/index.html
Katedra experimentální fyziky
Přírodovědecká fakulta UP Olomouc
Nechť funkce f (x ) je definovaná na intervalu (a,b ). Říkáme,
že funkce F ( x ) definovaná na intervalu (a,b ) je primitivní funkcí
k funkci f ( x ), jestliže ∀x ∈ (a,b ) platí : F ′( x ) = f ( x ).
Pozn. : Derivace konstanty je nula, proto k dané funkci lze přiřadit
nekonečně mnoho primitivních funkcí, které se vzájemně liší o aditivní
konstantu. Množinu všech primitivních funkcí nazýváme
neurčitý integrál :
∫ f (x )dx = F (x ) + c
c ∈ R . . . . . . . . integrační konstanta
Výpočet neurčitého integrálu
‹
Základní integrály
∫ dx = x + c,
x n +1
∫ x dx = n + 1 + c, 1) n ∈ N , x ∈ R,
2) n ∈ Z , n ≠ −1, x ∈ (a, b ), 0 ∉ (a, b ),
3) n ∈ R, n ≠ −1, x > 0.
1
∫ x dx = ln x + c, x ∈ (0, ∞ ) nebo x ∈ (− ∞,0) ,
n
x
x
=
+ c,
e
e
dx
∫
x
a
x
a
∫ dx = ln a + c,
a > 0, a ≠ 1
∫ sin xdx = − cos x + c,
∫ cos xdx = sin x + c,
‹
Základní integrály
1
∫ cos 2 x dx = tgx + c,
1
∫ sin 2 x dx = −cotgx + c,
∫
1
π
x ≠ (2k + 1) , k ∈ Z
2
x ≠ kπ , k ∈ Z
dx = arcsin x + c = − arccos x + c,
1− x
1
∫ 1 + x 2 dx = arctgx + c = −arccotgx + c.
‹
2
x <1
Neurčitý integrál součtu funkcí a reálného násobku funkce
Jestliže ∫ f1 ( x )dx = F1 ( x ) + c a ∫ f 2 ( x )dx = F2 ( x ) + c, pak
∫ [ f (x ) + f (x )]dx = F (x ) + F (x ) + c,
∫ kf (x )dx = k ∫ f (x )dx = kF (x ) + c, ∀k ∈ R.
1
2
2
1
2
2
1
‹
Metoda per partes
∫ u (x )v′(x )dx = u (x )v(x ) − ∫ u ′(x )v(x )dx,
∫ uv′dx = uv − ∫ u ′vdx
‹
Substituční metoda
Nechť funkce F (t ) je primitivní funkcí k funkci F (t ) v intervalu (α , β )
a nechť funkce t = ϕ ( x ) má spojitou derivaci na intervalu (a, b ), přičemž
∀x ∈ (a, b ) je t = ϕ ( x ) ∈ (α , β ). Pak na intervalu (a, b ) platí
∫ f [ϕ (x )]ϕ ′(x )dx = F [ϕ (x )] + c.
‹
Rozklad lomené funkce na parciální zlomky
Funkce typu f (x ) =
Pn ( x )
Qm ( x )
Úlohy
1.
2.
∫ x x x dx,
∫ (x + 3) dx,
2
2
x3 + 1
3. ∫
dx,
x +1
4.
2
∫ cotg xdx,
5
⎛
3
2
cos
3
x
+
x
−
⎜
∫⎝
1+ x2
2
(
x − 1)
6. ∫
dx,
x3
7. ∫ x 2 sin xdx,
5.
8.
9.
∫ ln xdx ,
∫ cos xdx,
2
⎛
3− x ⎞
10. ∫ 3 ⎜⎜ 2 + 4 ⎟⎟dx ,
x ⎠
⎝
11. ∫ sin (ln x )dx,
x
12.
∫
dx
4− x
2
,
⎞
⎟dx,
⎠
Úlohy
π⎞
⎛
13. ∫ cos⎜ − 2t + ⎟dt ,
3⎠
⎝
π⎞
⎛
14. ∫ sin ⎜ 3t − ⎟dt ,
3⎠
⎝
15. ∫ Ae ωt +ϕ dt , A, ω ∈ R + ,
16.
x
∫
dx,
4− x
x3
dx,
17. ∫
1 + 2x 4
18. ∫ x sin x 2 + 1 dx,
2
(
)
arctg 2 x
dx,
19. ∫
2
1+ x
20. ∫ arcsin xdx,
21. ∫ e ax cos xdx, kde a ∈ R ,
22.
