Derivace

Derivace
funkcí jedné reálné proměnné
Poznámka
Derivaci funkce v zadaném bodě můžeme počítat
přímo pomocí definice,
použitím vět o algebře derivací,
použitím věty o derivaci inverzní funkce,
použitím věty o derivaci složené funkce.
Nezbytnou teorii naleznete Breviáři vyšší matematiky (odstavec 1.2).
Výpočet derivace pomocí definice
(zpět na začátek)
f '( x) º
df
f ( z ) - f ( x)
f ( x + Dx ) - f ( x )
( x) º lim
= lim
z®x
Dx ® 0
dx
Dx
z-x
Příklad 1
dx
x' º
=1
dx
Řešení
x ' = lim
z®x
z-x
= lim 1 = 1 ,
z - x Dx ®0
x + Dx - x
Dx
= lim
= lim 1 = 1 .
Dx ® 0
Dx ® 0 Dx
Dx ®0
Dx
x ' = lim
Příklad 2
dx 2
x 2¢ º
= 2x
dx
Řešení
( z + x )( z - x ) = lim z + x = x + x = 2 x ,
z 2 - x2
¢
x = lim
= lim
(
)
z®x z - x
z®x
z®x
z-x
2
( x + Dx ) - x 2 = lim x 2 + 2 xDx + Dx 2 - x 2 = lim 2 xDx + Dx 2 = lim 2 x + Dx = 2 x .
x ¢ = lim
(
)
Dx ® 0
Dx ® 0
Dx ® 0
Dx ® 0
Dx
Dx
Dx
2
2
Příklad 3
dx n
n¢
= nx n -1
x º
dx
Řešení
æ nö
æ nö
æ n ö
n -1
n
n
x n + ç ÷ x n -1Dx + ç ÷ x n -2 Dx 2 + ... ç
÷ xDx + Dx - x
x
x
x
+
D
1
2
n
1
(
)
è ø
è ø
è
ø
x n¢ = lim
= lim
=
Dx ® 0
D
x
®
0
Dx
Dx
n
n
æ nö
æ nö
æ n ö
x n + ç ÷ x n -1Dx + ç ÷ x n -2 Dx 2 + ... ç
xDx n -1 + Dx n - x n
÷
è1ø
è 2ø
è n - 1ø
= lim
=
Dx ® 0
Dx
æ n ö n -1
æ n ö n -2 2
æ n ö
n -1
n
ç 1 ÷ x Dx + ç 2 ÷ x Dx + ... ç n - 1÷ xDx + Dx
è ø
è
ø
= lim è ø
=
Dx ® 0
Dx
éæ n ö
ù æ nö
æ nö
æ n ö
= lim êç ÷ x n -1 + ç ÷ x n -2 Dx + ... ç
xDx n -2 + Dx n -1 ú = ç ÷ x n -1 = nx n -1 .
÷
Dx ® 0
è 2ø
è n - 1ø
ëè 1 ø
û è 1ø
Pozor!
Ne vždy dospíváme při výpočtu první derivace k tak jednoduchým limitám jako v
předcházejících příkladech.
Příklad 4
d cos( x)
cos( x)¢ º
= - sin( x)
dx
Řešení
cos( x + Dx) - cos( x)
cos( x ) cos(Dx) - sin( x) sin( Dx) - cos( x)
cos( x)¢ º lim
= lim
=
Dx ® 0
D
x
®
0
Dx
Dx
cos(Dx ) - 1
sin(Dx) ö
cos(Dx) - 1
sin( Dx)
æ
.
= lim ç cos( x)
- sin( x)
= cos( x) lim
- sin( x) lim
÷
Dx ® 0
Dx ® 0
Dx ® 0
Dx
Dx ø
Dx
Dx
è
Během výpočtu jsme tak dospěli k limitám, jejichž vyčíslení není vůbec jednoduché. Proto
musíme uvěřit, že platí
cos(Dx) - 1
sin(Dx)
= 0 a lim
= 1.
Dx ® 0
Dx ® 0
Dx
Dx
lim
Odtud pak již snadno plyne
cos( x)¢ = 0 - sin( x) = - sin( x) .
Příklad 5
d sin( x)
sin( x)¢ º
= cos( x)
dx
Řešení
sin( x + Dx) - sin( x)
cos( x) sin( Dx) + sin( x) cos( Dx) - sin( x)
sin( x)¢ º lim
= lim
=
Dx ® 0
D
x
®
0
Dx
Dx
cos(Dx) - 1
sin(Dx) ö
cos(Dx) - 1
sin( Dx)
æ
.
= lim ç sin( x)
+ cos( x)
= sin( x) lim
+ cos( x) lim
÷
Dx ® 0
Dx ® 0
Dx ® 0
Dx
Dx ø
Dx
Dx
è
Z předcházejícího příkladu už umíme získané limity spočítat. Pak ovšem již snadno získáme
požadovaný výsledek.
Příklad 6
de x
x¢
= ex
e º
dx
Řešení
e x +Dx - e x
e x e Dx - e x
e Dx - 1 x
e Dx - 1
= lim
= lim e x
= e lim
.
Dx ® 0
Dx ® 0
Dx ® 0
Dx ® 0
Dx
Dx
Dx
Dx
e x¢ º lim
A opět netriviální limita, pro kterou lze ukázat
e Dx - 1
= 1.
Dx ® 0
Dx
lim
Odtud již snadno požadovaný výsledek.
