Řešený příklad XII.–3.f: Najděte primitivní funkce: ∫ 1 4x2 + 3 dx

Řešený příklad XII.–3.f: Najděte primitivní funkce:
Z
1
dx
4x2 + 3
Řešení: Tento integrál neumíme vypočítat přímo, je ovšem podoben integrálu,
který spoR
čítat umíme. Zadaný integrál převedeme pomocí substituce na integrál x21+1 dx, neboť
víme, že:
Z
1
dx = arctg x + C
2
x +1
Z
1
1
dx =
2
4x + 3
3
Z
1
1
dx =
4 2
3
x +1
3
Z
1
( √23 x)2
+1
substituce:
2
a = √ x
3
2
da = √ x, dx
3
√ Z
√
3
3
1
=
da =
arctg a + C =
2
6
a +1
6
zpětně dosadíme do substituce:
√
√
√
3
3
2
2 3
=
arctg √ x + C =
arctg
x+C
6
6
3
3
1
dx =
Řešený příklad XII.–7.c: Vypočtěte nevlastní integrál
Z ∞
2
|x|e−x dx.
−∞
Řešení: Nejvýhodněji úlohu vyřešíme, pokud si uvědomíme, že integrand je sudá funkce.
2
Nechť f (x) = |x|e−x . Ukažme, že tato funkce je sudá. Nechť je x > 0.
2
f (x) = |x|e−x = xe−x
2
2
2
f (−x) = | − x|e−(−x) = −(−x)e−x = xe−x
2
f (x) = f (−x)
Pak můžeme integrál zjednodušit a řešit substituční metodou
s = x2 Z ∞
Z ∞
Z ∞
Z ∞
1 −s
−x2
−x2
e ds =
e−s ds =
|x|e dx = 2
xe dx = ds = 2x dx = 2
2
0
0
−∞
0
x dx = 1 ds
2
∞
= −e−s 0 = lim −e−s − −e−0 = 0 − (−1) = 1
s→∞
2
Řešený příklad XII.–8.b: Stanovte plošný obsah obrazce omezeného grafy funkcí o
rovnicích
D πE
3
y = cos x, y = cos x, x ∈ 0,
.
2
Řešení: Nejprve si udělejme náčrtek a vypočítejme průsečíky grafů zadaných funkcí.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
1
1.2
1.4
cos(x)
cos3(x)
cos x = cos3 x
cos x − cos3 x = 0
1 − cos2 x cos x = 0
1 − cos2 x = 0 ⇒ x = 0
cos x = 0 ⇒ x =
π
2
Plochu obrazce ohraničeného grafy zadaných funkcí pak spočítáme pomocí určitého integrálu s využitím substituční metody
Z π
Z π
Z π
2
2
2
3
2
sin2 x cos x dx =
cos x − cos x dx =
1 − cos x cos x dx =
0
Z
s = sin x =
= ds = cos x dx
0
1
s3
s ds =
3
2
0
0
1
0
3
=
1
1
−0=
3
3
Řešený příklad XII.–12.b: Najděte primitivní funkci.
Z
x2 ln x dx
R
R
Řešení: Použijeme metodu per partes u0 v = uv − uv 0 . Při této metodě nemusíme psát
integrační konstanty. Jednu integrační konstantu doplníme až na závěr. Zvolme funkce
u0 a v.
Z
0
u = ln x
u = ln x dx = . . .
0
v = x2
v 0 = x2 = 2x
R
Vidíme, že bychom museli spočítat ln x dx , na což bychom museli znovu použít metodu
per partes a není jisté, zda by byl výsledek jednoduchý. Zkusme tedy jinou volbu funkcí
u0 a v.
Z
x3
0
2
u =x
u = x2 dx =
3
1
v = ln x
v 0 = [ln x]0 =
x
Zdá se, žeRtato volba jeRvhodnější. Použijme ji proto v metodě per partes. Do pravé strany
vzorečku u0 v = uv − uv 0 dosadíme za u, v, v 0 a počítáme dále.
Z 3
Z 2
x3
x 1
x3
x
x ln x dx =
· ln x −
· dx =
ln x −
dx =
3
3 x
3
3
Z
Z
x3
x3
1
1
2
x dx =
x2 dx =
=
ln x −
ln x −
3
3
3
3
Integrační konstantu napíšeme samostatně až na konec výrazu.
Z
=
2
x3
1 x3
x3
x3
x3
ln x − ·
+C =
ln x −
+C =
(3 ln x − 1) + C
3
3 3
3
9
9
4