3 −x
x
∫ e dx,
2
23.
∫
24.
∫
3
1 + cot gx
2
sin x
e x dx
,
x
e +1
dx,
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn −1 < xn = b
D = { x0 , x1 , x1 , x2 ,..., xi −1 , xi ,..., xn −1 , xn } = { xi −1 , xi
}
n
i =1
...dělení intervalu a, b
νD = max{x1 − x0 , x2 − x1 ,..., xi − xi −1 ,..., xn − xn −1} ...norma dělení intervalu a, b
n
ϕ [D, f ( x )] = ∑ f (ξ i )( xi − xi −1 ) ...integrální součet funkce f ( x ) s dělením D
i =1
Existuje - li vlastní limita lim ϕ [D, f ( x )],
νD →0
pak ji nazýváme určitý integrál funkce f ( x ) od a do b,
funkci f ( x ) nazýváme integrovatelnou na intervalu a, b .
b
Zapisujeme :
∫ f (x )dx
a
‹
Vlastnosti určitých integrálů
Nechť f (x ), g ( x ) jsou integrovatelné funkce na intervalu a, b , α ∈ R, pak
b
a
a
b
∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx,
a
∫ f (x )dx = 0,
a
b
b
b
a
a
a
∫ [ f (x ) + g (x )]dx = ∫ f (x )dx + ∫ g (x )dx,
b
b
a
a
∫ αf (x )dx = α ∫ f (x )dx
Nechť existuje c ∈ R, a < c < b, pak
b
c
b
a
a
c
∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx,
b
b
a
a
∫ f (x )dx ≤ ∫ f (x ) dx
‹
Newtonova-Leibnitzova metoda
Nechť f (x ) je spojitá na intervalu a, b a F (x ) je primitivní funkcí k f ( x ) na a, b ,
pak
b
∫
f ( x )dx = F (b ) − F (a ) = [F ( x )]a
b
a
‹
Metoda per partes
Nechť u ( x ), v( x ) mají spojité derivace u ′(x ), v′( x ) na intervalu a, b .
Pak platí
b
∫ u (x )v′(x )dx = [u (x )v(x )]a − ∫ u′(x )v(x )dx
b
a
‹
b
a
Metoda substituce
b
β
∫ f [ϕ (x )]ϕ ′(x )dx = α∫ f (t )dt
a
t = ϕ ( x ), dt = ϕ ′( x )dx, α = ϕ (a ), β = ϕ (b )
‹
Výpočet obsahu rovinných obrazců
b
S = ∫ [g ( x ) − f ( x )]dx
a
‹
Výpočet objemu rotačních těles
dV = π [ f ( x )] dx
2
b
V = π ∫ [ f ( x )] dx
a
2
Úlohy
1
1.
dx
∫
4− x
0
2
,
π
4
2.
∫ sin 4 xdx,
0
π
2
3.
∫ sin
4
xdx,
0
a
4.
∫ (x
)
− ax dx, a ∈ R
2
0
1
5.
∫x
2
e x dx,
0
1
6.
∫x e
3
-3x
dx,
−1
π
4
7.
∫ tg
2
xdx,
0
π
8.
∫x
3
sin 2 xdx,
0
2
9.
- 2x
e
∫ sin
0
π
2
xdx,
Úlohy
1
arctg 3 x
10. ∫
dx ,
2
1
+
x
0
π
2
11.
∫
0
π⎞
⎛
x 3 sin ⎜ x 2 − ⎟dx ,
4⎠
⎝
1
5
− x, y= .
x
2
3
13. Určete obsah plochy ohraničené grafy funkcí y = sin x , y = cos 3 x a přímkou x = 0 .
14. Vypočítejte plochu omezenou čarami y = 6 x − x 2 , y = 0 .
12. Určete obsah plochy ohraničené grafy funkcí y =
15. Zjistěte objem rotačního tělesa, které vzniklo otáčením sinusoidy v intervalu 0, π kolem osy
x.
16. Zjistěte objem rotačního tělesa, které vzniklo otáčením obrazce omezeného čarami y 2 = 2 px
a x = h , p > 0, h ≠ 0 .
17. Určete střední hodnotu I S střídavého proudu v průběhu poloviny periody.
1
2
18. ∫ arcsin xdx.
0