Výpočet derivace pomocí vět o algebře derivací
(zpět na začátek)
Příklad 7
dtg( x)
1
=
tg( x)¢ =
dx
cos 2 ( x)
Řešení
é sin( x) ù¢ sin( x)¢ cos( x) - sin( x) cos( x)¢ cos 2 ( x) + sin 2 ( x)
1
=
=
=
tg( x)¢ = ê
ú
2
2
cos ( x)
cos ( x)
cos 2 ( x)
ë cos( x) û
Příklad 8
dcotg( x)
1
=- 2
cotg( x)¢ =
dx
sin ( x)
Řešení
é cos( x) ù¢ cos( x)¢ sin( x) - cos( x) sin( x)¢ - sin 2 ( x) - cos 2 ( x)
1
=
=
=- 2
,
cotg( x)¢ = ê
ú
2
2
sin ( x)
sin ( x)
sin ( x)
ë sin( x) û
é 1 ù¢ 1¢tg( x) - 1tg( x)¢ -1/ cos 2 ( x)
1/ cos 2 ( x)
1
=
=
=
=- 2
cotg( x)¢ = ê
ú
2
2
2
2
tg ( x)
tg ( x)
sin ( x) / cos ( x)
sin ( x)
ë tg( x) û
Příklad 9
dx - n
- n¢
= -nx - n -1
x =
dx
Řešení
n
n
nx n -1
æ 1 ö¢ 1¢ x - 1x ¢
¢
x =ç n ÷ =
= - 2 n = - nx - n -1
2
x
èx ø
( xn )
-n
Výpočet derivace pomocí věty o derivaci inverzní funkce
(zpět na začátek)
d f -1 ( x )
1
,
=
df ( y )
dx
dy
kde na pravé straně po provedení derivace a eventuálních úprav provedeme záměnu
y ® f -1 ( x)
Příklad 10
d ln( x) 1
ln( x)¢ º
=
x
dx
Řešení
d ln( x)
1
1
1
1
= y = y = ln( x ) =
de
dx
e
e
x
dy
Příklad 11
d log a ( x) 1 1
=
log a ( x)¢ º
x ln(a)
dx
Řešení
Použijte identitu log a ( x) =
ln( x)
a pokračujte jako v příkladu 10.
ln(a )
Příklad 12
1
dx n 1 1n -1 1 1-nn
= x = x
x ¢º
n
dx n
1
n
Řešení
1
n
dx
dn x
1
1
=
= n = n -1 =
dy
dx
dx
ny
n
dy
1
( x)
n
n -1
=
1 - nn-1 1 1-nn
x
= x
n
n
Příklad 13
d arcsin( x)
1
arcsin( x)¢ º
=
dx
1 - x2
Řešení
d arcsin( x)
1
1
1
1
1
=
=
=
=
=
d sin( y ) cos( y )
dx
1 - sin 2 ( y )
1 - sin 2 (arcsin( x))
1 - x2
dy
Pořádně si rozmyslete, proč můžeme výše psát cos( y ) = 1 - sin 2 ( y ) a sin(arcsin( x)) = x .
Příklad 14
d arccos( x)
1
=arccos( x)¢ º
dx
1 - x2
Řešení
d arccos( x)
1
1
1
1
1
=
=
==
=
d cos( y ) - sin( y )
dx
1 - cos 2 ( y )
1 - cos 2 (arccos( x))
1 - x2
dy
Pořádně si rozmyslete, proč můžeme výše psát sin( y ) = 1 - cos 2 ( y ) a cos(arccos( x)) = x .
Příklad 15
darctg( x)
1
=
arctg( x)¢ º
dx
1 + x2
Řešení
darctg( x)
1
1
1
1
1
=
=
=
=
=
2
2
dtg(
y
)
1
dx
1 + tg ( y ) 1 + tg (arctg( x)) 1 + x 2
dy
cos 2 ( y )
Pořádně si rozmyslete, že platí 1 + tg 2 ( y ) =
1
a tg(arctg( x)) = x .
cos 2 ( y )
Příklad 16
darccotg( x)
1
=arccotg( x)¢ º
dx
1+ x2
Řešení
darccotg( x)
1
1
1
1
1
=
=
===¨
2
2
2
dcotg( y )
1
y
x
+
+
+
dx
1
cotg
(
)
1
cotg
(arccotg(x))
1
- 2
dy
sin ( y )
Pořádně si rozmyslete, že platí 1 + cotg 2 ( y ) =
1
a cotg(arccotg( x)) = x .
sin 2 ( y )
Výpočet derivace pomocí věty o derivaci složené funkce
(zpět na začátek)
df ( g ( x)) df ( y )
=
dx
dy
.
y® g ( x )
dg ( x)
,
dx
kde v prvním členu na pravé straně rovnosti provedeme po derivování náhradu y ® g ( x) .
Příklad 17
d kx + q 1
1
= k
kx + q ¢ º
dx
2
kx + q
Řešení
d kx + q é f ( y ) = y ù d y
=ê
ú=
dx
dy
ëê g ( x) = kx + q ûú
.
y ® kx + q
d ( kx + q ) 1 1
1
1
=
.k = k
dx
2 y
2
kx + q
Příklad 18
da x
x¢
a º
= a x ln(a)
dx
Řešení
x
Trik: a x = eln( a ) = e x ln( a )
ù de y
de x ln( a ) é g ( y ) = e y
=ê
ú=
dx
ë f ( x) = x ln(a ) û dy
.
y = x ln( a )
d ( x ln(a ) )
= e x ln( a ) ln(a ) = a x ln(a)
dx
Příklad 19
dxa
xa ¢ º
= a xa -1 , x > 0
dx
Řešení
a
Trik: xa = eln( x ) = ea ln( x )
ù de y
dea ln( x ) é g ( y ) = e y
=ê
ú=
dx
ë f ( x) = a ln( x) û dy
.
y =a ln( x )
d (a ln( x) ) a ln( x ) a
a
=e
= xa = a xa -1
dx
x
x