Derivace funkce

Derivace funkce
V tabulce jsou uvedeny derivace základních elementárních funkcí. V uvedených vzorcích
značí x nezávisle proměnnou a u představuje nějakou funkci proměnné x, tedy u ∼ u(x).
Funkci u budeme v následujících vzorcích často považovat za vnitřní funkci v příslušné
složené funkci. Dále, c je nějaká reálná konstanta a číslo a značí opět nějakou reálnou
konstantu (většinou s nějakým doplňujícím omezením).
Vzorce s derivacemi pro početní operace s funkcemi
¡
¢0
f (x) + g(x)
¡
¢0
f (x) − g(x)
¡
¢0
f (x) · g(x)
¡
¢0
c · f (x)
µ
¶0
f (x)
g(x)
£
¤0
f (g(x))
= f 0 (x) + g 0 (x)
derivace součtu dvou funkcí
= f 0 (x) − g 0 (x)
derivace rozdílu dvou funkcí
0
0
0
0
= f (x)g(x) + f (x)g (x)
¡
¢
= c f 0 (x)
=
f (x)g(x) − f (x)g (x)
g 2 (x)
= f 0 (g(x)) · g 0 (x).
derivace součinu dvou funkcí
derivace součinu konstanty a funkce
derivace podílu dvou funkcí
derivace složené funkce
Derivace základních elementárních funkcí
(c)0 = 0
(x)0 = 1
(xn )0 = n xn−1
(sin x)0 = cos x
(cos x)0 = − sin x
1
(tg x)0 =
cos2 x
1
(cotg x)0 = − 2
sin x
(ex )0 = ex
(ax )0 = ax · ln a
1
(ln x)0 =
x
1
0
(loga x) =
x ln a
1
0
(arcsin x) = √
1 − x2
1
(arccos x)0 = − √
1 − x2
1
(arctg x)0 =
1 + x2
1
0
(arccotg x) = −
1 + x2
(un )0 = n un−1 · u0
(sin u)0 = (cos u) · u0
(cos u)0 = (− sin u) · u0
u0
(tg u)0 =
cos2 u 0
u
(cotg u)0 = − 2
sin u
(eu )0 = eu · u0
(au )0 = au · ln a · u0
u0
(ln u)0 =
u 0
u
0
(loga u) =
u ln a 0
u
0
(arcsin u) = √
1 − u2
u0
(arccos u)0 = − √
1 − u2
0
u
(arctg x)0 =
1 + u2 0
u
0
(arccotg u) = −
1 + u2
c∈R
x∈R
x ∈ R, n ∈ R\{0}
x∈R
x∈R
x ∈ R\{(2k + 1) π2 }k∈Z
x ∈ R\{kπ}k∈Z
x∈R
x ∈ R, a > 0, a 6= 1
x ∈ (0, ∞)
x ∈ (0, ∞), a > 0, a 6= 1
x ∈ (−1, 1)
x ∈ (−1, 1)
x∈R
x∈R
Integrály
Neurčité integrály vybraných funkcí
Z
0 dx = C
Z
xn+1
xn dx =
+ C, n 6= −1
n+1
Z
sin x dx = − cos x + C
Z
1
dx = tg x + C
cos2 x
Z
ax
ax dx =
+C
ln a
Z
1
dx = arctg x + C
1 + x2
Z
1
√
dx = arcsin x + C,
2
1
−
x
Z
√
1
√
dx = ln |x + x2 + 1| + C
x2 + 1
Z
Z
k dx = kx + C
Z
Z
1
dx = ln |x| + C
x
cos x dx = sin x + C
Z
1
dx = − cotg x + C
2
sin
x
Z
ex dx = ex + C
¯
¯
Z
1
1 ¯¯ 1 + x ¯¯
dx = ln ¯
+C
1 − x2
2
1 − x¯
Z
√
1
√
dx = ln |x + x2 − 1| + C,
x2 − 1
Z
f 0 (x)
dx = ln |f (x)| + C
f (x)
Z
0
uv = uv −
u0 v,
(metoda per partes)
Z b
(Newtonův) určitý integrál
Nechť F je primitivní funkce k funkce f na intervalu ha, bi ⊂ I. Potom symbol
f (x) dx
nazýváme (Newtonův) určitý integrál a definujeme jej vztahem
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
a
Obsah rovinné plochy I
Nechť f je funkce spojitá a nezáporná v intervalu ha, bi. Potom obsah S(P ) plochy P
ohraničené grafem funkce f , osou x a přímkami x = a a x = b je roven
Z b
S(P ) =
f (x) dx.
a
Obsah rovinné plochy II
Nechť funkce f (x) a g(x) jsou spojité funkce na intervalu ha, bi a nechť pro všechna x
z tohoto intervalu je f (x) ≤ g(x). Potom pro obsah S(P ) plochy P , ohraničené grafy
funkcí f (x) a g(x) a přímkami x = a a x = b, platí
Z b
S(P ) =
[f (x) − g(x)] dx.
a